第10章 教考衔接(二) 正弦型函数的值域(最值)(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

一、真题展示 　(2021·浙江卷)设函数f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)． (1)求函数y＝2的最小正周期； (2)求函数y＝f(x)f 在上的最大值． 二、真题溯源 　教科书P79第16题 已知函数y＝sin 2x＋2sin xcos x－3cos 2x，x∈R. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的最大值． 三、解法探究 函数的值域(最值)是三角函数的重要性质，一般以小题的形式出现，大题中也时有出现，借助于三角恒等变换对三角函数的性质进行综合考查，下面就常见题型对点突破． 类型一　求函数的最值(值域) 　已知函数f(x)＝cos x(cos x＋sin x)－1. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)在上的值域． [解析]　(1)f(x)＝cos 2x＋sin xcos x－1＝sin 2x＋cos 2x－＝sin－， 函数f(x)的最小正周期为 T＝＝＝π. (2)由x∈，则2x＋∈，则sin∈， 即sin－∈， 所以函数f(x)在上的值域为. 解决此类问题通常利用倍角公式、三角函数的叠加、整体代换及正弦函数的性质进行求解. 类型二　已知函数的最值求参数的值 　　已知函数f(x)＝cos xsin x＋sin2x. (1)求f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值． [解析]　(1)∵f(x)＝cos xsin x＋sin2x ＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋， ∴f(x)的最小正周期T＝π， 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)， 可得f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)． (2)当x∈时， 2x－∈， f(x)在区间上的最大值为， 所以sin可以取到最大值1， 从而2m－≥，可得m≥， ∴m的最小值为. 这类题除了需要熟练掌握三角公式化简函数外，还必须知道一个周期内的最值的变化，及何时取到最值，函数取得最值的条件要求与题目给定的区间相符合. 类型三　不等式能成立问题 　已知函数f(x)＝2sin xcos＋. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若存在a，b∈，使得f(a)＋2m<f(b)成立，求实数m的取值范围． [解析]　(1)因为f(x)＝2sin xcos＋ ＝2sin x＋ ＝2sin x＋ ＝sin xcos x－sin 2x＋ ＝sin 2x＋cos 2x＝sin. 所以f(x)的最小正周期为T＝＝π. (2)当x∈时，2x＋∈，所以当2x＋＝时，f(x)取得最大值1； 当2x＋＝时，f(x)取得最小值－. 因为存在a，b∈，使得f(a)＋2m<f(b)成立， 所以f(x)min＋2m<f(x)max， 即－＋2m<1，解得m<， 所以实数m的取值范围为. 解决此类问题，除了利用三角公式将已知函数化为正弦型，还要求出最值，更重要的是理解“存在”即不等式有解．进而转化为最值之间的不等关系进行求解. 类型四　不等式恒成立问题 　已知函数f(x)＝sin xcos x＋cos 2x. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)若f(x)＋m≤0对x∈恒成立，求实数m的取值范围． [解析]　(1)因为f(x)＝sin xcos x＋cos 2x＝sin 2x＋cos 2x＝sin. 所以函数f(x)的最小正周期为T＝＝π. (2)“f(x)＋m≤0对x∈恒成立”等价于“f(x)max＋m≤0”． 因为x∈，所以2x＋∈， 当2x＋＝，即x＝时，f(x)的最大值为f ＝1.所以1＋m≤0，即m≤－1， 所以实数m的取值范围为(－∞，－1]． 利用S2α降幂公式、三角函数的叠加将已知函数转化为正弦型函数求最值．对于恒成立的不等式求参数通常通过分离参数求最值即可得解. 学科网（北京）股份有限公司 $$