专题05 第二章 导数与不等式（恒成立，能成立问题）（5考点清单，知识导图+6个考点清单&题型解读）高二数学下学期北师大版

清单05 第二章 导数与不等式（恒成立，能成立问题） （5个考点梳理+6题型解读+提升训练） 清单01 分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③转化：，使得能成立； ，使得能成立． ④求最值. 清单02 分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 清单03 等价转化法 ①当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. ②当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 清单04 最值定位法 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 清单05 值域法解决双参问题 ,,使得成立 ①，求出的值域，记为 ②求出的值域，记为 ③则,求出参数取值范围. 【考点题型一】借助分离变量法解决恒成立问题（） 【例1】（2025·江西九江·一模）已知函数，曲线在处的切线经过点 (1)求； (2)若，判断的单调性： (3)当时，，求的取值范围． 【变式1-1】.（24-25高三上·江西南昌·期中）已知函数.若对于任意的，且，均有成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】.（2024·江西·模拟预测）已知不等式对任意恒成立，则实数a的最小值为（   ） A．－ B．1 C．0 D．－1 【变式1-3】.（23-24高二下·江西南昌·期中）不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【变式1-4】.（24-25高三下·江西九江·阶段练习）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 【考点题型二】借助分离变量法解决能成立（有解）问题（） 【例2】（23-24高三上·江西宜春·期中）已知函数，． (1)存在，对任意，有不等式成立，求实数的取值范围； (2)如果存在、，使得成立，求满足条件的最大整数； 【变式2-1】.（2024·江西·模拟预测）已知有解，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】.（2024·江西萍乡·三模）已知定义在上的函数，对任意，当时，都有，若存在，使不等式成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】.（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】.（2025高三·全国·专题练习）若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【考点题型三】借助分类讨论法解决恒成立问题（） 【例3】（24-25高三上·江西吉安·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的取值范围. 【变式3-1】.（24-25高三上·江西赣州·期末）已知函数 (1)当，时，证明：； (2)若，对，不等式恒成立，求的最大值. 【变式3-2】.（2025·江西新余·一模）已知函数，其中. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 【变式3-3】.（24-25高二上·江西宜春·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上恒成立，求的取值范围； 【变式3-4】.（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数. (1)若是增函数，求的取值范围. (2)若有极小值，且极小值为，证明：. (3)若，求的取值范围. 【考点题型四】借助分类讨论法解决能成立（有解）问题（） 【例4】（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知函数，. (1)若曲线在和处的切线互相平行，求的值； (2)求的单调区间； (3)若对任意，均存在，使得，求的取值范围． 【变式4-1】.（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】.（24-25高三上·四川成都·阶段练习）（1）证明: 当 时， ； （2）当 时， ，求 的取值范围. 【变式4-3】.（23-24高二下·甘肃武威·阶段练习）已知函数. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值； (2)当时，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，求证：存在实数，使. 【考点题型五】最值定位法解决双参不等式问题（） 【例5】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的图象在处的切线过原点． (1)求的值； (2)设，若对总，使成立，求整数的最大值． 【变式5-1】.（23-24高二下·江苏盐城·期末）已知，若函数，对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 . 【变式5-2】.（24-25高三上·安徽滁州·阶段练习）已知函数，在处取得极小值． (1)求函数的解析式； (2)求函数的极值； (3)设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数a的取值范围． 【考点题型六】等价转化法解决问题（） 【例6】（2025·四川自贡·二模）已知函数，. (1)若存在极小值，且极小值为，求； (2)若，求的取值范围. 【变式6-1】.（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数，，若在上恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【变式6-2】.（24-25高二下·宁夏·阶段练习）已知函数，.若，则k的取值范围为 . 【变式6-3】.（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）.已知函数，，当时，恒成立，则实数的取值范围是 . 【变式6-4】.（24-25高二下·河南·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，且当时，恒成立，求实数的取值范围． 提升训练 一、单选题 1．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知函数，若对，，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·北京西城·期末）如果在区间上是单调函数，那么实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．若在上有解，则当实数取最小值时，的最大值为（    ） A． B． C．0 D． 4．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数，若，使得成立，则实数a的取值范围是（　　） A．（，+∞] B．（-∞，] C． D．（-∞，） 5．（23-24高二下·陕西咸阳·期中）若函数与满足：存在实数，使得，则称函数为的“友导”函数．已知函数为函数的“友导”函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·青海玉树·开学考试）设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·江苏徐州·阶段练习）已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高三下·山西·开学考试）已知函数，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知，且，函数，则（    ） A．当时，恒成立 B．当时，有两个零点 C．当时，有且仅有1个零点 D．存在，使得存在三个极值点 10．（23-24高二下·内蒙古·期中）已知函数，若对任意的成立，则的取值可能是（    ） A．1 B． C．3 D． 三、填空题 11．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）若关于的不等式在上恒成立，则正数的最小值为 ． 12．（23-24高二下·吉林长春·期末）若存在，使成立，则的取值范围是 ． 四、解答题 13．（2024高二·全国·专题练习）（1）已知关于的方程有两个解，求的取值范围； （2）已知关于的不等式（，且）对任意恒成立，求常数的取值范围. 14．（23-24高三下·江苏连云港·阶段练习）已知函数在时取得极值． (1)求实数的值； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围． 15．（2025·宁夏·一模）已知函数，其中． (1)求函数的极值； (2)若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求a的值； (3)当时，证明：当时，． 16．（2025·陕西安康·二模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)当时，恒成立，求实数的最小值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 第二章 导数与不等式（恒成立，能成立问题） （5个考点梳理+6题型解读+提升训练） 清单01 分离参数法 用分离参数法解含参不等式恒成立问题，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式； 步骤： ①分类参数（注意分类参数时自变量的取值范围是否影响不等式的方向） ②转化：若)对恒成立，则只需；若对恒成立，则只需． ③转化：，使得能成立； ，使得能成立． ④求最值. 清单02 分类讨论法 如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(，或，)求解． 清单03 等价转化法 ①当遇到型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. ②当遇到型的不等式有解（能成立）问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数或者“右减左”的函数，进而只需满足，或者，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数的最值的问题. 清单04 最值定位法 （1）,,使得成立 （2）,,使得成立 （3）,,使得成立 （4）,,使得成立 清单05 值域法解决双参问题 ,,使得成立 ①，求出的值域，记为 ②求出的值域，记为 ③则,求出参数取值范围. 【考点题型一】借助分离变量法解决恒成立问题（） 【例1】（2025·江西九江·一模）已知函数，曲线在处的切线经过点 (1)求； (2)若，判断的单调性： (3)当时，，求的取值范围． 【答案】(1) (2)函数在上单调递增 (3) 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）由导数的几何意义求得斜率，再结合斜率公式列出等式求解即可； （2）通过二次求导，结合导数与单调性的关系即可判断； （3）由，得，再由时，原不等式等价于构造函数求导，确定最值即可求解； 【详解】（1） ，切线斜率． 又切线经过点 解得． （2）由（1）知，，令，则 当时，在上单调递减，当时，在上单调递增 在上单调递增 （3）由题意得对任意的成立． ①当时， ②当时，原不等式等价于 设，则 由（2）知，当时，对任意的成立，即． 当时，，单调递增，当时，，单调递减 ，故的取值范围是 【变式1-1】.（24-25高三上·江西南昌·期中）已知函数.若对于任意的，且，均有成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】求导判断在上恒成立，不妨设，则原不等式可转化为，构造函数，再利用导数研究函数的性质即可求得实数的取值范围 【详解】因为， 则， 当时，，则恒成立， 所以在上为增函数， 不妨设，则. 因为，所以等价于， 即， 令，， 则在上为增函数， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，， 则， 所以在上为减函数，所以， 所以，所以实数的取值范围为. 故选：D 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 【变式1-2】.（2024·江西·模拟预测）已知不等式对任意恒成立，则实数a的最小值为（   ） A．－ B．1 C．0 D．－1 【答案】B 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】由条件转化为求函数，的最小值，利用导数判断函数的单调性，再求函数的最小值. 【详解】由条件不等式可知，， 设，， 则，令，得或， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以或，， 所以函数的最小值为，则，即， 所以的最小值为1. 故选：B 【变式1-3】.（23-24高二下·江西南昌·期中）不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】先明确函数的定义域，分离参数，利用进行放缩处理. 【详解】设，，则，因为，所以， 所以在上单调递增，所以，即. 所以在恒成立. 由题意：函数的定义域为：. 所以原不等式可化为：，问题转化为求（）的最小值. 而（当且仅当时取“=”） 结合图象： 方程在上有唯一解. 所以. 故选：B 【变式1-4】.（24-25高三下·江西九江·阶段练习）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间为，无单调递减区间 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导，即可根据导数的正负确定单调性， （2）分离参数得在区间上恒成立， 构造函数，只需，利用导数求解函数的最值即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 令，则， 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以，即恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间． （2）由题意在区间上恒成立， 即恒成立， 即在区间上恒成立， 令，只需， 因为， 令，有， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 所以当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以实数a的取值范围为． 【点睛】方法点睛：利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键. 【考点题型二】借助分离变量法解决能成立（有解）问题（） 【例2】（23-24高三上·江西宜春·期中）已知函数，． (1)存在，对任意，有不等式成立，求实数的取值范围； (2)如果存在、，使得成立，求满足条件的最大整数； 【答案】(1)； (2) 【知识点】利用导数研究能成立问题 【分析】（1）原命题成立等价于，结合导数法可得函数最小值； （2）原命题成立等价于，结合导数法可得函数最值 【详解】（1）存在，对任意，有不等式成立，则． ，则对任意的恒成立， 所以，函数在区间上单调递增，所以，． 函数在区间上的单调递减，所以，． 所以，，解得． 因此，实数的取值范围是； （2）存在、，使得成立，则， 即， 由（1）可知，函数在区间上单调递增，则，， ，满足条件的最大整数的值为； 【变式2-1】.（2024·江西·模拟预测）已知有解，则实数a的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用导数研究能成立问题 【分析】将不等式变形为，设，由已知方程在）上有解，故，利用导数求函数的最小值可得实数a的取值范围. 【详解】不等式可化为 ， ， 令，则且， 由已知不等式在上有解， 所以在上有解. 令，则， 当时，，在上单调递减； 当时，，在单调递增， 所以，所以， 所以a的取值范围为， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于通过不等式的变形，结合函数与不等式的关系将条件转化为函数的最值问题. 【变式2-2】.（2024·江西萍乡·三模）已知定义在上的函数，对任意，当时，都有，若存在，使不等式成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】依题意可得在上单调递增，则不等式等价于，即，令，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的最大值，从而得解； 【详解】解：因为对任意，当时，都有，所以在上单调递增， 则等价于，即， 令，，， 因为，所以，，所以，所以在上单调递减， 所以，即，所以的最大值为； 故选：B 【变式2-3】.（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】对分类讨论，通过同构可将问题转化为,构造，利用导数求解最值即可. 【详解】当时，，合题意. 当时，即 ， 为的增函数，，即， 由题意，只需, 记， 当在单调递减，在单调递增， 故，所以， 综上，的取值范围为， 故选：D 【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 【变式2-4】.（2025高三·全国·专题练习）若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】利用分离参数法得到，再合理构造函数，将合理拆分为两部分，利用导数得到两个部分取到最小值的条件一致，再求出整体函数的最值，得到取值范围即可. 【详解】由得， 当时，由题意知， 设函数，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则函数的最小值为． 当时，设函数，则， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以函数的最小值为， 此时，则，即实数的取值范围是． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解题关键是找到利用分离参数法得到，然后把拆分为两部分，判断它们取得最小值时的条件一致，得到整体的最值，最后求解所要求的参数范围即可． 【考点题型三】借助分类讨论法解决恒成立问题（） 【例3】（24-25高三上·江西吉安·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）由导数的几何意义求解即可； （2）分和两种情况进行讨论，利用导数求出函数的单调性，结合单调性求解即可得答案. 【详解】（1）当时，，，，， 故曲线在点处的切线方程为. （2）当时，的定义域为， ，令，解得或（舍去）， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，解得，即； 当时，的定义域为， ，令，解得（舍去）或， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减， 所以，解得，即. 综上所述，的取值范围是. 【变式3-1】.（24-25高三上·江西赣州·期末）已知函数 (1)当，时，证明：； (2)若，对，不等式恒成立，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）构造函数，利用导数研究的单调性，再研究原函数的单调性可得结果； （2）当时，不等式可化为，不妨设，则，当时，，在R上单调递增，构造函数，利用导数研究最值可得. 【详解】（1）证明：由题意，因为，，所以， 所以只需证，即证， 设，则， 令，则， 故在单调递增， 而，， 从而存在，使得，即， 所以，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此， ， 所以，，即原不等式得证. （2）当时，不等式可化为， 不妨设，则， 当，即时，，在R上单调递增， 此时当时，，与矛盾，故不符题意； 当时，则， 当时，，解得， 于是当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 故， 即， 由于，故， 于是，令， 则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以，， 此时，， 因此，当，时，的最大值为 【点睛】思路点睛：利用导数证明不等式和恒成立问题时，经常转化为函数最值问题，利用导数进行研究，有时需要多次求导，利用二次导数判断一次导数的单调性和最值，进而判断原函数的单调性和最值. 【变式3-2】.（2025·江西新余·一模）已知函数，其中. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）首先证明为偶函数，问题化为研究时恒成立，再结合，根据必要性有得到，再证明充分性，说明上存在，即可得答案. 【详解】（1）由题设，且时，则， 所以，则， 故在点处的切线方程为， 所以. （2）由且定义域为R， 所以为偶函数，即函数图象关于轴对称，只需研究时恒成立， 由，要使在上恒成立，必有（必要性）， 由，则，即， 下证（充分性）：时，恒有在上成立， 在上， 又，且，故，即在上恒成立； 当时，令，则， 在上，即恒成立， 所以上单调递增， 当趋向于0时趋向于()，当趋向于时趋向于， 所以，使， 即，，则在上单调递减， 又，故存在区间上，不合题设； 综上，. 【变式3-3】.（24-25高二上·江西宜春·期中）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在区间上恒成立，求的取值范围； 【答案】(1) (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）根据导数的几何意义求解函数在某点的切线方程； （2）分类讨论以及结合导数和函数的增减性，分别从，，三方面分类讨论； 【详解】（1）当时，， ， 所以曲线在点处切线的斜率， 又， 所以曲线在点处切线的方程为即. （2）因为在区间上恒成立，即， 对，即恒成立， 令，只需， ，， 当时，有，则， 在上单调递减，符合题意， 当时，令， 其对应方程的判别式， 若即时，有，即， 在上单调递减，，符合题意， 若即时，，对称轴， 又， 方程的大于1的根为， ，，即， ，，即， 所以函数在上单调递增，，不合题意. 综上，在区间上恒成立， 综上，实数的取值范围为. 【变式3-4】.（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数. (1)若是增函数，求的取值范围. (2)若有极小值，且极小值为，证明：. (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数在区间上的单调性求参数、求已知函数的极值、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导，对讨论，根据的单调性可得的最值，即可求解， （2）若函数有极值，则，考虑和时，单调性，确定极值点，进而构造函数，求导求解， （3）根据，将转化为，即，得，构造函数，求导即可求解. 【详解】（1）， 令函数，则， 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 因为是增函数，所以，即，解得， 若，则在上恒成立，所以在上单调递增， 因为函数与函数的图象有1个交点， 所以存在，使得， 即当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，与题设不符， 综上，的取值范围为. （2）由（1）可得当时，是增函数，不存在极小值， 当时，在上单调递减， 即在上单调递减，所以在上不存在极小值点， 因为，所以， 当，当 所以在上单调递减，在上单调递增， ， 当时，由（1）可得， 因为， 所以， 令函数，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，，， 所以， 因为，所以， 所以，当且仅当时，等号成立， 综上，. （3）若，不符合题意， 若，要使得，只需要，即， 所以，解得，即， ，令函数，则， 当时，单调递减， 因为，所以在上单调递减， 又， 所以在上的值域为， 故的取值范围为. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 【考点题型四】借助分类讨论法解决能成立（有解）问题（） 【例4】（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知函数，. (1)若曲线在和处的切线互相平行，求的值； (2)求的单调区间； (3)若对任意，均存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）由题意可得出，可求得实数的值； （2）求出函数的定义域，求得，对实数的取值进行分类讨论，分析的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （3）分析可知当时，有，分析两个函数的单调性，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：，则，其中， 由题意可得，即，解得． （2）解：函数的定义域为，则. ①当时，对任意的，， 由，可得；由，可得， 此时函数的增区间为，减区间为； ②当时，则，由可得；由可得或. 此时函数的减区间为，增区间为、； ③当时，对任意的，且不恒为零， 此时函数的增区间为，无减区间； ④当时，则，由可得；由可得或. 此时函数的减区间为，增区间为、. 综上所述，当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为、； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为、. （3）解：对任意，均存在，使得， 所以，当时，有． 在的最大值． 由（2）知：①当时，在上单调递增， 故， 所以，，解得，此时； ②当时，在上单调递增，在上单调递减， 故， 由，知，所以，，则，则. 综上所述的取值范围是． 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 【变式4-1】.（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知函数，若存在，使得成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数研究能成立问题、利用导数研究方程的根 【分析】首先由单调递增去掉绝对值符号，构造函数，转化为存在，使得，对求导后按照和两类进行讨论. 【详解】， 当时，，所以是增函数， 不妨设，则，又， 所以由，得，即， 设，则， 当时，，是增函数，不存在，使得， 当时，要满足题意，则在区间上有解，使得在区间上不单调. 则，， 设，，，（两等号不可能同时成立）， 所以， 所以在区间上单调递减，得，， 所以. 故选C. 【变式4-2】.（24-25高三上·四川成都·阶段练习）（1）证明: 当 时， ； （2）当 时， ，求 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）求差，然后构造函数，利用函数的单调性，证明构造的函数恒大于零即可； （2）构造函数，然后利用端点分析得到才可能满足条件，然后再去判断其充分性即可. 【详解】（1）令函数 ，则， 所以 在 上单调递增， ，即 . 令函数，则. 当 时， ，所以 在 上单调递增， ，即. 故当 时， . （2） 令函数 ，则. 令函数 ，则. ① 当，即 时，存在 ，使得当 时，， 所以函数在 上单调递减. 因为，所以当 时， ，所以 在 上单调递减. 因为 ，所以当 时， ，不符合题意. ② 当，即 时， 令函数， 则 当 时， 所以 在 上单调递增，所以 ，即， 所以当 时，. 当时，. 因为，所以 是偶函数， 所以当时，. 故当 时， 在 上恒成立. 综上， 的取值范围为 . 【点睛】关键点点睛：第二问我们很显然知道过原点，且为偶函数，所以我们只需要判断的图像在轴上方即可，所以需要讨论其导函数的正负，然后得到的范围. 【变式4-3】.（23-24高二下·甘肃武威·阶段练习）已知函数. (1)若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值； (2)当时，不等式对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，求证：存在实数，使. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）求导结合曲线在处的切线与直线垂直，可得，求解即可； （2）由已知可得对任意恒成立，设，利用导数求得最小值即可； （3）①当时，易得存在实数使；②当时，求导可得是的极小值，进而令，可得有唯一的极值，极大值，从而可得，可得结论. 【详解】（1）因为，则， 因为曲线在处的切线与直线垂直， 所以切线的斜率为2， 所以． （2）当时， 所以不等式即， 转化为对任意恒成立， 设，则的解为， 1 - 0 + ↘ 极小值 ↗ 所以最小值为 所以 所以实数的取值范围； （3）①当时，显然有，即存在实数使； ②当时，由可得， 所以在时，，所以函数在上递减， 时，，所以函数在上递增， 即是的极小值. 设，则，令，得，故有下表： 1 + 0 - ↗ 极大值 ↘ 所以有唯一的极值，极大值. 所以当时，，所以. 综上，若，存在实数使. 【点睛】要熟练导数的切线方程求法，导数在切点的横坐标取值即为切线斜率，对于存在问题，则只需证明有即可，根据参数可以分类讨论，在研究函数时一定要多分析其单调性，确定最值，从而解决存在问题，一般我们在解题时，任意和存在问题都归结为最值问题. 【考点题型五】最值定位法解决双参不等式问题（） 【例5】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的图象在处的切线过原点． (1)求的值； (2)设，若对总，使成立，求整数的最大值． 【答案】(1) (2)． 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可； （2）先利用二次函数性质得，再结合上问得，利用导数研究单调性，结合隐零点得最小值，解不等式即可. 【详解】（1）易知的定义域为， 又， 的图象在处的切线方程为， 将代入，得； （2）． 当时，取得最小值，． 由（1）知，． ，得的定义域为． 则， 易知单调递增， 又． 即在上有唯一解，故． 于是当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增． 在处取得极小值也是最小值． 则， 对总，使成立， 只需，得． 故整数的最大值为． 【点睛】思路点睛：第二问问题等价于，利用导数研究函数的单调性，结合隐零点计算其最小值，根据二次函数求，解不等式即可. 【变式5-1】.（23-24高二下·江苏盐城·期末）已知，若函数，对于任意的，总存在，使得，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据函数的最值求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】双变量问题根据题干转化为，对于，通过求导判断单调性得到，对于根据的正负得到，通过解关于的不等式得到的取值范围. 【详解】因为任意的，总存在，使得，所以， ，令得， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以， 当时，，所以，解得； 当时，不合题意； 当时，，所以，解得； 综上，的取值范围是， 故答案为：. 【变式5-2】.（24-25高三上·安徽滁州·阶段练习）已知函数，在处取得极小值． (1)求函数的解析式； (2)求函数的极值； (3)设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)极小值；极大值 (3)． 【知识点】求已知函数的极值、根据极值求参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）根据函数在极值处导函数为，极小值为联立方程组即可求得，，求得函数解析式，求导，利用导数判断原函数的单调性，检验求得，值是否满足题意； （2）由（1）即可求得极大值和极小值； （3）依题意只需即可，当时，函数有最小值，即对任意总存在，使得的最小值不大于；对于，分、、三种情况讨论即可． 【详解】（1）∵，则， 由题意可得 ，解得， 则函数的解析式为，且， 令，解得：， 则当变化时，的变化情况如下表： 减 极小值 增 极大值 减 故符合题意，即. （2）由（1）可得：当时，函数有极小值；当时，函数有极大值2. （3）∵函数在时，，在时，且， ∴由（1）知：当时，函数有最小值， 又∵对任意总存在，使得，则当时，的最小值不大于， 对于开口向上，对称轴为， 当时，则在上单调递增，故的最小值为，得； 当时，则在上单调递减，故的最小值为，得； 当时，则在上单调递减，在上单调递增，的最小值为，得或，不合题意，舍去； 综上所述：的取值范围是. 【考点题型六】等价转化法解决问题（） 【例6】（2025·四川自贡·二模）已知函数，. (1)若存在极小值，且极小值为，求； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求已知函数的极值、根据极值求参数、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导，判断函数的单调性，结合极小值为求解； （2）将不等式分离参数，得，设，，利用导数求出最值得解. 【详解】（1），， 当时，，所以函数无极值， 当时，由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，解得. （2）由，得，即，， 设，， 则， 当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 所以，则， 所以的取值范围为. 【变式6-1】.（24-25高二下·江苏苏州·阶段练习）已知函数，，若在上恒成立，则实数的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】将问题转化为在上恒成立,然后构造函数，利用单调性，得到，即，再构造函数，求出最小值即可得解. 【详解】由题意，则，等价于， 令，因为，所以在上单调递增， 所以， 所以，等价于， 令，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以，因此， 故选：B 【变式6-2】.（24-25高二下·宁夏·阶段练习）已知函数，.若，则k的取值范围为 . 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】根据已知条件将变形为，构造函数，问题即转化为.对函数求导，通过研究函数的单调性将问题进一步转化为，利用分离参数法求最值即可求解. 【详解】因为，所以. 由得， 即， 即. 构造函数， 则可化为. 因为， 令，则， 令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以时，取得最小值，即， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以在上单调递增. 因为，所以， 即，即. 令，则， 令，即，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以时，取得最大值，即， 所以，所以. 故答案为：. 【点睛】利用导数证明和判断不等式问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系. 【变式6-3】.（24-25高二下·江苏盐城·阶段练习）.已知函数，，当时，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】先将问题等价于恒成立，构造函数，由导数分析单调性得到最小值，再次构造函数，由导数分析单调性可得. 【详解】由函数，，所以不等式恒成立，等价于恒成立； 因为，所以； 设函数， ，则， 计算，且； 所以， 当，时，令，解得， 所以时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 所以； 设 则， 所以在上单调递增，且； 要使恒成立， 需使恒成立，即， 所以a的取值范围是. 故答案为：. 【变式6-4】.（24-25高二下·河南·阶段练习）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，且当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3). 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，分类讨论求出其单调性. （3）等价变形不等式，构造函数，利用导数求出最小值即可. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为，即. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （3）当时，，不等式， 令函数，依题意，，恒成立， 求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 而，则存在，使，即，此时， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 因此，由，得， 则，， 所以的取值范围是. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高三上·广西南宁·开学考试）已知函数，若对，，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（含参） 【分析】利用导数求函数最小值，由即可得解. 【详解】由题意可知，，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值， 因为对，，所以，解得. 故选：C 2．（23-24高二下·北京西城·期末）如果在区间上是单调函数，那么实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】先求导函数，再根据单调性得出导函数恒为正或者恒为负求参即可. 【详解】由已知， 因为是单调函数, 所以恒成立或恒成立， 所以恒成立或恒成立， 所以或, 所以或. 故选：A. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．若在上有解，则当实数取最小值时，的最大值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【知识点】利用导数研究能成立问题、由导数求函数的最值（含参）、基本不等式求和的最小值 【分析】根据题意有在上有解,可得，转化为求函数的的最值即可． 【详解】因为，所以， 因为在上有解，所以在上有解， 化简得．因为， 即在）上有解． 因为，设，则在上有解， 因为， 当且仅当，即时取等号，此时， 所以的最小值为，此时， 当且仅当，即时，有最大值0. 故选:C． 4．（23-24高二下·江苏常州·阶段练习）已知函数，若，使得成立，则实数a的取值范围是（　　） A．（，+∞] B．（-∞，] C． D．（-∞，） 【答案】C 【知识点】利用导数研究能成立问题 【分析】原命题等价于，再求 以及解不等式即可. 【详解】，使得成立，则， 由题得， 所以函数在（-∞，-1）单调递减，在（-1，+∞）单调递增， 所以， 由题得， ∴ 故选：C 5．（23-24高二下·陕西咸阳·期中）若函数与满足：存在实数，使得，则称函数为的“友导”函数．已知函数为函数的“友导”函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】，即，利用参变分离得，通过导数求的值域． 【详解】，则 ∵存在实数，使得，即 则 构建，则 令，则或（舍去） 在单调递减，在上单调递增，则 即 故选：D． 6．（24-25高三下·青海玉树·开学考试）设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】依题意可得对任意，不等式恒成立，令，，结合函数的单调性得到对任意恒成立，参变分离可得对任意恒成立，构造函数，利用导数求出，即可得解. 【详解】因为对任意，不等式恒成立 即对任意，不等式恒成立， 即对任意，不等式恒成立， 因为，所以，又，所以， 令，，则， 所以在上单调递增， 由对恒成立，得到对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 令，，则， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以， 故得，即的取值范围是. 故选：D 7．（24-25高二下·江苏徐州·阶段练习）已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】由可得，令，则在上为增函数，即在上恒成立，分离参数，利用二次函数的单调性求解最值即可. 【详解】对任意的，且，， 则，令，则， 由单调性的定义知在上为增函数，. 则在上恒成立，即， 也即在上恒成立， 记，因为的对称轴为，所以在上单调递减， 所以，所以，即实数a的取值范围为. 故选：B 8．（24-25高三下·山西·开学考试）已知函数，若关于的不等式有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、由函数奇偶性解不等式、利用导数研究能成立问题、根据函数的单调性解不等式 【分析】构造函数，通过其单调性奇偶性，得到在上有解，求得最值，进而可求解； 【详解】设， 由在上单调递增，可知，在上单调递增， 又奇函数， 所以由，可得， ∴，， ∴在上有解，设，， 易知时，，时，， ∴在单调递增，在单调递减，即， ∴， 故选：A 二、多选题 9．（24-25高三下·湖南长沙·阶段练习）已知，且，函数，则（    ） A．当时，恒成立 B．当时，有两个零点 C．当时，有且仅有1个零点 D．存在，使得存在三个极值点 【答案】ABC 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】对于A，不等式变形后求函数的最值进行判断；对于B，结合选项A中的新函数进行判断；对于C，确定函数的单调性，利用零点存在定理进行判断；对于D，求导，由导函数等于0，构造新函数确定导数的零点个数，得极值点个数判断. 【详解】对于A，当时， 要证明，即证明， 即证明，即证明， 设， 当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减，，故A正确； 对于B，当时，由得， 当时，由A的分析可知，，因此有两个零点，故B正确； 对于C，当时，单调递减， 存在唯一零点，故C正确； 对于D，，令得， 两边同时取对数得， 设， ，令得， 则在上单调递减， 在上单调递增，最多有两个零点， 最多有两个极值点，故D错误. 故选：ABC. 10．（23-24高二下·内蒙古·期中）已知函数，若对任意的成立，则的取值可能是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】AB 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】根据已知不等式进行常变量分离，得到，观察分母，联想不等式，结合指数的运算性质进行放缩进行求解即可.. 【详解】由题意可得， 则. 设，则. 由，得，由，得，则在上单调递减， 在上单调递增，故，即. 因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 则，故. 故选：AB 【点睛】关键点点睛：本题的关键是常变量分离后，利用不等式和指数的运算性质进行放缩. 三、填空题 11．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）若关于的不等式在上恒成立，则正数的最小值为 ． 【答案】/ 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】同构变形给定的不等式，在时构造函数，利用函数单调性可得，分离参数并构造函数，求出函数的最大值即可. 【详解】不等式，， 当时，，令， 依题意，，对函数求导得， 函数在上单调递增，则当时，恒成立， 令函数，求导得，当时，； 当时，，函数在上单调递增，在上单调递减， ，因此，所以正数的最小值为最小值为. 故答案为： 12．（23-24高二下·吉林长春·期末）若存在，使成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】由题意可得以，令，利用导数判断出函数在上的单调性即可得答案. 【详解】由，可得， 因为，所以，所以， 令， 则， 所以函数在上单调递增， 又因为，所以，所以， 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题 13．（2024高二·全国·专题练习）（1）已知关于的方程有两个解，求的取值范围； （2）已知关于的不等式（，且）对任意恒成立，求常数的取值范围. 【答案】（1）；（2）； 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究能成立问题 【分析】（1）设，讨论函数的单调性，再分析函数有两个零点需满足的条件，即可求解； （2）由在恒成立，转化为在恒成立，令，，求的最小值即可； 【详解】设函数，则问题转化为有两个零点， 又， 当时，，则在单调减，故不可能存在两个零点，因此不成立； 当时，时，，时， ， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以有唯一的极小值， 因此要使有两个零点， 则，即，则，因此， 又，则在内存在一个零点， 当趋于时，趋于，则在内存在一个零点， 因此当时，在有两个零点， 即关于的方程有两个解，则. 故实数的取值范围为：； （2）由（，且）在恒成立，转化为在恒成立， 设，，则， 当时，，当时，， 因此在单调递增，在单调递减， 故， 所以，即； 14．（23-24高三下·江苏连云港·阶段练习）已知函数在时取得极值． (1)求实数的值； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用导数研究能成立问题、根据极值点求参数 【分析】（1）先利用极值的性质求出，再代入检验即可. （2）利用单调性得到，再按照能成立问题求解即可. 【详解】（1）易知， 依题意，解得， 此时， 当或时，；当时，， 即函数在，上单调递增，在上单调递减， 因此函数在时取得极值， 所以． （2）由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增； 因为，所以 由题意可得，解得， 所以的取值范围为． 15．（2025·宁夏·一模）已知函数，其中． (1)求函数的极值； (2)若曲线在点处的切线也是曲线的切线，求a的值； (3)当时，证明：当时，． 【答案】(1)极小值为，无极大值； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求已知函数的极值 【分析】（1）利用导数研究的极值即可； （2）先求出在点处的切线，再由导数几何意义求的切点，根据共切线且切点在切线上求参数值； （3）问题化为当，时，恒成立，利用导数研究左侧的单调性及最值，即可证. 【详解】（1）由题设且，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以有极小值为，无极大值； （2）由，则，故切线方程为， 而，令，则， 所以切点为，且在上， 所以，可得； （3）由， 问题等价于当，时，恒成立， 令且，则， 所以， 对于且，则， 所以，，即在上单调递增， ，，即在上单调递减， 所以，即恒成立， 所以，故在上单调递减，则， 综上，恒成立，结论得证. 16．（2025·陕西安康·二模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)当时，恒成立，求实数的最小值． 【答案】(1)； (2)答案见解析. (3). 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）把代入，求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出导数，再按分类求出函数的单调区间. （3）由（2）的信息，求出函数的最大值，再由已知建立恒成立的不等式并分离参数，构造函数并利用导数求出最大值即可. 【详解】（1）当时，函数，求导得，则，而， 所以所求切线方程为. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递增区间为上单调递增，递减区间为； 当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递增区间为，递减区间为. （3）由（2）知当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 依题意，，即恒成立， 令函数，求导得， 当时，，当时，，函数在上递增，在上递减， 即，因此， 所以最小值为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$