第10章 三角恒等变换 章末整合提升(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

第10章　三角恒等变换 章 末 整 合 提 升 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 谢谢观看 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 一、三角函数式求值 三角函数式求值主要有三种类型：给角求值、给值求值和给值求角．解题时首先分析已知式与待求式之间角、函数、结构间的差异，有目的的将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值． 角度1　给角求值 f(π,12)INCLUDEPICTURE "教师WORD/典题1.TIF" \* MERGEFORMAT" 　(2021·全国卷Ⅰ)cos2－cos2eq \f(5π,12)＝(　　) A.eq \f(1,2)　　　　　　　　 B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),2) [解析]　由题意结合诱导公式可得cos2eq \f(π,12)－cos2eq \f(5π,12)＝cos2eq \f(π,12)－sin2eq \f(π,12)，再由二倍角公式即可得解． 由题意，cos2eq \f(π,12)－cos2eq \f(5π,12)＝cos2eq \f(π,12)－cos2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(π,12)))＝cos2eq \f(π,12)－sin2eq \f(π,12)＝coseq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2).故选D. [答案]　D 角度2　给值求值 f(π,2)INCLUDEPICTURE "教师WORD/典题2.TIF" \* MERGEFORMAT" 　已知－<x<0，sin x＋cos x＝eq \f(1,5). (1)求sin 2x和cos x－sin x的值； (2)求eq \f(sin 2x＋2sin2x,1－tan x)的值． [解析]　(1)由sin x＋cos x＝eq \f(1,5)，平方得1＋sin 2x＝eq \f(1,25)，所以sin 2x＝－eq \f(24,25)，因为－eq \f(π,2)<x<0， 所以cos x>sin x， 所以cos x－sin x＝eq \r(1－2sin xcos x)＝eq \f(7,5). (2)eq \f(sin 2x＋2sin2x,1－tan x)＝eq \f(2sin xcos x＋2sin2x,1－\f(sin x,cos x)) ＝eq \f(2sin xcos x＋sin x,\f(cos x－sin x,cos x))＝sin 2x·eq \f(cos x＋sin x,cos x－sin x) ＝－eq \f(24,25)×eq \f(1,7)＝－eq \f(24,175). 角度3　给值求角 b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))INCLUDEPICTURE "教师WORD/典题3.TIF" \* MERGEFORMAT" 　已知α，β∈，eq \f(tan\f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(1,4)，且3sin β＝sin(2α＋β)，则α＋β＝(　　) A.eq \f(π,6)　　 　B.eq \f(π,4)　　　 C.eq \f(π,3)　　 　D.eq \f(5π,12) [解析]　由eq \f(tan \f(α,2),1－tan2\f(α,2))＝eq \f(1,4)，得tan α＝eq \f(1,2)， 由3sin β＝sin(2α＋β)， 得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]， 即tan(α＋β)＝2tan α＝1， 由题意知α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))， 所以α＋β＝eq \f(π,4). [答案]　B 二、三角函数式的化简与证明 三角函数式的化简是三角变换应用的一个重要方面，其基本思想方法是统一角、统一三角函数的名称．在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简． 三角函数式的证明实质上也是化简，是有方向目标的化简；根本原则：由繁到简，消除两端差异，达到证明目的． 角度1　三角函数式的化简 r(2＋2cos 8)INCLUDEPICTURE "教师WORD/典题4.TIF" \* MERGEFORMAT" 　(1)计算：＋2eq \r(1－sin 8)＝_______. (2)化简：eq \f(1＋3tan θ,2cos 2θ＋sin 2θ－1)－eq \f(3＋5tan θ,cos 2θ－4sin 2θ－4). (1)[解析]　原式＝eq \r(4cos24)＋2eq \r(1－2sin 4cos 4) ＝2|cos 4|＋2eq \r(sin 4－cos 42) ＝2|cos 4|＋2|sin 4－cos 4|， 因为eq \f(5π,4)<4<eq \f(3π,2)，所以cos 4<0，sin 4<cos 4<0. 所以sin 4－cos 4<0. 从而原式＝－2cos 4－2sin 4＋2cos 4＝－2sin 4. [答案]　－2sin 4 (2)[解析]　 原式＝eq \f(1＋3tan θ,cos2θ－3sin2 θ＋2sin θcos θ)＋ eq \f(3＋5tan θ,3cos2θ＋5sin2 θ＋8sin θcos θ) ＝eq \f(\f(cos θ＋3sin θ,cos θ),cos θ＋3sin θcos θ－sin θ)＋eq \f(\f(3cos θ＋5sin θ,cos θ),3cosθ＋5sin θcos θ＋sin θ) ＝eq \f(1,cos2θ－sin θcos θ)＋eq \f(1,cos2θ＋sin θcos θ) ＝eq \f(cos θ＋sin θ,cos θcos2θ－sin2θ)＋eq \f(cos θ－sin θ,cos θcos2θ－sin2θ) ＝eq \f(2cos θ,cos θ·cos 2θ)＝eq \f(2,cos 2θ). 角度2　三角函数式的证明 f(1＋sin 2θ－cos 2θ,1＋sin 2θ＋cos 2θ)INCLUDEPICTURE "教师WORD/典题5.TIF" \* MERGEFORMAT" 　证明：＝tan θ. [证明]　左边＝eq \f(sin 2θ＋1－cos 2θ,sin 2θ＋1＋cos 2θ) ＝eq \f(2sin θcos θ＋2sin2 θ,2sin θcos θ＋2cos2 θ)＝eq \f(sin θcos θ＋sin θ,cos θcos θ＋sin θ) ＝tan θ＝右边． 三、三角恒等变换的综合应用 与三角恒等变换有关的综合问题一般有以下两种类型： (1)以三角恒等变换为主要的化简手段，考查三角函数的性质． (2)以向量运算为载体，考查三角恒等变换．这类问题往往利用向量的知识和公式，通过向量的运算，将向量条件转化为三角条件，然后通过三角变换解决问题；有时还从三角与向量的关联点处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查． A．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,6)))上单调递减 B．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,12)))上单调递增 C．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))上单调递减 D．f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(7π,12)))上单调递增 [解析]　f(x)＝cos2x－sin2x＝cos 2x，选项A中：2x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,3)))，此时f(x)单调递增；选项B中：2x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,6)))，此时f(x)先递增后递减；选项C中：2x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2π,3)))，此时f(x)单调递减；选项D中：2x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(7π,6)))，此时先递减后递增，所以选C. [答案]　C 已知三角函数值求角 [典例]　已知π<α<α＋β<2π，且满足cos α＝－eq \f(12,13)，cos (α＋β)＝eq \f(17\r(2),26)，则β＝_______. [解析]　∵cos α＝－eq \f(12,13)，cos(α＋β)＝－eq \f(17\r(2),26)， 且π<α<α＋β<2π， ∴sin α＝－eq \f(5,13)，sin(α＋β)＝eq \f(7\r(2),26)， ∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－eq \f(\r(2),2). eq \a\vs4\al(∵π<α<α＋β<2π，,∴0<β<π，,∴β＝\f(3π,4).) eq \x(易错提醒：易忽略讨论角β的范围致误.) [答案]　eq \f(3π,4) [纠错心得]　解决由已知函数值求角的问题时，应先求出所求角的范围，再由角的范围选择相关函数，尽量使该函数在其角所在范围内单调，这样即避免了繁琐的计算量，更杜绝了错误发生． 利用三角公式解决三角函数综合问题 [典例]　(12分)已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,tan x)))sin2x＋msineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))·sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))). (1)当m＝0时，求f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(3π,4)))上的取值范围； (2)当tan α＝2时，f(α)＝eq \f(3,5)，求m的值． [审题指导]　(1)要求当m＝0时，f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(3π,4)))上的取值范围，只需要将f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(cos x,sin x)))sin2x化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋t的形式． (2)要求m的值，只需要利用tan α＝2时，f(α)＝eq \f(3,5)建立关系求解． [规范解答]　(1)当m＝0时， f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(cos x,sin x)))sin2x ＝sin2x＋sin xcos x ＝eq \f(1－cos 2x＋sin 2x,2) ＝eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))＋1)).① (3分)eq \x(阅卷提醒：若得不到此结论不得分.) 由已知x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,8)，\f(3π,4)))， 得2x－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,4)))，―→② eq \x(阅卷提醒：若缺少此步骤，扣1分.) 所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，1))，③(5分) 从而得f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1＋\r(2),2))).④(6分) (2)f(x)＝sin2x＋sin xcos x－eq \f(m,2)cos 2x ＝eq \f(1－cos 2x,2)＋eq \f(1,2)sin 2x－eq \f(m,2)cos 2x ＝eq \f(1,2)[sin 2x－(1＋m)cos 2x]＋eq \f(1,2).⑤(8分) eq \x(\a\al(阅卷提醒：若得不出,此结论，本题最多得6分)) 由tan α＝2，得sin 2α＝eq \f(2sin αcos α,sin2 α＋cos2 α)＝eq \f(2tan α,1＋tan2α)＝eq \f(4,5)， cos 2α＝eq \f(cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α)＝eq \f(1－tan2α,1＋tan2α)＝－eq \f(3,5).⑥(10分) 所以eq \f(3,5)＝eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,5)＋\f(3,5)1＋m))＋eq \f(1,2)，⑦(11分) 解得m＝－2.⑧(12分) $$