专题04 第二章 导数在研究函数中的作用（5考点清单，知识导图+12个考点清单&题型解读）高二数学下学期北师大版

清单04 第二章 导数在研究函数中的作用 （5个考点梳理+12题型解读+提升训练） 清单01 由函数单调性求参数取值范围 （1）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 （3）已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 清单02 含参问题讨论单调性 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 清单03 函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 清单04 函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 清单05 函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 【考点题型一】求已知函数（不含参）的单调区间（） 【例1】（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数，则的单调递增区间为 . 【变式1-1】.（河北省邢台市卓越联盟2024-2025学年高二下学期第一次月考（3月）数学试题）已知函数，则的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】.（24-25高二下·湖南常德·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】.（24-25高二下·天津武清·阶段练习）已知函数，则的单调减区间为 ． 【变式1-4】（24-25高二下·山西晋中·阶段练习）函数的单调递增区间为 . 【考点题型二】已知函数在区间上单调，求参数（） 【例2】（23-24高二下·江西抚州·阶段练习）已知函数在上单调递增，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】.（2024·江西上饶·模拟预测）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【变式2-2】.（24-25高三上·江西·期末）若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】.（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】.（23-24高二下·江西抚州·阶段练习）函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是 . 【考点题型三】已知函数在区间上存在单调区间，求参数（） 【例3】（2025高二·全国·专题练习）已知函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】.（23-24高二下·重庆渝北·期中）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】.（24-25高二上·重庆·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是 ． 【变式3-3】.（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知函数在定义域内存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【考点题型四】已知函数在区间上不单调，求参数（） 【例4】（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·）已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为 ． 【变式4-1】.（多选）（24-25高二下·广东江门·阶段练习）若函数在区间上不是单调函数，则实数的可能取值是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】.（23-24高二下·江西抚州·阶段练习）已知函数在上不单调，则的取值范围是 . 【变式4-3】.（23-24高二下·山西运城··阶段练习）已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为 ． 【考点题型五】导函数有效部分是一次型或可化为一次型（） 【例5】（24-25高三上·江西·期中）设函数. (1)求的单调区间; 【变式5-1】.（23-24高二下·江西景德镇·期末）设函数，其中为常数. (1)讨论的单调性； 【变式5-2】.（23-24高二下·江西南昌·期末）已知函数 .记 为 的导函数. (1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程； (2)讨论 的单调性. 【变式5-3】.（23-24高二下·江西九江·期末）已知函数. (1)试讨论的单调性； 【考点题型六】导函数有效部分是二次型或可化为二次型（） 【例6】（23-24高二下·江西新余·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性； 【变式6-1】.（23-24高二下·江西·阶段练习）已知函数. (1)若，当时，证明：； (2)若，讨论的单调性. 【变式6-2】.（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知函数，其中． (1)当时，求的极值； (2)讨论当时函数的单调性； 【变式6-3】.（23-24高三上·江西·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调性； 【变式6-4】.（23-24高二下·江西萍乡·阶段练习）已知函数. (1)证明:，有； (2)设，讨论的单调性. 【考点题型七】导函数有效部分是不可因式分解的二次型（） 【例7】（23-24高二下·江西南昌·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； 【变式7-1】.（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程; (2)若，讨论的单调性. 【变式7-2】.（23-24高三上·江西赣州·期中）已知函数. (1)试讨论的单调区间； 【变式7-3】.（2023·江西赣州·模拟预测）已知函数，. (1)若，讨论函数的单调性； 【变式7-4】.（2023·江西赣州·模拟预测）已知函数. (1)若函数，讨论函数的单调性； 【考点题型八】根据图象判断函数极值，最值（） 【例8】（23-24高二下·江西赣州·期末）已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A．函数的增区间是 B．函数的减区间是 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 【变式8-1】.（23-24高二下·广东汕头·期中）函数的导函数的图像如图所示，以下命题正确的是（    ） A．是函数的最小值 B．是函数的极值 C．在区间上不单调 D．在处的切线的斜率大于0 【变式8-2】.（多选）（23-24高三上·江西宜春·开学考试）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ）． A．的单调递增区间是 B．是的极小值点 C．在区间上单调递减，在区间上单调递增 D．是的极小值点 【变式8-3】.（多选）（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是（   ）    A．在上单调递减 B．在处取得极大值 C．在上单调递减 D．在处取得最小值 【考点题型九】求已知函数（不含参）极值（点）最值（） 【例9】（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）已知函数的图象过点，且. (1)求a，b的值； (2)求函数的单调区间和极值． 【变式9-1】.（2025·青海海东·二模）函数的极小值是 . 【变式9-2】.（广东省广雅中学等校2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题）函数在上的最大值为 【变式9-3】.（24-25高二下·山西吕梁·阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 【变式9-4】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数（e为自然对数的底数）． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值． 【考点题型十】根据函数的极值（点）求参数（） 【例10】（2025·江西·一模）已知是函数的极值点，则（    ） A．8 B．4 C． D． 【变式10-1】.（24-25高三上·江西·阶段练习）若是函数的极小值点，则的极大值为（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】.（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）已知m为常数，函数有两个极值点，则m的取值范围是 . 【变式10-3】.（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知函数在处取得极小值，则的值为 ． 【变式10-4】（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若为的极大值点，求实数的取值范围． 【考点题型十一】求已知函数（含参）极值（点）、最值（） 【例11】（23-24高二上·浙江宁波·阶段练习）已知. (1)若在处有极大值，求的值； (2)若，求在区间上的最小值. 【变式11-1】.（23-24高三上·江西上饶·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最小值； 【变式11-2】.（23-24高三上·北京·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)当时，求函数在区间的最小值. 【变式11-3】.（23-24高二下·广东潮州·阶段练习）已知函数，求： (1)求函数的单调区间； (2)求函数在的最小值. 【变式11-4】（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数． (1)求函数在的单调区间； (2)求函数在区间上的最大值（其中为正实数）． 【考点题型十二】根据函数的最值求参数（） 【例12】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数. (1)若为的极值点，求的单调区间和最大值； (2)是否存在实数，使得的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【变式12-1】.（河北省承德市NT20名校联合体2024-2025学年高三下学期第一次调研考试数学试题）已知函数，. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若函数有最大值，且最大值为，求a的值. 【变式12-2】.（24-25高二下·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)讨论的单调性； (3)若函数在上的最小值是，求的值. 【变式12-3】.（24-25高二下·北京·阶段练习）已知函数. (1)若函数的图象在点处的切线的斜率为，求此切线方程； (2)求函数的单调区间和极值； (3)若在上的最小值为，求实数的值. 【变式12-4】（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）已知函数 . (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)讨论 的单调性； (3)若函数在上的最大值为 0，求实数的取值范围. 提升训练 一、单选题 1．（河北省邢台市卓越联盟2024-2025学年高二下学期第一次月考（3月）数学试题）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·广西防城港·阶段练习）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广西防城港·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·安徽蚌埠·阶段练习）如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．当时，取得极小值 D．当时，取得极小值 6．（24-25高二下·天津·阶段练习）如图是导函数的图象，则下列说法错误的是（    ）    A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 7．（24-25高二下·贵州六盘水·阶段练习）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）已知函数，若对任意两个不相等的实数，，都有，则a的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D．0 二、多选题 9．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）设函数的导函数为，已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   10．（24-25高二下·陕西铜川·阶段练习）已知函数在时取得极值13，则（    ） A． B． C．在上单调递减 D．在上的最大值为 三、填空题 11．（24-25高二下·湖北咸宁·阶段练习）已知函数，若的单调减区间为，则实数 ． 12．（24-25高二下·上海·阶段练习）函数在处有极值，则该函数的单调减区间是 ． 四、解答题 13．（河北省邢台市卓越联盟2024-2025学年高二下学期第一次月考（3月）数学试题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若0为的极大值点，且极小值为，求； (3)若的导函数只有一个极值点，求的取值范围． 14．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直． (1)求b； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 15．（2025·黑龙江·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 第二章 导数在研究函数中的作用 （5个考点梳理+12题型解读+提升训练） 清单01 由函数单调性求参数取值范围 （1）已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增，恒成立. ②已知在区间上单调递减，恒成立. 注：已知单调性，等价条件中的不等式含等号. （2）已知函数在区间上存在单调区间 ①已知在区间上存在单调增区间使得有解 ②已知在区间上存在单调减区间使得有解 （3）已知函数在区间上不单调，使得有变号零点 清单02 含参问题讨论单调性 第一步：求的定义域 第二步：求（导函数中有分母通分） 第三步：确定导函数有效部分，记为 对于进行求导得到，对初步处理（如通分），提出的恒正部分，将该部分省略，留下的部分则为的有效部分（如：，则记为的有效部分）.接下来就只需考虑导函数有效部分，只有该部分决定的正负. 第四步：确定导函数有效部分的类型： ①为一次型（或可化为一次型）②为二次型（或可化为二次型） 第五步：通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 清单03 函数的极值 一般地，对于函数， （1）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极小值点，叫做函数的极小值. （2）若在点处有，且在点附近的左侧有，右侧有，则称为的极大值点，叫做函数的极大值． （3）极小值点与极大值点通称极值点，极小值与极大值通称极值. 注：极大（小）值点，不是一个点，是一个数. 清单04 函数的最大（小）值 一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤为： （1）求在内的极值； （2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 清单05 函数的最值与极值的关系 （1）极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； （2）在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； （3）函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； （4）对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 【考点题型一】求已知函数（不含参）的单调区间（） 【例1】（24-25高二下·天津·阶段练习）已知函数，则的单调递增区间为 . 【答案】， 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】利用导数分析函数的单调区间. 【详解】因为，， 所以，， 由或. 所以函数的单调递增区间为：，. 故答案为：，. 【变式1-1】.（河北省邢台市卓越联盟2024-2025学年高二下学期第一次月考（3月）数学试题）已知函数，则的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求导，利用导数求解单调区间. 【详解】由， 则 ， 令，解得或， 所以的单调递增区间是，. 故选：D. 【变式1-2】.（24-25高二下·湖南常德·阶段练习）函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】直接求导，令，解出即可. 【详解】由已知， 定义域为，由得． ∴的增区间为． 故选：B． 【变式1-3】.（24-25高二下·天津武清·阶段练习）已知函数，则的单调减区间为 ． 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求导，根据导数为负解不等式即可求解. 【详解】的定义域为, ， 令，则或， 故的单调减区间为， 故答案为： 【变式1-4】（24-25高二下·山西晋中·阶段练习）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】求导，利用导数大于0求解的范围即可. 【详解】由， 得， 令得，. 所以的单调递增区间为. 故答案为： 【考点题型二】已知函数在区间上单调，求参数（） 【例2】（23-24高二下·江西抚州·阶段练习）已知函数在上单调递增，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】求出函数的导数，参变量分离将问题转化为恒成立，设，根据函数的单调性求出的范围即可． 【详解】， 由题意得：在上恒成立，即恒成立， 设，， 令，解得：，令，解得：， 故在递减，在递增， 故，故， 所以正实数. 故选：C. 【变式2-1】.（2024·江西上饶·模拟预测）已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【知识点】由函数的单调区间求参数、求正切（型）函数的值域及最值 【分析】根据函数单调递增转化为导数不小于0恒成立，分离参数求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 由在上单调递增知，， 所以， 故选：C 【变式2-2】.（24-25高三上·江西·期末）若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】问题化为在上恒成立，利用导数研究右侧单调性并确定其值域下界，即可得参数范围. 【详解】因为在区间上单调递增， 所以，即在上恒成立， 令且，则，即在上单调递增， 所以，故. 故选：C 【变式2-3】.（24-25高三上·江西新余·阶段练习）已知函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】导数的运算法则、求二次函数的值域或最值、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】题目转化为在上恒成立，然后用分离参数的方法求解即可． 【详解】函数的定义域为， 因为函数在内是增函数， 所以在恒成立， 所以在上恒成立， 只需,即可， 因为,， 当，即时，， 所以，即的取值范围为． 故选：D． 【变式2-4】.（23-24高二下·江西抚州·阶段练习）函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性求参数值、用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数的单调区间求参数 【分析】利用导数研究函数的有单调性可得不等关系，参数分离，根据值域求解. 【详解】函数，∴， ∵函数在上存在单调递增区间，，即有解， 令,,∴当时，，即可． 故答案为: 【考点题型三】已知函数在区间上存在单调区间，求参数（） 【例3】（2025高二·全国·专题练习）已知函数在上存在单调递增区间，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、函数不等式能成立（有解）问题、复合函数的值域 【分析】求导数，将问题转化为在区间上有解，分离参数结合二次函数的性质计算范围即可. 【详解】,定义域为 则， 因为在上存在单调递增区间， 所以在区间上有解， 即有解， 因为，所以 由二次函数的性质知， 所以. 故选：C. 【变式3-1】.（23-24高二下·重庆渝北·期中）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】由题意，利用，经等价转化，得到在区间上能成立，故只需先求即得. 【详解】依题意，在区间上能成立， 即在区间上能成立， 设，则，故只需求在上的最小值， 而在时，取得最小值，故得. 故选：B. 【变式3-2】.（24-25高二上·重庆·期末）已知函数在区间上存在单调递减区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由函数的单调区间求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】问题转化为在上有解，分离参数，通过求导分析函数的最小值可得实数的取值范围. 【详解】∵，∴， 由题意得，在上有解，即在上有解， ∴，， 设，则， 设，则， ∴在上为增函数， ∵， ∴当时，，，当时，，， ∴在上为减函数，在上为增函数， ∴， ∴，故实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式3-3】.（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）已知函数在定义域内存在单调递减区间，求实数的取值范围. 【答案】 【知识点】由函数的单调区间求参数、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】求导函数，由已知得在上能成立，分离参数得，根据二次函数的性质可求得范围. 【详解】解：∵函数在定义域内存在单调递减区间， ∴在上能成立，∴. 令，即为. ∵的最大值为，∴， ∴实数的取值范围为. 【考点题型四】已知函数在区间上不单调，求参数（） 【例4】（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·）已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据极值点求参数 【分析】由于函数在区间上不单调，等价于函数在区间上存在极值点，对函数求导，对分类讨论，求出极值点，根据极值点在区间内，可得关于的不等式，即可求出结果． 【详解】由. ①当时，函数单调递增，不合题意； ②当时，由，得，由，得， 所以函数的极值点为， 若函数在区间不单调，必有，解得. 故答案为：. 【变式4-1】.（多选）（24-25高二下·广东江门·阶段练习）若函数在区间上不是单调函数，则实数的可能取值是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据极值点求参数 【分析】求出函数的极值点，分析可知，函数区间内存在极值点，可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由可得，由可得或， 所以，函数的增区间为、，减区间为， 所以，函数的极大值点为，极小值点为， 因为函数在区间上不是单调函数， 则该函数在区间内存在极值点，即或， 解得或， 所以，实数的取值范围是. 故选：CD. 【变式4-2】.（23-24高二下·江西抚州·阶段练习）已知函数在上不单调，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、导数的运算法则 【分析】先求导函数，再根据函数在上不单调，可得，从而可求的取值范围． 【详解】由题意，， 令,则， 函数在上不单调，， ，即， 故答案为： 【变式4-3】.（23-24高二下·山西运城··阶段练习）已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、根据极值点求参数、导数的运算法则 【分析】根据求得，再分和讨论函数的单调性，根据函数在区间不单调，知在区间内有极值点，从而可确定实数的取值范围. 【详解】由题知，，，， ①当时，在上恒大于零， 则在上单调递增，不符合题意； ②当时， 由得，；由得，； 所以函数在上递增，在上递减， 所以当时，取得极大值， 若函数在区间不单调，必有，解得． 综上可知，实数的取值范围是. 故答案为：. 【考点题型五】导函数有效部分是一次型或可化为一次型（） 【例5】（24-25高三上·江西·期中）设函数. (1)求的单调区间; 【答案】(1)答案见解析； 【知识点】函数极值的辨析、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）讨论参数a，应用导数研究单调区间； 【详解】（1）由题设， 当时，恒成立，故的增区间为，无减区间； 当时，令，得，故上，上， 所以的减区间为，增区间为. 【变式5-1】.（23-24高二下·江西景德镇·期末）设函数，其中为常数. (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出函数的导数后，分和两种情况讨论，根据导函数正负可求出函数的单调区间； 【详解】（1），其中. 当时， 在上单调递减 当时，，所以；，， 在单调递减，在单调递增 【变式5-2】.（23-24高二下·江西南昌·期末）已知函数 .记 为 的导函数. (1)若 ，求曲线 在点 处的切线方程； (2)讨论 的单调性. 【答案】(1) (2)详解见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、简单复合函数的导数、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）根据导数的几何意义计算即可求解； （2）设，分类讨论当、时对应的单调性即可. 【详解】（1）当时，，则， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2），则， 设，则， 令，得， 当即时，，， 此时在上单调递增； 当即时，，.，. 此时在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 【变式5-3】.（23-24高二下·江西九江·期末）已知函数. (1)试讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】简单复合函数的导数、由函数在区间上的单调性求参数、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）先求，分和两种情况讨论导函数的正负即可； 【详解】（1）， 当时，因为， 所以在上单调递减， 当时，， 令，得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 【考点题型六】导函数有效部分是二次型或可化为二次型（） 【例6】（23-24高二下·江西新余·阶段练习）已知函数. (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）将函数求导并分解因式，根据参数进行分类讨论函数的单调性即得； 【详解】（1）由已知可得函数，. ①当时， 当时，，时，； 则在上单调递减，在上单调递增； ②当时，当时，， 或时，； 则在上单调递减，在上单调递增； ③当时，因与同号，故恒成立，即在R上单调递增； ④当时，当时，，或时，； 则在上单调递减，在上单调递增. 【变式6-1】.（23-24高二下·江西·阶段练习）已知函数. (1)若，当时，证明：； (2)若，讨论的单调性. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）根据函数，利用导数与函数单调性间的关系，求出的单调性，进而可得到，即可证明结果； （2）对求导得到，令，得到或，再对进行分类讨论，利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果. 【详解】（1）当时，，即证当时，， 令，则， 令，则在区间上恒成立， 所以，当且仅当时取等号， 所以在区间上恒成立，当且仅当时取等号， 所以在上单调递减， 所以对，所以，即. （2），令，得或， ①当时，恒成立，所以在上单调递增； ②当时，，令，得，或，令，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减； ③当时，，令，得，或，令，得， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 综上所述，当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减. 【变式6-2】.（23-24高一下·江西宜春·阶段练习）已知函数，其中． (1)当时，求的极值； (2)讨论当时函数的单调性； 【答案】(1)的极大值为，无极小值. (2)答案见解析 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值； （2）求出函数的导函数，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调区间； 【详解】（1）当时，的定义域为， 当时，，当时， 在上单调递增，在上单调递减. 在处取得极大值， 的极大值为，无极小值. （2）函数的定义域为， 又． 当时，令则或． ①当，即时，当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减. ②当，即时，在上恒成立，在上单调递增. ③当，即时，当时，；当时，， 在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减 【变式6-3】.（23-24高三上·江西·阶段练习）已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导，按的不同取值范围讨论导函数的符号即可求解； 【详解】（1）因为， 所以， 因为，当时，， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 当时，由，得或， 当即时，，在上单调递增， 当时，，时，，在上单调递减， 或时，，在上单调递增， 当时，，时，，在上单调递减； 或时，，在上单调递增． 综上可得，时，在上单调递减，在上单调递增； 时，在上单调递增； 时，在上单调递减，在，上单调递增； 时，在上单调递减，在，上单调递增． 【变式6-4】.（23-24高二下·江西萍乡·阶段练习）已知函数. (1)证明:，有； (2)设，讨论的单调性. 【答案】(1)证明见解析； (2)答案见解析. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）利用导数求出函数的单调性，证明即可； （2），分、与讨论的单调性即可. 【详解】（1）因为， 所以， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以. （2）因为, 所以， 因为，令，得或， 若，则，时，，单调递减； 和时，，单调递增； 若，则，，在上单调递增； 若，则，时，，单调递减； 和时，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减；在和上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在和上单调递增. 【考点题型七】导函数有效部分是不可因式分解的二次型（） 【例7】（23-24高二下·江西南昌·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； 【答案】(1)答案见详解 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、含参分类讨论求函数的单调区间、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）求导，分类讨论的符号，结合二次不等式求的单调性； 【详解】（1）由题意可知：的定义域为，且， 对于，则有： 若时，则，可得， 所以在上单调递增； 若时，则有： 当，即时，则，可得， 所以在上单调递增； 当，即时，令， 解得，，且， 令，解得或；令，解得； 所以在上单调递减，在，上单调递增； 综上所述： 当时，在内单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【变式7-1】.（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程; (2)若，讨论的单调性. 【答案】(1) (2)增区间为，，减区间为 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果； （2）对求导，根据条件得到的两根为，，进而得出，当或时，，当，，即可求出结果. 【详解】（1）当时，，所以， 当时，，又， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）因为，所以， 令，得到，因为，又，所以， 即有两根，由求根公式知两根为，，且， 所以，当或时，，当，， 故的增区间为，，减区间为. 【变式7-2】.（23-24高三上·江西赣州·期中）已知函数. (1)试讨论的单调区间； 【答案】(1)答案见解析； 【知识点】零点存在性定理的应用、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论确定一元二次不等式在上的解集即得. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，在上恒成立，即在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，当时，， 因此在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【变式7-3】.（2023·江西赣州·模拟预测）已知函数，. (1)若，讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）求导后，分，，确定导数的符号，从而确定单调区间； 【详解】（1），定义域为， 所以 ， 当单调递增， 当，令，其对称轴为， 最小值为， 若，即时，单调递增， 若令，可得， 由于，故与均大于0， 所以或时，，单调递增，时，，单调递减， 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在和上单调递增， 在上单调递减. 【变式7-4】.（2023·江西赣州·模拟预测）已知函数. (1)若函数，讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【知识点】利用导数证明不等式、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论，从而求得的单调区间. 【详解】（1）， ， 当时，在区间上，，单调递增， 当时，若，即时， 在区间上，，单调递增， 若，即时， 函数的开口向上，对称轴， 令，即， 解得， 而，所以是两个正根， 所以在区间上，单调递增，在区间上， 单调递减. 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增， 在区间上单调递减. 【考点题型八】根据图象判断函数极值，最值（） 【例8】（23-24高二下·江西赣州·期末）已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A．函数的增区间是 B．函数的减区间是 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 【答案】C 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数极值点的辨析、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值. 【详解】根据的图象可知： 当时，；时，，当时，，当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 因此函数在时取得极小值，在取得极大值. 故ABD错误，C正确. 故选：C 【变式8-1】.（23-24高二下·广东汕头·期中）函数的导函数的图像如图所示，以下命题正确的是（    ） A．是函数的最小值 B．是函数的极值 C．在区间上不单调 D．在处的切线的斜率大于0 【答案】D 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数（导函数）图象与极值的关系、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】借助导函数图象与原函数图象的关系，函数单调性、最值、极值的定义与导数的意义即可判断. 【详解】由图可知，当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故是函数的最小值，也是函数的极小值，在区间上单调递增， 在处的切线的斜率大于0，即A、B、C错误，D正确. 故选：D. 【变式8-2】.（多选）（23-24高三上·江西宜春·开学考试）如图所示是的导数的图象，下列结论中正确的有（    ）． A．的单调递增区间是 B．是的极小值点 C．在区间上单调递减，在区间上单调递增 D．是的极小值点 【答案】BC 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】利用导数的正负与函数的单调性的关系，结合函数的极值与极值点的定义即可求解. 【详解】由导函数的图象可知，当或时，；当或时，； 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为和.故A错误，C正确； 所以或是的极小值点；故B正确； 所以是取得极大值点；故D错误. 故选：BC. 【变式8-3】.（多选）（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于函数的描述正确的是（   ）    A．在上单调递减 B．在处取得极大值 C．在上单调递减 D．在处取得最小值 【答案】BC 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】由导函数图象得到的取值（正负）情况，从而得到的单调性与极值点. 【详解】由导函数的图象可知，当时，当时， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值，在处取得极大值. 故正确的有BC. 故选：BC 【考点题型九】求已知函数（不含参）极值（点）最值（） 【例9】（24-25高二下·天津滨海新·阶段练习）已知函数的图象过点，且. (1)求a，b的值； (2)求函数的单调区间和极值． 【答案】(1) (2)的单调递增区间为和，单调递减区间为， 极大值为，极小值为. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、已知函数值求自变量或参数、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】（1）由联立解方程组可得的值； （2）由（1）可得的表达式，求出的零点，判断在导函数零点左右的正负即可确定的单调区间和极值. 【详解】（1）对函数求导得，故，解得， 由题意可知，解得， 故. （2）由（1）可知函数，定义域为， ，令，得或， 当时，；当时，， 故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为， 极大值为，极小值为. 【变式9-1】.（2025·青海海东·二模）函数的极小值是 . 【答案】 【知识点】简单复合函数的导数、求已知函数的极值 【分析】求出函数的导数，进而求出极小值. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由，得；由，得或， 因此当时，取得极大值，当时，取得极小值， 所以函数的极小值为. 故答案为： 【变式9-2】.（广东省广雅中学等校2024-2025学年高二下学期3月联考数学试题）函数在上的最大值为 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】对函数求导并得出其在指定区间上的单调性，即可求得最大值. 【详解】由可得， 在上，恒成立， 因此在上单调递增，所以的最大值为. 故答案为： 【变式9-3】.（24-25高二下·山西吕梁·阶段练习）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1)单调递增区间是：和，单调减区间是：； (2)最小值为，最大值为. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求导由，，可求单调区间； （2）由（1）结合单调性即可求解； 【详解】（1）由， 可得：，， 由，可得：或； 由，可得：； 所以函数的单调递增区间是：和， 单调减区间是：； （2）由（1）知：函数在区间上的单调性为： 单调递减，单调递增， 所以最小值为， 又， 所以最大值为. 所以函数在区间上的最小值为，最大值为. 【变式9-4】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知函数（e为自然对数的底数）． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在上的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）求导，赋值得到切线斜率，再用点斜式得到切线方程； （2）求导，根据导数正负研究函数的单调性，得到极值最值即可. 【详解】（1）∵，∴，， ∴，∴曲线在点处的切线方程为． （2），令，解得， 当时，，当时，， ∴的单调减区间是，单调增区间是． ∴，，， 则函数在上的最大值为，最小值为． 【考点题型十】根据函数的极值（点）求参数（） 【例10】（2025·江西·一模）已知是函数的极值点，则（    ） A．8 B．4 C． D． 【答案】D 【知识点】根据极值点求参数 【分析】根据极值点处导数值为0求参数，注意验证，即可得答案. 【详解】由题设，则，可得， 此时且， 所以时，时， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 故是的极小值点，符合题意. 故. 故选：D 【变式10-1】.（24-25高三上·江西·阶段练习）若是函数的极小值点，则的极大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求已知函数的极值、根据极值点求参数 【分析】根据给定的极小值点求出，进而求出极大值. 【详解】函数，求导得， 由是的极小值点，得，解得或， 当时，，当时，；当时，， 则是的极大值点，不符合题意； 当时，，当时，；当时，， 则是的极小值点，符合题意，，又当时，， 所以函数在处取得极大值. 故选：D 【变式10-2】.（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）已知m为常数，函数有两个极值点，则m的取值范围是 . 【答案】． 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值点、根据极值点求参数 【分析】首先求函数的导数，讨论，并结合零点存在性定理，根据极值点的个数为2得出参数范围. 【详解】由题可得设，， ①当时，递增，且，所以有一个变号零点， ②当时，在上递增，在上递减，且， 当时，即时，所以无变号零点； 当，即时，， 由，取，则，所以有两个变号零点； 当时，有1个极小值点和1个极大值点； 故答案为： 【变式10-3】.（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知函数在处取得极小值，则的值为 ． 【答案】 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、根据极值点求参数、根据极值求参数 【分析】将函数求导，依题可得，求得或，代入函数式，进行检验，舍去，即得结论. 【详解】由求导，， 依题意，，即，解得或. 当，时，，， ， 当时，，在上单调递减，当时，，在单调递增， 即时，函数取得极小值，符合题意，此时； 当，时，，， 因 ， 即函数在上为增函数，无极值，与题意不符，舍去. 故答案为：. 【变式10-4】（24-25高二上·江西宜春·阶段练习）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)若为的极大值点，求实数的取值范围． 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2) 【知识点】根据极值点求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）对求导，利用导数与单调性的关系即可得解； （2）记，则原命题等价于为的极值点，求实数的取值范围，对求导，对分类讨论，根据的极值情况，确定实数的取值范围． 【详解】（1）当时，， 则， 由，可得，由，可得， 因此的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）记， 则原命题等价于为的极大值点，求实数的取值范围． 因，则恒成立， 记，则，则， 当时，恒成立，在上单调递增， 又因，则当时，，，在上单调递减； 当时，，，在上单调递增， 此时可得为的极小值点，与题意矛盾； 当时，①若则得， 即存在，使得在上恒成立， 即在上单调递增，也即在上单调递增， 由，从而可得，，在上单调递减； ，，在上单调递增， 此时可得为的极小值点，与题意矛盾； ②若，时，在上单调递减， ，，在上单调递增；时，，在上单调递减， 因此恒有，也即恒成立，因此不是的极值点，与题意矛盾； ③若，，即存在，使得在上恒成立， 在上递减，也即在上递减， 由，从而可得，，在上单调递增； ，，在上单调递减， 此时可得为的极大值点，符合题意． 综上所述，满足条件的实数的取值范围为． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法： 一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、极值点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理． 【考点题型十一】求已知函数（含参）极值（点）、最值（） 【例11】（23-24高二上·浙江宁波·阶段练习）已知. (1)若在处有极大值，求的值； (2)若，求在区间上的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、利用函数单调性求最值或值域、根据极值点求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】(1)求出，令，解得，再分别讨论，利用函数在处有极大值，从而得出答案； (2)确定函数的单调性，即可求在区间上的最小值. 【详解】（1）由题知，， 由题意，，得或， 当时，在上，在上， 此时，在处有极小值，不符题意； 当时，在上，在上， 此时，在处有极大值，符合题意. 综上，. （2）令，得或， 由，则在上，在上， 即在上单调递增，在上单调递减. 由题意，， 当时，在区间上单调递减，则， 当时，在区间上单调递减，在上单调递增，则， 当时，在区间上单调递增，则， 综上，. 【变式11-1】.（23-24高三上·江西上饶·阶段练习）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数在区间上的最小值； 【答案】(1) (2)见解析. 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）由导数的几何意义得出切线方程； （2）分类讨论，结合导数得出函数在区间上的最小值； 【详解】（1）当时，， ∴， ∴，， 所以曲线在点处的切线方程为，即 （2）由，可得， 由，可得， 当，即时，时，恒成立，单调递增， 所以函数在区间上的最小值为；                     当，即时，时，恒成立，单调递减， 所以函数在区间上的最小值为；                      当，即时，时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以函数在区间上的最小值为；                  综上，当时，函数在区间上的最小值为； 当时，函数在区间上的最小值为； 当时，函数在区间上的最小值为； 【变式11-2】.（23-24高三上·北京·阶段练习）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)当时，求函数在区间的最小值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、由导数求函数的最值（含参）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程. （2）求得，对进行分类讨论，由此求得的单调区间. （3）结合（2）中的单调区间，对进行分类讨论，从而求得函数在区间的最小值. 【详解】（1）当时，，∴， ，∴，故切线方程为：. （2）， ∴，， ∴①当时，，∴仅有单调递增区间，其为， ②当时，，∴当时，；当时，， ∴的单调递增区间为 ，单调递减区间为. ③当时，，∴当时，；当时，. ∴的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述：当时，仅有单调递增区间，单调递增区间为. 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）当时，由（2）中③知，在上单调单调递减，在上单调递增， ∴①当，即时，在上单调递增，， ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增， ∴， ③当，即时，在上单调递减，∴. ∴. 【点睛】利用导数研究函数的单调区间，首先要求函数的定义域，当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏. 【变式11-3】.（23-24高二下·广东潮州·阶段练习）已知函数，求： (1)求函数的单调区间； (2)求函数在的最小值. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为； (2)答案见解析. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）对求导，根据导函数的符号求单调区间即可； （2）讨论、，结合（1）所得函数的单调性求其最小值. 【详解】（1）由题设，， 令，解得； 令，解得. 的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由（1）知，当时在上单调递减， ， 当时，在上单调递减，在上单调递增， . 【变式11-4】（23-24高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数． (1)求函数在的单调区间； (2)求函数在区间上的最大值（其中为正实数）． 【答案】(1)的单调递增区间为、，单调递减区间为 (2)答案见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）化简函数在上的解析式，利用导数与函数单调性的关系可求得函数的增区间和减区间； （2）解方程，可得或，然后分、、、四种情况讨论，结合（1）中的结论分析函数在区间上的单调性，由此可得出函数在上的最大值. 【详解】（1）解：， ①当时，， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减； ②当时，恒成立，所以在上单调递增. 综上，的单调递增区间为、，单调递减区间为. （2）解：令，即，解得或. ①当时，在上单调递增，， ②当时，在上单调递增，在上单调递减，此时； ③当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则； ④当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则. 综上，当时，. 【点睛】方法点睛：求函数在区间上的最值的方法： （1）若函数在区间上单调，则与一个为最大值，另一个为最小值； （2）若函数在区间内有极值，则要求先求出函数在区间上的极值，再与、比大小，最大的为最大值，最小的为最小值； （3）若函数在区间上只有唯一的极大点，则这个极值点就是最大（最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到. 【考点题型十二】根据函数的最值求参数（） 【例12】（24-25高二下·浙江·阶段练习）已知函数，其中为自然对数的底数. (1)若为的极值点，求的单调区间和最大值； (2)是否存在实数，使得的最大值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)的单调递增区间是，单调递减区间是；的极大值为， (2)存在， 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、已知函数最值求参数、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数 【分析】（1）利用为的极值点求得，进而可得函数的单调区间和最大值； （2）对导函数，分与进行讨论，得函数的单调性进而求得最值，再由最大值是求出的值. 【详解】（1）， ∴， 由，得. ， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 的单调递增区间是，单调递减区间是； 的极大值为，也即的最大值为. （2）， ①当时，在上单调递增， 的最大值是， 解得，舍去； ②当时，由，得， 当，即时， 时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 又在上的最大值为， ∴， ∴， 当，即时，在上单调递增， ， 解得，舍去. 综上，存在符合题意，此时. 【变式12-1】.（河北省承德市NT20名校联合体2024-2025学年高三下学期第一次调研考试数学试题）已知函数，. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)若函数有最大值，且最大值为，求a的值. 【答案】(1) (2)1 【知识点】求过一点的切线方程、已知函数最值求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间 【分析】（1）先求出导函数，再代入求出切线斜率，再点斜式写出切线方程； （2）先求出导函数，分讨论函数单调性，再代入应用最大值计算求参. 【详解】（1），， 若，则，那么切线的斜率， 又，所以切线方程为，即； （2），. ①若，恒成立，所以在单调递增. ②若，当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值， 则，即， 令则，令， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为，即恒成立，则在上单调递增， 又，所以要使，那么. 【变式12-2】.（24-25高二下·浙江嘉兴·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)讨论的单调性； (3)若函数在上的最小值是，求的值. 【答案】(1)极小值为，无极大值； (2)答案见解析； (3) 【知识点】求已知函数的极值、含参分类讨论求函数的单调区间、已知函数最值求参数 【分析】（1）直接代入求导，令即可得到其极值； （2）求导得，再对分和讨论即可； （3）求导得，再对分，和讨论即可. 【详解】（1）当时，， ，令，则， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 则的极小值为，无极大值. （2），， 若，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 当时，令，解得，令，解得， 则其在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3），， 若，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，不满足题意； 若，令，解得，令，解得， 所以函数在单调递减，单调递增， 所以，解得，满足题意； 若， 则在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以，解得，不满足题意， 综上，. 【变式12-3】.（24-25高二下·北京·阶段练习）已知函数. (1)若函数的图象在点处的切线的斜率为，求此切线方程； (2)求函数的单调区间和极值； (3)若在上的最小值为，求实数的值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】已知函数最值求参数、含参分类讨论求函数的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值 【分析】（1）利用导数的几何意义可求出的值，可求出的值，再利用导数的几何意义可求出所求切线的方程； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，可得出函数的增区间和减区间以及极大值、极小值； （3）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，结合可求得实数的值. 【详解】（1）因为，则， 由导数的几何意义可得，解得，则， 所以，，故所求切线的方程，即. （2）函数的定义域为，且， 当时，对任意的，恒成立， 此时函数的增区间为，无极值； 当时，由可得，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为， 函数的极小值为，无极大值. 综上所述，当时，函数的增区间为，无极值； 当时，函数的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值. （3）当时，函数在区间上单调递增，则， 解得，不合乎题意； 当时，即当时，函数在上单调递增， 则，解得，合乎题意； 当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，，解得或，舍去； 当时，即当时，函数在区间上单调递减， 此时，，解得，舍去. 综上所述，. 【变式12-4】（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）已知函数 . (1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程； (2)讨论 的单调性； (3)若函数在上的最大值为 0，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、含参分类讨论求函数的单调区间、已知函数最值求参数 【分析】（1）求导得，则得到切线斜率，再写出切线方程即可； （2）求导得，再分，和讨论即可； （3）分，和讨论即可. 【详解】（1）当时，， ，， 所以在点处的切线方程为，即． （2）由题意得的定义域为， ， ①当时，， 所以在上单调递增． ②当时，， 由，解得， 不妨设，则由韦达定理有， 又， ，即， 故在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减． ③当时，， 可得，所以在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 在当时，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减． （3）①当时，在上单调递增，，矛盾； ②当时，在上单调递增， 所以当时，，矛盾； ③当时，所以在上单调递减，，符合题意， 综上：所求实数的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求导并因式分解得，再合理分类讨论即可. 提升训练 一、单选题 1．（河北省邢台市卓越联盟2024-2025学年高二下学期第一次月考（3月）数学试题）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】利用导数研究函数单调性，由函数单调递增，得到导函数恒成立，从而转化为二次函数恒成立问题处理即可，注意检验导数等于0的点不构成区间. 【详解】因为在上单调递增，所以在上恒成立，则，得．经检验，此时在上单调递增. 故选：C. 2．（24-25高二下·广西防城港·阶段练习）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】利用导函数分析函数的单调性，再结合根的判别式解决恒成立问题，最后解不等式即可. 【详解】因为在上单调递增，所以在上恒成立， 则，得. 故选：C. 3．（24-25高二下·广西防城港·阶段练习）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】先求导数，令，求解即可. 【详解】函数的定义域为， 因为，令，解得， 所以的单调递增区间是. 故选：D 4．（24-25高二下·重庆·阶段练习）已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】根据题意得到，恒成立.从而得到，恒成立，再根据的单调性求解即可. 【详解】因为，函数在区间上是减函数， 所以，恒成立. 所以，恒成立. 设，， 因为对称轴为，所以在为增函数， 所以，所以. 故选：C 5．（24-25高二下·安徽蚌埠·阶段练习）如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（    ） A．在上是增函数 B．在上是减函数 C．当时，取得极小值 D．当时，取得极小值 【答案】D 【知识点】函数（导函数）图象与极值的关系、函数与导函数图象之间的关系 【分析】利用导数与函数单调性间的关系及极值的定义，结合图象，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，由图知，当时，的符号有正有负， 不是单调的函数，所以选项A错误， 对于选项B，由图知，当时，是增函数，所以选项B错误， 对于选项C，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，， 所以是极大值点，在处取到极大值，所以选项C错误， 对于选项D，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，， 所以是极小值点，在处取到极小值，所以选项D正确， 故选：D. 6．（24-25高二下·天津·阶段练习）如图是导函数的图象，则下列说法错误的是（    ）    A．为函数的单调递增区间 B．为函数的单调递减区间 C．函数在处取得极大值 D．函数在处取得极小值 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数（导函数）图象与极值的关系、函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据导函数的图象分析函数的单调性，得到函数的性质，逐项判断各选项的正确性. 【详解】由导函数的图象可知： 当和时，；当和时，. 所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为：，. 极大值点为：，极小值点为和. 故ABD选项的内容正确，C选项内容错误. 故选：C 7．（24-25高二下·贵州六盘水·阶段练习）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】求出函数的导数，由题意可得在上恒成立，由此参变分离，结合二次函数的最值即可求得答案. 【详解】因为，所以， 由在上单调递增，得在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立，在上， 二次函数在上单调递增， 当时，二次函数取到最大值， 故，即a的取值范围为， 故选：A 8．（24-25高三下·辽宁抚顺·开学考试）已知函数，若对任意两个不相等的实数，，都有，则a的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】B 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】结合单调性定义可得函数单调递增，则恒成立，即恒成立，构造函数，借助导数研究其单调性从而得其最值即可得解. 【详解】不妨设，因为，所以， 构造函数，则，所以单调递增， 恒成立，即恒成立， 令函数，， 当时，，当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，故． 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高二下·河北保定·阶段练习）设函数的导函数为，已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】AC 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】利用导函数的图象正负，进而得到原函数的单调性，最后得到结果即可. 【详解】由题意知与轴有三个交点， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 则在区间上单调递减， 在区间上单调递增，故A，C正确；B，D错误． 故选：AC． 10．（24-25高二下·陕西铜川·阶段练习）已知函数在时取得极值13，则（    ） A． B． C．在上单调递减 D．在上的最大值为 【答案】ACD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数 【分析】根据用导数求极值，单调性和最值的方法判断四个选项即可. 【详解】对于AB，由题可得， ，解得，故A正确，B错误； 对于CD，，令，解得， 当时，，所以的单调递增区间为， 当时，，所以的单调递减区间为， 所以在上单调递减，在上单调递增，又因为， 所以在上的最大值为，故CD正确， 故选：ACD. 三、填空题 11．（24-25高二下·湖北咸宁·阶段练习）已知函数，若的单调减区间为，则实数 ． 【答案】1 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】单调区间的端点值为导数的零点，即可求得； 【详解】函数， 则， 若的单调减区间为， 则的解集为， 所以，则，检验符合， 故答案为：1. 12．（24-25高二下·上海·阶段练习）函数在处有极值，则该函数的单调减区间是 ． 【答案】 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据极值点求参数 【分析】由题意可得，求出，再令，即可求得函数的减区间. 【详解】， ∵在处有极值，∴，解得， 令，解得， ∴该函数的单调减区间是． 故答案为： 四、解答题 13．（河北省邢台市卓越联盟2024-2025学年高二下学期第一次月考（3月）数学试题）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若0为的极大值点，且极小值为，求； (3)若的导函数只有一个极值点，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3) 【知识点】含参分类讨论求函数的单调区间、根据极值点求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）先对函数进行求导，在对导函数的零点，的大小进行讨论得到不同情况时函数的单调性.（2）利用极值点和极小值结合小问（1）中求出的值.（3）因为只有一个极值点，所以关于的方程恰有一个异号根．然后结合结合曲线可知，，求解出． 【详解】（1）因为， 所以． 当时，，令，则，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减． 当时，令，得，． 当时，，令，得， 令，得，所以在上单调递减， 在，上单调递增． 当时，，此时恒成立，所以在上单调递增． 当时，，令，得， 令，得，所以在上单调递减， 在，上单调递增． 综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在，上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增． （2）由（1）知当时，在上单调递减，在，上单调递增，此时0为的极大值点， 极小值为． 令，．因为， 所以在（0，2）上单调递增，在上单调递减． 因为，所以． （3）令，则． 因为只有一个极值点，所以关于的方程恰有一个异号根． 显然当时，方程无解，所以曲线与直线恰有一个交点， 结合曲线可知，，解得． 14．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直． (1)求b； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、含参分类讨论求函数的单调区间、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）根据导数的几何意义，结合直线垂直斜率之积为求解即可； （2）求导分与的大小关系讨论即可； （3）由题意在上恒成立，再根据函数的性质求解即可. 【详解】（1），故，又斜率为1，故，解得. （2）因为，故， 则， 当时，， 故在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 当时，令有，，且， 故在上，，单调递减； 在上，，单调递增； 在上，，单调递减. 当时，，在单调递减； 当时，在上，，单调递减； 在上，，单调递增； 在上，，单调递减. （3）， 由题意在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，故，即. 所以a的取值范围为. 15．（2025·黑龙江·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据极值求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）根据题意计算和，得切线方程为； （2）先求导得，分和讨论，求出极小值，再由整理有，构造新函数，利用导数求解即可. 【详解】（1）当时，，则，所以， 因为，所以在处的切线方程为． （2）因为，其中， 则， ①当时，恒成立，此时函数在上单调递增，无极小值， ②当时，令，可得，列表如下： - 0 + 递减 极小值 递增 所以， 由题意可得，即， 令，则． 因为，当等号成立， 所以函数在单调递增， 所以由，得， 所以实数的取值范围是． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$