专题03 第二章 导数的概念意义及运算（考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读）高二数学下学期北师大版

清单03 第二章 导数的概念意义及运算 （4个考点梳理+10题型解读+提升训练） 清单01 函数的平均变化率 定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为 清单02 函数在处的导数（瞬时变化率） 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作. 清单03 导数的几何意义 如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率 清单04 曲线的切线问题 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【考点题型一】求平均变化率（） 【例1】（23-24高二下·江西抚州·期中）函数在上的平均变化率等于（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】.（23-24高三上·江西南昌·开学考试）若函数，，则函数在上平均变化率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】.（23-24高二下·江西·阶段练习）已知函数，当自变量由1变到1.1时，的平均变化率为（    ） A．1 B．1.1 C．2 D．2.1 【变式1-3】.（23-24高二下·江西·期中）某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y与时间t的函数图象如图.记该车在时间段，，，上的平均速度的大小分别为，，，，则平均速度最小的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（23-24高二下·江西·期中）函数在区间上的平均变化率为 . 【考点题型二】求瞬时变化率（） 【例2】（23-24高二下·江西·期中）某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则该质点的瞬时速度的最小值为 ． 【变式2-1】.23-24高二下·江西南昌·期末）某物体走过的路程 (单位： ) 与时间 (单位： ) 的函数关系为 ，则该物体在 时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】.（23-24高二下·江西·期末）一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系式为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】.（23-24高二下·江西·阶段练习）某木块的位移与时间之间的函数关系式为，则时，此木块的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【变式2-4】.（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）一个小球从的高处下落，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则时小球的瞬时速度（单位：）为（   ） A． B． C． D． 【考点题型三】导数概念中极限的简单计算（） 【例3】（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）设是的导函数，且，则 . 【变式3-1】.（23-24高二下·江西抚州·期末）已知函数，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】.（23-24高二下·江西景德镇·期末）设函数，则（    ） A． B．2 C． D．1 【变式3-3】.（23-24高二下·江西吉安·期末）已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【变式3-4】.（23-24高二下·江西南昌·期中）已知，则 . 【考点题型四】求在某一点出切线（） 【例4】（24-25高三上·江西新余·阶段练习）曲线在点处的切线方程为 . 【变式4-1】.（2025·江西·二模）已知函数，则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】.（22-23高三上·江西赣州·阶段练习）已知，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】.（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】.（23-24高三下·江西·阶段练习）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【考点题型五】求过某一点处切线（） 【例5】（23-24高二下·江西·期中）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)求过点且与曲线相切的切线方程． 【变式5-1】.（2024·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】.（24-25高三上·江西吉安·期末）过点作曲线的切线的斜率为 ． 【变式5-3】.（2023·江西·模拟预测）已知过原点的直线与曲线相切，则该直线的方程是 ． 【变式5-4】.（23-24高二下·江西·阶段练习）已知曲线在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求曲线过点的切线方程. 【考点题型六】已知切线求参数（） 【例6】（23-24高一下·云南曲靖·期中）若曲线在点处的切线方程是，则 ． 【变式6-1】.（23-24高二下·江西·阶段练习）已知函数是奇函数，当时，，若的图象在处的切线方程为，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式6-2】.（23-24高二下·江西·阶段练习）已知函数在点处的切线在轴上的截距等于，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式6-3】.（23-24高二下·江西抚州·期末）若直线与曲线相切，则 . 【考点题型七】已知某点处的导数值求参数 【例7】（24-25高二上·河南安阳·期末）已知函数，若，则（    ） A．e B． C．1 D． 【变式7-1】.（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习），若，则等于（    ） A． B．1 C． D． 【变式7-2】.（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）已知，若，则（      ） A． B． C． D． 【变式7-3】.（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）已知函数（且），若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【变式7-4】.（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【考点题型八】导数的加减乘除，复合运算（） 【例8】（24-25高二下·陕西铜川·阶段练习）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】.（2025高三下·全国·专题练习）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】.（多选）（24-25高二下·广东茂名·阶段练习）下列函数求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】.（多选）（24-25高二下·安徽蚌埠·阶段练习）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-4】.（多选）（24-25高二下·重庆·阶段练习）下列求导数运算正确的有（   ） A． B． C． D． 【考点题型九】已知切线的条数求参数（） 【例9】（24-25高二下·上海·阶段练习）从点可向曲线引三条不同切线，则t的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【变式9-1】.（24-25高三下·上海青浦·阶段练习）若直线上点P可以作曲线的两条切线，则点P横坐标的取值范围是 . 【变式9-2】.（24-25高二下·山东·阶段练习）过可作的2条切线，那么的取值范围为 ． 【变式9-3】.（24-25高三上·安徽芜湖·期末）若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是 ． 【考点题型十】公切线问题（） 【例10】（24-25高二下·广东惠州·阶段练习）若直线是曲线与曲线的公切线，则 ． 【变式10-1】.（24-25高二下·福建·阶段练习）函数与函数公切线的斜率为（        ） A．或 B． C．或 D．或 【变式10-2】.（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数（    ） A． B． C． D． 【变式10-3】.（24-25高三上·河北石家庄·期末）若函数与在公共点处存在公共的切线，则 ． 【变式10-4】（2025高三·全国·专题练习）若直线是曲线与的公切线，则 ． 提升训练 一、单选题 1．（21-22高二下·江西赣州·期中）若函数在区间上的平均变化率为5，则（   ） A． B．2 C．3 D．1 2．（24-25高三上·江西·阶段练习）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）如图1，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（    ）      A． B． C． D． 4．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知函数，则（    ） A．11520 B．23040 C．11520 D．23040 5．（2025·江西新余·模拟预测）过轴上一点可以作函数图像的3条切线，则的取值范围是：（    ）. A． B． C． D． 6．（2025·江西·一模）已知函数的图象在处的切线过原点，则所在的区间是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·江西·开学考试）曲线的切线与坐标轴围成的三角形面积的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 8．（23-24高二下·江西景德镇·期末）将函数的图象绕原点逆时针旋转角，得到曲线.若曲线始终为函数图象，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 二、多选题 9．（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）已知函数，则当自变量从变为时，下列结论正确的是（    ） A．函数值减少了6 B．函数的平均变化率为2 C．函数在处的瞬时变化率为 D．函数值先变大后变小 10．（22-23高二下·江西·阶段练习）已知函数的导函数的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A．在上单调递增 B．曲线在处的切线的斜率为0 C．有1个极大值点 D．有2个极小值点 三、填空题 11．（24-25高三下·江西赣州·开学考试）已知直线与曲线在点处的切线垂直，则直线的斜率为 . 12．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）与曲线和都相切的直线l的方程为 . 四、解答题 13．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数. (1)证明：在定义域内单调递增； (2)求在处的切线与坐标轴围成区域的面积. 14．（23-24高三上·江西赣州·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间. 15．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）（1）已知f(x)在处的导数，求 的值； （2）已知曲线，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 第二章 导数的概念意义及运算 （4个考点梳理+10题型解读+提升训练） 清单01 函数的平均变化率 定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为 清单02 函数在处的导数（瞬时变化率） 定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作. 清单03 导数的几何意义 如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率 清单04 曲线的切线问题 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 【考点题型一】求平均变化率（） 【例1】（23-24高二下·江西抚州·期中）函数在上的平均变化率等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求某点处的导数值、简单复合函数的导数、平均变化率 【分析】首先求平均变化率，再根据导数公式，即可求解. 【详解】在[1，2]上的平均变化率为， . 故选：D 【变式1-1】.（23-24高三上·江西南昌·开学考试）若函数，，则函数在上平均变化率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】斜率公式的应用、求曲线切线的斜率（倾斜角）、平均变化率 【分析】利用定义得到在上平均变化率为，令，，根据几何意义可看做图象上任一点与点连线的斜率，数形结合，以及切线的几何意义求出变化率的取值范围. 【详解】当，时， 在上平均变化率为， 令，， 可看做图象上任一点与点连线的斜率， 即， 当点从点运动到点，斜率逐渐减小，点重合时，   表示函数在点处的切线的斜率， ， 所以， 当点位于点时，点连线的斜率最大， ， 故. 故选：B 【点睛】求解分式型函数的值域问题，可从斜率角度进行考虑，数形结合进行求解. 【变式1-2】.（23-24高二下·江西·阶段练习）已知函数，当自变量由1变到1.1时，的平均变化率为（    ） A．1 B．1.1 C．2 D．2.1 【答案】D 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均变化率的意义直接计算可得答案. 【详解】由题意得，故， 故， 即当自变量由1变到1.1时，的平均变化率为2.1， 故选：D 【变式1-3】.（23-24高二下·江西·期中）某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y与时间t的函数图象如图.记该车在时间段，，，上的平均速度的大小分别为，，，，则平均速度最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知两点求斜率、平均变化率 【分析】根据平均速度的定义和两点求斜率公式，可得平均速度为经过两点所对应直线的斜率，结合图形即可求解. 【详解】由题意知，汽车在时间的平均速度大小分别为， 设路程y与时间t的函数关系为， 则，即为经过点的直线的斜率， 同理为经过点的直线的斜率， 为经过点的直线的斜率， 为经过点的直线的斜率，如图， 由图可知，最小，即最小. 故选：C. 【变式1-4】（23-24高二下·江西·期中）函数在区间上的平均变化率为 . 【答案】   【知识点】平均变化率 【分析】根据平均变化率的公式进行求解即可. 【详解】解：函数在区间上的平均变化率为. 故答案为： 【考点题型二】求瞬时变化率（） 【例2】（23-24高二下·江西·期中）某质点的位移（单位：）与时间（单位：）满足函数关系式，则该质点的瞬时速度的最小值为 ． 【答案】2 【知识点】求某点处的导数值、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】理解质点的瞬时速度即位移的导数，运用导函数的特征，求其最小值即得. 【详解】由求导得， ， 因，则当，即，即时，取得最小值2， 故该质点的瞬时速度的最小值为． 故答案为：2. 【变式2-1】.23-24高二下·江西南昌·期末）某物体走过的路程 (单位： ) 与时间 (单位： ) 的函数关系为 ，则该物体在 时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求某点处的导数值、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】利用导数的意义就是瞬时速度，所以求导即可得出结果. 【详解】由可得：， 当时，， 所以该物体在 时的瞬时速度为， 故选：A. 【变式2-2】.（23-24高二下·江西·期末）一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系式为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】简单复合函数的导数、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】利用导数的几何意义求解. 【详解】解：， 时，此木块在水平方向的瞬时速度为. 故选：C. 【变式2-3】.（23-24高二下·江西·阶段练习）某木块的位移与时间之间的函数关系式为，则时，此木块的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】导数的运算法则、瞬时变化率的概念及辨析、求某点处的导数值、简单复合函数的导数 【分析】求出函数的导函数，再代入计算可得. 【详解】因为，所以，则， 所以时，此木块的时速度为. 故选：C 【变式2-4】.（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）一个小球从的高处下落，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则时小球的瞬时速度（单位：）为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、求某点处的导数值、基本初等函数的导数公式 【分析】求出函数的导数，根据导数的物理含义，即可求得答案. 【详解】由题意知位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为， 故，故时小球的瞬时速度为（）， 故选：A 【考点题型三】导数概念中极限的简单计算（） 【例3】（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）设是的导函数，且，则 . 【答案】18 【知识点】导数（导函数）概念辨析、导数定义中极限的简单计算 【分析】借助导数定义计算即可得. 【详解】由题意，得， 所以. 故答案为：18. 【变式3-1】.（23-24高二下·江西抚州·期末）已知函数，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】导数定义中极限的简单计算 【分析】利用极限的计算方法即可得解. 【详解】因为函数, 所以, 所以. 故选：A. 【点睛】 【变式3-2】.（23-24高二下·江西景德镇·期末）设函数，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【知识点】导数（导函数）概念辨析、求某点处的导数值、基本初等函数的导数公式、导数的加减法 【分析】先求出，再结合导数定义即可得解. 【详解】由题， 故由导数定义得. 故选：A. 【变式3-3】.（23-24高二下·江西吉安·期末）已知函数，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【知识点】利用定义求函数在一点处的导数（切线斜率）、求某点处的导数值、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】求出，再由导数定义可得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 【变式3-4】.（23-24高二下·江西南昌·期中）已知，则 . 【答案】 【知识点】导数定义中极限的简单计算、导数的运算法则、求某点处的导数值 【分析】求出函数的导数，利用导数的定义求解即得. 【详解】由，求导得， . 故答案为： 【考点题型四】求在某一点出切线（） 【例4】（24-25高三上·江西新余·阶段练习）曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】利用导数的几何意义求解切线斜率，代入点斜式方程即可求解. 【详解】因为，所以， 则曲线在点处的切线斜率， 所以切线方程为，化简得. 故答案为：. 【变式4-1】.（2025·江西·二模）已知函数，则在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求分段函数解析式或求函数的值、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】根据分段函数结合导数求出，再根据点斜式求出直线方程. 【详解】当时，， 当时，，则， 所以，， 则所求切线方程为，即. 故选：A 【变式4-2】.（22-23高三上·江西赣州·阶段练习）已知，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求过一点的切线方程、简单复合函数的导数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】先求导函数，再代入得出切线斜率，最后点斜式写出直线方程即可. 【详解】，∴． 又，∴所求切线方程为， 即． 故选:C． 【变式4-3】.（24-25高三上·江西·阶段练习）已知函数，则曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】导函数在处的函数值即为斜率，点斜式即可写出直线方程. 【详解】因为，所以，故，，所以曲线在处的切线方程为，即. 故选：D. 【变式4-4】.（23-24高三下·江西·阶段练习）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、简单复合函数的导数 【分析】先求导，根据导数的几何意义写出切线斜率，然后利用点斜式写出方程. 【详解】因为， 所以在点处的切线斜率为， 所以切线方程为，即. 故选：C. 【考点题型五】求过某一点处切线（） 【例5】（23-24高二下·江西·期中）已知函数． (1)求不等式的解集； (2)求过点且与曲线相切的切线方程． 【答案】(1) (2)或或 【知识点】求过一点的切线方程、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）求导，然后按照解一元二次不等式的方法进行计算即可 （2）先设出切点和方程，然后求导和构造方程，求出切点和斜率，即可得出方程 【详解】（1）， 由，得，解得， 则所求不等式的解集为． （2）因为，所以曲线在点处的切线方程为． 将点的坐标代入，并整理得， 解得或1或． 当时，切线方程为； 当时，切线方程为，即； 当时，切线方程为，即． 【变式5-1】.（2024·江西景德镇·一模）过点且与曲线相切的直线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求过一点的切线方程 【分析】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程. 【详解】，点不在曲线上， 设切点为，则， 解得：，得切点，则 切线方程为：， 故选：． 【变式5-2】.（24-25高三上·江西吉安·期末）过点作曲线的切线的斜率为 ． 【答案】2 【知识点】求过一点的切线方程 【分析】设切点坐标，由导数得几何意义求得切线方程，代入即可求解； 【详解】，设切点横坐标为， 故曲线在处的切线方程为l：， 将，代入，得， 解得，∴， 故答案为：2 【变式5-3】.（2023·江西·模拟预测）已知过原点的直线与曲线相切，则该直线的方程是 ． 【答案】 【知识点】基本初等函数的导数公式、求过一点的切线方程 【分析】根据题意，设出切点，然后求导，即可得到结果. 【详解】由题意可得， 设该切线方程，且与相切于点， ，整理得， ∴，可得，∴. 故答案为：. 【变式5-4】.（23-24高二下·江西·阶段练习）已知曲线在处的切线方程为. (1)求，的值； (2)求曲线过点的切线方程. 【答案】(1)，； (2)或. 【知识点】导数的运算法则、已知切线（斜率）求参数、求过一点的切线方程 【分析】（1）求出函数的导数，利用给定的切线及切点，结合导数的几何意义求解即得. （2）由（1）的结论，设出切点坐标，再建立方程求出切点坐标即得. 【详解】（1）依题意，，即，又， 所以，解得，所以. （2）由（1）知，，， 由，得不是切点，设切点为，显然， 则， 联立得，解得或，即或， 当时，，切线方程为， 当时，，切线方程为 所以曲线过点的切线方程为或. 【考点题型六】已知切线求参数（） 【例6】（23-24高一下·云南曲靖·期中）若曲线在点处的切线方程是，则 ． 【答案】2 【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的运算法则 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】函数的定义域为， 由曲线在点处的切线方程是得切线斜率为2，， 由得，所以，解得， 又，解得，所以. 故答案为：2. 【变式6-1】.（23-24高二下·江西·阶段练习）已知函数是奇函数，当时，，若的图象在处的切线方程为，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】导数的加减法、已知切线（斜率）求参数 【分析】由题意可得，，再根据函数为奇函数可得，，即可得解. 【详解】的图象在处的切线方程为， 则，， 当时，，， 因为是奇函数，图象关于原点对称， 的图象在处及处的切线也关于原点对称， 所以，， 即，所以，，． 故选：D. 【变式6-2】.（23-24高二下·江西·阶段练习）已知函数在点处的切线在轴上的截距等于，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【知识点】导数的加减法、导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知切线（斜率）求参数 【分析】利用导数的几何意义求出斜率，进而得到切线方程，结合题目所给的条件建立方程，求解参数即可. 【详解】易知，故， 可得切线的方程为， 即，由，解得， ，将代入中可得，解得， 故选：A. 【变式6-3】.（23-24高二下·江西抚州·期末）若直线与曲线相切，则 . 【答案】2 【知识点】简单复合函数的导数、已知切线（斜率）求参数 【分析】由函数的导数为3，求切点，根据切点在直线上，可求的值. 【详解】因为，所以. 由， 因为，所以切点坐标为， 因为点在直线上，所以. 故答案为：2 【考点题型七】已知某点处的导数值求参数 【例7】（24-25高二上·河南安阳·期末）已知函数，若，则（    ） A．e B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】简单复合函数的导数、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】求出，再由可得答案. 【详解】， 若，则， 解得. 故选：A. 【变式7-1】.（24-25高三上·甘肃天水·阶段练习），若，则等于（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【知识点】导数的乘除法、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】求函数的导函数，由条件列方程求. 【详解】由题意可得：， 若，即， 则，解得． 故选：B． 【变式7-2】.（23-24高二下·广东湛江·阶段练习）已知，若，则（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知某点处的导数值求参数或自变量、导数的运算法则 【分析】直接求导代入即可列方程求解. 【详解】因为，所以， 而，解得. 故选：B. 【变式7-3】.（23-24高二下·湖北孝感·阶段练习）已知函数（且），若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】基本初等函数的导数公式、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】求导，结合运算求解即可. 【详解】因为，则， 则，又因为且，解得． 故选：B． 【变式7-4】.（23-24高二下·四川内江·阶段练习）已知，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】基本初等函数的导数公式、已知某点处的导数值求参数或自变量 【分析】根据题意，求得，得出方程，即可求解. 【详解】由函数，可得，则， 因为，可得，解得. 故选：C. 【考点题型八】导数的加减乘除，复合运算（） 【例8】（24-25高二下·陕西铜川·阶段练习）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】利用求导的运算法则来计算即可. 【详解】因为为常数，所以，A错误； ，B错误； ，C错误； ，D正确. 故选：D. 【变式8-1】.（2025高三下·全国·专题练习）下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式 【分析】根据复合函数的导函数计算判断A，B，C，应用乘法求导运算判断D. 【详解】因为所以A选项错误； 因为，所以B选项错误； 因为，所以C选项错误； 因为，所以D选项正确. 故选：D. 【变式8-2】.（多选）（24-25高二下·广东茂名·阶段练习）下列函数求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】基本初等函数的导数公式、简单复合函数的导数、导数的加减法、导数的乘除法 【分析】利用基本初等函数的导数公式可判断A选项；利用导数的运算法则可判断BD选项；利用复合函数的求导法则可判断C选项. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 故选：ABC． 【变式8-3】.（多选）（24-25高二下·安徽蚌埠·阶段练习）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【知识点】导数的运算法则、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式、导数的乘除法 【分析】利用求导四则运算法则和简单复合函数求导法则计算，判断出四个选项. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C正确； D选项，，D正确. 故选：BCD 【变式8-4】.（多选）（24-25高二下·重庆·阶段练习）下列求导数运算正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】利用求导公式和求导的运算法则求解即可. 【详解】对选项A，，故A正确. 对选项B，，故B错误. 对选项C，，故C正确. 对选项D，，故D正确. 故选：ACD 【考点题型九】已知切线的条数求参数（） 【例9】（24-25高二下·上海·阶段练习）从点可向曲线引三条不同切线，则t的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数与方程的综合应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求已知函数的极值 【分析】设切点为，利用，列出方程，从而将问题转化成函数有3个不同零点，借助于求导判断单调性，求出极值，作出图象得到不等式，求解即得. 【详解】设切点为，其中由求导得， 则 ，依题意，方程有三个不同的解. 设，则该函数有三个不同零点. 因，由，则或， 令，则或，令，则， 则函数在区间单调递减，在区间上单调递增， 当时，，当时，， 则函数在时取得极大值，在时取得极小值，如图所示： 由图知，函数有三个不同零点等价于， 解得. 故选：A． 【变式9-1】.（24-25高三下·上海青浦·阶段练习）若直线上点P可以作曲线的两条切线，则点P横坐标的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究函数的零点 【分析】先求出过点的切线方程，分离参数变量，转化为函数直线与曲线有两个交点,借助导数研究单调性和最值，结合图像可解. 【详解】曲线即曲线， 在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 设点，则，即. 令，则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以． 由题意知，直线与曲线有两个交点，则， 当时，且当t无穷靠近0,无穷接近0， 当时，恒成立， 大致图象如下：    故. 故答案为：. 【变式9-2】.（24-25高二下·山东·阶段练习）过可作的2条切线，那么的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数研究函数的零点、求过一点的切线方程 【分析】由题设，若切点为，导数几何意义求切线方程，再由切点在切线、上得到，问题化为且，有两个零点，应用导数研究的性质求参数范围. 【详解】由题设，若切点为，则， 所以切线方程为， 又，则， 令且，，则， 当时，则在上单调递增， 当时，则在上单调递减， ，， 过可作的2条切线，所以，只需，故. 综上，. 故答案为： 【变式9-3】.（24-25高三上·安徽芜湖·期末）若过点可以作曲线的两条切线，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求过一点的切线方程、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】设出切点，写出切线方程，依题转化成有两个不同得实数根.设，求得的单调区间和最大值即可得解. 【详解】设切点为，由题得：，故切线的斜率为，切线方程为：， 因切线经过点，则，故有两个不同的实数根. 不妨设，则 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 故，则，即，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【考点题型十】公切线问题（） 【例10】（24-25高二下·广东惠州·阶段练习）若直线是曲线与曲线的公切线，则 ． 【答案】 【知识点】已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】直线与曲线联立求出，设与曲线相切于点，借助导数的几何意义求出的切线方程与比较可得答案. 【详解】直线与曲线联立， 得， 因为直线是曲线的切线， 所以，解得， 设与曲线相切于， 由得曲线在处的切线斜率为， 则曲线在处的切线方程为 ，即， 因为直线是曲线与曲线的公切线， 所以，解得， 即. 故答案为：. 【变式10-1】.（24-25高二下·福建·阶段练习）函数与函数公切线的斜率为（        ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】设出两曲线的切点坐标，利用导数的几何意义以及利用两点间的斜率公式构造方程即可求得斜率. 【详解】不妨设公切线与函数的切点为，与函数的切点为， 易知，， 因此公切线斜率为，因此， 可得，即， 又易知，整理可得， 即，即，解得或， 因此可得斜率为或， 故选：C. 【变式10-2】.（24-25高三上·河北邯郸·阶段练习）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数 【分析】根据题意，假设两曲线上线的切点，从而得到两曲线的切线，由共切线建立关于的方程组，求得，进而得到切线方程，从而得解. 【详解】根据题意，设直线与曲线的切点为， 与曲线的切点为， 而的导数为，的导数为， 所以两曲线的切线分别为， 两条切线对应相同，可得，解得， 所以切线方程为，即， 则. 故选：C. 【点睛】方法点睛：用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为： （1）设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：； （2）若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为， 【变式10-3】.（24-25高三上·河北石家庄·期末）若函数与在公共点处存在公共的切线，则 ． 【答案】 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】设公共点坐标为，由题意可得，进而可得. 【详解】函数与的导数分别为与， 设公共点坐标为，则， 所以，又因为，故，，所以． 故答案为： 【变式10-4】（2025高三·全国·专题练习）若直线是曲线与的公切线，则 ． 【答案】 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、简单复合函数的导数、基本初等函数的导数公式、导数的运算法则 【分析】分别设切点为，，求得切线方程为，，得，，进而可得. 【详解】设直线与曲线与的切点分别为，， 则，， 由，可知 切线方程为，， 即，， 故，， 由得，代入， 得，化简得， 故， 故答案为： 提升训练 一、单选题 1．（21-22高二下·江西赣州·期中）若函数在区间上的平均变化率为5，则（   ） A． B．2 C．3 D．1 【答案】C 【知识点】平均变化率 【分析】根据平均变化率的定义列方程求参数即可. 【详解】∵函数在区间上的平均变化率为5， ∴，解得． 故选：C 2．（24-25高三上·江西·阶段练习）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】简单复合函数的导数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求导，根据点斜式求解切线方程，即可求解切线与坐标轴的交点，进而可求解面积. 【详解】，则，即切线方程为. 令，则，令，则，故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为. 故选：A 3．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）如图1，现有一个底面直径为10cm，高为25cm的圆锥容器，以的速度向该容器内注入溶液，随着时间（单位：）的增加，圆锥容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】瞬时变化率的概念及辨析、锥体体积的有关计算、基本初等函数的导数公式 【分析】由图设溶液高度和液面半径，用表示液体体积得到方程，求出，依题，对其求导，赋值即得时液体高度的瞬时变化率. 【详解】    设注入溶液的时间为（单位：）时，溶液的高为，液面半径为，如图可得， ,则，即， 则由，解得. 由，当时，， 即时，圆锥容器内的液体高度的瞬时变化率为. 故选：A. 4．（23-24高二下·河北邢台·阶段练习）已知函数，则（    ） A．11520 B．23040 C．11520 D．23040 【答案】A 【知识点】导数定义中极限的简单计算、导数的运算法则 【分析】令，则，对函数求导后结合导数的定义可得结果. 【详解】令， 则，则， 所以 . 故选：A 5．（2025·江西新余·模拟预测）过轴上一点可以作函数图像的3条切线，则的取值范围是：（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】设出切线方程，将点代入切线方程，转化为交点问题，结合导数分析函数单调性，求出参数范围即可. 【详解】因为，所以， 设切点为，则切线方程， 而过，将代入方程得到， 令，， 令，，此时单调递减， 令，，此时单调递增， 故有极小值，有极大值， 则得到，故A正确. 故选：A. 6．（2025·江西·一模）已知函数的图象在处的切线过原点，则所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】零点存在性定理的应用、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求导，根据变形，构造函数，结合单调性和零点存在性定理判断即可. 【详解】因为，所以. 因为的图象在处的切线过原点，则， 即，即. 设，因为在上均单调递增，且函数值为正， 所以在上单调递增，且，， 所以. 故选：. 7．（24-25高三上·江西·开学考试）曲线的切线与坐标轴围成的三角形面积的最大值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出三角形面积，再利用导数求出最大值即得. 【详解】设曲线的切点为，由，求导得， 则切线方程为，令，得；令，得， 因此该切线与坐标轴围成的三角形面积， 求导得，当时，，当时，， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以该切线与坐标轴围成的三角形面积的最大值为. 故选：A 8．（23-24高二下·江西景德镇·期末）将函数的图象绕原点逆时针旋转角，得到曲线.若曲线始终为函数图象，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【知识点】简单复合函数的导数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、函数关系的判断 【分析】首先根据导数求函数在定义域上切线斜率的最大值，转化为切线旋转，根据函数的定义，即可求解. 【详解】令原函数为，即，求导得， 当时，，函数在上单调递增， 函数的图象上点处切线斜率由1逐渐增大到2，记时的点为， 令函数图象在处的切线倾斜角为，则， 曲线在除端点外的任意一点处的切线垂直于轴时，则曲线上存在两点，其横坐标相同， 而曲线始终为函数图象，因此，而， 则， 所以的最大值为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解函数的定义，并转化为原点处的切线的旋转问题. 二、多选题 9．（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）已知函数，则当自变量从变为时，下列结论正确的是（    ） A．函数值减少了6 B．函数的平均变化率为2 C．函数在处的瞬时变化率为 D．函数值先变大后变小 【答案】AC 【知识点】平均变化率、用导数判断或证明已知函数的单调性、瞬时变化率的概念及辨析 【分析】根据平均变化率的定义判断A、B，求出函数的导函数，根据导数的定义判断C，求出函数的单调区间，即可判断D. 【详解】因为，所以， 所以函数值减少了，函数的平均变化率为，故A正确，B错误； 又，所以，即函数在处的瞬时变化率为，故C正确； 当时，；当时，；当时，， 所以 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 所以当自变量从变为时，函数值先变小，后变大，再变小，故D错误. 故选：AC. 10．（22-23高二下·江西·阶段练习）已知函数的导函数的大致图象如图所示，则下列结论正确的是（    ）    A．在上单调递增 B．曲线在处的切线的斜率为0 C．有1个极大值点 D．有2个极小值点 【答案】BC 【知识点】函数极值点的辨析、求曲线切线的斜率（倾斜角）、函数（导函数）图象与极值的关系、函数与导函数图象之间的关系 【分析】结合的图象，根据的正负，判断函数的单调情况，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由导函数的大致图象可知，在上先负后正， 故在上不单调，A错误； 由图象可知，故曲线在处的切线的斜率为0，B正确； 由图象可知从左至右，先正后负再非负，其中最后部分仅在时，， 故函数是先递增后递减再递增，即有一个极大值点和一个极小值点，C正确，D错误， 故选：BC 三、填空题 11．（24-25高三下·江西赣州·开学考试）已知直线与曲线在点处的切线垂直，则直线的斜率为 . 【答案】/ 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的加减法 【分析】应用导数的几何意义求切线的斜率，即可得直线的斜率. 【详解】由题设，则， 所以与曲线在点处的切线垂直的直线斜率为. 故答案为： 12．（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）与曲线和都相切的直线l的方程为 . 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】设出切点，根据点斜式求解直线方程，即可得，进而求解，代入即可求解. 【详解】设直线与的图象相切于点，与的图象相切于点， 又，，且，. 曲线在点处的切线方程为， 曲线在点处的切线方程为. 故解得，， 故 故，故直线的方程为. 故答案为：. 四、解答题 13．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数. (1)证明：在定义域内单调递增； (2)求在处的切线与坐标轴围成区域的面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、导数的运算法则 【分析】（1）根据即可判断函数的单调性； （2）根据导数的几何意义求出切线方程，进而求解. 【详解】（1）证明：（）， 当时，，所以在定义域内单调递增. （2），， 所以曲线在点处的切线为， 即， 令得；令得， 所以切线与坐标轴所围成的三角形面积为. 14．（23-24高三上·江西赣州·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)的增区间为 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）由题可得及，后由点斜式可得切线方程； （2）由题结合定义域，正负性可得答案. 【详解】（1）当时，，则， 所以 . 所以，函数在处的切线方程为. 因此，所求切线方程为； （2）当时，，该函数的定义域为， 此时.所以，函数f (x)的增区间为. 15．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）（1）已知f(x)在处的导数，求 的值； （2）已知曲线，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积． 【答案】（1）1；（2）2 【知识点】导数定义中极限的简单计算、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本初等函数的导数公式、导数的加减法 【分析】（1）利用导数的极限运算直接求解； （2）先求导求出切线方程，求出与坐标轴的交点坐标即可求得面积. 【详解】（1） （2），，则曲线在点处的切线斜率为1， 故切线方程为，即， 易知直线与x轴交点为，与y轴交点为, 故曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$