14.4.3 用频率直方图估计总体分布&14.4.4 百分位数(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

第14章　统计 14.4　用样本估计总体 14.4.3　用频率直方图估计总体分布 14.4.4　百分位数 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 目 录 课前案 必备知识·自主学习 01 02 CONTENTS 课堂案 关键能力·互动探究 03 课后案 学业评价·层级训练 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 课前案 必备知识·自主学习 01 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 导学 百分位数 小于或等于pk 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 50 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 课堂案 关键能力·互动探究 02 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 点击进入Word 课后案 学业评价·层级训练 03 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 谢谢观看 返回目录 第14章　统计 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 学业标准 素养目标 1.会用频率直方图估计总体分布．(重点) 2．理解百分位数的统计含义，结合实例，能用样本估计百分位数．(重点、难点) 1.通过学习百分位数的概念，培养数学抽象核心素养． 2．通过利用频率直方图估计总体分布以及百分位数的应用，提升数据分析、数学运算等核心素养. [教材梳理] 1.百分位数 (1)定义：一组数据的k百分位数是这样一个值pk，它使得有k%的数据_______________. (2)图示：如果将样本数据从小到大排列成一行，那么k百分位数pk所处位置如图所示： (3)计算步骤： 第1步　将所有数值按从小到大的顺序排列； 第2步　计算k·eq \f(n,100)； 第3步　如果结果为整数，那么k百分位数位于第k·eq \f(n,100)位和下一位数之间，通常取这两个位置上数值的平均数为k百分位数； 第4步　如果k·eq \f(n,100)不是整数，那么将其向上取整(即其整数部分加上1)，在该位置上的数值为k百分位数． 2．四分位数：中位数即为_____百分位数，通常把中位数、25百分位数和75百分位数称为四分位数． [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)50百分位数就是中位数．(　　) (2)总体数据中的任意一个数小于50百分位数的可能性一定是50%.(　　) (3)频率直方图中，众数是最高小距形底边的中点．(　　) (4)频率直方图中，中位数右边的直方图的面积一定是0.5.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．下列一组数据的25百分位数是(　　) 2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6 A．3.2　 B．3.0　　 C．4.4　 D．2.5 解析　把该组数据按照由小到大排列，可得：2.1，3.0,3.2,3.4,3.8,4.0,4.2,4.4, 5.3,5.6，由25×eq \f(10,100)＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2，是25百分位数． 答案　A 3．100辆汽车通过某一段公路时的时速的频率直方图如图所示，则时速在[60,70)的汽车大约有(　　) A．30辆 B．40辆 C．60辆 D．80辆 解析　0.04×10×100＝40. 答案　B 4．某地为了了解该地区10 000户家庭的用电情况，采用分层抽样的方法抽取了500户家庭的月平均用电量，并根据这500户家庭的月平均用电量画出频率直方图如图所示，则该地区10 000户家庭中月平均用电度数在[70,80)的家庭有_______户． 解析　根据频率直方图得该地区10 000户家庭中月平均用电度数在[70,80)家庭有10 000×0.035×10＝3 500(户)． 答案　3 500 题型一　由频率直方图求众数、中位数、平均数 (1)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这10 000人中用分层抽样的方法抽出100人作进一步分析，则月收入在[4 000,4 500)内的应抽取多少人？ (2)估计该地居民的月收入的中位数； (3)假设同组中的数据用该组区间的中点值代替，估计该地居民月收入的平均数． [解析]　(1)因为(0.000 2＋0.000 4＋2a＋0.000 3＋0.000 1)×500＝1， 所以a＝0.000 5.又0.000 5×500＝0.25，所以月收入在[4 000,4 500)内的频率为0.25，所以月收入在[4000,4 500)内的应抽取的人数为0.25×100＝25. (2)因为0.000 2×500＝0.1,0.000 4×500＝0.2,0.000 5×500＝0.25,0.1＋0.2＋0.25＝0.55>0.5，所以样本数据的中位数是3 500＋eq \f(0.5－0.1＋0.2,0.000 5)＝3 900(元)． 因此估计该地居民月收入的中位数是3 900元． (3)样本平均数为(2 750×0.000 2＋3 250×0.000 4＋3 750×0.000 5＋4 250×0.000 5＋4 750×0.000 3＋5 250×0.000 1)×500＝3 900(元)，因此估计该地居民月收入的平均数为3 900元． 1．频率直方图的性质 (1)小长方形的面积＝组距×eq \f(频率,组距)＝频率． (2)各小长方形的面积之和等于1. (3)小长方形的高＝eq \f(频率,组距)，所有小长方形的高的和为eq \f(1,组距). 2．要理解并记准频率直方图与众数、中位数及平均数的关系. [触类旁通] 1．某校从参加高二年级学业水平测试的800名学生中抽出80名学生，其数学成绩(均为整数)的频率直方图如图所示． (1)求这次测试数学成绩的众数； (2)求这次测试数学成绩的中位数； (3)求这次测试数学成绩的平均分； (4)试估计这次测试高二年级80分以上的学生人数． 解析　(1)由图知众数为eq \f(70＋80,2)＝75(分)． (2)由图知，设中位数为x，由于前三个矩形面积之和为0.4，第四个矩形面积为0.3,0.3＋0.4>0.5，因此中位数位于第四个矩形内，得0.1＝0.03(x－70)，所以x≈73.3，即中位数为73.3. (3)由图知这次测试数学成绩的平均分为45×0.005×10＋55×0.015×10＋65×0.02×10＋75×0.03×10＋85×0.025×10＋95×0.005×10＝72(分)． (4)因为[80,90)分的频率为0.025×10＝0.25，[90,100]分的频率为0.005×10＝0.05，所以估计这次测试高二年级80分以上的学生人数为800×(0.25＋0.05)＝240. 题型二　数字特征与频率直方图的综合应用 (1)求直方图中a的值； (2)试估计该市居民月均用水量的众数、平均数； (3)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由； (4)如果希望85%的居民月均用水量不超过标准x，那么标准x定为多少比较合理？ [解析]　(1)利用频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，可得(0.08×2＋0.16＋2a＋0.4＋0.52＋0.12＋0.04)×0.5＝1，解得a＝0.3. (2)由图可知，估计该市居民月均用水量的众数为eq \f(2＋2.5,2)＝2.25(吨)，估计该市居民月均用水量的平均数为0.25×0.04＋0.75×0.08＋1.25×0.15＋1.75×0.2＋2.25×0.26＋2.75×0.15＋3.25×0.06＋3.75×0.04＋4.25×0.02＝2.035(吨)． (3)由频率分布直方图可知，该市月均用水量不低于3吨的居民的占比为(0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝0.12， 据此估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为300 000×0.12＝36 000. (4)由图可知，月均用水量小于2.5吨的居民人数所占的百分比为 0．5×(0.08＋0.16＋0.3＋0.4＋0.52)＝0.73， 月均用水量低于3吨的居民人数所占的百分比为0.73＋0.5×0.3＝0.88，所以x∈(2.5,3)，由题意可得0.73＋(x－2.5)×0.3＝0.85，解得x＝2.9，即标准x定为2.9比较合理． [素养聚焦]　用频率直方图估计总体分布，数据分析、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 结合频率直方图或统计的其他知识计算平均数、中位数、众数，一般比较简单，直接计算即可．结合数据的集中趋势，来分析现实生活中的实际问题时，关键是读懂题意，建立数学模型. [触类旁通] 2．为了了解某体育院校新生的体能情况，该校随机抽查了n名学生，测试1分钟引体向上的成绩(次数)，成绩均在[15,35]内，按次数分成4组，第一组：[15,20)，第二组：[20,25)，第三组：[25,30)，第四组：[30,35]，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有5人． (1)求n的值； (2)以每组数据的中点值作为该组数据的代表值，估计新生引体向上的成绩的平均数和方差． 解析　(1)根据频率分布直方图得第一组的频率为0.02×5＝0.1，所以eq \f(5,n)＝0.1，所以n＝50. (2)新生引体向上的成绩的平均数为eq \x\to(x)＝17.5×0.1＋22.5×0.3＋27.5×0.4＋32.5×0.2＝26，新生引体向上的成绩的方差为s2＝(17.5－26)2×0.1＋(22.5－26)2×0.3＋(27.5－26)2×0.4＋(32.5－26)2×0.2＝20.25， 所以新生引体向上的成绩的平均数的估计值为26，方差的估计值为20.25. 题型三　百分位数 7．9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0， 分别求出这组数据的25,75,95百分位数． [解析]　将所有数据从小到大排列，得7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0, 9.9，因为共有12个数据， 所以25×eq \f(12,100)＝3,75×eq \f(12,100)＝9,95×eq \f(12,100)＝11.4， 则25百分位数是eq \f(8.0＋8.3,2)＝8.15， 75百分位数是eq \f(8.6＋8.9,2)＝8.75， 95百分位数是第12个数据为9.9. 准确掌握百分位数的概念，并掌握求百分位数的方法步骤. [触类旁通] 3．已知甲、乙两组数据(已按从小到大的顺序排列)： 甲组：27,28,39,40，m,50；乙组：24，n,34,43,48,52.若这两组数据的30百分位数、80百分位数分别相等，则eq \f(m,n)等于(　　) A．eq \f(12,7)　　　 B．eq \f(10,7)　　　 C．eq \f(4,3)　　　 D．eq \f(7,4) 解析　因为30%×6＝1.8，大于1.8的比邻整数为2，所以30百分位数为n＝28,80%×6＝4.8，大于4.8的比邻整数为5，所以80百分位数为m＝48，所以eq \f(m,n)＝eq \f(48,28)＝eq \f(12,7). 答案　A [缜密思维提能区]　　　　　　　　　易错案例　　 利用频率直方图计算中位数 [典例]　为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量得到频率直方图如图，则 这20名工人中一天生产该产品数量的中位数为_______. [解析]　设中位数为x， 则0.2＋(x－55)×0.04＝0.5，―→ x＝62.5. [答案]　62.5 [纠错心得]　利用频率直方图估计数字特征时明确相应的概念非常关键，特别是中位数和众数的概念容易混淆．如本题中，若概念混淆一是会出现求出众数的错误，二是无法根据定义准确求出中位数． 知识落实 技法强化 (1)数字特征与频率直方图及其应用． (2)百分位数的统计含义及应用. (1)数表结合，数学建模． (2)四分位数的含义，中位数即50百分位数. $$