10.3 几个三角恒等式 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

10.3　几个三角恒等式 学业标准 素养目标 1.通过积化和差、和差化积、半角公式的推导，体会三角恒等变换的基本思想方法．(重点) 2.能利用三角恒等变换的技巧并能进行三角函数式的化简、求值以及证明．(难点、易混点) 1.通过进行三角函数式的化简、求值和三角恒等式的证明，培养数学运算和逻辑推理等核心素养. 2.通过三角恒等变换的实际应用，培养数学建模核心素养. [教材梳理] 导学1 积化和差公式 sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]； cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]. 导学2 和差化积公式 sin α＋sin β＝2sincos； sin α－sin β＝2cossin； cos α＋cos β＝2coscos； cos α－cos β＝－2sinsin. 导学3 半角公式 sin＝±； cos ＝±； tan ＝±＝＝. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ.(　　) (2)cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ.(　　) (3)sin 3θ·sin 5θ＝－(cos 8θ＋cos 2θ)．(　　) (4)sin 15°＝±.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知180°<α<360°，则cos ＝(　　) A．－　　　　　　　　 B． C．－ D． 解析　∵180°<α<360°，∴90°<<180°， ∴cos <0，故应选C. 答案　C 3．(多选题)下列等式不正确的是(　　) A．sin x＋sin y＝2sin sin B．sin x－sin y＝2coscos C．cos x＋cos y＝2coscos D．cos x－cos y＝2sinsin 解析　由和差化积公式知C正确． 答案　ABD 4．求值：＝________. 解析　原式＝＝＝＝＝＝2－. 答案　2－ 题型一　积化和差问题 　(1)求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°； (2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°. [解析]　(1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50° ＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°) ＝－sin 50°＋cos 40° ＝－sin 50°＋sin 50°＝. (2)原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70° ＝cos 10°cos 50°cos 70° ＝ ＝cos 70°＋cos 40°cos 70° ＝cos 70°＋(cos 110°＋cos 30°) ＝cos 70°＋cos 110°＋＝. 积化和差公式的功能与关键 (1)功能：①把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式)． ②将角度化为特殊角求值或化简，将函数式变形以研究其性质． (2)关键：正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数. [触类旁通] 1．求sin220°＋cos250°＋sin 20°·cos 50°的值． 解析　原式＝＋＋(sin 70°－sin 30°) ＝1＋(cos 100°－cos 40°)＋sin 70°－ ＝＋(－2sin 70°sin 30°)＋sin 70° ＝－sin 70°＋sin 70°＝. 题型二　和差化积问题(一题多变) 　已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，求sin(α＋β)的值． [解析]　∵cos α－cos β＝， ∴－2sinsin＝.① 又∵sin α－sin β＝－， ∴2cossin＝－.② ∵sin≠0， ∴由①②，得－tan＝－，即tan＝. ∴sin(α＋β)＝ ＝＝＝. [母题变式] 1．(变结论)本例中条件不变，试求cos(α＋β)的值． 解析　因为cos α－cos β＝， 所以－2sin sin ＝.① 又因为sin α－sin β＝－， 所以2cos sin ＝－.② 因为sin ≠0， 所以由①②，得－tan ＝－， 即tan ＝. 所以cos (α＋β)＝ ＝＝＝－. 2．(变条件)将本例中的条件“cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－”变为“cos α＋cos β＝，sin α＋sin β＝－”，结果如何？ 解析　因为cos α＋cos β＝， 所以2cos cos ＝.① 又因为sin α＋sin β＝－， 所以2sin cos ＝－.② 所以cos ≠0， 所以由①②，得tan ＝－， 所以sin (α＋β)＝＝＝＝－. [素养聚焦]　在应用三角公式化简、求值的过程中，体现了逻辑推理、数学运算等核心素养． 和差化积公式应用时的注意事项 (1)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次，必须用降幂公式降为一次． (2)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面考虑： ①运用公式之后，能否出现特殊角； ②运用公式之后，能否提取公因式，能否约分，能否合并或消项． (3)为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把某些常数当作三角函数值才能应用公式，如－cos α＝cos－cos α. [触类旁通] 2．(1)cos ＋cos －2sin cos ＝________. (2)若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)，且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则tan ＝________；α－β＝________. 解析　(1)cos ＋cos －2sin cos ＝2cos ·cos －cos ＝2cos cos －cos ＝cos －cos ＝0. (2)由已知得 2sin cos ＝·， 因为0<<π，－<<， 所以sin >0，所以tan ＝， 所以＝， 所以α－β＝. 答案　(1)0　(2)　 题型三　半角公式的应用 　已知α为钝角，β为锐角，且sin α＝，sin β＝，求cos 的值． [解析]　因为α为钝角，β为锐角，sin α＝， sin β＝，所以cos α＝－，cos β＝. 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝. 因为＜α＜π且0＜β＜， 所以0＜α－β＜π，即0＜＜. 所以cos ＝ ＝＝. 利用半角公式求值的思路 (1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解． (2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围. (3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2 ＝，cos2 ＝计算． [触类旁通] 3．(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝，则sin ＝(　　) A.　　　　　 B. C. D. 解析　sin2＝(1－cos α)＝·＝＝2，∴sin ＝，选D. 答案　D [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　易错案例　　 三角函数式的化简问题 [典例] 已知<α<3π，则 ＝(　　) A．－sin 　　　　 B．cos C．sin D．－cos [解析]　因为<α<3π，所以<<， ＝＝ ＝＝＝－sin， 所以，原式＝－sin . [答案]　A [纠错心得]　重视角的范围对函数值符号的影响 从里到外去掉根号时，要注意根据角的范围选择正负号，不能机械套用公式，如本例中根据α，所在象限确定cos α，sin的符号，去掉绝对值符号． 知识落实 技法强化 (1)积化和差、和差化积及半角公式. (2)化简、求值、证明问题. (1)使用公式化简时，注意函数名称及符号的变化. (2)半角公式中，符号的选取由角所在象限而定，而不是两个结果. 学科网（北京）股份有限公司 $$