第10章 三角恒等变换 章末达标检测(Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

(时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知a＝(2sin 35°，2cos 35°)，b＝(cos 5°，－sin 5°)，则a·b＝(　　) A．　　　　　　　　 B．1 C．2 D．2sin 40° 解析　∵a＝(2sin 35°，2cos 35°)， b＝(cos 5°，－sin 5°)， ∴a·b＝2sin 35°cos 5°－2cos 35°sin 5° ＝2sin(35°－5°)＝2sin 30°＝1.故选B. 答案　B 2．sin2－cos2＝(　　) A．－ B． C．－ D． 解析　原式＝－＝－cos＝－. 答案　C 3．若sin θ＋cos θ＝，那么θ＝(　　) A. B. C. D. 解析　sin＝， 所以sin＝，因为0<θ<， 所以θ＋＝，所以θ＝. 答案　B 4．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x＜，则f(x)的最大值为(　　) A．1 B．2 C．＋1 D．＋2 解析　因为f(x)＝cos x ＝cos x＋sin x＝2sin， 所以当x＝时，f(x)取得最大值2. 答案　B 5.－＝(　　) A．4 B．2 C．－2 D．－4 解析　－＝－ ＝＝ ＝＝＝－4. 答案　D 6．化简的结果为(　　) A．tan α B．tan 2α C． D． 解析　原式＝＝tan 2α，故选B. 答案　B 7．(2020·全国卷Ⅲ)已知sin θ＋sin＝1，则sin＝(　　) A. B. C. D. 解析　由题意可得：sin θ＋sin θ＋cos θ＝1， 则sin θ＋cos θ＝1，sin θ＋cos θ＝， 从而有sin θcos＋cos θsin＝， 即sin＝. 答案　B 8．当函数y＝sin·cos取得最大值时，tan x＝(　　) A．1 B．±1 C． D．－1 解析　y＝ ＝(sin2x＋cos2x)＋sin xcos x＋sin xcos x＝＋sin 2x. 当sin 2x＝1时，ymax＝， 此时2x＝2kπ＋，x＝kπ＋(k∈Z)， 所以tan x＝1. 答案　A 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．f(x)＝sin 2x－cos 2x，则f(x)在下列区间上单调递增的是(　　) A. B. C. D. 解析　f(x)＝sin 2x－cos 2x ＝ ＝sin. 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z， 整理得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z. 经检验B，C正确． 答案　BC 10．(2023·南京模拟)在△ABC中，cos2A＋cos2B＝1，则下列说法正确的是(　　) A．＝ B．A＋B＝ C．sin Asin B的最大值为 D．tan Atan B＝±1 解析　因为cos2A＋cos2B＝1，cos2A＋sin2A＝1， 所以sin2A＝cos2B， ＋＝1 所以＝，＋＝1，故A选项正确； 所以，tan2A＋1＋tan2B＋1＝tan2B·tan2A＋tan2A＋tan2B＋1，即tan2B·tan2A＝1； 所以tan Atan B＝±1，故D选项正确； 所以sin Asin B＝±cos Acos B， 即cos ＝0或cos ＝0， 所以A－B＝或A＋B＝，故B选项错误； 当A－B＝时，B∈， sin Asin B＝sin sin B＝sin Bcos B＝sin 2B≤，当且仅当B＝时，此时A＝＋＝，不满足内角和定理；当A＋B＝时，B∈，sin Asin B＝sin sin B＝sin Bcos B＝sin 2B≤，当且仅当B＝时，此时A＝－＝，满足题意．综上，sin Asin B的最大值为，故C选项正确．故选ACD. 答案　ACD 11．(2023·连云港二模)已知函数f＝cos2－sin cos ，则(　　) A．函数f的最小正周期为4π B．点是函数f图象的一个对称中心 C．将函数f的图象向左平移个单位长度，所得到的函数图象关于y轴对称 D．函数f在区间上单调递减 解析　f＝cos2－sin cos ＝·－＝cos x－sin x＋＝cos ＋，故最小正周期为2π，A错误；f＝cos＋＝，点是一个对称中心，B正确； 将函数f(x)的图象向左平移个单位长度得到f(x)＝cos ＋＝－cos x＋，关于y轴对称，C正确；x∈时，x＋∈，f(x)单调递减，D正确．故选BCD. 答案　BCD 12．已知不等式f(x)＝3sin cos ＋cos2－－m≤0对于任意的－≤x≤恒成立，则实数m的值可以是(　　) A．1　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 解析　f(x)＝3sin cos ＋cos2－－m ＝sin ＋cos －m ＝sin－m≤0， 所以m≥sin， 因为－≤x≤，所以－≤＋≤， 所以－≤sin≤，所以m≥. 答案　BCD 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(2023·全国乙卷)若θ∈，tan θ＝，则sin θ－cos θ＝________. 解析　因为θ∈，则sin θ>0，cos θ>0， 又tan θ＝＝，则cos θ＝2sin θ， 且cos2 θ＋sin2 θ＝4sin2 θ＋sin2 θ＝5sin2 θ＝1， 解得sin θ＝或sin θ＝－(舍去)， 所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－. 故答案为－. 答案　－ 14．在△ABC中，若B＝30°，则cos Asin C的取值范围是________. 解析　cos Asin C＝[sin(A＋C)－sin(A－C)]＝[sin B－sin(A－C)]＝－sin(A－C)． ∵－1≤sin(A－C)≤1， ∴－≤－sin(A－C)≤， ∴cos Asin C的取值范围是. 答案　 15．黄金矩形的短边与长边的比值为黄金分割比，黄金矩形能够给画面带来美感，在黄金矩形ABCD中、设∠BAC＝α，∠BCA＝β，则tan (α－β)＝________ 解析　由题意可设＝， 则tan α＝＝，tan β＝， 所以tan(α－β)＝＝. 若＝，则结果为－. 答案　或－ 16．已知A，B，C为△ABC的三个内角，a＝(sin B＋cos B，cos C)，b＝(sin C，sin B－cos B)．若a·b＝0，则A＝________. 解析　由已知a·b＝0，得(sin B＋cos B)sin C＋cos C(sin B－cos B)＝0. 化简，得sin(B＋C)－cos(B＋C)＝0， 即sin A＋cos A＝0， 所以tan A＝－1. 又A∈(0，π)，所以A＝. 答案　 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知sin＝，cos 2α＝，求sin α及tan. 解析　因为sin＝(sin α－cos α)＝. 所以sin α－cos α＝.① 因为cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝－(cos α＋sinα)＝， 所以cos α＋sin α＝－.② 由①②得：sin α＝，cos α＝－. 所以tan α＝－. 所以tan＝＝ ＝. 所以sin α＝，tan＝. 18．(12分)在△ABC中，sin A＝－cos Bcos C且tan Btan C＝1－，求角A. 解析　在△ABC中，有A＋B＋C＝π， 所以sin A＝sin(B＋C)． 所以－cos Bcos C＝sin Bcos C＋cos Bsin C， 上式两边同时除以cos Bcos C，得 tan B＋tan C＝－1. 又tan(B＋C)＝＝ ＝－＝－tan A．所以tan A＝， 又0<A<π，所以A＝. 19．(12分)已知函数f(x)＝. (1)求f(x)的定义域； (2)若角α在第一象限，且cos α＝，求f(α)． 解析　(1)由sin≠0，得x＋≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为 . (2)由已知条件得sin α＝＝ ＝. 从而f(α)＝ ＝ ＝＝ ＝2(cos α＋sin α)＝. 20．(12分)求证：＝. 证明　左边＝ ＝＝ ＝＝＝ ＝，所以等式成立． 21．(12分) 已知△AOB中，∠AOB＝，且向量＝(－1,3)，＝(cos α，－sin α)． (1)求； (2)若α是钝角，α－β是锐角，且sin(α－β)＝，求sin β的值． 解析　(1)由＝(－1,3)，＝(cos α，－sin α)，且⊥， 得－cos α－3sin α＝0，从而tan α＝－. 则 ＝＝＝； (2)因为α为钝角， tan α＝－，α－β为锐角， sin(α－β)＝， 所以cos α＝－，sin α＝， cos(α－β)＝. 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos α·sin(α－β)＝. 22．(12分) 已知函数f(x)＝sin x＋cos x. (1)若f(x)＝2f(－x)，求的值； (2)求函数F(x)＝f(x)·f(－x)＋f2(x)的最大值和单调递增区间． 解析　(1)因为f(x)＝sin x＋cos x， 所以f(－x)＝cos x－sin x. 又因为f(x)＝2f(－x)， 所以sin x＋cos x＝2(cos x－sin x)， 且cos x≠0， 所以tan x＝， 所以＝＝＝. (2)由题知F(x)＝cos2 x－sin2x＋1＋2sin xcos x， 所以F(x)＝cos 2x＋sin 2x＋1， 即F(x)＝sin＋1. 当sin＝1时，F(x)max＝＋1. 当－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，故所求函数F(x)的单调递增区间为(k∈Z)． 学科网（北京）股份有限公司 $$