10.1.3 两角和与差的正切 (Word练习)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

[必备知识·基础巩固] 1．(多选题)下列说法正确的是(　　) A．存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立 B．对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立 C．tan(α＋β)＝等价于tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β) D．△ABC中，若tan Atan B<0，则三角形为钝角三角形 解析　A正确．当α＝0，β＝时，tan(α＋β)＝tan＝tan 0＋tan ，但一般情况下不成立． B错误．两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)． C正确．当α≠kπ＋(k∈Z)，β≠kπ＋(k∈Z)，α＋β≠kπ＋(k∈Z)时，由前一个式子两边同乘以1－tan αtan β可得后一个式子． D正确．tan Atan B<0，则A，B中必有一个为钝角，所以三角形必为钝角三角形． 答案　ACD 2．tan 255°＝(　　) A．－2－　　　　 B．－2＋ C．2－ D．2＋ 解析　tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75° ＝tan (45°＋30°)＝ ＝＝2＋. 答案　D 3．在△ABC中，∠C＝120°，tan A＋tan B＝，则tan Atan B＝(　　) A.　　 　B.　　 　C.　 　　D. 解析　∵∠C＝120°，∴∠A＋∠B＝60°， ∴tan(A＋B)＝＝， ∴tan A＋tan B＝(1－tan Atan B)＝， 解得tan A·tan B＝.故选B. 答案　B 4．已知tan＝，tan＝－，则tan＝________. 解析　tan ＝tan ＝＝. 答案　 5．已知A，B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则A＋B＝________. 解析　∵B为锐角，sin B＝， ∴cos B＝，∴tan B＝， ∴tan(A＋B)＝＝＝1. ∵0<A＋B<π，∴A＋B＝. 答案　 6．已知tan＝2，tan β＝. (1)求tan α的值； (2)求的值． 解析　(1)∵tan＝2， ∴＝2， ∴＝2，解得tan α＝. (2)原式＝ ＝＝ ＝tan(β－α)＝ ＝＝. [关键能力·综合提升] 7．已知α＋β＝，且α，β满足(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0，则tan α＝(　　) A．－ B． C．－ D．3 解析　因为(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0， 所以tan αtan β＋3(tan α＋tan β) ＝tan α－2，① 因为tan(α＋β)＝＝， 所以3(tan α＋tan β)＝(1－tan αtan β)，② 将②代入①得＝tan α－2，所以tan α＝＋2＝3. 答案　D 8．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则α＋β＝(　　) A． B．－ C．或－ D．－或 解析　由一元二次方程根与系数的关系得tan α＋tan β＝－3，tan α·tan β＝4， ∴tan α<0，tan β<0. ∴tan (α＋β)＝＝＝. 又∵－<α<，－<β<， 且tan α<0，tan β<0， ∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－. 答案　B 9．化简：tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝________. 解析　原式＝tan 10°tan 20°＋tan 60°(tan20°＋tan 10°)＝tan 10°tan 20°＋tan(20°＋10°)(1－tan 20°tan 10°)＝tan 10°tan 20°＋1－tan 20°tan 10°＝1. 答案　1 10．在△ABC中，角C＝60°，且tan＋tan＝1，则sin·sin＝________. 解析　因为角C＝60°，所以＋＝60°， 所以tan 60°＝＝tan， 即＝， 所以＝， 解得tantan＝. 即＝，① 又cos 60°＝cos ＝coscos－sinsin＝，② 由①②得：sinsin＝. 答案　 [核心素养·探索创新] 11．在△ABC中，tan B＋tan C＋tan Btan C＝，且tan A＋tan B＋1＝tan Atan B，试判断△ABC的形状． 解析　tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝＝＝－， 又0<A<π，所以A＝π. tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝＝＝， 又0<C<π，所以C＝.所以B＝ 所以△ABC是顶角为π的等腰三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$