专题02 第一章 数列求通项与求和（6考点清单，知识导图+15个考点清单&题型解读）高二数学下学期北师大版

清单02 第一章 数列求通项与求和 （6个考点梳理+16题型解读+提升训练） 清单01 累加法 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 清单02 累乘法 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 清单03 数列求通项（法） 对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 法归类 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知 角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求 清单04 构造法 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 清单05 倒数法 用“倒数变换法”构造等差数列 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 清单06 裂项相消法 1、等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） 2、无理型 ① 如： 3、指数型 ① 如： 【考点题型一】累加法求通项（） 【例1】（2024·江西南昌·二模）已知数列的前n项和，数列的首项为3，若，则（    ） A．23 B．22 C．21 D．20 【变式1-1】.（24-25高二下·江西·阶段练习）在数列中，，对任意，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】.（23-24高二下·江西九江·阶段练习）已知数列满足．若数列是公比为2的等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】.（多选）（22-23高二下·江西萍乡·期末）已知在数列中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．可能是等差数列 C． D．若，则是递增数列 【考点题型二】累乘法求通项（） 【例2】（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知数列 满足 ，则 的通项公式为 【变式2-1】.（多选）（24-25高二上·江苏南通·期末）已知数列的前n项和为且则（    ） A． B． C． D．数列的前n项和为 【变式2-2】.（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）在数列中，，则通项公式 ． 【变式2-3】.（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列中，，则 . 【变式2-4】.（22-23高三上·江西萍乡·期末）记为数列的前项和，知，. (1)求的值； (2)求数列的通项公式. 【考点题型三】已知与的关系；或与的关系（） 【例3】（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）已知正项数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； 【变式3-1】.（多选）（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）数列的前项和为，若，则有（    ） A． B．为等比数列 C． D． 【变式3-2】.（24-25高二下·江西·阶段练习）已知为数列的前n项和，，时，. (1)求的通项公式； 【变式3-3】.（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知数列的前项和为，，且. (1)求数列的通项公式； 【变式3-4】.（23-24高二下·江西景德镇·期末）设为数列的前项和，且. (1)为何值时，是等比数列； 【考点题型四】已知等式中左侧含有：（） 【例4】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知数列满足，，数列的前项和为，且． (1)求，的通项公式； 【变式4-1】.（24-25高二下·江西九江·阶段练习）已知数列满足，设数列的前项和为，若恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】.（23-24高二下·江西抚州·阶段练习）数列满足，则 . 【变式4-3】.（2024·江西宜春·模拟预测）数列满足． (1)求的通项公式； 【考点题型五】数列求通项之构造法（形如）（） 【例5】（24-25高二下·山西晋中·阶段练习）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】.（24-25高二上·河北唐山·期末）数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】.（多选）（24-25高二上·湖南益阳·期末）已知数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D．数列为等比数列 【变式5-3】.（24-25高二上·甘肃·期末）已知数列中，，当时，，则的通项公式为 ． 【考点题型六】数列求通项之构造法（形如）（） 【例6】（23-24高二下·四川南充·期中）已知数列的首项为，且满足，则 ． 【变式6-1】.（2024·江西·二模）已知数列的首项为常数且，，若数列是递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】.（2024·云南·二模）记数列的前项和为，若，则 . 【变式6-3】.（23-24高二下·四川成都·阶段练习）在数列的首项为，且满足，设数列的前项和，则 ， ． 【考点题型七】数列求通项之倒数法（形如）（） 【例7】（23-24高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知数列满足递推关系：，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】.（24-25高二上·湖南永州·期末）在数列，中，，，，， (1)求数列，的通项公式； 【变式7-2】.（23-24高二上·重庆·期中）已知数列满足，则 ． 【变式7-3】.（2024高三·全国·专题练习）已知，求的通项公式． 【变式7-4】.（2024高三·全国·专题练习）已知，，求的通项公式． 【考点题型八】数列求和之倒序相加法（） 【例8】（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为： . 【变式8-1】.（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A．96 B．97 C．98 D．99 【变式8-2】.（24-25高二·全国·课后作业）已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．2020 【变式8-3】.（2025高三·全国·专题练习）已知函数，利用教材中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（    ） A． B． C． D． 【考点题型九】数列求和之分组求和法（形如）（） 【例9】（23-24高三上·河南·阶段练习）已知数列是等差数列，其前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式9-1】.（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）两个数列，，，已知数列为等比数列且，数列的前项和为，又满足______在①（）；②：③（）这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，使数列唯一确定，并解答下列问题. (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【变式9-2】.（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知是公比大于1的等比数列，，且成等差数列. (1)求的通项公式； (2)若是等差数列，且.设，求数列的前项和. 【变式9-3】.（24-25高三上·北京·阶段练习）等差数列的前项和，其中为常数. (1)求的通项公式及的值； (2)设，求数列的前项和. 【考点题型十】数列求和之分组求和法（形如）（） 【例10】（23-24高二上·北京·期末）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求通项公式及的最小值； (2)数列为等比数列，且，，求数列的前n项和； (3)数列满足，其前n项和为，请直接写出的值（无需计算过程）． 【变式10-1】.（2024·北京东城·三模）已知数列的前项和，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【变式10-2】.（2025·辽宁辽阳·一模）已知等比数列是递减数列，的前项和为，且、、成等差数列，，数列满足，， (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式10-3】.（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）设是各项都为正数的递增数列，已知，且满足关系式，. (1)证明：数列是等差数列； (2)令，求数列的前项的和. 【变式10-4】（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式; (2)设，求数列的前项和. 【考点题型十一】数列求和之列项相消法（形如）（） 【例11】（2024江西南昌·三模）是各项均为正数的等差数列，其前n项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)设，若的前n项和为，求证：． 【变式11-1】.（23-24高二下·江西抚州·期末）已知数列的首项，且. (1)求数列的通项公式： (2)若数列的前项和为，证明：. 【变式11-2】.（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，，，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式11-3】.（23-24高二下·北京顺义·期中）已知为等差数列，且，. (1)求的通项公式； (2)若满足，求数列的前项和公式. 【考点题型十二】数列求和之列项相消法（形如）（） 【例12】（23-24高二下·北京海淀·期末）已知数列中，，且，其前项和为，且当时，． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； 【变式12-1】.（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）已知数列的前项积，数列的前项和为，，满足. (1)求数列、的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若使成立，求实数的取值范围. 【变式12-2】.（24-25高二上·山西·阶段练习）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列. (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，. ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：. 【变式12-3】.（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列，，其前项和为，求使得对所有都成立的自然数的值. 【考点题型十三】数列求和之错位相减法（） 【例13】（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列对于任意都有． (1)求数列的通项公式； (2)设数列前项和为，求． 【变式13-1】.（24-25高二下·江西·阶段练习）已知是等比数列的前项和，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【变式13-2】.（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）数列中，， (1)求的值； (2)令，求数列的通项公式 (3)求数列的前项和 【变式13-3】.（24-25高三上·江西鹰潭·阶段练习）已知各项均为正数的数列满足：， (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【变式13-4】（23-24高二下·江西萍乡·期中）正项等差数列的公差与正项等比数列的公比相同，且，，数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【考点题型十四】数列求和之通项含绝对值求和（） 【例14】（23-24高三下·江西·阶段练习）已知等差数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式14-1】.（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知等差数列 前项和为，且 . (1)若 ，求证：数列 是等差数列. (2)求数列的前项和. 【变式14-2】.（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列满足，它的前项和为，且. (1)求数列的前n项和的最小值. (2)求数列的前项和为. 【变式14-3】.（2024·江西南昌·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，.      （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【考点题型十五】数列中新定义题（） 【例15】（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列共有项，若对满足的任意正整数，均存在正整数，，使得，，，，互不相同，同时，则称数列具有性质． (1)判断数列是否具有性质； (2)已知数列具有性质，且，共有8项，，求满足题意的数列的个数； (3)已知数列具有性质，且，中至少有5项不相等，求的最小值． 【变式15-1】.（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)保持数列中的各项顺序不变，在每项与之间插入一项，组成新的数列，记数列前项和为，若，求的最小值； (3)已知数列满足，数列满足，数列的前项和记为，是否存在正整数，，使成立？若存在，求出所有的正整数对，若不存在，请说明理由. 【变式15-2】.（2025·江西九江·一模）已知是由不全相同的正整数组成的有穷数列，其前项和为，．集合，中元素个数为，将中所有元素取出，并按从小到大排列，记为数列．若，则称数列为数列． (1)若，写出一个数列 (2)若是公比为偶数的等比数列，证明：为数列： (3)若数列是等差数列，求的最小正整数． 【变式15-3】.（24-25高三下·江西·开学考试）若数列满足：对任意正实数，都存在正整数，当时，都有成立，则称数列为“收敛”数列.已知集合，若集合的子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素差的绝对值大于1，则称该子集为集合“隔离”子集.记的“隔离”子集的个数为个. (1)求和的值； (2)若，探究之间的关系，并证明； (3)设，证明；数列是“收敛”数列. 【变式15-4】（2024·江西上饶·一模）已知数列，设分别为与空间直角坐标系中轴，轴，轴正方向相同的单位向量，. (1)，求的值. (2)定义：若，且，则，根据上述定义，若，设，求. (3)若数列均为正项数列，且为常数，且，求证：. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高三上·江西·阶段练习）设是公差为2的等差数列，且，若，则（   ） A．2024 B．2025 C．4048 D．4050 2．（23-24高二下·江西新余·期末）数列，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·江西景德镇·期中）数列的前n项和为，，则的值为（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 5．（23-24高二下·江西萍乡·期中）数列满足，前项和为，对任意正整数都有，则（    ） A．18 B．28 C．40 D．54 6．（23-24高二上·广东湛江·期中）数列的前n项和为，若，则（    ） A．1 B． C． D． 7．（23-24高二上·重庆·阶段练习）数列的前n项和为，且满足，，则（    ） A．1011 B．1013 C．2022 D．2023 8．（2023·江西景德镇·三模）在数列中，，，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·江西九江·阶段练习）公差为的等差数列的前项和为，若，则下列选项正确的是（    ） A． B．时，的最小值为2022 C．有最大值 D．时，的最大值为4043 10．（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列满足，，，则（   ） A． B．是递减数列 C． D． 三、填空题 11．（2025·江西上饶·一模）已知为数列的前项和，，，则的通项公式为 ；令，则 ． 12．（24-25高二下·江西九江·阶段练习）若无穷数列满足：只要，必有，则称数列为“阶对等递进数列”.若数列是“1阶对等递进数列”，且，则 ，设，数列的前项和为，则 . 四、解答题 13．（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列的前项和为，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)若，求数列的前项和； (3)若，求使取得最大值时的的值. 14．（2025·江西萍乡·一模）已知数列，满足，其中. (1)若，，求； (2)若，，求数列的前n项和； (3)若，证明：. 15．（2025·江西·一模）已知数列满足. (1)若为递增数列，求的取值范围； (2)当时，证明：数列是等比数列，并求数列的前项之积. 16．（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）已知数列的前项和为，，且数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求证：. 17．（23-24高二下·江西·阶段练习）对任意正整数，定义的丰度指数，其中为的所有正因数的和. (1)若，求数列的前项和； (2)对互不相等的质数，证明：，并求的值. 18．（2024·江西·二模）若数列满足条件：存在正整数，使得对一切都成立，则称数列为级等差数列． (1)若数列为2级等差数列，且前四项分别为，，，，求数列的前项和； (2)若，且是3级等差数列，求数列的前项和． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 第一章 数列求通项与求和 （6个考点梳理+16题型解读+提升训练） 清单01 累加法 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 清单02 累乘法 若数列满足，则称数列为“变比数列”，求变比数列的通项时，利用求通项公式的方法称为累乘法。 清单03 数列求通项（法） 对于数列，前项和记为； ①；② 1- ②： 法归类 角度1：已知与的关系；或与的关系 用，得到 例子：已知，求 角度2：已知与的关系；或与的关系 替换题目中的 例子：已知； 已知 角度3：已知等式中左侧含有： 作差法（类似） 例子：已知求 清单04 构造法 用“待定系数法”构造等比数列 形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式. 清单05 倒数法 用“倒数变换法”构造等差数列 类型1：形如（为常数，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，即：，从而构造出新的等差数列，先求出的通项，即可求得. 类型2：形如（为常数，，，）的数列，通过两边取“倒”，变形为，可通过换元：，化简为：（此类型符构造法类型1： 用“待定系数法”构造等比数列：形如（为常数，）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为（其中：），由此构造出新的等比数列，先求出的通项，从而求出数列的通项公式.） 清单06 裂项相消法 1、等差型 ① 特别注意 ② 如：（尤其要注意不能丢前边的） 2、无理型 ① 如： 3、指数型 ① 如： 【考点题型一】累加法求通项（） 【例1】（2024·江西南昌·二模）已知数列的前n项和，数列的首项为3，若，则（    ） A．23 B．22 C．21 D．20 【答案】C 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、利用an与sn关系求通项或项、累加法求数列通项 【分析】运用通项公式与其前n项和的关系求得通项公式，结合累加法求得. 【详解】因为 ①当时，， ②当时，， ③将代入得，符合， 所以. 所以， 所以. 故选：C. 【变式1-1】.（24-25高二下·江西·阶段练习）在数列中，，对任意，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】累加法求数列通项、裂项相消法求和 【分析】利用累加法求出，然后利用裂项相消法求和即可. 【详解】令，则，即， 故， 累加得：， 故， 故， 故. 故选：B 【变式1-2】.（23-24高二下·江西九江·阶段练习）已知数列满足．若数列是公比为2的等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和、累加法求数列通项 【分析】利用等比数列求出，进而求得，再利用累加法求通项得解. 【详解】依题意：，所以， 当时，，则， 所以 ， 故选：A. 【变式1-3】.（多选）（22-23高二下·江西萍乡·期末）已知在数列中，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．可能是等差数列 C． D．若，则是递增数列 【答案】BD 【知识点】判断数列的增减性、累加法求数列通项、判断等差数列 【分析】令即可判断A，当时，利用等差数列的定义即可判断B，令即可验证C，利用数列单调性的定义证明即可判断D. 【详解】选项A，令时，，即，故选项A错误； 选项B，当时，，由此可知数列为首项为，公差为的等差数列，故选项B正确； 选项C，当时，，与已知条件矛盾，故选项C错误； 选项D，由选项B可知，时数列是递增数列， 当且时，，，，，， 将这个式子叠加得， 即， 则 所以，所以当且时，数列是递增数列， 即，则是递增数列，故选项D正确； 故选：BD. 【考点题型二】累乘法求通项（） 【例2】（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知数列 满足 ，则 的通项公式为 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、累乘法求数列通项 【分析】通过递推公式得到相邻两项的比值关系，然后利用累乘法求出数列的通项公式. 【详解】已知，将换为，可得， 那么（）. 利用累乘法求（）， 由（）可得： 观察发现，约分后可得（）. 当时，，与已知相符. 所以，. 故答案为：，. 【变式2-1】.（多选）（24-25高二上·江苏南通·期末）已知数列的前n项和为且则（    ） A． B． C． D．数列的前n项和为 【答案】ABD 【知识点】求等差数列前n项和、裂项相消法求和、判断数列的增减性、累乘法求数列通项 【分析】利用给定条件求解数列单调性判断A，利用累乘法求出数列通项公式判断B，利用等差数列求和公式结合给定条件判断C，利用裂项相消法求和判断D即可. 【详解】由题意得，且， 可知，则为正项递增数列， 得到，即，故A正确； 由，则时， ， 又符合上式，故， 当时，，故B正确； 由等差数列求和公式得，则，故C错误； 而， 故数列的前n项和为 ，故D正确. 故选：ABD 【变式2-2】.（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）在数列中，，则通项公式 ． 【答案】 【知识点】裂项相消法求和、累加法求数列通项 【分析】利用累加法求数列的通项公式，同时右边求和时需要利用裂项相消法求和. 【详解】因为，即 则， ， 所以 ， 即， 又因为，所以， 故答案为： 【变式2-3】.（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列中，，则 . 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、累乘法求数列通项 【分析】根据已知条件，利用累乘法求通项. 【详解】，， ，即， . 故答案为：. 【变式2-4】.（22-23高三上·江西萍乡·期末）记为数列的前项和，知，. (1)求的值； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)， (2) 【知识点】判断或写出数列中的项、利用an与sn关系求通项或项、累乘法求数列通项 【分析】（1）取，代入进行基本量的计算即可得解； （2）由得，，由当时，再讨论时是否成立即可得解. 【详解】（1）依题意：时，，又，代入得：， 时，， 又，代得：； （2）由得，，当，， 两式相减得：，化简得： ， 当时，，符合上式， 故. 【考点题型三】已知与的关系；或与的关系（） 【例3】（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）已知正项数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； 【答案】(1) 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）运用之间的关系式，结合等差数列的通项公式计算即可； 【详解】（1）因为， 当时，，解得， 当时，， 两式作差得， 则， 因为，所以，， 所以是以2为首项，2为公差的等差数列，； 【变式3-1】.（多选）（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）数列的前项和为，若，则有（    ） A． B．为等比数列 C． D． 【答案】AD 【知识点】由递推关系证明等比数列、利用an与sn关系求通项或项、写出等比数列的通项公式 【分析】利用与关系，推得是等比数列，进而依次求得和，从而得解. 【详解】 ，即， 又， 是首项为1，公比为的等比数列， ，故A正确； 又当时， 当时，不符合上式， ，故BC错误； 当时，，故D正确. 故选：AD. 【变式3-2】.（24-25高二下·江西·阶段练习）已知为数列的前n项和，，时，. (1)求的通项公式； 【答案】(1)； 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据给定条件，利用的关系，结合等比数列定义求出通项公式. 【详解】（1）当时，，则，两式相减得， 而，，则，即，，又， 因此数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以的通项公式是. 【变式3-3】.（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知数列的前项和为，，且. (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由，得到，两式相减，然后利用等比数列的定义求解； 【详解】（1）由， 得， 两式相减得， 因为，， 所以， 所以，故， 所以数列是以为首项，以为公差的等比数列， 所以； 【变式3-4】.（23-24高二下·江西景德镇·期末）设为数列的前项和，且. (1)为何值时，是等比数列； 【答案】(1) 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、写出等比数列的通项公式、求等比数列前n项和 【分析】（1）利用已知条件，结合，得到，然后构造即可得解； 【详解】（1）当时，，即，所以， 当时，①，②， ①②得：，即，所以， 所以，当时，是等比数列，首项为6，公比为3. 【考点题型四】已知等式中左侧含有：（） 【例4】（23-24高二下·广东佛山·阶段练习）已知数列满足，，数列的前项和为，且． (1)求，的通项公式； 【答案】(1)， 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、求等比数列前n项和、累乘法求数列通项 【分析】（1）作差得到，利用累乘法求出的通项公式，根据作差得到，结合等比数列的通项公式计算可得； 【详解】（1）因为，， 所以当时，，得． 当时，， 所以，所以． 因为时也满足， 所以，所以，即， 又也满足，所以. 因为，所以当时，，解得． 当时，，所以，所以， 所以是首项为，公比为的等比数列，故． 【变式4-1】.（24-25高二下·江西九江·阶段练习）已知数列满足，设数列的前项和为，若恒成立，则实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数列不等式恒成立问题、求等比数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】由条件可得当时，，相减可求当时，的表达式，再求，再求数列的前项和，结合关系恒成立求的范围，由此可得结论. 【详解】因为， 所以当时，， 所以， 所以， 当时，， 所以当时，， 当时，， 所以，，时，也适合， 由恒成立，可得， 所以的最小值为， 故选：D. 【变式4-2】.（23-24高二下·江西抚州·阶段练习）数列满足，则 . 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】当时求出，当时，得到，作差即可得到，再检验时是否满足，即可得解； 【详解】因为， 当时，， 当时，， 则得：， 所以， 当时，不成立，所以． 故答案为：. 【变式4-3】.（2024·江西宜春·模拟预测）数列满足． (1)求的通项公式； 【答案】(1) 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）由已知结合数列的和与项的递推关系即可求解； 【详解】（1）数列满足， 当时，， 两式相减可得，，所以， 当时，也满足上式， 所以； 【考点题型五】数列求通项之构造法（形如）（） 【例5】（24-25高二下·山西晋中·阶段练习）若数列的首项，且满足，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项 【分析】利用构造法可得数列是以为首项，以为公比的等比数列，根据等比数列的通项公式可得结果. 【详解】∵， ∴，即， ∴数列是以为首项，以为公比的等比数列， ∴， ∴. 故选：A. 【变式5-1】.（24-25高二上·河北唐山·期末）数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数列不等式恒成立问题、构造法求数列通项、由递推关系证明等比数列 【分析】由，两边同时减构造等比数列，求出代入，分离参数转化为求得最小值问题，求解即可得到实数的取值范围. 【详解】因为，所以， 所以，所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以，所以， 由恒成立，得恒成立， 令，由于，显然关于单调递增， 所以当时，，所以. 故选：B. 【变式5-2】.（多选）（24-25高二上·湖南益阳·期末）已知数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D．数列为等比数列 【答案】AB 【知识点】分组（并项）法求和、构造法求数列通项、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】因为，所以数列是等比数列，即可求出，利用分组求和即可求出，进而即可判断CD. 【详解】因为，所以，所以数列是以首项为， 公比为2的等比数列，所以，故A正确； 数列的前项和为 ，故B正确； 因为，故C错误； 令，所以数列为等差数列，故D错误. 故选：AB. 【变式5-3】.（24-25高二上·甘肃·期末）已知数列中，，当时，，则的通项公式为 ． 【答案】 【知识点】写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项、由递推关系证明等比数列 【分析】变形得到，故为首项为2，公比为2的等比数列，从而利用等比数列通项公式求出答案. 【详解】当时，，故， 其中，故为首项为2，公比为2的等比数列， 故，所以. 故答案为： 【考点题型六】数列求通项之构造法（形如）（） 【例6】（23-24高二下·四川南充·期中）已知数列的首项为，且满足，则 ． 【答案】 【知识点】构造法求数列通项、由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式 【分析】借助所给条件可构造，即可得数列为等比数列，即可得. 【详解】由，即， 则，又， 故数列是以为公比、为首项的等比数列， 即，则. 故答案为：. 【变式6-1】.（2024·江西·二模）已知数列的首项为常数且，，若数列是递增数列，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】构造法求数列通项、根据数列的单调性求参数、写出等比数列的通项公式 【分析】由已知条件推得数列是首项为，公比为的等比数列，运用等比数列的通项公式可得，再由数列的单调性，结合不等式恒成立思想，可得所求取值范围． 【详解】因为， 所以， 由于，即， 可得数列是首项为，公比为的等比数列， 则，因为数列是递增数列，可得， 即对任意的正整数都成立． 当为偶数时，恒成立，由于数列单调递减， 可得，则； 当为奇数时，恒成立，由于数列单调递增， 可得，则； 综上可得的取值范围是． 故选：B ． 【变式6-2】.（2024·云南·二模）记数列的前项和为，若，则 . 【答案】/0.5 【知识点】构造法求数列通项、求等比数列前n项和 【分析】构造得，从而得到，则，再利用等比数列求和公式代入计算即可. 【详解】由，得， 则， 又，则，则， ，， ， 故答案为：. 【变式6-3】.（23-24高二下·四川成都·阶段练习）在数列的首项为，且满足，设数列的前项和，则 ， ． 【答案】 【知识点】求等比数列前n项和、构造法求数列通项、由递推关系式求通项公式 【分析】借助所给条件可构造，即可得数列为等比数列，即可得，借助等比数列前项和公式即可得. 【详解】由，即， 则，又， 故数列是以为公比、为首项的等比数列， 即，则， . 故答案为：；. 【考点题型七】数列求通项之倒数法（形如）（） 【例7】（23-24高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知数列满足递推关系：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、构造法求数列通项 【分析】利用构造法求出数列的通项公式，再求出数列的通项公式，即可得到结果. 【详解】依题意，，由，得，即，而， 因此数列是以2为首项，1为公差的等差数列，则，， 所以. 故选：C 【变式7-1】.（24-25高二上·湖南永州·期末）在数列，中，，，，， (1)求数列，的通项公式； 【答案】(1)， 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、求等比数列前n项和、构造法求数列通项、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）由已知可得，所以数列是等差数列，可得的通项公式，由，可得数列是等比数列，即可求解的通项公式； 【变式7-2】.（23-24高二上·重庆·期中）已知数列满足，则 ． 【答案】 【知识点】写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项、由定义判定等比数列 【分析】由已知得，根据等比数列的定义写出数列的通项公式，进而得到，即可求项. 【详解】由题设，又，数列不可能存在为0的项， 所以，故，且 所以是首项为1，公比为2的等比数列，即，故， 所以. 故答案为： 【变式7-3】.（2024高三·全国·专题练习）已知，求的通项公式． 【答案】． 【知识点】写出等比数列的通项公式、构造法求数列通项 【分析】将已知式子变形为，进而根据等比数列的定义求得答案． 【详解】，，则， 则， ，所以是以2为首项，2为公比的等比数列． 于是，． 【变式7-4】.（2024高三·全国·专题练习）已知，，求的通项公式． 【答案】． 【知识点】由递推关系式求通项公式、由递推关系证明等比数列、构造法求数列通项 【分析】先将条件进行变形，化简为，进而变形为，然后通过等比数列的概念求得答案． 【详解】由题意， ， 所以，则，而， 故是以为首项，3为公比的等比数列． 于是． 【考点题型八】数列求和之倒序相加法（） 【例8】（24-25高三上·山东济宁·阶段练习）已知函数是上奇函数，若数列的项满足：（）.则数列的通项公式为： . 【答案】 【知识点】倒序相加法求和 【分析】首先由奇函数的性质，得到，再根据结论，利用倒序相加法，即可求解. 【详解】因为函数是上奇函数，所以 ， 所以， ， 两式相加得：， 即. 故答案为： 【变式8-1】.（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列中，，则（    ） A．96 B．97 C．98 D．99 【答案】C 【知识点】倒序相加法求和 【分析】利用倒叙相加法求和即可. 【详解】①， ②， ①+②得 ， 所以. 故选：C. 【变式8-2】.（24-25高二·全国·课后作业）已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为（    ） A．2023 B．2022 C．2021 D．2020 【答案】B 【知识点】倒序相加法求和、函数奇偶性的应用 【分析】由为奇函数，可得，再由，得，然后利用倒序相加法可求得结果. 【详解】由于函数为奇函数，则， 即，所以， 所以， 所以 因此数列的前2022项和为． 故选：B. 【变式8-3】.（2025高三·全国·专题练习）已知函数，利用教材中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】倒序相加法求和 【分析】计算出的值，再利用倒序相加法可求得所求代数式的值. 【详解】， 设， 则， ，所以， 故选：B． 【考点题型九】数列求和之分组求和法（形如）（） 【例9】（23-24高三上·河南·阶段练习）已知数列是等差数列，其前项和为，且，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2). 【知识点】求等比数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算、分组（并项）法求和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式求解； （2）分组求和方法求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，又，， 所以，解得，， 所以的通项公式. （2）由（1）知， 所以 . 【变式9-1】.（24-25高二下·北京顺义·阶段练习）两个数列，，，已知数列为等比数列且，数列的前项和为，又满足______在①（）；②：③（）这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，使数列唯一确定，并解答下列问题. (1)求数列，的通项公式； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)， 【知识点】分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）数列根据可算公比及通项；选①则可根据和的关系求通项；选②条件不足，无法确定；选③根据首项和公差可求通项； （2）利用分组求和，求等差和等比数列的前项和. 【详解】（1）设数列的公比为，则，得， 则； 选①：时，，又因满足上式，故， 当时，，则，又满足上述，故. 选②：已知，无法确定数列. 选③：可知数列是以为首项，为公差的等差数列，则 （2），则 ， 【变式9-2】.（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知是公比大于1的等比数列，，且成等差数列. (1)求的通项公式； (2)若是等差数列，且.设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）设等比数列公比为，由可得关于的方程，据此可得答案； （2）由题可得的通项公式，然后由分组求和法可得答案. 【详解】（1）设等比数列公比为，因成等差数列， 则. 则； （2）设公差为d，因， 则，得. 则，故 . 【变式9-3】.（24-25高三上·北京·阶段练习）等差数列的前项和，其中为常数. (1)求的通项公式及的值； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【知识点】求等比数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算、利用an与sn关系求通项或项、分组（并项）法求和 【分析】（1）根据与的关系，可得，，再由等差数列，列式求出，并得到通项； （2）由（1）求出，利用分组求和得解. 【详解】（1）由， 当时，， ，， 又，， ，解得， ，满足， ，. （2）由（1）， ， . 【考点题型十】数列求和之分组求和法（形如）（） 【例10】（23-24高二上·北京·期末）已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求通项公式及的最小值； (2)数列为等比数列，且，，求数列的前n项和； (3)数列满足，其前n项和为，请直接写出的值（无需计算过程）． 【答案】(1)，最小值为； (2)； (3)3033. 【知识点】二次函数法求等差数列前n项和的最值、利用定义求等差数列通项公式、分组（并项）法求和、求等比数列前n项和 【分析】（1）利用基本量代换求出，得到通项公式和前n项和公式，利用函数求最值； （2）求出通项公式，进而得到数列的前n项和； （3）利用分组求和法求出，直接代入求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为. 因为，，所以，解得：， 所以. 所以. 因为，所以当或时，最小值为 （2）由（1）可得：， 所以等比数列的公比为， 所以. 所以等比数列的前n项和 （3）因为数列满足. 当为偶数时，； 当为奇数时，； 所以. 所以. 【变式10-1】.（2024·北京东城·三模）已知数列的前项和，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1），（2） 【知识点】由Sn求通项公式、分组（并项）法求和 【分析】（1）由及可求得； （2）用分类讨论，并用并项求和法计算． 【详解】（1）由， 当时，， 当时，，而， 所以数列的通项公式，. （2）由（1）可得， 当为偶数时，， 当为奇数时，为偶数，. 综上，. 【点睛】本题考查由数列的前项和求通项公式，考查并项求和法．在数列的项出现正负相间时可以用并项求和法求和，也可分组求和． 【变式10-2】.（2025·辽宁辽阳·一模）已知等比数列是递减数列，的前项和为，且、、成等差数列，，数列满足，， (1)求和的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【知识点】错位相减法求和、裂项相消法求和、等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和 【分析】（1）设等比数列的公比为，根据题意可得出关于、的方程组，结合数列为递减数列可求得、的值，即可得出等比数列的通项公式；推导出，结合可求得数列的通项公式； （2）分为奇数、偶数两种情况讨论，化简的表达式，利用错位相减法、裂项相消法结合分组求和法可求得. 【详解】（1）设等比数列的公比为，由题意可得，则， 因为数列是等比数列，解得，所以，， 因为，所以，， 因为，则，所以， ，故. （2）当为奇数时，，令， 则， 所以，， 两个等式作差可得 ， 化简得； 当为偶数时，， 令，则 ， 故. 【变式10-3】.（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）设是各项都为正数的递增数列，已知，且满足关系式，. (1)证明：数列是等差数列； (2)令，求数列的前项的和. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、分组（并项）法求和、裂项相消法求和 【分析】（1）由已知条件，变形给定等式，再利用等差数列的定义推理得证. （2）由（1）求出及，再利用裂项相消求和法及并项求和法求出. 【详解】（1）由是各项都为正数的递增数列，得， 而，则，整理得， 因此，所以数列是等差数列. （2）由（1）知，， 则， ， 所以 . 【变式10-4】（24-25高二下·安徽阜阳·阶段练习）记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式; (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1). (2). 【知识点】分组（并项）法求和、利用an与sn关系求通项或项、求等差数列前n项和、裂项相消法求和 【分析】（1）根据与的关系式，可构造出与的关系等式，结合裂项相消法可求出的通项公式，注意的取值，要验证前两项满足所求通项； （2）先讨论为偶数的情况，发现相邻项之和是等差数列，合并求和即可，再据此计算为奇数时的前项和. 【详解】（1）由题意，当时，，即，所以. 当时，， 所以， 即，， 累加可得 则， 又满足该式，故. （2）由题意，， 当为偶数时，即有，， 则； 当为奇数时，则为偶数，. 综上，. 【考点题型十一】数列求和之列项相消法（形如）（） 【例11】（2024江西南昌·三模）是各项均为正数的等差数列，其前n项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)设，若的前n项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、求等差数列前n项和、裂项相消法求和、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）设出公差，根据得到，两式相减得到，从而求出通项公式； （2）由等差数列前项求和公式，变形得到，裂项相消法求和，得到结论. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， ， ，两式作差得． ， ，解得， ． （2）由（1）得， ， ． ， ． 【变式11-1】.（23-24高二下·江西抚州·期末）已知数列的首项，且. (1)求数列的通项公式： (2)若数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见详解. 【知识点】累乘法求数列通项、裂项相消法求和 【分析】（1）将等式变形为，并通过累乘法求解数列通项公式； （2）由（1）可知，将放缩，再根据裂项相消法即可证明. 【详解】（1）因为， 所以， 即， 将上述个式子相乘得， 所以，当时，成立， 故. （2）由（1）得， 所以， 所以， 即. 【变式11-2】.（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，，，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用、裂项相消法求和、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）设的公比为，根据等差中项的性质可得，再由等比数列的性质代入求解可得，即可求出数列的通项公式； （2）先求出，再由裂项相消法求解即可. 【详解】（1）设的公比为，因为，，成等差数列， 所以，所以， 所以，又因为， 解得：.所以. （2）因为，所以， 所以令， 所以 . 【变式11-3】.（23-24高二下·北京顺义·期中）已知为等差数列，且，. (1)求的通项公式； (2)若满足，求数列的前项和公式. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）求得公差，可求的通项公式； （2）由，利用裂项求和法，即可求数列的前项和公式. 【详解】（1）因为为等差数列，且，， ，， ； 的通项公式； （2）， 设数列的前项和为， . 【考点题型十二】数列求和之列项相消法（形如）（） 【例12】（23-24高二下·北京海淀·期末）已知数列中，，且，其前项和为，且当时，． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)若，令，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和、由递推关系证明等比数列、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）根据将用表示，再根据等比数列的定义或等比中项法即可得证； （2）先求出，再根据即可得解； （3）利用裂项相消法求解即可. 【详解】（1）由， 得， 即， 化简得， 所以数列是等比数列； （2）由（1）得数列得公比为，首项为， 所以， 当时，， 所以； （3）若，则， 当时，，， 当时， ， ， 综上所述，. 【变式12-1】.（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）已知数列的前项积，数列的前项和为，，满足. (1)求数列、的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、数列不等式能成立（有解）问题、裂项相消法求和、累乘法求数列通项 【分析】（1）由可求得数列的通项公式，当时，由可得出，两式作差可得出，利用累乘法可求出数列的通项公式； （2）求得，利用裂项求和法可求得，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）当时，， 当时，满足上式，所以，，. 因为，当时，， 两式作差得， 即，所以，， 所以，当时，，，，，， 上述等式全部相乘得，所以，， 也满足，所以，对任意的，. （2）因为. 所以，. 由已知，即，解得， 因此，实数的取值范围是. 【变式12-2】.（24-25高二上·山西·阶段练习）在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列. (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，. ①求数列的通项公式； ②若，记的前项和为，证明：. 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①；②证明见解析 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、裂项相消法求和、数列新定义 【分析】（1）根据二阶等差数列的概念计算，从而判断； （2）①根据二阶等差数列的概念结合累加法求解通项公式；②根据裂项相消法求的前项和为，再根据数列的单调性证明结论. 【详解】（1）因为，所以， 令，则， 所以，即为等差数列， 所以为二阶等差数列. （2）①因为为二阶等差数列，且，，，所以，，所以的公差为， 所以，即， 所以， ， ， …… ， 将以上个式子左、右分别相加，得， 所以， 又，满足上式， 所以. ②证明：由（1）得， 所以. 因为，所以为递增数列， 所以； 又， 所以 . 因为，所以， 又因为数列为递减数列，所以为递增数列，即 所以. 【变式12-3】.（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知数列的前项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)已知数列，，其前项和为，求使得对所有都成立的自然数的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和 【分析】（1）令，求出的值，令，由可得，两式作差推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）利用裂项相消法求出的表达式，求出的取值范围，可得出关于的不等式，即可得出符合条件的自然数的值. 【详解】（1）（1）解：因为数列的前项和为，，， 当时，有，解得， 当时，由可得， 上述两个等式作差可得，可得， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列，则. （2）（3）解：因为 ， 所以， ， 因为，且，故数列单调递增， 所以，，且，故对任意的，， 因为不等式对所有恒成立， 所以，，解得， 因为，则的值为. 【考点题型十三】数列求和之错位相减法（） 【例13】（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列对于任意都有． (1)求数列的通项公式； (2)设数列前项和为，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、求等比数列前n项和 【分析】（1）根据条件，利用间的关系，即可求解； （2）由（1）得到，再利用错位相减法，即可求解. 【详解】（1）因为①， 当时，②， 由①②，得到，所以， 又时，，得到，满足， 所以数列的通项公式为. （2）由题意， 所以③，得到④， 由③④，得到， 所以. 【变式13-1】.（24-25高二下·江西·阶段练习）已知是等比数列的前项和，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、错位相减法求和 【分析】（1）利用等比数列的基本量求解即可； （2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1），故， 即，设等比数列的公比为， 则，解得， 故. （2）， 故， ， 故， 即， 故 【变式13-2】.（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）数列中，， (1)求的值； (2)令，求数列的通项公式 (3)求数列的前项和 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】由递推关系式求通项公式、错位相减法求和、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】（1）由递推公式即可求解； （2）推导出，利用等比数列的定义可证得结论成立； （3）求出等比数列的通项公式，利用累加法可求得数列，再利用分组求和法与错位相减法可求得. 【详解】（1）由， 可得：； （2）解：由题意可知，对任意的，，即， 且，所以， 所以数列是等比数列，且该数列的首项和公比均为. 所以 （3）由（2）可知， 当时， ， 也满足，故对任意的，， 所以，， 设数列的前项和为， 则， ， 上述两个等式作差可得 ， 所以，， 所以， . 因此，. 【变式13-3】.（24-25高三上·江西鹰潭·阶段练习）已知各项均为正数的数列满足：， (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 【答案】(1)； (2). 【知识点】累加法求数列通项、错位相减法求和、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和 【分析】（1）利用累加法求得，并检验是否符合，即可求解. （2）利用错位相减法求和可得． 【详解】（1）依题意，当时，，，，， 累加得， 则，而，因此，又符合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知， 设，则， 两边同乘以2，得， 两式相减，得 ， 因此，所以. 【变式13-4】（23-24高二下·江西萍乡·期中）正项等差数列的公差与正项等比数列的公比相同，且，，数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】（1）设等比数列的公比为，则等差数列公差也为，由已知，可得或，讨论当或时，得的取值，即可求得的通项公式； （2）由（1）可得，利用错位相减法即可求得的前项和． 【详解】（1）设等比数列的公比为，则等差数列公差也为， 因为，所以， 又，且，得， 即，解得或， 当时，由得，，又，解得， 则的通项公式分别为：， 当时，由得，，又， 解得，不合题意， 综上，数列的通项公式分别为：. （2）由（1）可得， ， ， 两式相减得：， 故的前项和． 【考点题型十四】数列求和之通项含绝对值求和（） 【例14】（23-24高三下·江西·阶段练习）已知等差数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、含绝对值的等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）设数列的首项为，公差为，根据通项公式及前项和公式得到方程组，解得、，即可得解； （2）令求出的取值范围，再分段求出数列的前项和. 【详解】（1）设数列的首项为，公差为， 则，解得. 故. （2）由（1）可得， 令，解得， 所以当时，，则， 当时，，则 ， 所以. 【变式14-1】.（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知等差数列 前项和为，且 . (1)若 ，求证：数列 是等差数列. (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、含绝对值的等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】 （1）由题得关于的方程，解出得到其通项，并计算出其前项的和，则得到的通项，利用定义计算的值即可. （2）分和讨论即可. 【详解】（1） 由题意，，解得 ， 数列的通项公式为， ， ， 数列 是以为首项，1为公差的等差数列; （2） 当时，，数列的前项和， 当 时，，数列的前项和 ， . 【变式14-2】.（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列满足，它的前项和为，且. (1)求数列的前n项和的最小值. (2)求数列的前项和为. 【答案】(1)； (2) 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、二次函数法求等差数列前n项和的最值、等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】（1）根据等差数列通项公式和前n项和公式列方程可以求出，进而可以求出结果； （2）根据（1）求出通项公式，则当时，，当时，，进而分类可以求出结果. 【详解】（1）由可知是等差数列， 又因为，， 则有， 解得，， 所以的前n项和，， 由二次函数性质可知当时，取最小值为， 所以数列的前n项和的最小值为. （2）由（1）知， 则当时，，当时，， 当时，， 当时，，， 综上，. 【变式14-3】.（2024·江西南昌·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，.      （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、含绝对值的等差数列前n项和 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件列方程组求、，写出通项公式； （2）由（1）可知时，，而，，分别求出、时数列的前项和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， ∴，解得， ∴. （2）由（1）知：，则，得，又， ∴时，，而，， ∴数列的前项和，而，， ∴，故. 【考点题型十五】数列中新定义题（） 【例15】（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列共有项，若对满足的任意正整数，均存在正整数，，使得，，，，互不相同，同时，则称数列具有性质． (1)判断数列是否具有性质； (2)已知数列具有性质，且，共有8项，，求满足题意的数列的个数； (3)已知数列具有性质，且，中至少有5项不相等，求的最小值． 【答案】(1)数列具有性质 (2)3 (3)13 【知识点】数列新定义 【分析】（1）结合新定义，对的奇偶性分类讨论即可； （2）结合新定义，对的值分两种情况讨论； （3）结合新定义依次取，，发现规律即可求解. 【详解】（1）,当同为奇数时，，只需取与不同的两个奇数，此时， 当同为偶数时，，只需取与不同的两个偶数，此时， 当一个为奇数另一个为偶数时，，只需取与不同的一个奇数和一个偶数，此时， 故数列具有性质； （2）由题可知，对满足的任意正整数均存在正整数，使得，互不相同，同时. 令，则，因为，所以， 令，则，此时，且，所以. 对于数列，，符合题意； 对于数列，，符合题意； 对于数列，，符合题意； 这样的数列的个数为3； （3）设有种取值， 取，由于，且与均不相同，因此由，的最小性与次小性知或. 故中至少有两个均为，同时至少有两个均为. 取，由于，且均不为，因此在中至少有四个均为， 类似地，在中至少有四个均为，至少有两个为. 又在中至少有五个不同的值，所以. 取， 容易验证满足题设，所以，可行. 综上，的最小值为. 【变式15-1】.（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)保持数列中的各项顺序不变，在每项与之间插入一项，组成新的数列，记数列前项和为，若，求的最小值； (3)已知数列满足，数列满足，数列的前项和记为，是否存在正整数，，使成立？若存在，求出所有的正整数对，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，说明理由见解析. 【知识点】裂项相消法求和、分组（并项）法求和、判断数列的增减性、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）条件可看作数列的和，故而采用降标作差的方法； （2）每两个数之间插入一个新的数据，故而根据特征先计算，再利用数列的递增性质来计算； （3）利用待定系数法将裂项，进而求出，化简整理得出，再分别研究左右两侧数列的增减性以及取值范围. 【详解】（1） 当时，， 两式作差得，即， 令，则，得，满足上式， 则数列的通项公式为. （2）由（1）可知，， 则 ， 则， 则， 因，故数列为递增数列， 则时的最小值为. （3）不存在正整数，，使成立，理由如下： ，则， 令， 则 若，则，得， 则， ， 欲使，只需，即， 又，且数列是递增数列，故， 故只需即可， 而， 则数列是递减数列， 因，故不存在使成立， 即不存在正整数，，使成立. 【变式15-2】.（2025·江西九江·一模）已知是由不全相同的正整数组成的有穷数列，其前项和为，．集合，中元素个数为，将中所有元素取出，并按从小到大排列，记为数列．若，则称数列为数列． (1)若，写出一个数列 (2)若是公比为偶数的等比数列，证明：为数列： (3)若数列是等差数列，求的最小正整数． 【答案】(1)1，1，2，3或1，1，2，3，5或1，1，2，3，5，8 (2)证明见解析 (3)2 【知识点】裂项相消法求和、数列新定义、求等差数列前n项和、求等比数列前n项和 【分析】（1）由数列的概念即可求解； （2）由等比数列求和公式确定恒为奇数，进而得到，再通过等比数列求和即可求证； （3）设公差为，当时，得到，再由 可得最小正整数为2，再说明当时，设的前项和为，由，得到， 进而可说明问题； ， 的最小正整数为2． 【详解】（1）若，则， 此时， ，此时 故满足条件的数列有：1，1，2，3或1，1，2，3，5或1，1，2，3，5，8（写一个即可） （2）证明：为等比数列，且，则公比． 为偶数，为偶数，，且恒为奇数． 此时，而，故 ，故为数列 （3）设数列的公差为，则， 当时，设此时前项和为， ， 又的最小正整数为2， 当时，设此时的前项和为，易知 ， 的最小正整数为2． 综上所述，的最小正整数为2 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解数列的定义，并结合定义推导求解； 【变式15-3】.（24-25高三下·江西·开学考试）若数列满足：对任意正实数，都存在正整数，当时，都有成立，则称数列为“收敛”数列.已知集合，若集合的子集满足：至少含有2个元素，且任意两个元素差的绝对值大于1，则称该子集为集合“隔离”子集.记的“隔离”子集的个数为个. (1)求和的值； (2)若，探究之间的关系，并证明； (3)设，证明；数列是“收敛”数列. 【答案】(1)，，； (2)且，，证明见解析. (3)证明见解析. 【知识点】数列新定义 【分析】（1）直接根据收敛数列的定义计算即可； （2）将集合的“隔离”子集分为不含有和含有讨论即可； （3）计算得，则，再进行合理放缩即可. 【详解】（1）的隔离子集只有，故； 的“隔离”子集有，故； 的“隔离”子集有， 故； （2）集合的“隔离”子集可以分为两类： 第一类中不含有，这类子集有个. 第二类中含有，不含，这类子集为的每个“隔离”子集与的并集， 或的一元子集与的并集，共个. 所以， 故当时，递推关系为：， ， 即， 由（1）可得，， 故当时，递推关系为：且，. （3），即， 易知数列各项为正，且单调递增，所以当时，， 则，则，， 所以， ， 即，所以， 对于任意，只需取，当时，均有，即成立， 故是收敛数列. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是计算得，再进行放缩即可. 【变式15-4】（2024·江西上饶·一模）已知数列，设分别为与空间直角坐标系中轴，轴，轴正方向相同的单位向量，. (1)，求的值. (2)定义：若，且，则，根据上述定义，若，设，求. (3)若数列均为正项数列，且为常数，且，求证：. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】由递推关系式求通项公式、空间向量模长的坐标表示、数列的极限、基本（均值）不等式的应用 【分析】（1）根据数列的通项及条件，结合向量模长公式可求解； （2）根据，结合数列的通项得，根据数列求和结合极限知识可求的坐标. （3）分和两种情况进行证明即可. 【详解】（1）由题设知， （2） ， 设， 则 则， 可得：， 同理可得：， 故. （3）（i）当时，，， 则，， 故成立； （ii）当时， 令 因为，所以， 即， 所以 ， . 综上可得：. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是对进行分和讨论即可. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高三上·江西·阶段练习）设是公差为2的等差数列，且，若，则（   ） A．2024 B．2025 C．4048 D．4050 【答案】B 【知识点】累加法求数列通项、利用定义求等差数列通项公式 【分析】由是公差为2的等差数列，得，进而求. 【详解】由，得，则， 从而． 故选：B 2．（23-24高二下·江西新余·期末）数列，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】累加法求数列通项、由递推数列研究数列的有关性质、数列新定义 【分析】，，，……，，相加得到答案. 【详解】由题意得， 故，，，……，， 上面的式子相加得， 又，故. 故选：A 3．（23-24高二下·江西·阶段练习）已知数列的前n项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据得到为等比数列，从而得到，再利用错位相减法求和即可. 【详解】由，，得，所以， 而，所以数列是首项为1、公比为的等比数列， 所以，， 所以，， 两式相减得， 所以， 所以． 故选：C 4．（23-24高二下·江西景德镇·期中）数列的前n项和为，，则的值为（    ） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】C 【知识点】利用an与sn关系求通项或项 【分析】分别将代入公式，解得，进而得出的表达式，求出即可. 【详解】分别将代入，得：，， 即，， 两式相减得：， 解得：， 故， 故选：C. 5．（23-24高二下·江西萍乡·期中）数列满足，前项和为，对任意正整数都有，则（    ） A．18 B．28 C．40 D．54 【答案】B 【知识点】分组（并项）法求和 【分析】代入递推关系式，直接求和. 【详解】由可知， ， . 故选：B 6．（23-24高二上·广东湛江·期中）数列的前n项和为，若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】裂项相消法求和 【分析】根据给定的通项公式，利用裂项相法求和即得. 【详解】依题意，， 则， 所以. 故选：D 7．（23-24高二上·重庆·阶段练习）数列的前n项和为，且满足，，则（    ） A．1011 B．1013 C．2022 D．2023 【答案】B 【知识点】数列周期性的应用、分组（并项）法求和、根据数列递推公式写出数列的项 【分析】利用数列的递推公式以及数列的周期性求解. 【详解】因为，， 所以 所以数列是以3为周期的周期数列， 且列， 所以， 故选:B. 8．（2023·江西景德镇·三模）在数列中，，，则数列的前项和（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】裂项相消法求和、求等差数列前n项和 【分析】由等差数列求和公式可整理得到，进而确定，采用裂项相消法可求得结果. 【详解】， ， . 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高二下·江西九江·阶段练习）公差为的等差数列的前项和为，若，则下列选项正确的是（    ） A． B．时，的最小值为2022 C．有最大值 D．时，的最大值为4043 【答案】ACD 【知识点】求等差数列前n项和、求等差数列前n项和的最值、利用an与sn关系求通项或项 【分析】，，，然后根据等差数列的性质和等差数列前n项和公式逐一判断即可. 【详解】， ， ， 所以，故A正确； ，所以B错误； 等差数列前项均大于，从项开始均小于，所以为的最大项，所以C正确； ， ，所以D正确； 故选：ACD 10．（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列满足，，，则（   ） A． B．是递减数列 C． D． 【答案】AC 【知识点】累乘法求数列通项、裂项相消法求和、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】由前后项的差判断单调性，结合单调性、累加法判断A，已知式变形为，利用裂项相消法求和后判断C，变形为，由连乘法求结合不等式的性质判断D． 【详解】对于B，显然，否则与矛盾，由已知得，即，是递增数列，B错； 对于A，由上分析知，所以， 而， 所以，A正确； 对于C，由得， 所以， 所以 ，C正确； 对于D，，， 所以， 所以，D错； 故选：AC． 三、填空题 11．（2025·江西上饶·一模）已知为数列的前项和，，，则的通项公式为 ；令，则 ． 【答案】 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、求等比数列前n项和 【分析】根据的关系即可求解为等差数列，即可求解空1， 根据等比数列的求和公式即可求解. 【详解】由可得， 当时，， 故， 化简可得，（）， 故为等差数列，且公差为1，故， ，故， 故， 故为等比数列且公比为，首项为， 故， 故答案为：， 12．（24-25高二下·江西九江·阶段练习）若无穷数列满足：只要，必有，则称数列为“阶对等递进数列”.若数列是“1阶对等递进数列”，且，则 ，设，数列的前项和为，则 . 【答案】 【知识点】数列的概念及辨析、分组（并项）法求和、数列周期性的应用、数列新定义 【分析】①由，利用“阶对等递进数列”的定义，可知数列是以为周期的周期数列，由此可以算得； ②由①得，所以数列每个周期的和可以求得，易知数列也是以为周期的周期数列，由此可以算得前项即个周期的和. 【详解】①由题干可知，又因为数列是“阶对等递进数列”， 所以，即，同理可得 所以数列是以为周期的周期数列，即，所以； ②因为，所以， 又，所以数列也是以为周期的周期数列， 所以. 故答案为：；. 四、解答题 13．（24-25高二下·江西南昌·阶段练习）已知数列的前项和为，，. (1)证明：数列是等比数列； (2)若，求数列的前项和； (3)若，求使取得最大值时的的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【知识点】确定数列中的最大（小）项、由递推关系证明等比数列、裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】（1）利用得到，然后结合即可证明数列是等比数列； （2）利用裂项相消的方法求和； （3）令得到，即可得到数列的单调性，然后求最值即可. 【详解】（1）由得，则， 整理得， 当时，，的， 所以数列是等比数列，公比为. （2）由（1）得，则， . （3）， 当时，令，解得， 所以当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以，即， 综上可得，当或时，取得最大值. 14．（2025·江西萍乡·一模）已知数列，满足，其中. (1)若，，求； (2)若，，求数列的前n项和； (3)若，证明：. 【答案】(1)90 (2) (3)证明见解析 【知识点】分组（并项）法求和、错位相减法求和、求等比数列前n项和、累加法求数列通项 【分析】（1）应用已知分组求和计算即可； （2）应用错位相减法计算求和； （3）先做差再应用等比数列求和，再做差证明即可. 【详解】（1）由题意，当时，，因为， 所以，当时，， 两式相减，可得. 所以. （2）当时，， 因为，所以，所以， 设的前项和为，则， 两式相减得， 所以. （3）根据题意有， ， 所以 ， 则， 因为，所以： 令，则， 所以，所以，所以. 15．（2025·江西·一模）已知数列满足. (1)若为递增数列，求的取值范围； (2)当时，证明：数列是等比数列，并求数列的前项之积. 【答案】(1)； (2)证明见解析，. 【知识点】由定义判定等比数列、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、数列不等式恒成立问题 【分析】（1）由题设，恒成立，利用二次函数性质求右侧最大值，即可得参数范围； （2）根据已知可得，结合等比数列定义证明结论，进而可得，应用等比数列的前n项和公式求. 【详解】（1）由题设，即，恒成立， 而在上单调递减，则， 所以； （2）由题设，则，又， 所以是首项为，公比为2的等比数列，故， 所以，则， 所以 . 16．（23-24高二下·江西赣州·阶段练习）已知数列的前项和为，，且数列的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、裂项相消法求和 【分析】（1）根据计算即可求解； （2）由（1）得，结合裂项相消求和法计算可得答案. 【详解】（1）当时，. 因为时，，满足上式， 所以数列的通项公式为； （2）， 所以 . 因为，所以， 又数列是递增数列，所以， 所以. 17．（23-24高二下·江西·阶段练习）对任意正整数，定义的丰度指数，其中为的所有正因数的和. (1)若，求数列的前项和； (2)对互不相等的质数，证明：，并求的值. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【知识点】数列新定义、错位相减法求和、求等比数列前n项和、求等差数列前n项和 【分析】（1）由丰度指数的定义，结合的正因数，求出，再由分组求和与错位相减法求数列的前项和； （2）由丰度指数的定义，证明，利用结论求的值. 【详解】（1）因为共有个正因数，它们是， 所以， 即，所以， 所以 令，则； 令， 则， 两式相减，得， 所以， 所以. （2）证明：因为为质数，则的正因数有4个，它们是， 的正因数均有2个，分别为和； 的正因数有个，分别为. 所以， 因为，所以 . 18．（2024·江西·二模）若数列满足条件：存在正整数，使得对一切都成立，则称数列为级等差数列． (1)若数列为2级等差数列，且前四项分别为，，，，求数列的前项和； (2)若，且是3级等差数列，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【知识点】数列新定义、分组（并项）法求和、求等差数列前n项和、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】（1）由题得，分别求出，得出奇数项是常数列，偶数项是首项为0，公差为4的等差数列，根据分组求和计算即可； （2）根据定义得，再由两角和与差的正弦公式化简，求得，再利用分组求和及等差数列前项和公式计算即可． 【详解】（1）因为数列为2级等差数列，所以，对一切都成立， 因为，， 若为奇数，由可知奇数项是常数列； 若为偶数，由可知偶数项是首项为0，公差为4的等差数列； 所以． （2）因为是3级等差数列，所以，对一切都成立， 所以， ， 所以或， 当时，， 当时，，， 又因为，所以，此时 由于， 所以， 所以 ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$