11.1 余弦定理(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

第11章　解三角形 11.1　余弦定理 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 目 录 课前案 必备知识·自主学习 01 02 CONTENTS 课堂案 关键能力·互动探究 03 课后案 学业评价·层级训练 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 课前案 必备知识·自主学习 01 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 导学 余弦定理 平方 平方的和 余弦的积的两倍 b2＋c2－2bccos A a2＋c2－2accos B a2＋b2－2abcos C 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 元素 解三角形 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 课堂案 关键能力·互动探究 02 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 点击进入Word 课后案 学业评价·层级训练 03 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 谢谢观看 返回目录 第11章　解三角形 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 学业标准 素养目标 1.掌握并熟记证明余弦定理的向量方法，会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．(重点) 2.掌握余弦定理在实际问题中的应用．(难点) 1.通过学习运用余弦定理解三角形，培养数学运算核心素养. 2.通过借助余弦定理判断三角形的形状，培养逻辑推理核心素养. eq \f(a2＋b2－c2,2ab) [教材梳理] 1．余弦定理 文字 语言 三角形中任何一边的_____，等于其他两边__________减去这两边与它们夹角的__________________ 符号 语言1 a2＝__________________； b2＝__________________； c2＝__________________ 符号 语言2 cos A＝___________；cos B＝___________；cos C＝___________ eq \f(b2＋c2－a2,2bc) eq \f(a2＋c2－b2,2ac) 2．解三角形 (1)三角形的三个角和三条边叫作三角形的_____. (2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作__________. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．(　　) (2)已知三角形的三边求三个内角时，解是唯一的．(　　) (3)在△ABC中，若a2＞b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形．(　　) (4)在△ABC中，若a2＜b2＋c2，则△ABC一定为锐角三角形．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)× 2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝4，b＝5，c＝6，则cos B＝(　　) A．－eq \f(1,8)　　　　　　 B．eq \f(1,8) C．－eq \f(9,16) D．eq \f(9,16) 解析　由余弦定理可得 cos B＝eq \f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq \f(16＋36－25,2×4×6)＝eq \f(9,16). 答案　D 3．在△ABC中，已知a＝eq \r(6)，b＝2，c＝eq \r(3)＋1，则A＝_______. 解析　由余弦定理得 cos A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(22＋\r(3)＋12－\r(6)2,2×2×\r(3)＋1)＝eq \f(1,2)， 又0°<A<180°，所以A＝60°. 答案　60° 4．已知在△ABC中，a＝1，b＝2，C＝60°，则c＝__________. 解析　由余弦定理，得c2＝12＋22－2×1×2×cos 60°＝3，所以c＝eq \r(3). 答案　eq \r(3) 题型一　利用余弦定理解三角形(一题多变) r(19)INCLUDEPICTURE "教师WORD/例1.tif" \* MERGEFORMAT" 　(1)(2021·全国卷Ⅱ)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　) A．1　　　 B．eq \r(2)　　　 C．eq \r(5)　　　 D．3 (2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝3∶5∶7，则此三角形中的最大角的大小为(　　) A．150° B．120° C．92° D．135° [解析]　(1)利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长． 设AB＝c，AC＝b，BC＝a， 结合余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB， 可得19＝a2＋4－2×a×2×cos 120°， 即a2＋2a－15＝0，解得a＝3(a＝－5舍去)， 故BC＝3.故选D. (2)∵a∶b∶c＝3∶5∶7，设a＝3x，b＝5x，c＝7x，x>0，∴c最大，即C最大， ∴cos C＝eq \f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq \f(9x2＋25x2－49x2,30x2)＝－eq \f(1,2)， 又0°<C<180°， ∴C＝120°，故选B. [答案]　(1)D　(2)B [母题变式] (变条件)将本例(1)中的条件“a＝eq \r(5)，c＝2，cos A＝eq \f(2,3)”改为“a＝2，c＝2eq \r(3)，cos A＝eq \f(\r(3),2)”，求b为何值？ 解析　由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bccos A， 所以22＝b2＋(2eq \r(3))2－2×b×2eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)， 即b2－6b＋8＝0， 解得b＝2或b＝4. [素养聚焦]　在运用余弦定理解三角形的过程中，突出培养数学运算等核心素养． 1．解决“已知两边及一角”解三角问题的步骤 (1)用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出此边长． (2)再用余弦定理和三角形内角和定理求出其他两角. 2．解决“已知三角形的三边”解三角形的方法 先利用余弦定理的第二种形式求出一个角的余弦，从而求出第一个角；再利用余弦定理的第二种形式求出第二个角；最后利用三角形的内角和定理求出第三个角． [触类旁通] 1．在△ABC中，已知sin A＝eq \f(3,5)，cos A＋cos B<0，a＝3eq \r(5)，b＝5，则c＝_______. 解析　在△ABC中，a＝3eq \r(5)，b＝5， 由a>b，得A>B， 因为cos A＋cos B<0，所以角A为钝角， 则cos A＝－eq \f(4,5)， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A， 即c2＋8c－20＝0，解得c＝2或c＝－10(舍去)， 故答案为2. 答案　2 题型二　三角形形状的判断 [解析]　将已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccos Bcos C．由余弦定理并整理，得 b2＋c2－b2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋b2－c2,2ab)))2－c2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2＋c2－b2,2ac)))2＝2bc×eq \f(a2＋c2－b2,2ac)×eq \f(a2＋b2－c2,2ab)， 所以b2＋c2＝eq \f([a2＋b2－c2＋a2＋c2－b2]2,4a2)＝eq \f(4a4,4a2)＝a2. 所以A＝90°.所以△ABC是直角三角形． 判断三角形的形状往往和三角恒等变换或代数变形分不开．此题利用余弦定理将角化边，得出三边之间的关系，从而判断出三角形形状. [触类旁通] 2．满足条件a＝4，b＝3eq \r(2)，A＝45°的△ABC的个数为(　　) A．一个 B．两个 C．不存在 D．无法判断 解析　因为a2＝b2＋c2－2bccos A，即16＝18＋c2－6c，解得c＝3＋eq \r(7)或c＝3－eq \r(7)，所以满足条件的△ABC有两个．故选B. 答案　B 题型三　利用余弦定理解决实际应用问题 [解析]　在Rt△ABC中，∠ACB＝45°， 设AB＝h，则BC＝h， 在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，所以BD＝eq \r(3)h， 在△BCD中，∠CBD＝30°，CD＝200 m， 由余弦定理可得40 000＝h2＋3h2－2h·eq \r(3)h·eq \f(\r(3),2)， 所以h＝200(m)，所以塔高AB＝200 (m)． [答案]　200 此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某个量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题. [触类旁通] 3．如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为(　　) A．30°　 B．45°　　　 C．60°　　　 D．75° 解析　依题意可得AD＝20eq \r(10)(m)， AC＝30eq \r(5)(m)，又CD＝50(m)，所以在△ACD中， 由余弦定理得cos∠CAD＝eq \f(AC2＋AD2－CD2,2AC·AD) ＝eq \f(30\r(5)2＋20\r(10)2－502,2×30\r(5)×20\r(10))＝eq \f(6 000,6 000\r(2))＝eq \f(\r(2),2)， 又0°<∠CAD<180°， 所以∠CAD＝45°， 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°. 答案　B [缜密思维提能区]　　　　　　易错案例　　 由余弦定理求参数的值或范围 [典例]　设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围． [解析]　∵2a＋1，a,2a－1是三角形的三边， ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＋1>0，,a>0，,2a－1>0，))解得a>eq \f(1,2)，此时2a＋1最大． 要使2a＋1，a,2a－1表示三角形的三边， 还需a＋(2a－1)>2a＋1， 解得a>2. 设最长边2a＋1所对的角为θ，则 cos θ＝eq \f(a2＋2a－12－2a＋12,2a2a－1)＝eq \f(aa－8,2a2a－1)<0，解得eq \f(1,2)<a<8. eq \x(\a\al(易错警示：此,处易忽略隐,含条件，即三,角形的两边,之和大于第,三边．)) 综上，a的取值范围是2<a<8. [纠错心得]　解题时，忽略三角形的三边必须满足两边之和大于第三边，而使某些参数的取值范围变大．本题实质上是求2a＋1，a,2a－1能构成钝角三角形三边，除了要保证三边长均为正数外，还应满足两边之和大于第三边． 解题时要注意隐含条件的应用． 知识落实 技法强化 (1)余弦定理及证明. (2)余弦定理的应用. (1)转化法，分类讨论法. (2)若已知三边成比例，可以设而不求. $$