专题01 第一章 等差数列与等比数列（11考点清单，知识导图+11个考点清单&题型解读）高二数学下学期北师大版

清单01 第一章 等差数列与等比数列 （11个考点梳理+11题型解读+提升训练） 清单01 等差数列的有关概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示． 清单02 等差数列的通项公式 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 . 清单03 等差数列判断（证明）方法 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 清单04 等差数列性质 ① ②若，则（特别的，当，有） 清单05 等差数列前N项和 1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式 2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式 清单06 等差数列前n项和性质 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 清单07 等比数列概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示() 符号语言（或者）(为常数，，) 清单08 等比数列判断与证明 1、定义：（或者）（可判断，可证明） 2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明） 3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断） 清单09 等比数列常用性质 设数列是等比数列，是其前项和． （1） (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. 清单10 等比数列前n项和 若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 清单11 等比数列前n项和性质 公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类: (1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 (2)当是偶数时, ;当是奇数时, (3) 【考点题型一】判断数列是否为等差（等比）数列（） 【例1】（多选）（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）设数列，的前项和分别为，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则数列为等差数列 B．若，则数列为等比数列 C．若数列是等差数列，则，，成等差数列 D．若数列是等比数列，则，，成等比数列 【变式1-1】.（2024·湖北武汉·模拟预测）已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】.（多选）（23-24高二上·湖北武汉·期末）数列满足（为非零常数），则下列说法正确的有（    ） A．若，则数列是周期为6的数列 B．对任意的非零常数，数列不可能为等差数列 C．若，则数列是等比数列 D．若正数满足，则数列为递增数列 【变式1-3】.（多选）（2024·江西·模拟预测）在数列中，，对任意正整数n，都有，则（    ） A．若，则是等差数列 B．若是等比数列，则 C．存在，使得是等差数列 D．存在，使得是等比数列 【考点题型二】证明数列是等差（等比）数列（） 【例2】（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列满足． (1)证明：数列是等比数列； 【变式2-1】.（23-24高二下·江西萍乡）在数列中，，. (1)证明：为等比数列. 【变式2-2】.（24-25高二上·北京·阶段练习）已知数列为等差数列，首项，公差，. (1)证明是等比数列； 【变式2-3】.（2025高三·全国·专题练习）已知数列 的前 项和 满足 ，且 . (1)证明数列为等差数列，并求的通项公式; 【考点题型三】等差（等比）数列的单调性（） 【例3】（北京市顺义区2025届高三下学期统一测试（一模）数学试卷）设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】.（23-24高三下·山东·开学考试）已知数列是以为首项，为公比的等比数列，则“”是“是单调递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-2】.（23-24高二下·江苏南京）各项均为正数的等比数列，公比为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式3-3】.（多选）（24-25高三上·福建福州·期末）已知为等差数列的前项和，若，则（    ） A．为递增数列 B．为递减数列 C．当或时，的值最大 D．使得成立的的最大值是4038 【考点题型四】求等差（等比）数列中的最大项（） 【例4】（多选）（23-24高二上·河北·阶段练习）已知等差数列的前项和为，公差为，且，若，则下列命题正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．是数列中的最小项 C．和是中的最小项 D．满足的的最大值为25 【变式4-1】.（多选）（23-24高二下·甘肃武威·开学考试）已知无穷等差数列的前项和为，，，则（    ） A．在数列中，最大 B．在数列中，或最大 C． D．当时， 【变式4-2】.（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知数列 满足 ，数列 满足 . (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 【考点题型五】等差数列角标和性质（） 【例5】（2025·江西九江·二模）等差数列中，已知，则的前10项和等于（    ） A．36 B．30 C．20 D．18 【变式5-1】.（2025·江西上饶·一模）某统计数据共有13个样本，它们依次成公差的等差数列，若这组数据的分位数是26，则它们的平均数为（    ） A．25 B．23 C．21 D．19 【变式5-2】.（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）设是等差数列的前项和，若，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式5-3】.（24-25高二下·江西抚州·阶段练习）在等差数列中，，，则＝ 【变式5-4】.（24-25高三上·江西吉安·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，则 . 【考点题型六】等比数列角标和性质（） 【例6】（23-24高二下·江西赣州·期末）正项等比数列中，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-1】.（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）在等比数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】.（23-24高二下·江西南昌·期中）已知在等比数列中，，，若函数，则（    ） A．2 B． C． D． 【变式6-3】.（22-23高二下·江西赣州·阶段练习）在等比数列中，，则的值为（    ） A．48 B．72 C．147 D．192 【变式6-4】.（22-23高二下·江西赣州·期中）已知等比数列中，，则（    ） A．20 B．17 C．16 D．15 【考点题型七】等差（等比）数列前项和的基本量计算（） 【例7】（24-25高三上·江西赣州·期末）已知等差数列的前n项和为，，，则公差 . 【变式7-1】.（2024·江西上饶·一模）已知数列是等差数列，记数列的前项和为，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【变式7-2】.（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知为等比数列的前项和，若，，则（   ） A．96 B．162 C．243 D．486 【变式7-3】.（23-24高三下·江西·阶段练习）已知是正项等比数列的前项和，且，，则（    ） A．212 B．168 C．121 D．163 【变式7-4】.（2025·江西南昌·一模）已知等差数列各项不为零，前n项和为，若，则 ． 【考点题型八】等差数列前项和性质（片段和性质）（） 【例8】（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则 . 【变式8-1】.（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】.（24-25高二上·广西南宁·期末）在等差数列中，为其前项的和，若，则为（    ） A．42 B．48 C．60 D．72 【变式8-3】.（2025高二·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，且，，则 ， . 【变式8-4】.（24-25高二上·江苏泰州·期末）设数列的前n项和为，若数列为各项均为正数的等差数列，成等比数列，其中m为正整数，则 ． 【考点题型九】等差数列前项和性质（两个等差数列的比值）（） 【例9】（2024·江西·模拟预测）已知数列和都是等差数列，且其前n项和分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】.（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列、的前项和分别为、，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】.（24-25高二上·湖北武汉·期末）设等差数列，的前n项和分别为，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】.（22-23高二下·江西上饶·阶段练习）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则= . 【变式9-4】（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）数列 均为等差数列，其前 项和分别为 ，则 【考点题型十】等比数列前项和性质（片段和性质）（） 【例10】（2022·江西南昌·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则的值为 【变式10-1】.（23-24高二下·江西景德镇·期中）已知等比数列的前n项和为，若，则公比q为（    ） A．2 B．3 C． D． 【变式10-2】.（22-23高二下·江西南昌·阶段练习）各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（    ） A．80 B．30 C．26 D．16 【变式10-3】.（23-24高二下·江西上饶·阶段练习）正项等比数列的前项和为，，，则等于（　　） A．90 B．50 C．40 D．30 【变式10-4】（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知等比数列的前项和为，，，则 ． 【考点题型十一】等比数列前项和性质（奇偶项和性质）（） 【例11】（24-25高二上·全国·随堂练习）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 【变式11-1】.（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【变式11-2】.（2024·广东·模拟预测）已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则 ． 【变式11-3】.（2024高二·全国·专题练习）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二下·江西·阶段练习）在等差数列中，，，则（   ） A．2015 B．2017 C．2019 D．2021 2．（24-25高二下·江西·阶段练习）在等差数列中，若，，则该数列的公差为（    ） A． B．1 C．2 D． 3．（2025高三下·全国·专题练习）已知在等差数列中，，则（    ） A．18 B．16 C．20 D．17 4．（2025·山东菏泽·一模）已知数列，则“，，”是“数列为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2025·江西景德镇·二模）正项等比数列中，是其前项和，若，，则（    ） A．20 B．21 C．24 D．28 6．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列是首项为、公比为的等比数列，则（   ） A．12 B．4 C． D． 7．（2025·江西赣州·一模）已知数列的前n项和为，满足，则=（    ） A．11 B．31 C．61 D．121 8．（2025·江西南昌·一模）已知为等比数列，若，则的公比（   ） A． B．2 C． D． 二、多选题 9．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知为等差数列的前项和，公差为．若，，则下列数大于0的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高三上·江苏·期末）已知是等比数列，是其前n项和，满足，则下列说法中正确的有（    ） A．若是正项数列，则是单调递增数列 B．，，一定是等比数列 C．若存在，使对都成立，则是等差数列 D．若存在，使对都成立，则是等差数列 三、填空题 11．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知，是方程的两根，若，分别是，的等差中项和等比中项，则 ． 12．（2025·江西·二模）在等比数列中，，是函数的两个极值点，若，则的值为 ． 四、解答题 13．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习） 已知数列的前项和公式为 (1)求的最小值及对应的的值； (2)求数列的通项公式. 14．（23-24高二上·天津·阶段练习）已知等差数列满足：，. (1)求数列的通项公式以及前项和； (2)求的值. 15．（23-24高二下·江西抚州·阶段练习）已知数列满足，且，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求的最小值及此时的值. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 第一章 等差数列与等比数列 （11个考点梳理+11题型解读+提升训练） 清单01 等差数列的有关概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母d表示． 清单02 等差数列的通项公式 首项为,公差为的等差数列的通项公式为 . 清单03 等差数列判断（证明）方法 (1)定义法（或者）(是常数)是等差数列． (2)等差中项法： ()是等差数列． (3)通项公式：(为常数)是等差数列．（可以看做关于的一次函数） (4)前项和公式：(为常数)是等差数列．(可以看做关于的二次函数，但是不含常数项） 提醒;证明一个数列是等差数列,只能用定义法或等差中项法 清单04 等差数列性质 ① ②若，则（特别的，当，有） 清单05 等差数列前N项和 1、首项为，末项为的等差数列的前项和公式 2、首项为，公差为的等差数列的前项和公式 清单06 等差数列前n项和性质 (1)若数列是公差为的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 (2)设等差数列的公差为,为其前项和,则，，，,…组成公差为的等差数列 (3)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 (4)若等差数列的项数为,则 ，。 (5)若等差数列的项数为,则，，， 清单07 等比数列概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示() 符号语言（或者）(为常数，，) 清单08 等比数列判断与证明 1、定义：（或者）（可判断，可证明） 2、等比中项法：验证（特别注意）（可判断，可证明） 3、通项公式法：验证通项是关于的指数型函数（只可判断） 清单09 等比数列常用性质 设数列是等比数列，是其前项和． （1） (2)若，则，其中.特别地，若，则，其中. 清单10 等比数列前n项和 若等比数列的首项为,公比为,则它的前项和 清单11 等比数列前n项和性质 公比为的等比数列的前项和为,关于的性质常考的有以下四类: (1)数列，，，,…组成公比为（）的等比数列 (2)当是偶数时, ;当是奇数时, (3) 【考点题型一】判断数列是否为等差（等比）数列（） 【例1】（多选）（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）设数列，的前项和分别为，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则数列为等差数列 B．若，则数列为等比数列 C．若数列是等差数列，则，，成等差数列 D．若数列是等比数列，则，，成等比数列 【答案】AC 【知识点】判断等差数列、由定义判定等比数列 【分析】对于A，C，利用等差数列的定义判断即可，对于B，D，通过举反例判断 【详解】对于A，由等差数列的定义可知当时，数列为等差数列，所以A正确； 对于B，当时，满足，但数列不是等比数列，所以B错误； 对于C，数列是等差数列，数列的前项和为， 则， ， 所以， 所以，，成等差数列，所以C正确； 对于D，当等比数列的公比， 当为偶数时，，，均为零， 所以，，不成等比数列，所以D错误， 故选：AC. 【变式1-1】.（2024·湖北武汉·模拟预测）已知数列，则“”是“数列是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断等差数列、判断命题的必要不充分条件 【分析】先判断充分性：由已知可得，数列的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，举例可知数列不一定是等差数列，再判断必要性：数列是等差数列，可得，可得结论. 【详解】先判断充分性：， 令，则数列的偶数项成等差数列， 令，则数列的奇数项成等差数列， 但数列不一定是等差数列，如：1，1，2，2，3，3， ∴“”不是“数列是等差数列”的充分条件； 再判断必要性：若数列是等差数列，则， ，∴“”是“数列是等差数列”的必要条件； 综上，“”是“数列是等差数列”的必要不充分条件. 故选：B. 【变式1-2】.（多选）（23-24高二上·湖北武汉·期末）数列满足（为非零常数），则下列说法正确的有（    ） A．若，则数列是周期为6的数列 B．对任意的非零常数，数列不可能为等差数列 C．若，则数列是等比数列 D．若正数满足，则数列为递增数列 【答案】AD 【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列的定义、由递推数列研究数列的有关性质、判断数列的增减性 【分析】对于A，由题意可得，进而可得，即可判断； 对于B，举反例，此时为等差数列，即可判断； 对于C，由题意可得，，只有当时，数列才是以2为公比的等比数列，即可判断； 对于D，由题意可得，求得，进而可得，只需判断-是否成立即可判断. 【详解】解：对于A，因为，所以，， 所以，， 所以， 所以数列是周期为6的数列，故正确； 对于B，当时，则有，， 即有，， 由等差中项的性质可知为等差数列，故错误； 对于C，当时，，， 即有，， 当时，数列是以2为公比的等比数列，故错误； 对于D，因为正数满足， 所以 所以，， 所以，， 设数列前项和为， 则有=， 所以，， 所以，， 所以，， 所以==，， 所以数列为递增数列，故正确. 故选：AD. 【变式1-3】.（多选）（2024·江西·模拟预测）在数列中，，对任意正整数n，都有，则（    ） A．若，则是等差数列 B．若是等比数列，则 C．存在，使得是等差数列 D．存在，使得是等比数列 【答案】BD 【知识点】由定义判定等比数列、判断等差数列 【分析】利用等差数列、等比数列的定义逐一判断即可. 【详解】对于选项A：当时，，故， 但是不符合上式，故不是等差数列，故A错误. 对于选项B：若是等比数列，设公比为q， 则，解得，故选项B正确. 对于选项C：若是等差数列，设公差为d，则， 当且仅当为常数，即数列为常数数列， 则，，由上述，与常数数列矛盾，故C错误. 对于选项D：若是等比数列，设公比为， 则，所以， 整理得：，当时，解得：或，故D正确. 故选：BD. 【考点题型二】证明数列是等差（等比）数列（） 【例2】（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列满足． (1)证明：数列是等比数列； 【答案】(1)证明见解析 【知识点】由定义判定等比数列、错位相减法求和、求等比数列前n项和 【分析】（1）利用等比数列的定义，结合已知条件即可证明；（2）利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）因为， 所以，且， 所以数列是首项为、公比为的等比数列． 【变式2-1】.（23-24高二下·江西萍乡）在数列中，，. (1)证明：为等比数列. 【答案】(1)证明见解析 【知识点】写出等比数列的通项公式、根据数列的单调性求参数、由定义判定等比数列 【分析】（1）根据题意构造等比数列即可证明； 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 则， 则是以1为首项，4为公比的等比数列. 【变式2-2】.（24-25高二上·北京·阶段练习）已知数列为等差数列，首项，公差，. (1)证明是等比数列； 【答案】(1)证明见解析 【知识点】写出等比数列的通项公式、利用定义求等差数列通项公式、分组（并项）法求和、由定义判定等比数列 【分析】（1）先得到数列的通项公式，利用等比数列的定义证明数列是等比数列； 【详解】（1）因为数列为等差数列，首项，公差，所以， 当时，，且， 所以数列是以9为首项，以9为公比的等比数列. 【变式2-3】.（2025高三·全国·专题练习）已知数列 的前 项和 满足 ，且 . (1)证明数列为等差数列，并求的通项公式; 【答案】(1)证明见解析； 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、判断等差数列 【分析】（1）因为，构造，两式相减，可证为等差数列，再求，可得的通项公式. 【详解】（1）因为①， 当时，②， 由①②可得：， 化简可得，， 即，， 又，当时，，解得， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 且. 【考点题型三】等差（等比）数列的单调性（） 【例3】（北京市顺义区2025届高三下学期统一测试（一模）数学试卷）设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、等比数列的单调性 【分析】根据题意，举出反例即可得到充分性不满足，再由数列单调性的定义，即可验证必要性满足，从而得到结果. 【详解】假设等比数列的公比，首项，则数列的项依次为， 当时，满足，但是不是递减数列， 故充分性不满足； 若为递减数列，则对于任意的，必然有， 故必要性满足； 所以“存在，使得”是“为递减数列”的必要而不充分条件. 故选：B 【变式3-1】.（23-24高三下·山东·开学考试）已知数列是以为首项，为公比的等比数列，则“”是“是单调递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】等比数列的单调性、判断命题的必要不充分条件 【分析】根据等比数列的单调性和必要不充分条件的判断即可得到答案. 【详解】若等比数列满足“”， 比如，，此时不是单调递减数列，故正向无法推出，即充分性不成立， 若数列为递减数列， ，或，. 则①“，”可以推出; ②“，”也可以推出，则必要性成立； 则“”是“是单调递减数列”的必要不充分条件， 故选：B. 【变式3-2】.（23-24高二下·江苏南京）各项均为正数的等比数列，公比为，则“”是“为递增数列”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【知识点】充要条件的证明、探求命题为真的充要条件、等比数列的单调性 【分析】先根据，得到递增，充分性成立，再推导出必要性成立. 【详解】因为各项为正数，且，所以，即， 所以为递增数列，充分性成立， 若为递增数列，则，因为各项为正数，所以，必要性成立. 故选：C 【变式3-3】.（多选）（24-25高三上·福建福州·期末）已知为等差数列的前项和，若，则（    ） A．为递增数列 B．为递减数列 C．当或时，的值最大 D．使得成立的的最大值是4038 【答案】BC 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和、求等差数列前n项和的最值、等差数列的单调性 【分析】通过已知条件来分析数列的单调性，分析数列项的正负来得到前项和的最值情况即可. 【详解】已知为等差数列的前项和，且. 根据等差数列前项和公式，那么. . 因为是等差数列，若设公差为，则. 这11项的和，所以. 又因为，，可得. 所以是首项大于，公差小于的数列，即为递减数列，A选项错误，B选项正确. 由于，，且.则，，，， 那么当或时，的值最大，C选项正确. 根据等差数列前项和公式. （因为）. ，因为，，所以. 所以使得成立的的最大值是，选项错误. 故选：BC. 【考点题型四】求等差（等比）数列中的最大项（） 【例4】（多选）（23-24高二上·河北·阶段练习）已知等差数列的前项和为，公差为，且，若，则下列命题正确的是（    ） A．数列是递增数列 B．是数列中的最小项 C．和是中的最小项 D．满足的的最大值为25 【答案】AC 【知识点】求等差数列前n项和的最值、求等差数列中的最大（小）项、等差数列的单调性、利用等差数列的性质计算 【分析】对于A：通过以及来判断；对于B：根据数列的单调性来判断；对于C：通过以及来判断；对于D：通过计算来判断. 【详解】对于A：因为，所以，即，因为，所以，数列是递增数列，A正确； 对于B：因为数列是递增数列，所以最小项是首项，B错误； 对于C：因为，，所以当或时，取最小值，C正确； 对于D：由不等式， 可得，又因为，所以满足的的最大值为24，D错误． 故选：AC． 【变式4-1】.（多选）（23-24高二下·甘肃武威·开学考试）已知无穷等差数列的前项和为，，，则（    ） A．在数列中，最大 B．在数列中，或最大 C． D．当时， 【答案】ACD 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和、求等差数列中的最大（小）项 【分析】由条件推得数列公差，故最大，A项正确，B项错误；对与作差，化简，通过举特例否定恒成立；根据推得，将通项表达式放大，由题设分析即得. 【详解】设等差数列的公差为，由可得：，又由 可得：，即，故数列单调递减，最大，即A项正确，B项错误； 对于C项，由，由A项可知故，故C项正确； 对于D项，由上分析知，则，故，因，，故有，即D项正确. 故选：ACD. 【变式4-2】.（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）已知数列 满足 ，数列 满足 . (1)求数列的通项公式； (2)求数列的最大项. 【答案】(1) (2) 【知识点】写出等比数列的通项公式、求等比数列中的最大（小）项、确定数列中的最大（小）项 【分析】 （1）    根据题意判定数列为等比数列，利用等比数列的通项公式写出答案； （2）    利用作商法研究数列的单调性，进而得解. 【详解】（1）由已知可得，数列是首项为,公比的等比数列， 所以； （2）, ,解得； 解得. 当时，，, 当时，比值小于1，数列开始递减, 因此，数列的最大项为，出现在第1项和第2项. 数列的最大项为：. 【考点题型五】等差数列角标和性质（） 【例5】（2025·江西九江·二模）等差数列中，已知，则的前10项和等于（    ） A．36 B．30 C．20 D．18 【答案】B 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】利用等差数列的性质和求和公式求解，即可得到答案. 【详解】由等差数列得，故，即， 故选：B. 【变式5-1】.（2025·江西上饶·一模）某统计数据共有13个样本，它们依次成公差的等差数列，若这组数据的分位数是26，则它们的平均数为（    ） A．25 B．23 C．21 D．19 【答案】A 【知识点】利用等差数列的性质计算、总体百分位数的估计、等差数列通项公式的基本量计算、计算几个数的平均数 【分析】先根据百分位数的概念确定的值，再根据等差数列的性质求其平均数. 【详解】因为数列为公差为1的等差数列，且， 所以该组数据的分位数为，由. 根据等差数列的性质，它们的平均数为. 故选：A 【变式5-2】.（24-25高三上·江西宜春·阶段练习）设是等差数列的前项和，若，则（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【知识点】求等差数列前n项和、利用等差数列的性质计算 【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质和求和公式可求得答案. 【详解】由已知，，，相加得：； 根据等差数列的性质，若两项下标和相等则两项和相等，可得：， 可得； 由等差数列前项和的公式得：. 故选：A 【变式5-3】.（24-25高二下·江西抚州·阶段练习）在等差数列中，，，则＝ 【答案】78 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差数列的等和性可得可计算. 【详解】在等差数列中，， 则. 故答案为：. 【变式5-4】.（24-25高三上·江西吉安·阶段练习）已知等差数列的前n项和为，若，则 . 【答案】42 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】利用等差数列前n项和公式和等差数列的性质易求得； 【详解】. 故答案为：42. 【考点题型六】等比数列角标和性质（） 【例6】（23-24高二下·江西赣州·期末）正项等比数列中，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列的性质求出即可得解. 【详解】由等比数列性质可知，解得， 所以， 故选：B 【变式6-1】.（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）在等比数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列下标和性质计算可得. 【详解】在等比数列中， 则， 所以. 故选：B 【变式6-2】.（23-24高二下·江西南昌·期中）已知在等比数列中，，，若函数，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【知识点】导数的运算法则、等比数列下标和性质及应用 【分析】根据条件，利用导数的运算法则及等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】由， 可知， 又，，所以， 故选：B. 【变式6-3】.（22-23高二下·江西赣州·阶段练习）在等比数列中，，则的值为（    ） A．48 B．72 C．147 D．192 【答案】C 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】由等比数列的性质即可求解. 【详解】数列是等比数列，则， ，故． 故选：C． 【变式6-4】.（22-23高二下·江西赣州·期中）已知等比数列中，，则（    ） A．20 B．17 C．16 D．15 【答案】B 【知识点】等比数列下标和性质及应用 【分析】根据等比数列通项公式项的性质求解即可. 【详解】. 故选:B. 【考点题型七】等差（等比）数列前项和的基本量计算（） 【例7】（24-25高三上·江西赣州·期末）已知等差数列的前n项和为，，，则公差 . 【答案】2 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，列出方程组，即可求解公差. 【详解】解： 因为，， 所以 ，即，解得， 即等差数列的公差 故答案为： 【变式7-1】.（2024·江西上饶·一模）已知数列是等差数列，记数列的前项和为，且，则（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算、等差中项的应用 【分析】应用等差数列前n项和公式求得，再由等差中项的性质求. 【详解】由题设，可得， 由. 故选：D 【变式7-2】.（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知为等比数列的前项和，若，，则（   ） A．96 B．162 C．243 D．486 【答案】D 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】由等比数列的前项和公式求出，再由等比数列的性质求解即可得出答案. 【详解】设等比数列的首项和公比分别为， 当时，等比数列为常数列，则，所以无解； 当时，，两式相处可得：， 又因为，则， 所以. 故选：D. 【变式7-3】.（23-24高三下·江西·阶段练习）已知是正项等比数列的前项和，且，，则（    ） A．212 B．168 C．121 D．163 【答案】C 【知识点】等比数列下标和性质及应用、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】由条件结合等比数列性质求出，再列方程求出数列的公比，利用等比数列求和公式可求. 【详解】设等比数列的公比为， 因为数列为正项等比数列，所以， 因为，又， 所以，因为， 所以或， 若，则，解得，， 所以， 若，则，解得，， 所以， 所以， 故选：C. 【变式7-4】.（2025·江西南昌·一模）已知等差数列各项不为零，前n项和为，若，则 ． 【答案】//6.5 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据已知等式及等差数列基本量运算，计算求解即可. 【详解】在等差数列中，不为零，设公差为， 因为，令时，，所以， 令时，，则，所以， 则． 故答案为：. 【考点题型八】等差数列前项和性质（片段和性质）（） 【例8】（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则 . 【答案】21 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】根据给定条件，利用等差数列片段和的性质列式求解. 【详解】依题意，成等差数列，而，， 因此，解得. 故答案为：21. 【变式8-1】.（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】利用等差数列的基本性质可知，、、成等差数列，由此可求得的值. 【详解】因为为等差数列的前项和，则、、成等差数列， 则，所以，. 故选：B. 【变式8-2】.（24-25高二上·广西南宁·期末）在等差数列中，为其前项的和，若，则为（    ） A．42 B．48 C．60 D．72 【答案】A 【知识点】等差数列片段和的性质及应用 【分析】利用等差数列片段和的性质，结合等差数列的定义即可求解. 【详解】为等差数列，所以也为等差数列， 因为， 所以， 所以. 故选：. 【变式8-3】.（2025高二·全国·专题练习）已知等差数列的前项和为，且，，则 ， . 【答案】 【知识点】等差数列片段和的性质及应用、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】先确定公差，再利用等差数列性质求，最后得到. 【详解】由于，. 故的公差满足 从而，得，所以，得. 这意味着，所以. 从而，代入得. 故答案为：； 【变式8-4】.（24-25高二上·江苏泰州·期末）设数列的前n项和为，若数列为各项均为正数的等差数列，成等比数列，其中m为正整数，则 ． 【答案】96 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列片段和的性质及应用、等比中项的应用、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】令的公差为，由等差数列片段和的性质及已知可得，再应用等比中项的性质得求得，，最后应用等差数列前n项和公式求. 【详解】令的公差为，由题设， 且为等差数列且公差为，则， 由成等比数列，则， 所以且m为正整数，，可得，，则， 所以. 故答案为：96 【考点题型九】等差数列前项和性质（两个等差数列的比值）（） 【例9】（2024·江西·模拟预测）已知数列和都是等差数列，且其前n项和分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】由，直接代入值计算即可. 【详解】对于等差数列的前n项和满足，知道，故. 故选：B. 【变式9-1】.（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知等差数列、的前项和分别为、，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】利用等差数列的求和公式可求得所求代数式的值. 【详解】因为等差数列、的前项和分别为、，且， 因为. 故选：C. 【变式9-2】.（24-25高二上·湖北武汉·期末）设等差数列，的前n项和分别为，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题、利用an与sn关系求通项或项 【分析】依题意可设，，结合与的关系可得. 【详解】因数列，均为等差数列， 故由，可设，， 则， ， 则 故选：B 【变式9-3】.（22-23高二下·江西上饶·阶段练习）已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则= . 【答案】 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题、等差中项的应用 【分析】由等差数列的性质得到，在利用等差数列前n项和公式求解. 【详解】解：因为数列{an}和{bn}都是等差数列且=， 所以， 故答案为： 【变式9-4】（24-25高二下·上海奉贤·阶段练习）数列 均为等差数列，其前 项和分别为 ，则 【答案】 【知识点】两个等差数列的前n项和之比问题 【分析】由等比数列前项和的性质即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得：， 故答案为： 【考点题型十】等比数列前项和性质（片段和性质）（） 【例10】（2022·江西南昌·模拟预测）已知等比数列的前项和为，若，，则的值为 【答案】 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】利用等比数列片段和的性质可求得的值. 【详解】设等比数列的公比为. 若，当为偶数时，，不合乎题意，所以，， 由等比数列片段和的性质可知，、、、成等比数列， 且公比为，所以，，， 因此，. 故答案为：. 【变式10-1】.（23-24高二下·江西景德镇·期中）已知等比数列的前n项和为，若，则公比q为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【知识点】等比数列片段和性质及应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】先将表达为等比数列的片段和的形式，求公比即可. 【详解】. 故选：A. 【变式10-2】.（22-23高二下·江西南昌·阶段练习）各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则（    ） A．80 B．30 C．26 D．16 【答案】B 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】据等比数列性质可知，，，成等比数列，由等比中项特点可构造方程求得，由等比数列通项公式可求得，进而得到结果. 【详解】是各项均为正数的等比数列的前项和， 也为等比数列， 又， 该等比数列第一项，第二项. 则公比， ， . 故选：B. 【变式10-3】.（23-24高二下·江西上饶·阶段练习）正项等比数列的前项和为，，，则等于（　　） A．90 B．50 C．40 D．30 【答案】B 【知识点】等比数列片段和性质及应用、等比数列前n项和的其他性质 【分析】由，可得，由等比数列前n项和的性质可得，代入求解即可. 【详解】解：因为是正项等比数列的前项和， 所以， 所以， 又因为，， 所以， 所以， 解得或(舍). 故选：B. 【变式10-4】（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知等比数列的前项和为，，，则 ． 【答案】 【知识点】等比数列片段和性质及应用 【分析】利用等比数列前项和的性质以及等比数列的定义即可求解. 【详解】由于，故. 从而，即，故. 所以. 故答案为：. 【考点题型十一】等比数列前项和性质（奇偶项和性质）（） 【例11】（24-25高二上·全国·随堂练习）若等比数列共有项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列的所有项之和为 ． 【答案】300 【知识点】等比数列奇、偶项和的性质及应用、等比数列的其他性质 【分析】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为则，，则可求出,值，从而得出答案. 【详解】设等比数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则， ， 由题意可得：，即，解得， 故数列的所有项之和是. 故答案为：300. 【变式11-1】.（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【答案】D 【知识点】求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算、等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】设数列共有项，设所有奇数项之和为，由题意表求出和，利用求出公比，再结合求出即可. 【详解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为， 因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以， 所以，， 故满足，解得， 又， 所以. 故选：D 【变式11-2】.（2024·广东·模拟预测）已知等比数列的前6项和为63，其中偶数项和是奇数项和的两倍，则 ． 【答案】1 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列奇、偶项和的性质及应用、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】设出公比，根据，求出公比，故，得到. 【详解】设公比为，则， 其中，又， 故，， 故，即， 解得. 故答案为：1 【变式11-3】.（2024高二·全国·专题练习）等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 【答案】/ 【知识点】等比数列奇、偶项和的性质及应用 【分析】结合题意列方程组分别求出，，再由等比数列的性质求出结果即可. 【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，. 由题意可得 解得 所以． 故答案为：. 提升训练 一、单选题 1．（24-25高二下·江西·阶段练习）在等差数列中，，，则（   ） A．2015 B．2017 C．2019 D．2021 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列通项公式求数列中的项、利用定义求等差数列通项公式 【分析】根据给定条件，求出及公差，进而求出通项公式即可得解. 【详解】设等差数列的公差为，由，得， 由，得，整理得，解得， 因此等差数列的通项公式， 所以. 故选：B 2．（24-25高二下·江西·阶段练习）在等差数列中，若，，则该数列的公差为（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【知识点】利用等差数列的性质计算 【分析】利用等差数列的性质求解即可. 【详解】等差数列中，设公差为， 则， 故. 故选：D 3．（2025高三下·全国·专题练习）已知在等差数列中，，则（    ） A．18 B．16 C．20 D．17 【答案】A 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】由等差数列的性质求得，从而再求得公差，最后由通项公式的变形形式求得结论． 【详解】因为，所以，又，所以，所以． 故选：A． 4．（2025·山东菏泽·一模）已知数列，则“，，”是“数列为等差数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由递推关系证明数列是等差数列 【分析】根据充分必要条件的判断方法,分充分性和必要性,分别判断. 【详解】充分性：若对，，都有， 则令,得,即，因为为常数,所以数列为等差数列; 必要性:等差数列不一定满足,,, 例如:当等差数列通项公式为时,,, 此时,所以,,”是“数列为等差数列的充分不必要条件. 故选：A 5．（2025·江西景德镇·二模）正项等比数列中，是其前项和，若，，则（    ） A．20 B．21 C．24 D．28 【答案】B 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、分组（并项）法求和、求等比数列前n项和 【分析】根据给定条件，求出等比数列的公比，再利用并项法求和. 【详解】设正项等比数列的公比为，由，得，则， 而，所以. 故选：B 6．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知数列是首项为、公比为的等比数列，则（   ） A．12 B．4 C． D． 【答案】C 【知识点】利用等比数列的通项公式求数列中的项 【分析】根据等比数列的通项公式计算可得结果. 【详解】由题意得，. 故选：C. 7．（2025·江西赣州·一模）已知数列的前n项和为，满足，则=（    ） A．11 B．31 C．61 D．121 【答案】D 【知识点】求等比数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项、由定义判定等比数列 【分析】首先利用公式，判断数列是等比数列，再代入公式，即可求解. 【详解】令，得，得， 由， 当时，，两式相减得， ，即，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以. 故选：D. 8．（2025·江西南昌·一模）已知为等比数列，若，则的公比（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算 【分析】利用等比数列通项公式列方程即可解得公比. 【详解】根据等比数列定义由可得， 显然，所以， 解得. 故选：D 二、多选题 9．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知为等差数列的前项和，公差为．若，，则下列数大于0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】利用等差数列的性质计算、求等差数列前n项和 【分析】利用等差数列的性质和前项和的公式逐个求解即可. 【详解】， 故，所以公差，数列递减. 且，故， 且. 故选：AC 10．（23-24高三上·江苏·期末）已知是等比数列，是其前n项和，满足，则下列说法中正确的有（    ） A．若是正项数列，则是单调递增数列 B．，，一定是等比数列 C．若存在，使对都成立，则是等差数列 D．若存在，使对都成立，则是等差数列 【答案】AC 【知识点】求等比数列前n项和、判断等差数列、等比数列通项公式的基本量计算、判断数列的增减性 【分析】A选项，设出公比，得到方程，结合是正项数列，得到公比，得到是单调递增数列；B选项，举出反例；C选项，根据对都成立，得到，从而得到为常数列，为公差为0的等差数列；D选项，结合C选项，得到当为偶数时，，为奇数时，，D错误. 【详解】A选项，设公比为，故，解得或， 若是正项数列，则，，故，故是单调递增数列，A正确； B选项，当且为偶数时，，，均为0，不合要求，B错误： C选项，若，则单调递增，此时不存在，使对都成立， 若，此时，故存在，使得对都成立， 此时为常数列，为公差为0的等差数列，C正确； D选项，由C选项可知，，故当为偶数时，， 当为奇数时，，显然不是等差数列，D错误. 故选：AC. 三、填空题 11．（24-25高二下·江西·阶段练习）已知，是方程的两根，若，分别是，的等差中项和等比中项，则 ． 【答案】或 【知识点】等差中项的应用、等比中项的应用 【分析】利用等差中项和等比中项的定义求解即可. 【详解】，是方程的两根，故， ，分别是，的等差中项和等比中项， 故， 解得：， 故或. 故答案为：或 12．（2025·江西·二模）在等比数列中，，是函数的两个极值点，若，则的值为 ． 【答案】16 【知识点】等比数列下标和性质及应用、根据极值点求参数 【分析】求定义域，求导，得到是方程的两个不相等的正根，由韦达定理和等比数列的性质得到，从而得到方程，求出. 【详解】的定义域为， ， 由题意得是方程的两个不相等的正根， 故，解得， 由韦达定理得，故， 因为为等比数列，所以， 其中，故， 所以，解得，满足要求. 故答案为：16 四、解答题 13．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习） 已知数列的前项和公式为 (1)求的最小值及对应的的值； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)最小值为，当或时； (2). 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、二次函数法求等差数列前n项和的最值 【分析】（1）利用二次函数的性质即可求解； （2）利用即可求出通项公式. 【详解】（1）， ∴当或8时最小，最小值为． （2）， ∴当时，． 当时，． ∵也适合， ． 14．（23-24高二上·天津·阶段练习）已知等差数列满足：，. (1)求数列的通项公式以及前项和； (2)求的值. 【答案】(1)， (2)210 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式求解； （2）明确，，成等差数列，用等差数列的求和公式求和. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 所以， 所以，则， 所以. （2）由等差数列的性质可得：，，，是以为首项，公差为4的等差数列， 所以. 15．（23-24高二下·江西抚州·阶段练习）已知数列满足，且，，成等比数列. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，求的最小值及此时的值. 【答案】(1) (2)， 【知识点】等比中项的应用、求等差数列前n项和、求等差数列前n项和的最值、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）为等差数列，公差为2，根据题目条件得到方程，求出首项，得到通项公式； （2）利用等差数列求和公式求出，再根据二次函数的性质求出最小值及的值. 【详解】（1）由知为等差数列，设的公差为，则， 又，，成等比数列，所以，即， 解得，又，所以的通项公式为； （2）由（1）可得， 所以当时，取得最小值，最小值为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$