10.2 二倍角的三角函数 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

10.2　二倍角的三角函数 学业标准 素养目标 1.能推导并记住二倍角的正弦、余弦和正切公式．(重点) 2.能利用倍角公式化简、求值和证明．(重点) 3.会利用倍角公式解决实际问题．(难点) 1.借助二倍角公式的推导，培养学生的数学建模、逻辑推理核心素养. 2.通过倍角公式的应用，提升数学运算、逻辑推理核心素养. [教材梳理] 导学 二倍角的三角函数 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于任意的角α，都有sin 2α＝2sin α成立．(　　) (2)存在角α，使cos 2α＝2cos α成立．(　　) (3)cos 3αsin 3α＝sin 6α对任意的角α都成立．(　　) (4) ＝tan 30°.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．1－2sin222.5°＝(　　) A.　　 　B.　　 　C.　　 　D. 解析　1－2sin22.5°＝cos 45°＝. 答案　B 3．＝(　　) A. B. C.1 D.－1 解析　原式＝＝＝. 答案　A 4．已知α为第三象限角，cos α＝－，则tan 2α＝________. 解析　因为α为第三象限角，cos α＝－， 所以sin α＝－＝－， tan α＝，tan 2α＝＝＝－. 答案　－ 题型一　给角求值 　求下列各式的值： (1)2cos2－1； (2)； (3)cos 20°cos 40°cos 80°. [解析]　(1)原式＝cos＝cos ＝cos ＝. (2)原式＝＝2× ＝2×＝2. (3)原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝. 对于给角求值问题，一般有两类 (1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角． (2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式. [触类旁通] 1．求下列各式的值： (1)sin cos ； (2)cos2－sin2； (3). 解析　(1)原式＝×2sincos ＝sin＝. (2)原式＝cos＝. (3)原式＝tan 30°＝. 题型二　给值求值、求角问题(一题多变) 　(1)已知α∈，且sin 2α＝sin ，求α； (2)已知sin ＝，0＜x＜，求的值． [解析]　(1)∵sin 2α＝－cos＝－＝1－2cos2， sin＝－sin＝－cos＝－cos ， ∴原式可化为1－2cos2＝－cos，解得cos＝1或cos＝－. ∵α∈，∴α＋∈， 故α＋＝0或α＋＝，即α＝－或α＝. (2)∵0＜x＜，sin＝， ∴－x∈，cos＝， ＝＝(cos x＋sin x)＝2cos＝. [母题变式] 1．(变结论)若本例(2)中的条件不变，则的值是什么？ 解析　sin＝cos x－sin x＝， 平方得sin 2x＝， sin＝cos＝cos＝， 所以＝×＝. 2．(变条件)若本例(2)中的条件变为“tan＝”，其他条件不变，结果如何？ 解析　因为tan＝， 所以sin＝cos， 又sin2＋cos2＝1， 故可解得cos＝， 原式＝2cos＝. 解决条件求值问题的方法 (1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系． (2)当遇到±x这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通． cos 2x＝sin＝2sincos. 类似的变换还有： cos 2x＝sin＝2sincos， sin 2x＝cos＝2cos2－1， sin 2x＝－cos＝1－2cos2等. [触类旁通] 2．若tan θ＝－2，则＝(　　) A．－　 B．－　　　 C．　　　 D． 解析　原式＝ ＝＝sin 2θ＋sin θcos θ ＝ ＝ ＝＝.故选C. 答案　C 题型三　化简、证明问题 　(1)化简：＋＝________. (2)证明：＝－4. (1)[解析]　原式＝＝＝－＝－tan 2θ. [答案]　－tan 2θ (2)[证明]　左边＝ ＝ ＝ ＝ ＝－4＝右边， 所以原等式成立． 三角函数式的化简与证明 (1)化简的方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ. (2)证明三角恒等式的方法：①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件. [触类旁通] 3．(1)化简：； (2)求证：＝tan4A. (1)解析　 ＝ ＝· ＝sin x·＝tan x. (2)证明　因为左边 ＝ ＝2＝2＝(tan2A)2 ＝tan4A＝右边， 所以＝tan4A. 题型四　实际应用问题 　如图，有一块以点O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B，C在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为20 (m)，如何选择关于点O对称的点A，D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大，最大值是多少？ [解析]　连接OB(图略)，设∠AOB＝θ， 则AB＝OBsin θ＝20sin θ， OA＝OBcos θ＝20cos θ，且θ∈. 因为A，D关于原点对称， 所以AD＝2OA＝40cos θ. 设矩形ABCD的面积为S， 则S＝AD·AB＝40cos θ·20sin θ＝400sin 2θ. 因为θ∈，所以当sin 2θ＝1， 即θ＝时，Smax＝400(m2) 此时AO＝DO＝10(m)． 故当A，D距离圆心O为10(m)时，矩形ABCD的面积最大，其最大面积是400 (m2)． [素养聚焦]　通过实际应用问题，数学建模．数学运算等核心素养在解题过程中得以体现． 解决此类问题的关键是引进角为参数，列出三角函数式. [触类旁通] 4．随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然，更舒适，黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横、竖各分三部分，以比例1∶0.618∶1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点．如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点．若照片长、宽比例为8∶5，设∠CAB＝α，则－tan α＝(　　) A.－ B. C. D. 解析　依题意＝，所以tan α＝， 所以－tan α＝－tan α＝－tan α＝＝＝＝. 答案　B [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　规范答题　　 二倍角公式的应用 [典例]　(12分)在直角坐标系xOy中，若角α的始边为x轴的非负半轴，终边为射线l：y＝2x(x≤0)． (1)求tan 2α的值； (2)求的值． [审题指导]　(1)在y＝2x(x≤0)上取一点，由任意角的正切函数的定义求出tan α的值，然后根据二倍角的正切求解 (2)利用诱导公式及倍角公式将其化简求值． [规范解答]　(1)因为角α的始边为x轴的非负半轴， 终边为射线l：y＝2xx≤0， 所以可在α的终边l上取一点P－1，－2，由任意角的正切函数的定义知 tan α＝＝2.)―→①3分) 所以―→②(5分) ＝＝－.③(6分) (2) ＝　⑤(9分) ＝　⑥(11分) ＝＝－5.(12分) 知识落实 技法强化 (1)二倍角的正弦、余弦、正切及正用、逆用. (2)化面、求值、证明及实际应用. (1)转化法、整体代换法. (2)在实际应用中注意参数的选取及其取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $$