10.2 二倍角的三角函数 (Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

[必备知识·基础巩固] 1. (多选题)下列说法正确的是(　　) A．6α是3α的倍角，3α是的倍角 B．二倍角的正弦、余弦公式的适用范围是任意角 C．存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立 D．对任意角α，总有tan 2α＝ 解析　A正确；B中二倍角的正弦、余弦公式适用任意角，正切公式的适用范围是α，2α≠kπ＋(k∈Z)，故B正确，D错误；C中若α＝kπ(k∈Z)时等式成立． 答案　ABC 2．若tan α＝3，则＝(　　) A．2　 B．3　　　 C．4　　　 D．6 解析　＝＝2tan α＝2×3＝6. 答案　D 3．化简：＝________. 解析　原式＝ ＝ ＝＝＝1. 答案　1 4．化简：＝________. 解析　原式＝＝－ ＝－＝－1. 答案　－1 5．已知tan x＝2，则tan 2＝________. 解析　因为tan x＝2， 所以tan 2x＝＝－. tan 2＝tan＝ ＝＝－＝. 答案　 6．已知cos x＝，且x∈，求cos＋sin2x的值． 解析　∵cos x＝，x∈， ∴sin x＝－＝－， ∴sin 2x＝2sin xcos x＝－， ∴cos＋sin2x ＝＋ ＝－sin 2x＝－×＝. [关键能力·综合提升] 7．(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin＝，cos αsin β＝，则cos＝(　　) A． B． C．－ D．－ 解析　因为sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝，而cos αsin β＝，因此sin αcos β＝， 则sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝， 所以cos(2α＋2β)＝cos 2(α＋β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×2＝. 故选B. 答案　B 8．如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为225，小正方形的面积为9，直角三角形较小的锐角为α，则sin 2α等于(　　) A. B. C. D. 解析　∵大正方形的面积为225，小正方形的面积为9， ∴大正方形的边长为15，小正方形的边长为3， 设四个全等的直角三角形的长直角边为x，则短直角边为x－3. 由勾股定理得x2＋(x－3)2＝152，解得x＝12(舍负)，α为直角三角形较小的锐角，所以sin α＝，cos α＝，∴sin 2α＝2sin αcos α＝. 答案　D 9．函数f(x)＝sin－3cos x的最小值为________. 解析　∵f(x)＝sin－3cos x＝－cos 2x－3cos x＝－2cos 2x－3cos x＋1， 令t＝cos x，则t∈[－1,1]， ∴f(x)＝－2t2－3t＋1， 又函数f(x)图象的对称轴t＝－∈[－1,1]，且开口向下， ∴当t＝1时，f(x)有最小值－4. 答案　－4 10. 已知θ∈，＋＝2，则sin＝________. 解析　＋＝2⇒＝2 ⇒sin θ＋cos θ＝2sin θcos θ⇒1＋sin 2θ＝2sin22θ， 因为θ∈，所以2θ∈(π，2π)， 所以sin 2θ＝－，所以sin θ＋cos θ<0， 所以θ∈，所以2θ∈， 所以cos 2θ＝，所以sin＝sin 2θ·cos＋sincos 2θ＝. 答案　 [核心素养·探索创新] 11．如图，ABCD是一块边长为100 (m)的正方形地皮，其中AST是半径为90( m)的扇形小山，其余部分都是平地．一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在上，相邻两边CQ，CR正好落在正方形的边BC，CD上，求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值． 解析　如图，连接AP，设∠PAB＝θ，延长RP交AB于M， 则AM＝90cos θ，MP＝90sin θ. 所以PQ＝MB＝100－90cos θ， PR＝MR－MP＝100－90 sin θ. 所以S矩形PQCR＝PQ·PR ＝(100－90cos θ)(100－90sin θ) ＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ)＋8 100sin θcos θ. 令t＝sin θ＋cos θ ＝sin， 由0≤θ≤ 得≤θ＋≤， 所以1≤t≤，则sin θcos θ＝， 所以S矩形PQCR＝10 000－9 000t＋8 100· ＝4 0502＋950. 故当t＝时S矩形PQCR有最小值950 (m2)； 当t＝时，S矩形PQCR有最大值(14 050－9 000) (m2)． 学科网（北京）股份有限公司 $$