11.2 正弦定理 (Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)已知△ABC满足a>b，则下列结论正确的是(　　) A．A>B　　　　　　 B．sin A>sin B C．cos A<cos B D．sin 2A>sin 2B 解析　由大边对大角可知A>B，所以A正确；由正弦定理知sinA>sin B，所以B正确；由A>B，且y＝cos x在(0，π)单调递减，可知cos A<cos B，所以C正确；当A＝90°，B＝30°时，a>b，此时sin 2A<sin 2B，所以D错误． 答案　ABC 2．一个三角形中的两个角分别等于120°和45°，若45°角所对的边长是4，那么120°角所对的边长是(　　) A．4 B．12 C．4 D．12 解析　设120°角所对的边长为x，则由正弦定理，可得＝，得x＝＝＝12，故选D. 答案　D 3．设△ABC的内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且c＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则b＝(　　) A． B．1 C．2 D． 解析　根据三角形内角和定理知∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(75°＋45°)＝60°.由正弦定理可得b＝＝＝，故选D. 答案　D 4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝2，b＝，B＝，则△ABC为(　　) A．等腰直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 解析　由正弦定理，得sin C＝＝＝1，又C∈(0，π)，∴C＝.又B＝， ∴△ABC是等腰直角三角形，故选A. 答案　A 5．海上A，B两个小岛相距10 n mile，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛间的距离是________. 解析　如图，在△ABC中，∠C＝180°－(∠B＋∠A)＝45°， 由正弦定理，可得＝， 所以BC＝×10＝5(n mile)． 答案　5 n mile 6．在△ABC中，若B＝2A，a∶b＝1∶，则A＝________. 解析　由正弦定理＝知， ＝＝， 所以sin B＝sin A＝sin 2A. 所以cos A＝，因为A为△ABC的内角， 所以A＝30°. 答案　30° [关键能力·综合提升] 7．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若b＝，c＝3，且sin C＝，则满足条件的△ABC有(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 解析　法一　根据正弦定理＝， 得sin B＝＝1，此时B＝90°， 所以满足条件的△ABC只有1个． 法二　由于c＝bsin B，则满足条件的△ABC只有1个，故选B. 答案　B 8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2，c＝，则C＝(　　) A. B. C. D. 解析　因为sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0， 所以sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C＝0， 所以sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0， 整理得sin C(sin A＋cos A)＝0. 因为sin C≠0，所以sin A＋cos A＝0， 所以tan A＝－1.因为A∈(0，π)，所以A＝. 由正弦定理得sin C＝＝＝， 又0<C<，所以C＝. 答案　B 9．在△ABC中，AB＝，AC＝1，∠A＝30°，则△ABC的面积为________. 解析　根据三角形面积公式， 得S△ABC＝AB·AC·sin A＝××1×＝，故所求△ABC的面积为. 答案　 10．(2023·新课标Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C,2sin＝sin B. (1)求sin A； (2)设AB＝5，求AB边上的高． 解析　(1)∵A＋B＝3C， ∴π－C＝3C，即C＝， 又2sin(A－C)＝sin B＝sin(A＋C)， ∴2sin Acos C－2cos Asin C＝sin Acos C＋cos Asin C， ∴sin Acos C＝3cos Asin C， ∴sin A＝3cos A， 即tan A＝3，所以0<A<， ∴sin A＝＝. (2)由(1)知，cos A＝＝， 由sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝＝， 由正弦定理＝， 可得b＝＝2， 设AB边上的高为h， ∴AB·h＝AB·AC·sin A， ∴h＝b·sin A＝2×＝6. 即AB边上的高为6. [核心素养·探索创新] 11．已知在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A＝2B，求的取值范围． 解析　由于△ABC为锐角三角形，则A，B，C∈， 即 所以<B<. 由正弦定理得＝＝＝2cos B∈(，)． 故的取值范围是(，)． 学科网（北京）股份有限公司 $$