10.3 几个三角恒等式 (Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．将sin 40°＋化为积的形式为(　　) A．sin 15°sin 10°　　 B．－sin 50°sin 10° C．sin 50°cos 10° D．－sin 50°cos 10° 解析　sin 40°＋＝(sin 40°＋sin 60°)＝sin 50°cos 10°，故选C. 答案　C 2．(多选题)下列关系式不正确的是(　　) A．sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ B．cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ C．sin 3θ－sin 5θ＝－cos 4θcos θ D．sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ 解析　sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 4θcos θ，A错误；cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin(－θ)＝2sin 4θsin θ，B错误；sin 3θ－sin 5θ＝2cos 4θsin(－θ)，C错误；D显然不正确． 答案　ABCD 3．若sin(π－α)＝－且α∈，则sin＝(　　) A．－　 B．－　　　 C．　　　 D． 解析　由题意知sin α＝－，α∈， 所以cos α＝－.因为∈， 所以sin＝cos ＝－＝－. 答案　B 4．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则sin αcos β＝________. 解析　sin αcos β＝sin(α＋β)＋sin(α－β)＝×＋×＝. 答案　 5．化简： ＝________. 解析　原式＝＝， 因为<θ<2π，所以<<π， 所以sin>0，故原式＝sin. 答案　sin 6．已知A＋B＝，求cos2A＋cos2B的最值． 解析　cos2A＋cos2B＝＋ ＝1＋(cos 2A＋cos 2B) ＝1＋cos(A＋B)cos(A－B) ＝1＋coscos(A－B) ＝1－cos(A－B)， ∴当cos(A－B)＝－1时，原式取最大值， 当cos(A－B)＝1时，原式取最小值. [关键能力·综合提升] 7．设α∈，β∈，且＝，则(　　) A．2α＋β＝ B．2α－β＝ C．α＋2β＝ D．α－2β＝ 解析　由＝， 可得sin α－sin αsin β＝cos αcos β. 所以sin α＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos (α－β)， 因为α∈，β∈， 所以cos (α－β)>0，所以α＋α－β＝， 即2α－β＝. 答案　B 8．已知cos·cos＝，θ∈，则sin θ＋cos θ＝(　　) A．　 B．－　　　 C．－　　　 D． 解析　cos·cos ＝sincos＝sin ＝cos 2θ＝. 所以cos 2θ＝. 因为θ∈，所以2θ∈， 所以sin 2θ＝－，且sin θ＋cos θ＜0. 所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1－＝. 所以sin θ＋cos θ＝－. 答案　C 9．sin220°＋cos280°＋sin 20°cos 80°＝________. 解析　sin220°＋cos280°＋sin 20°cos 80° ＝＋＋sin 20°cos 80° ＝1＋(cos 160°－cos 40°)＋(sin 100°－sin 60°) ＝1－sin 100°·sin 60°＋sin 100°－ ＝－sin 100°＋sin 100°＝. 答案　 10．如图所示，有一块正方形的钢板ABCD，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板EFGH，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角度x＝________来截． 解析　设原正方形钢板的边长为a，截后的正方形边长为b，则＝，＝， 又a＝GC＋CF＝bsin x＋bcos x， 所以sin x＋cos x＝， 所以sin＝. 因为0<x<，<x＋<， 所以x＋＝或，x＝或. 答案　或 [核心素养·探索创新] 11．已知函数f(x)＝sin2x＋2sin xcos x＋sin·sin，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)若x＝x0为f(x)的一个零点，求cos 2x0的值． 解析　(1)f(x)＝sin2x＋sin 2x－＝＋sin 2x－cos 2x ＝sin 2x－cos 2x＋ ＝2sin＋， ∴f(x)的最小正周期为π. 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)， 得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)， ∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)． (2)由f(x0)＝2sin＋＝0， 得sin＝－<0. 又由0≤x0≤，得－≤2x0－≤， ∴－≤2x0－<0，∴cos＝， ∴cos 2x0＝cos ＝coscos－sinsin ＝×－×＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$