第10章 三角恒等变换 章末整合提升(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

—————————————————————————————————————— 一、三角函数式求值 三角函数式求值主要有三种类型：给角求值、给值求值和给值求角．解题时首先分析已知式与待求式之间角、函数、结构间的差异，有目的的将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值． 角度1　给角求值 　(2021·全国卷Ⅰ)cos2－cos2＝(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. [解析]　由题意结合诱导公式可得cos2－cos2＝cos2－sin2，再由二倍角公式即可得解． 由题意，cos2－cos2＝cos2－cos2＝cos2－sin2＝cos＝.故选D. [答案]　D 角度2　给值求值 　已知－<x<0，sin x＋cos x＝. (1)求sin 2x和cos x－sin x的值； (2)求的值． [解析]　(1)由sin x＋cos x＝，平方得1＋sin 2x＝，所以sin 2x＝－，因为－<x<0， 所以cos x>sin x， 所以cos x－sin x＝＝. (2)＝ ＝＝sin 2x· ＝－×＝－. 角度3　给值求角 　已知α，β∈，＝，且3sin β＝sin(2α＋β)，则α＋β＝(　　) A.　　 　B.　　　 C.　　 　D. [解析]　由＝，得tan α＝， 由3sin β＝sin(2α＋β)， 得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]， 即tan(α＋β)＝2tan α＝1， 由题意知α＋β∈， 所以α＋β＝. [答案]　B 二、三角函数式的化简与证明 三角函数式的化简是三角变换应用的一个重要方面，其基本思想方法是统一角、统一三角函数的名称．在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简． 三角函数式的证明实质上也是化简，是有方向目标的化简；根本原则：由繁到简，消除两端差异，达到证明目的． 角度1　三角函数式的化简 　(1)计算：＋2＝________. (2)化简：－. (1)[解析]　原式＝＋2 ＝2|cos 4|＋2 ＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|， 因为<4<，所以cos 4<0，sin 4<cos 4<0. 所以sin 4－cos 4<0. 从而原式＝－2cos 4－2sin 4＋2cos 4＝－2sin 4. [答案]　－2sin 4 (2)[解析]　 原式＝＋ ＝＋ ＝＋ ＝＋ ＝＝. 角度2　三角函数式的证明 　证明：＝tan θ. [证明]　左边＝ ＝＝ ＝tan θ＝右边． 三、三角恒等变换的综合应用 与三角恒等变换有关的综合问题一般有以下两种类型： (1)以三角恒等变换为主要的化简手段，考查三角函数的性质． (2)以向量运算为载体，考查三角恒等变换．这类问题往往利用向量的知识和公式，通过向量的运算，将向量条件转化为三角条件，然后通过三角变换解决问题；有时还从三角与向量的关联点处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查． 　已知函数f(x)＝cos2x－sin2x，则(　　) A．f(x)在上单调递减 B．f(x)在上单调递增 C．f(x)在上单调递减 D．f(x)在上单调递增 [解析]　f(x)＝cos2x－sin2x＝cos 2x，选项A中：2x∈，此时f(x)单调递增；选项B中：2x∈，此时f(x)先递增后递减；选项C中：2x∈，此时f(x)单调递减；选项D中：2x∈，此时先递减后递增，所以选C. [答案]　C 已知三角函数值求角 [典例]　已知π<α<α＋β<2π，且满足cos α＝－，cos (α＋β)＝，则β＝________. [解析]　∵cos α＝－，cos(α＋β)＝－， 且π<α<α＋β<2π， ∴sin α＝－，sin(α＋β)＝， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－. [答案]　 [纠错心得]　解决由已知函数值求角的问题时，应先求出所求角的范围，再由角的范围选择相关函数，尽量使该函数在其角所在范围内单调，这样即避免了繁琐的计算量，更杜绝了错误发生． 利用三角公式解决三角函数综合问题 [典例]　(12分)已知函数f(x)＝sin2x＋msin·sin. (1)当m＝0时，求f(x)在区间上的取值范围； (2)当tan α＝2时，f(α)＝，求m的值． [审题指导]　(1)要求当m＝0时，f(x)在区间上的取值范围，只需要将f(x)＝sin2x化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋t的形式． (2)要求m的值，只需要利用tan α＝2时，f(α)＝建立关系求解． [规范解答]　(1)当m＝0时， f(x)＝sin2x ＝sin2x＋sin xcos x ＝ ＝.① (3分) 由已知x∈， 得2x－∈，―→② 所以sin∈，③(5分) 从而得f(x)的值域为.④(6分) (2)f(x)＝sin2x＋sin xcos x－cos 2x ＝＋sin 2x－cos 2x ＝[sin 2x－(1＋m)cos 2x]＋.⑤(8分) 由tan α＝2，得sin 2α＝＝＝， cos 2α＝＝＝－.⑥(10分) 所以＝＋，⑦(11分) 解得m＝－2.⑧(12分) 学科网（北京）股份有限公司 $$