专题06 第二章 导数与函数的零点（方程的根）（2考点清单，知识导图+5个考点清单&题型解读）高二数学下学期北师大版

清单02 第二章 导数与函数的零点 （2个考点梳理+5题型解读+提升训练） 清单01 函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 清单02 函数零点判断 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 【考点题型一】讨论函数零点（方程的根）的个数（） 【例1】（2024·江西·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：是周期函数； (3)判断在上的零点个数，并说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)3，理由见解析 【知识点】函数的周期性的定义与求解、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）由题可得切线方程的斜率及所过点坐标，据此可得切线方程； （2）由周期函数定义可完成证明； （3）注意到，由周期性，只需判断在上的零点个数. 先可得，当时，无零点，当时，利用导数知识结合零点存在性定理可得零点情况，整理后可得答案. 【详解】（1）因为，，， 所以所求切线方程为，即； （2）因为，， 所以，即是的一个周期，故是周期函数； （3）在上的零点个数为3，理由如下： 注意到，由周期性，只需判断在上的零点个数， 当时，，，， 则，所以在上无零点， 当时，，，， 则，所以在上无零点， 当时，， 令， ， 即， 当时，，，， 则，所以在上单调递增， 又因为，， 所以存在，使得， 故在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 结合单调性可知存在，使得， 所以在上有1个零点， 由的周期是可知，在上还有一个零点， 又，则也为的一个零点， 综上，在上的零点个数为3. 【点睛】关键点睛：对于判断零点个数，常利用函数图象与直线交点或利用单调性结合零点存在性定理判断零点点数. 【变式1-1】.（24-25高三上·江西上饶·期中）已知函数. (1)若的图象在处的切线方程为，求的值； (2)若，证明：； (3)讨论的零点的个数. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)答案见解析 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数的几何意义得，求，再利用切点即在曲线上也在切线即可求出； （2）由，令，将问题转化为即可求解； （3）求导利用导函数判断单调性，再结合零点存在性定理判断零点的个数. 【详解】（1）由题意得， 又的图象在处的切线方程为， 所以，解得， 所以，所以，所以，解得. （2）证明：若，则， 所以， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 当且仅当时，等号成立； 令，，所以， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，即. （3）由题意得的定义域为，， 当时，，在上单调递增， 又，所以有且仅有一个零点1； 当时，令，解得， 易知在上，，则在上单调递减， 在上，，则在上单调递增， 又，， 所以在上有一个零点，在上有一个零点1， 所以在，上各有一个零点； 当时，令，解得， 易知在上，，则在上单调递减， 在上，，则在上单调递增， 故的最小值为，故仅有一个零点； 当时，令，解得， 易知在上，，则在上单调递减，且， 所以在上有一个零点1， 在上，，则在上单调递增， 又，， 所以在上有一个零点， 故在，上各有一个零点. 综上，当或时，仅有一个零点； 当或时，有两个零点. 【点睛】方法点睛：函数零点的求解与判断方法： （1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点； （2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且， 还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点； （3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 【变式1-2】.（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）函数的导函数为，函数的导函数是，已知函数. (1)若，求的值和函数的单调区间； (2)若，讨论的零点个数. 【答案】(1)，单调递减区间为，单调递增区间为和. (2)当时，有三个零点；当时，有两个零点；当时，有一个零点. 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）先得，，根据得，进而利用导函数求单调区间； （2）先由得，进而得函数的极小值为，极大值为，进而根据极小值与零比较可判断零点个数. 【详解】（1）由题可知，，， ，解得. 所以，. 令，得或；令，得， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和. （2）由（1）可知，，，，所以. 令，解得或；令，解得. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为和， 所以的极小值为，的极大值为. 当时，，当时，， 故当，即时，有三个零点； 当，即时，有两个零点； 当，即时，有一个零点. 【变式1-3】.（2024高三下·江西新余·专题练习）已知函数，，. (1)证明：存在直线与的图象相切且有无穷多个切点. (2)当时，设的极大值点从小到大依次为，记，求证：数列为减数列. (3)判断在上的零点个数. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、判断数列的增减性 【分析】（1）设直线：与的图象相切于点，利用导数的几何意求出切线方程，假设直线与的图象还相切于点，然后可列方程组求得结果； （2）利用导数可求出的极大值点为，则根据题意求得，然后利用二次函数的性质可证得结论； （3）分，，和四种情况利用导数讨论的单调性，结合零点存在性定理求解即可. 【详解】（1）设直线：与的图象相切于点，， 则在处的切线为 ， 假设直线与的图象还相切于点， 于是在处的切线应满足 ， 显然存在满足题意，此时， 所以存在与切于（）， 即存在直线与的图象相切且有无穷多个切点； （2）， 则，， 当和时，， 则在和上单调递减； 当时，，则在单调递增， 所以的极大值点为，故： 对称轴：， 所以在上单调递减， 所以数列为减数列 （3）由（2）得， ①时，，则在上单调递增，，故在上无零点 ②时，为的零点，当和时，，在和上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 又，， 所以在上存在唯一的零点， 所以在有2个零点 ③时，由（2）得，在此区间单调递减， 因为，， 故在上有且仅有一个零点 ④时，，而令， 则（）， 又，所以，无零点. 综上：在有且仅有3个零点 【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查导数的几何意义，考查利用导数解决函数极值点问题，考查利用导数讨论函数零点问题，第（3）问解题的关键是分类讨论确定导数的正负，从而可求出函数的单调区间，再结合零点存性定理确定函数零点的个数，考查分类讨论的思想和计算能力，属于难题. 【变式1-4】（2024·江西·模拟预测）已知函数. (1)求函数的最小值； (2)若，求函数的零点个数. 【答案】(1)0 (2)答案见解析 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）求出定义域，求导，得到函数单调性，进而得到最值； （2）化简得到，令，求出在上的零点个数即可，求导，当时，有唯一零点，时，求出函数单调性，最值，换元后，求导得到函数单调性，分，，，三种情况，结合函数单调性和零点存在性定理求出零点个数. 【详解】（1）由题意得的定义域为， 且， 当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，也时最小值， 所以. （2）， 令，则. 因为的定义域为，故的零点与的零点相同， 所以下面研究函数在上的零点个数. 由，得. 当时，在上恒成立， 所以在上单调递增. 又，故此时有唯一零点， 当时，， 令，得，令，得. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 令，则， 令，则， 易得在上单调递增，在上单调递减， 又，所以当时，， ①当，即时，， 此时有唯一零点； ②当，即时，则. 因为，所以在上有唯一的零点. ， 令，则， 所以，由（1）知，，又， 所以在上存在唯一零点，不妨设， 所以在上有唯一的零点， 故在上有两个零点； ③当，即时，且， 由函数零点存在定理可得在上有唯一零点， 故在上各有一个唯一零点. 综上，当或时，函数有唯一零点； 当且时，函数有两个零点. 【点睛】导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方 【考点题型二】证明函数零点（方程的根）的唯一性（） 【例2】（23-24高三下·安徽亳州·开学考试）设函数，其中，． (1)若，且在区间单调递减，在区间单调递增，求t的最小值； (2)证明：对任意正数a，b，仅存在唯一零点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）根据函数，求导，结合已知是函数的唯一的极值点，且为极小值点，所以，有唯一的根，令确定其单调性，对进行讨论，即可求得t的最小值； （2）因为，设，将的零点个数转化为零点的个数，对求导研究即可. 【详解】（1）若，，，则， 因为在区间单调递减，在区间单调递增，所以是函数的唯一的极值点，且为极小值点， 且，即， 令，则， 令得，令得或 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又； 当时，存在，，， 使得，即， 且当时，，时，，时，， 时， 所以在和上单调递减，在和上单调递增，即不符题意， 当时，在上恒成立，则存在，使得， 当时，，时， 所以在单调递减，在单调递增，即符合题意， 又，则， 综上，t的最小值为． （2）证明：易知， 设， 则，所以， ①当，即时，，则单调递增， 又时，，时，， 所以存在，使得，时，，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又时，，时，， 所以存在唯一的，使得，即， ②当，即， 存在，， 使得，且， 易知在和上单调递增，在上单调递减， 又当时，， 且时，， 所以存在，使得， 易知在上单调递减，在上单调递增， 又时，，时，， 所以存在唯一的， 使得，即； 综上，对任意a，b＞0，仅存在唯一零点． 【点睛】本题考查了函数极值点、零点与导数的综合，属于难题.解决本题含参极值点的关键是得含参方程，构造新函数确定其单调性与取值，从而得的范围，使得可求得满足方程的t的最小值；而要证明函数的零点唯一性，采用等价转化为的零点个数即可. 【变式2-1】.（2024·全国·三模）已知函数，是的导函数，且． (1)求实数的值，并证明函数在处取得极值； (2)证明在每一个区间都有唯一零点． 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】零点存在性定理的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、求某点处的导数值 【分析】（1）求出导函数，根据求出的值，再通过计算导函数的正负情况说明函数的单调性，计算出极值点. （2）由，令，利用导数分析可得在区间单调递减，由，，即可得证. 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴，即． ∴，， 当时，， ∴， 当时，令， ∵， 即在单调递减， ∴， ∴，所以函数在处取得极大值. （2）由， 令， 则， 当时，， ∴， ∴在区间单调递减， 又∵，， ∴在每一个区间有唯一零点， 故在每一个区间有唯一零点． 【变式2-2】.（23-24高三·河南洛阳·阶段练习）已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）当时，证明：在上存在唯一零点． 【答案】（1）极小值0，无极大值；（2）证明见解析. 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【解析】（1）当时，求导判断单调性即可求出极值； （2）通过构造出一个新函数,讨论新函数的零点以证明原函数零点的唯一性. 【详解】（1）当时，，的定义域为， 由得，由得，且， ∴在上单调递增，在，上单调递减． ∴当时，取得极小值，无极大值． （2）证明：当时， ． 令， 则在上的零点即在上的零点 ， 令，则． 当时，则，∴在区间上单调递增． 又，， ∴存在使得， ∴当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 又因为，， ∴在上存在一个零点， 在上没有零点， ∴在上存在唯一零点，即在上存在唯一零点． 【点睛】函数极值点无法求出时，采用隐零点解决. 【变式2-3】.（23-24高二上·陕西汉中·阶段练习）已知函数，其中. （Ⅰ）若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值； （Ⅱ）讨论函数的单调性； （III）若存在极值，证明有唯一零点. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）答案见解析；（III）证明见解析. 【知识点】已知切线（斜率）求参数、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义求解出切线斜率，将切线与直线的平行关系转化为斜率的关系，从而求解出的值； （Ⅱ）对与的关系作分类讨论，当时借助基本不等式进行分析，当时根据一元二次方程根的情况进行分析，由此得到的单调性； （III）根据（Ⅱ）的结论得到的取值范围，分析在上的取值情况，再结合的取值正负完成证明. 【详解】解：（Ⅰ），∵曲线在处的切线与直线平行， ∴，即，故； （Ⅱ）函数的定义域为. 当时，恒成立，故在上单调递增； ② 当时，，令，得. ∵，∴方程有两不等实根. ∵，，∴. 令，得或；令，得. 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增.   另法（常规方法）：讨论的符号. 当，即时，恒成立，则，在上递增； ② 当，即或时，方程有两不等实根. （i）当时，由知，则恒成立，故在上递增； （ii）当时，由知， 令，得或；令，得.   故在、上递增，在上递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增. （III）由（Ⅱ）知，当时，无极值. 当时，由 知：的极大值， 的极小值，故在上无零点． ∵，又， （用极限说明，也不扣分） 故函数有唯一零点 【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到导数的几何意义、利用导数分析函数的单调性、利用导数分析函数的零点个数，考查学生利用导数解决问题的综合能力，难度较难. 【考点题型三】利用极值（最值）研究函数的零点（方程的根）（） 【例3】（23-24高三下·江西赣州·阶段练习）已知函数． (1)当时，若的最小值为，求实数的值； (2)若存在，使得函数恰有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】已知函数最值求参数、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数可求得的单调性，由此确定最值点，利用最小值可构造方程求得的值； （2）利用导数可求得的单调性，结合仅有一个零点可构造关于的方程，采用分离变量的方式，将问题转化为有解；构造函数，利用导数可求得的单调性和最值，由此可确定的取值范围，从而得到结果. 【详解】（1）当时，， 的定义域为，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，解得：. （2）当时，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增； ； 若恰有一个零点，则， 在时有解， 设，则， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，， 又，，， ，实数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：本题考查根据函数最值求解参数值、利用导数解决函数零点个数的问题；根据零点个数求解参数范围的基本思路是通过导数确定函数的单调性，进而根据零点个数确定最值与零的大小关系，由此构造方程或不等式来求解. 【变式3-1】.（多选）（24-25高三上·江西吉安·期末）若方程有三个实根，则b的可能取值为（    ） A．-1 B． C．0 D． 【答案】BD 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】问题转换成由三个零点，求导确定函数单调性，求得极值，通过极值构造不等式求解即可； 【详解】由题意可设函数，由题意可转化为有三个零点，且， 由，可得或，由，可得， 所以在单调递增，在单调递减； ∴在处取到极大值，在处取到极小值， 若有三个零点，则解得， 结合选项只有BD符合； 故选：BD 【变式3-2】.（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求实数和的值； (2)若函数无零点，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求出函数的导函数，由求出，再由求出； （2）令可得，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最大值，依题意与无交点，即可求出参数的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 又，则， 又曲线在点处的切线方程为， 所以，解得. （2）令，即， 令，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，且当时， 依题意与无交点，所以， 所以要使函数无零点，则的取值范围为. 【变式3-3】.（2024·江西吉安·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有2个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）利用导数的意义求切线的斜率，再代入求出，然后由点斜式求出直线方程即可； （2）求导后分大于零和小于等于零讨论，分析函数的单调性，求出极小值小于零时的取值范围即可； 【详解】（1）当时，，所以， 所以，因为， 所以曲线在处的切线方程为， 即. （2），若在上单调递增，不满足题意， 若，令得， 在上单调递减，在上单调递增， 且当和时，， 故，解得， 即的取值范围是. 【变式3-4】.（23-24高二上·江西南昌·期末）已知函数（） (1)求的单调区间； (2)当有3个零点时，求的取值范围． 【答案】(1)增区间，，减区间 (2) 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）直接根据导数与单调性的关系即可得结果； （2）首先求出函数的极值，根据题意得到，再解不等式组即可. 【详解】（1）因为， 令，得或1； 令，得或； 令，得， 所以的增区间为，，减区间为. （2）由（1）易得的极大值为，极小值为 因为有3个零点，所以，解得. 即的取值范围为. 【考点题型四】数形结合法研究函数的零点（方程的根）（） 【例4】（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知. (1)求的极值； (2)画出函数的大致图象；（注意：需要说明函数图象的变化趋势） (3)若函数至多有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)答案见解析 (3) 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、利用导数研究函数图象及性质 【分析】（1）根据题意，求得，进而得到函数的单调区间和极值； （2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增，结合函数的变化趋势，得出函数的图象； 令，可得；令，可得， （2）令，根据题意，转化为的图像与直线至多有一个交点，结合图象，即可求解. 【详解】（1）由函数，可得其定义域为，且， 令，可得 列表如下： 2 - - 0 + 极小值 由上表知，在上单调递减，在上单调递增， 故当时，取极小值，无极大值. （2）由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增， 令，可得；令，可得， 当时，；当时，； 当时，，由指数爆炸增长得，； 当时，； 结合（1）可画出函数的大致图象如图所示；    （3）令，可得， 则函数至多有一个零点等价于函数的图象与直线至多有一个交点， 结合（1）（2）知，当时，即时，函数的图象与直线至多有一个交点，即函数至多有一个零点时，所以， 即实数的取值范围为. 【变式4-1】.（24-25高三下·江西赣州·阶段练习）曲线关于直线对称的曲线为，若与的图象有且只有一个公共点，则a的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】函数对称性的应用、根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】利用相关点法求出对称函数，再把两图象有一个公共点问题转化为方程问题，然后利用分离参变思想，又转化为一个函数是一条动直线的交点问题，从而可求出参数的范围. 【详解】 设点为上任一点，则其关于直线的对称点为，且在函数上，所以， 指对数转化可得，所以， 又因为与函数只有一个公共点， 所以方程有且只有一个解， 当时，显然不成立； 所以当时，则有，记， 则， 由当时，有，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，有，所以在上单调递减， 当时，；当时，；当时，；当时，，且，则作出的图象如图所示， 由数形结合易知：要满足直线与函数图象有一个交点， 则a的取值范围为． 故答案为：． 【变式4-2】.（24-25高三上·广东·阶段练习）已知若函数有两个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究函数的零点、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】函数有两个零点等价于的图象有两个交点，对每段函数分别求导，求出函数的单调区间，再求出每一段上的最大值，进而画出函数的图象，即可求出m的取值范围. 【详解】当时，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，. 当时，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，. 画出函数的图象，如图所示： 函数有两个零点等价于的图象有两个交点，， 由图可知或. 所以m的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 【变式4-3】.（2024·四川德阳·一模）若关于的方程有且仅有两个实根，则实数的取值范围为 【答案】 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数研究方程的根 【分析】分类讨论，当时，方程即有且仅有两个实根，利用导函数画出的大致图象，转化为交点问题，当时，令，利用导函数求的单调性，转化为最值问题. 【详解】定义域为， 当时，方程仅有一解； 当时，方程即有且仅有两个实根， 令，则，， 令解得， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又，可得函数的大致图象如图所示， 所以有且仅有两个实根时，； 当时，令， 则有且仅有两个实根， 因为当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以要使有且仅有两个实根，则，解得， 综上实数的取值范围为. 故答案为： 【变式4-4】.（24-25高三上·河南·阶段练习）已知曲线上有不同的两点和，若点关于直线的对称点在曲线上，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】由曲线与关于直线对称，将问题转化为曲线与有个交点，即方程有个不同的实根，进而转化为和有两个交点，利用导数求函数的大致图象，结合图象即可求解. 【详解】曲线与关于直线对称， 又点关于直线的对称点在曲线上， 曲线与有个交点，即有个不同的实根，即方程有个不同的实根， 设函数，则， 当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递增， ，再根据当时，，当时，， 作出的大致图象，如图， 由于直线过定点，当直线与的图象相切时，设切点为，此时， 即，可得，此时切线的斜率为， 由图可知，时，直线与的图象有个交点， 实数的取值范围为， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 【考点题型五】导数中新定义题（） 【例5】（24-25高三下·江西·开学考试）定义：若函数与在公共定义域内存在使得，则称与为“契合函数”． (1)判断函数和是否为“契合函数”； (2)若函数和不为“契合西数”，求的取值范围； (3)若函数和在区间上为“契合函数”，求的取值范围． 【答案】(1)与为“契合函数” (2) (3) 【知识点】利用导数研究函数的零点、函数新定义、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用“契合函数”的定义直接求解即可； （2）构造函数，由于与不为“契合函数，则可将原问题转化为在上无零点，结合导数知识以及参变分离的思想分在上恒成立与若在上恒成立两种情况进行讨论即可求得a的取值范围； （3）令，结合“契合函数”的定义，将原问题转化为在上存在零点，利用导数知识即可求得m的取值范围. 【详解】（1）根据定义，若与为“契合函数”，则在公共定义域内有解． 又， 所以，即，解得， 所以与为“契合函数”． （2）令， 因为与不为“契合函数，又为上的连续函数， 所以在上无零点，即恒为负或恒为正． 若在上恒成立，取，则，即， 又当时，， 令，所以， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，与假设矛盾， 所以不存在使得在上恒成立． 若在上恒成立，即， 令，所以， 又在上单调递减，， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，即的取值范围是． （3）令，则， 因为与在上为“契合函数”，所以在上存在零点， 即在上存在零点．又因为， 当且时，因为，所以，所以在上单调递增，则， 此时在上不存在零点，不满足题意； 当时，当时，，所以， 当时，令，则， 所以在上单调递增，且，故在上存在唯一零点，设为，使得， 所以当时，；当时，； 又当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在上存在唯一极小值点， 因为，所以，又因为，所以在上存在唯一零点， 所以函数与在上为“契合函数”． 综上，的取值范围是． 【点睛】对于函数新定义问题，重要的是读懂定义.不等式恒成立求参数的问题，一般情况下会优先考虑参变分离，参变分离无法求解时才会考虑含参讨论的方法，最重要的是熟记导数的方法研究函数单调性，最值等. 【变式5-1】.（2025·江西·一模）设是定义在上的函数，若对于任意的，存在，均有，则称为“函数”． (1)若函数，证明：不是“函数”． (2)若函数，证明：是“函数”． (3)对于区间，定义，已知，且为“函数”，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】利用导数研究函数的零点、函数新定义、用导数判断或证明已知函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）不妨假设是“函数”，得出，通过取特殊值时，判断出不等式不成立，得出假设不成立即可判断； （2），求导后，进一步令，利用导数研究单调性，并且结合零点存在定理解决隐零点问题，进一步判断出原函数的单调性求解； （3）根据是“函数”，得出在区间上也满足题目给定的不等式的条件，利用导数研究函数的单调性，从而进一步求出的取值范围，最后再利用作差法比较两者的大小． 【详解】（1）假设是“函数”，则， 即在上恒成立． 因为， 所以假设不成立，即不是“函数”． （2）令，， 则． 令，，则在上恒成立，即在上单调递减． 因为，，所以，， 则当时，，单调递增，当时，，单调递减． 由，可得在上恒成立， 故是“函数”． （3）由为“函数”，可得， 即． 令，， 则． 由，且，可得． 令，， 则在上恒成立，则在上单调递增． 由，可得， 则，即． 【点睛】关键点睛：本题不仅验证了函数和是否满足给定条件，还进一步探讨了区间长度的比较，理解函数的凸凹性及其在不同区间的表现是关键的，解题时，应先明确题干信息中函数的性质，再根据性质和条件进行验证． 【变式5-2】.（2024·江西新余·模拟预测）在分析学中，我们给出了函数极限的两个性质：①保号性：若，则存在（足够小）使在区间恒有；若，则存在（足够大），当时恒有；（）同理；②保不等式性：若，则，其中与可以是无穷.注意：可以是一个常数，也可以是.已知函数的导函数为. (1)设为在处的切线，求出的方程并证明的图像恒在曲线的下方. (2)令，求证：对，恒有两个零点. 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】利用导数证明不等式、利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）二阶求导，即可根据点斜式求解切线方程，构造函数，求导即可根据单调性求解， （2）根据（1）知，故，构造函数，求导，判断函数单调性，结合保号性即可求证. 【详解】（1），记则， ， 下试证：，即证：令：，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减. ，故：，即：得证. （2）， ， 当时： 当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，当时， 由（1）知，故， 由函数的保不等式性：，故： 故 下试证：，在时，，故， 记， 当时，，单调递减， 单调递增， 当时，，故：. 由极限的保号性：使在内，则使；同理，，使 有两个零点. 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 【变式5-3】.（23-24高三上·江西鹰潭·期中）对于函数，若实数满足，其中F、D为非零实数，则称为函数的“笃志点”. (1)若，求函数的“笃志点”； (2)已知函数，且函数有且只有3个“笃志点”，求实数a的取值范围； 【答案】(1)或0 (2) 【知识点】利用导数研究函数的零点、函数新定义、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据所给定义列方程求解即可； （2）分，，三种情况讨论.当时，参变分离，构造函数，利用导数讨论可得.当时，根据二次函数性质讨论可得. 【详解】（1）由题意得， 解得或，函数的“笃志点”为0或. （2）由题意得有三个不相等的实数根， 当时，，故，即， 解得，不合题意，舍去；. 当时，，故，故， 令，， 则在上恒成立， 故在上单调递增， 所以， 所以当时，在有1个“笃志点”，     . 当时，，故，故， 由于至多有两个根， 结合前面分析，a的取值范围为的子集， 令，其中， ， 当时，， 且的对称轴为， 故在上有两个不相等的实数根， 综上，函数有且只有3个“笃志点”，则实数a的取值范围为. 【点睛】本题难点在于对新概念的理解，以及正确分类讨论.当时，采用参变分离，构造函数，利用导数讨论其单调性，然后可得笃志点个数；当时，根据二次函数性质讨论即可. 提升训练 一、单选题 1．（22-23高三下·江西·阶段练习）若函数有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数研究函数的零点、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】通过导数求解函数的单调区间，得到其最小值，令最小值小于等于零进行求解即可. 【详解】已知函数，则，， 当时，；当时，. 在区间上单调递减；在区间上单调递增. 所以，则，又， 所以. 故选：C. 2．（2010·重庆·一模）已知为R上的可导函数，当时，，若，则函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 【答案】A 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】构造函数，讨论、或，利用导数判断函数的单调性，从而求出的最值，进而得出的零点个数. 【详解】构造函数，其中，则， 当时，. 当时，， 此时，函数单调递减，则； 当时，， 此时，函数单调递增，则. 所以，当时，； 当时，. 综上所述，函数的零点个数为0. 故选：A. 3．（23-24高三上·北京东城·期中）已知函数与，则它们的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 【答案】B 【知识点】求函数零点或方程根的个数、利用导数研究函数的零点 【分析】令，判断的单调性并计算的极值，根据极值与0的大小关系判断的零点个数，得出答案. 【详解】解：令，则. ∴当时，，当时，. ∴当时，取得最大值. ∴只有一个零点，即与的图象只有1个交点， 故选：B. 4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】结合函数极值点与导数零点的关系，结合零点存在定理列出不等式组即可求解. 【详解】已知，由题意知在内有变号零点， 显然在单调递增， 故原条件等价于，解得， 故实数a的取值范围是. 故选：C. 5．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知有4个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、利用导数研究函数的零点 【分析】通过换元，得到，结合的图像，问题转换成二次函数必有两个零点，一个零点在内，一个零点在内，进而可求解； 【详解】令， 研究，当时，易知函数单调递增； 当时，， 当时，， 则， 当时，，当时，， 此时在单调递增，在单调递减； 当时，得到最大值， 画出草图： 由图像可知，要使得有4个零点， 则必有两个零点，一个零点在内，一个零点在内， 由二次函数零点分布可得：， 解得：， 所以实数的取值范围为， 故选：C 6．（24-25高二上·河北保定·期末）已知函数，若方程在上有且仅有一个实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】将方程有且仅有一个实数根转化为两个函数和只有一个交点的问题，然后通过求在处的切线斜率，结合函数图象来确定的取值范围. 【详解】已知在上有且仅有一个实数根，可化为. 方程有且仅有一个实数根，等价于函数和的图象在上只有一个交点. . 将代入到导数中，可得，即在处的切线的斜率为. 直线恒过原点. 为了使和在上只有一个交点，结合函数图象可知，当直线的斜率满足或时满足条件. 解不等式，可得；解不等式，可得. 所以的取值范围是.     故选：A. 7．（24-25高三下·全国·开学考试）已知函数恰有一个零点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】通过特殊值判断出唯一零点为，同时存在极小值点，令恰为极小值点，即可求解. 【详解】通过代入特殊值可得，所以必然是的唯一零点； ，令，，故有两个不相等的实数根，令，根据韦达定理，可以判断出； 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，故是的极小值点； 当时，，当时，，故如果恰有一个零点，必然是在极小值点取到零点，故； ，此时恰有一个零点. 故选：C. 8．（24-25高一上·湖北随州·期末）已知函数，若函数恰有3个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】利用导数研究函数单调性，作出函数的图象，结合图象即可得解. 【详解】依题意可得，的图象与直线有3个公共点， 因为函数 所以 当或时，；当或时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 故的极小值为，极大值为. 作出的大致图象，如图所示. 由图可知，实数m的取值范围是. 故选：A. 二、多选题 9．（2025高三·全国·专题练习）函数的零点个数可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】BC 【知识点】利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据函数零点个数的问题等价于两个函数交点个数的问题，将化简得到两个函数.讨论两个函数的性质，并作出两个函数图像，即可得解. 【详解】由，，得， 求函数的零点个数等价于求函数和的图像的交点个数. 函数的导函数，当时；当时. 所以函数在上单调递增，在单调递减. 时有最大值，时， 时，，. 过定点的直线，与函数的图像的交点数为1个或2个，如图所示. 所以函数的零点个数为1个或2个. 故选：BC. 三、填空题 10．（24-25高二下·福建福州·阶段练习）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】直接求导得，再设新函数，讨论和的情况，求出函数的极值点，则由题转化为，解出即可. 【详解】因为，，令， 函数有两个极值点，则在区间上有两个不等实数根， 又， 当时，，则函数在区间单调递增， 因此在区间上不可能有两个实数根，舍去， 当时，令，解得， 令，解得，此时函数在单调递增， 令，解得，此时函数在单调递减， 当时，函数取得极大值， 当趋近于0与趋近于时，，要使在区间上有两个实数根， 则，解得， 实数的取值范围是． 故答案为：. 11．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数，若函数与的图象有且仅有三个交点，则实数的取值范围是 . 【答案】. 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据分段函数自变量不同取值范围上的函数解析式，分别构造函数，由函数与方程的关系，等价转化为函数求零点与一元二次方程求解问题，可得答案. 【详解】当时，则，令， 求导可得，令，解得，可得下表： 单调递增 极大值 单调递减 由函数的极大值为，则存在唯一零点， 所以函数与函数在上有且仅有一个交点； 当时，，令， 求导可得，显然上， 则函数在上单调递减， 当时，，当时，， 由，则函数在上存在唯一零点， 所以函数与函数在上有且仅有一个交点； 由题意可得函数与函数在上有且仅有一个交点， 当时，，令， 令，整理可得， 当方程有两个相等的实数解时，，解得， 此时，符合题意， 当方程在有一个实数根时，可得，解得， 综上可得. 故答案为：. 四、解答题 12．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数． (1)当时，求的极小值； (2)若函数有2个零点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）把代入，利用导数求出极小值. （2）求出，由函数零点的定义分离参数，构造函数并利用导数求出最小值即可求解. 【详解】（1）当时，函数定义域为，求导得， 当时，；当时，，函数在上递增，在上递减， 所以当时，取得极小值. （2）依题意，函数的定义域为， 由，得，令函数， 求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 则当，即时，直线与函数的图象有两个交点，即有两个零点， 所以的取值范围是. 13．（2025·辽宁·一模）已知函数． (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)证明：函数在上有两个零点． 【答案】(1)在单调递增，在单调递减． (2)证明见解析 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求导，即可根据导数的正负求解， （2）根据三角函数的性质，结合导数即可求解函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）由函数，可得， 当时，令，可得， 故当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以在单调递增，在单调递减． （2）， 则， 当时，故，此时在单调递增， 当时，记，则， 由于，则故，因此在单调递减，由于，故存在唯一的使得， 当单调递增，当单调递减， 综上知：在单调递增，在单调递减， 且， 因此在上有两个零点. 14．（2025·四川广安·二模）已知函数（为常数）. (1)若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (2)是否存在实数，使得有3个零点？若存在，求实数的范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究函数的零点、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】（1）结合导数的几何意义求出曲线在处的切线方程，再利用切线在两坐标轴上的截距相等即可求解； （2）由函数零点与方程根的关系可将问题转化为方程有三个解，进一步转化为直线与函数的图象有3个交点.对求导，研究其单调性、极值与图象变化趋势，数形结合即可求解. 【详解】（1）因为，所以， ，， 所以曲线在处的切线为 ，即. 令，则， 若，则，则切点为，切线为，不合题意； 若，则；令，则. 又切线在两坐标轴上的截距相等，即， 故. （2）若函数有3个零点，等价于方程有三个解. 其中时，显然不是方程的根， 当时，转化为与的图象有3个交点. 又由， 令，解得或；令，解得， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数取得极小值，极小值为. 又由时，；当时，且；当时，， 故函数的大致图象如下图所示： 所以，即实数的取值范围为. 15．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知函数． (1)求的极值； (2)若，讨论的零点个数． 【答案】(1)极大值，极小值； (2)当或时，函数有1个零点；当或时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点. 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）根据题意求函数的导函数，利用单调性求极值即可； （2）将函数零点转化成函数图象的交点，设新函数，求导分析单调性和极值，得到函数图象，分类讨论在不同取值范围时交点的个数，即所求零点个数. 【详解】（1）由题意，，则. 所以，当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以在处取得极大值，在处取得极小值. （2）由题意，， 令，则. 设，则 所以，当时，，单调递增； 当或时，，单调递减. 所以，在处取得极小值，在处取得极大值. 如图，    所以，当或时，函数有1个零点； 当或时，函数有2个零点； 当时，函数有3个零点. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 第二章 导数与函数的零点 （2个考点梳理+5题型解读+提升训练） 清单01 函数的零点 （1）函数零点的定义：对于函数，把使的实数叫做函数的零点． （2）三个等价关系 方程有实数根函数的图象与轴有交点的横坐标函数有零点． 清单02 函数零点判断 如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内有零点，即存在，使得，这个也就是的根．我们把这一结论称为函数零点存在性定理． 注意：单调性+存在零点=唯一零点 【考点题型一】讨论函数零点（方程的根）的个数（） 【例1】（2024·江西·模拟预测）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：是周期函数； (3)判断在上的零点个数，并说明理由. 【变式1-1】.（24-25高三上·江西上饶·期中）已知函数. (1)若的图象在处的切线方程为，求的值； (2)若，证明：； (3)讨论的零点的个数. 【变式1-2】.（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）函数的导函数为，函数的导函数是，已知函数. (1)若，求的值和函数的单调区间； (2)若，讨论的零点个数. 【变式1-3】.（2024高三下·江西新余·专题练习）已知函数，，. (1)证明：存在直线与的图象相切且有无穷多个切点. (2)当时，设的极大值点从小到大依次为，记，求证：数列为减数列. (3)判断在上的零点个数. 【变式1-4】（2024·江西·模拟预测）已知函数. (1)求函数的最小值； (2)若，求函数的零点个数. 【考点题型二】证明函数零点（方程的根）的唯一性（） 【例2】（23-24高三下·安徽亳州·开学考试）设函数，其中，． (1)若，且在区间单调递减，在区间单调递增，求t的最小值； (2)证明：对任意正数a，b，仅存在唯一零点． 【变式2-1】.（2024·全国·三模）已知函数，是的导函数，且． (1)求实数的值，并证明函数在处取得极值； (2)证明在每一个区间都有唯一零点． 【变式2-2】.（23-24高三·河南洛阳·阶段练习）已知函数． （1）当时，求函数的极值； （2）当时，证明：在上存在唯一零点． 【变式2-3】.（23-24高二上·陕西汉中·阶段练习）已知函数，其中. （Ⅰ）若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值； （Ⅱ）讨论函数的单调性； （III）若存在极值，证明有唯一零点. 【考点题型三】利用极值（最值）研究函数的零点（方程的根）（） 【例3】（23-24高三下·江西赣州·阶段练习）已知函数． (1)当时，若的最小值为，求实数的值； (2)若存在，使得函数恰有一个零点，求实数的取值范围． 【变式3-1】.（多选）（24-25高三上·江西吉安·期末）若方程有三个实根，则b的可能取值为（    ） A．-1 B． C．0 D． 【变式3-2】.（24-25高三上·河北邢台·开学考试）已知函数. (1)若曲线在点处的切线方程为，求实数和的值； (2)若函数无零点，求的取值范围. 【变式3-3】.（2024·江西吉安·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有2个零点，求的取值范围. 【变式3-4】.（23-24高二上·江西南昌·期末）已知函数（） (1)求的单调区间； (2)当有3个零点时，求的取值范围． 【考点题型四】数形结合法研究函数的零点（方程的根）（） 【例4】（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知. (1)求的极值； (2)画出函数的大致图象；（注意：需要说明函数图象的变化趋势） (3)若函数至多有一个零点，求实数的取值范围. 【变式4-1】.（24-25高三下·江西赣州·阶段练习）曲线关于直线对称的曲线为，若与的图象有且只有一个公共点，则a的取值范围为 ． 【变式4-2】.（24-25高三上·广东·阶段练习）已知若函数有两个零点，则的取值范围为 ． 【变式4-3】.（2024·四川德阳·一模）若关于的方程有且仅有两个实根，则实数的取值范围为 【变式4-4】.（24-25高三上·河南·阶段练习）已知曲线上有不同的两点和，若点关于直线的对称点在曲线上，则实数的取值范围为 . 【考点题型五】导数中新定义题（） 【例5】（24-25高三下·江西·开学考试）定义：若函数与在公共定义域内存在使得，则称与为“契合函数”． (1)判断函数和是否为“契合函数”； (2)若函数和不为“契合西数”，求的取值范围； (3)若函数和在区间上为“契合函数”，求的取值范围． 【变式5-1】.（2025·江西·一模）设是定义在上的函数，若对于任意的，存在，均有，则称为“函数”． (1)若函数，证明：不是“函数”． (2)若函数，证明：是“函数”． (3)对于区间，定义，已知，且为“函数”，证明：． 【变式5-2】.（2024·江西新余·模拟预测）在分析学中，我们给出了函数极限的两个性质：①保号性：若，则存在（足够小）使在区间恒有；若，则存在（足够大），当时恒有；（）同理；②保不等式性：若，则，其中与可以是无穷.注意：可以是一个常数，也可以是.已知函数的导函数为. (1)设为在处的切线，求出的方程并证明的图像恒在曲线的下方. (2)令，求证：对，恒有两个零点. 【变式5-3】.（23-24高三上·江西鹰潭·期中）对于函数，若实数满足，其中F、D为非零实数，则称为函数的“笃志点”. (1)若，求函数的“笃志点”； (2)已知函数，且函数有且只有3个“笃志点”，求实数a的取值范围； 提升训练 一、单选题 1．（22-23高三下·江西·阶段练习）若函数有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2010·重庆·一模）已知为R上的可导函数，当时，，若，则函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 3．（23-24高三上·北京东城·期中）已知函数与，则它们的图象交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不确定 4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·湖南·阶段练习）已知有4个零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·河北保定·期末）已知函数，若方程在上有且仅有一个实数根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三下·全国·开学考试）已知函数恰有一个零点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．（24-25高一上·湖北随州·期末）已知函数，若函数恰有3个零点，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2025高三·全国·专题练习）函数的零点个数可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 三、填空题 10．（24-25高二下·福建福州·阶段练习）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是 ． 11．（2025·湖南岳阳·一模）已知函数，若函数与的图象有且仅有三个交点，则实数的取值范围是 . 四、解答题 12．（2025·河北秦皇岛·一模）已知函数． (1)当时，求的极小值； (2)若函数有2个零点，求的取值范围． 13．（2025·辽宁·一模）已知函数． (1)讨论函数在区间上的单调性； (2)证明：函数在上有两个零点． 14．（2025·四川广安·二模）已知函数（为常数）. (1)若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等，求的值； (2)是否存在实数，使得有3个零点？若存在，求实数的范围；若不存在，请说明理由. 15．（24-25高二下·安徽铜陵·阶段练习）已知函数． (1)求的极值； (2)若，讨论的零点个数． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$