专题05 两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数（期中复习专项训练）高一数学下学期苏教版

专题05 两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数 题型1 已知两角的正、余弦，求和差角的正、余弦（重点） 题型6 用和、差角的正切公式化简、求值（重点） 题型2 求15。特殊角的三角函数 题型7 逆用和、差角的正切公式化简、求值（难点） 题型3 用和、差角的正余弦公式化简、求值（常考点） 题型8 二倍角的正弦公式（重点） 题型4 逆用和、差角的正余弦公式化简、求值（重点） 题型9 二倍角的余弦公式（重点） 题型5 已知两角的正、余弦，求和差角的正切（重点） 题型10 二倍角的正切公式（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 已知两角的正、余弦，求和差角的正、余弦（共5小题） 1．已知角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为角终边上一点， 所以，，， 所以， ， 所以. 2．已知，，下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】A选项，由同角三角函数的平方关系及角的范围得到；B选项，根据同角三角函数平方关系得到，去掉不合要求的解；C选项，利用凑角法求解；D选项，在C选项的基础上，得到，利用正弦差角公式计算出答案. 【详解】A选项，由，得，故A正确； B选项，因为，所以， 由，得， 又，其中， 假若，则，因在上单调递减，故，得， 这与矛盾，所以，故B错误； C选项， ，故C正确； D选项，由及，得， 故，故D错误． 3．已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，求的值． 【答案】 【分析】先根据三角函数的定义求出和的值，再利用两角和与差的余弦公式以及诱导公式对原式进行化简即可求值. 【详解】角的终边过点，. , . , . 原式. 4．已知，都是锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由同角三角函数关系和角的范围得到的值，凑角结合正弦差角公式得到答案. 【详解】是锐角，，故， 又，都是锐角，故，又， 故，所以， 所以. 故选：B 5．已知，知都是锐角，且，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用同角三角函数关系计算得出，，再应用两角和正弦公式计算求解. 【详解】因为，都是锐角，则，， 则. 故选:D. 题型二 求15。特殊角的三角函数（共5小题） 6．，，点为线段上一动点，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接（原题：点可看作点绕点逆时针旋转得到），那么的最小值是_____. 【答案】/ 【分析】过点作射线，且，过点作于点，证明出，可得出，进而可得出，于是得出，当且仅当时，取最小值，再结合两角和的正弦公式可求得结果. 【详解】如图所示，过点作射线，且，过点作于点， 由题意可知，， 因为，即，所以， 故，所以， 因为，，所以， 所以，当且仅当时，取最小值， 且最小值为 . 故答案为：. 7．下列选项中，值为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ABC，代入特殊角的三角函数计算即可；对于D，由辅助角公式验算即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 8．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，再根据两角差的余弦公式计算可得. 【详解】因为. 故选：C 9．如图，在中，，，，.    (1)若，，求的长，由此推出的值； (2)设，（、、均为锐角），试由图推出求的公式. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）过C作，利用直角三角形边角关系求出即可得解. （2）求得，再分别求出即可得解. 【详解】（1）如图，过C作于，    由，得四边形为矩形， 又，，，则，， 而，，则，， 于是，，在中，同理， 所以，. （2）由，，得， ， 而，，则， 又，，则， 所以. 10．（1）求的值； （2）已知，，是第三象限角，求的值． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）利用两角和的正切公式计算即得； （2）利用同角三角函数分别求出的正余弦的值，再代入和角的余弦公式计算即得. 【详解】（1） . （2）因，则； 又因，是第三象限角，则. 故. 题型三 用和、差角的正余弦公式化简、求值（共5小题） 11．（1）已知化简求值： ； （2）已知且求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据诱导公式，将所求进行化简，再分子分母同时除以，计算求值，即可得答案. （2）根据条件，求出的范围，根据同角三角函数的关系，可得，的值，根据两角差的余弦公式，化简计算，即可得答案. 【详解】（1）由诱导公式得. （2）因为，所以， 因为，， 所以，， 则 . 12．已知，都是锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角函数和差角公式化简求解，同时注意根据三角函数值确定角的范围 【详解】因为，都是锐角，所以，又，则， 注意到，故，， 所以. 13．的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式及两角差的正弦公式计算即可. 【详解】 . 14．若，且是第四象限角，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据三角恒等式，可得： 根据题目可知，是第四象限角，第四象限角的正弦值为负数，因此可得 根据两角和的正弦公式，令，，可得 代入特殊角，可得. 15．已知，都是定义在上的函数，若存在实数m，n使对任意都成立，则称为，在上生成的函数. ①函数为，在上生成的函数； ②为，在上生成的函数； ③函数为，在上生成的函数； ④若为，在上的一个生成函数，且，，的最小值为，，则，； 其中所有正确结论的序号是_______. 【答案】①④ 【分析】根据新定义可判断①④；通过反例可判断②③. 【详解】对①：因为， 所以函数为，在上生成的函数，①正确； 对②：假设存在实数，使得对任意都成立， 取得，则， 显然对任意，不恒成立，假设不成立， 所以不是，在上生成的函数故，②错误； 对③：假设存在实数，使得对任意都成立， 取得，即，则， 显然对任意，不恒成立，假设不成立， 所以不是，在上生成的函数故，③错误； 对④：若为，在上的一个生成函数， 则， 因为，所以， 因为，的最小值为， 所以， 联立，解得，④正确. 题型四 逆用和、差角的正余弦公式化简、求值（共5小题） 16．（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 17．（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】． 18．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 19．的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 20．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据诱导公式、两角和的正弦公式求得. 【详解】 . 故选：A 题型五 已知两角的正、余弦，求和差角的正切（共5小题） 21．（1）求值：. （2）在中，已知，且，求角. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用两角和的正弦公式分析求解即可 （2）利用两角和的正弦公式、两角和的正切公式，以及同角三角函数关系式求解即可. 【详解】（1）原式 . （2）因为，所以， 又，所以，① 因为可知， 所以①式两边同时除以，得， 又， 所以，又，所以. 22．如图，某学校足球场长90米，宽60米，球门宽6米，球门位于底线中央（中点与底线中点重合）.是球场边线的中点，是底线上一点，且米，球员甲沿方向带球突进. (1)求的值； (2)若甲准备在线段上某一点处起脚射门，试问点距离底线多远时，对球门的张角（）最大？ 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）利用与正切的和差公式求解即可； （2）与正切的和差公式可解. 【详解】（1），， 则， 所以 （2）设点距离底线米，过点作，垂足为， 则， ， ， 当时，即时，等号成立， 由正切函数单调性可知，当时张角最大. 23．已知是第一象限角，且，则的值为_________． 【答案】 【分析】先根据同角三角函数关系求得，再结合正切的差角公式求解即可. 【详解】因为是第一象限角，所以， 所以， 又因为 所以． 24．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件求出，再利用两角和差的正切公式求值即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：B 25．（1） 化简：． （2） 已知，求的值． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）根据诱导公式及同角三角函数的商数关系即可化简； （2）由同角三角函数的平方关系及商数关系得出，再根据两角差的正切公式即可求解． 【详解】（1）． （2） ， ， 则． 题型六 用和、差角的正切公式化简、求值（共5小题） 26．某校足球社团计划举办校内足球比赛.如图为五人制足球场地，其球门AB长3米，宽1.2米，假设一球员在沿平行于边线GC的EF上跑向底线CD，在距底线CD为3米的处获得进球机会，已知点到FE的距离为3m，则其有效射门角的正切值为________ 【答案】 【分析】延长交于点，设（为锐角），由题意可得，进而利用可求结论. 【详解】延长交于点，设（为锐角）， 由题意，所以， 因为，故， 所以. 27．已知. (1)求，的值； (2)若，为锐角，且，求. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先利用诱导公式化简条件求得，然后化切为弦，结合列方程求解即可； （2）利用两角和的正切公式求得，然后利用角的范围及特殊角的正切值即可求解. 【详解】（1）因为， 所以，所以，即， 又， 所以，则或； （2）由，， 可得， 因为，为锐角，所以，所以． 28．已知，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换表示，然后利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 所以，即， ， 要使得取得最大值，不妨设， 则， 当且仅当，即时取等号． 29．最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶A离地面18米，树上另一点B离地面11米，若在离地面2米的C处看此树，则tan∠ACB的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将用与，用两角差的正切建立关系式，利用均值不等式求解. 【详解】如图，过点作，交于点，则． 设，在中，． 在中，， 所以， 当且仅当，即时取等号． 30．如图所示，三个边长为1的正方形相连，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据图形得到，，再由即可求出答案. 【详解】由图可知，，， 所以. 题型七 逆用和、差角的正切公式化简、求值（共5小题） 31．___________． 【答案】/ 【详解】， 又， 所以， 所以． 32．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】对于A，由两角和的正弦公式可判断，对于BC，由两角和的正切公式可判断，对于D，由切化弦，结合余弦二倍角公式可判断. 【详解】 ，A正确； ， 所以，B正确： ，C错误； ，D错误． 故选：AB． 33．（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据正切和角公式，再化简即可求解． 【详解】由， ， ． 故选：A． 34．若，则________. 【答案】 【分析】根据正切函数的和角公式，结合已知条件，化简求值即可. 【详解】 . 故答案为： 35．______. 【答案】 【分析】利用两角和的正切公式计算，整理即可. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 题型八 二倍角的正弦公式（共5小题） 36．下列选项中，值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】选项A利用二倍角余弦公式结合同角三角函数关系式求解判断；选项B利用两角和的正弦公式求解判断； 选项C利用诱导公式和二倍角的正弦公式求解判断； 选项D利用二倍角的正切公式求解判断. 【详解】选项A：，故选项A不符合题意； 选项B：，故选项B符合题意； 选项C：，故选项C符合题意； 选项D：，故选项D符合题意. 37．如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角度___________来截. 【答案】 【分析】设正方形的边长为，可得出正方形的边长为，根据已知条件可求得，结合可求得的值. 【详解】设正方形的边长为，则，，， 因为，即，则，可得， 又因为正方形的边长为， 由题意可得，整理可得，即， 因为，则，可得或，解得. 故答案为：. 38．已知，，则______． 【答案】 【分析】先利用二倍角公式对等式进行化简，然后结合角的取值范围求出的值，最后根据二倍角公式求出即可. 【详解】由二倍角公式可得，即， ，，故上式化为， . 故答案为：. 39．（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二倍角正弦公式计算即可. 【详解】, 故选：A. 40．已知，，则（ ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角的正弦公式化简可得，再求． 【详解】∵，则 又∵，则 ∴，即， ∴ 故选：D． 题型九 二倍角的余弦公式（共5小题） 41．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由余弦的倍角公式，结合条件，可得，再由三角函数的同角关系和商数关系，即可求解. 【详解】因为， 解得或，又，则， 所以，则． 42．函数的最小值为___________. 【答案】/ 【详解】， 当时，等号成立，所以函数的最小值为. 43．已知. (1)求的值； (2)若为锐角，求的值. 【答案】(1)；. (2) 【分析】（1）根据题意，求得，利用正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，先求得的值，进而求得的值； （2）求得，得到，结合，利用两角差的正弦公式，即可求解. 【详解】（1）因为，可得， 又因为，所以， 所以， ， 所以. （2）因为，且为锐角，可得， 又因为，可得， 所以 . 44．已知，，，． (1)分别求和的值； (2)分别求和的值． 【答案】(1)，； (2)，. 【分析】（1）根据平方关系和角的范围可得答案； （2）根据和角公式和倍角公式可求答案. 【详解】（1）因为，，所以，； 因为，，所以，； 所以，， （2） ； 由可得或（舍）， 故. 45．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】. 故选：D 题型十 二倍角的正切公式（共5小题） 46．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为角的终边经过点，， 所以. 47．已知，，则__________. 【答案】 【分析】根据，由二倍角正切公式及两角差的正切公式计算即可. 【详解】由， 所以， 故答案为：. 78．已知 (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据同角的三角函数关系可求出，利用二倍角公式即可求得答案； （2）利用二倍角正切公式以及两角和的正切公式，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，故， 故； （2）由于，且，则， 结合，可得， 结合（1）可得， 而， 故， 由于，故. 49．下列式子中正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对A，利用正切的二倍角公式化简；对B，利用两角和的正切公式化简；对C和D，利用二倍角公式和辅助角公式化简. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD. 50．已知是第二象限角， (1)求和的值； (2)求和和的值. 【答案】(1) (2),, 【分析】（1）由平方关系、商数关系求解即可； （2）由三角恒等变换逐一求解即可. 【详解】（1）已知是第二象限角，，则； （2）由题意， , . 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 两角和与差的三角函数、二倍角的三角函数 题型1 已知两角的正、余弦，求和差角的正、余弦（重点） 题型6 用和、差角的正切公式化简、求值（重点） 题型2 求15。特殊角的三角函数 题型7 逆用和、差角的正切公式化简、求值（难点） 题型3 用和、差角的正余弦公式化简、求值（常考点） 题型8 二倍角的正弦公式（重点） 题型4 逆用和、差角的正余弦公式化简、求值（重点） 题型9 二倍角的余弦公式（重点） 题型5 已知两角的正、余弦，求和差角的正切（重点） 题型10 二倍角的正切公式（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 已知两角的正、余弦，求和差角的正、余弦（共5小题） 1．已知角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 3．已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点，求的值． 4．已知，都是锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D．或 5．已知，知都是锐角，且，，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型二 求15。特殊角的三角函数（共5小题） 6．，，点为线段上一动点，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接（原题：点可看作点绕点逆时针旋转得到），那么的最小值是_____. 7．下列选项中，值为的是（   ） A． B． C． D． 8．（   ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，，.    (1)若，，求的长，由此推出的值； (2)设，（、、均为锐角），试由图推出求的公式. 10．（1）求的值； （2）已知，，是第三象限角，求的值． 题型三 用和、差角的正余弦公式化简、求值（共5小题） 11．（1）已知化简求值： ； （2）已知且求的值. 12．已知，都是锐角，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 13．的值为（ ） A． B． C． D． 14．若，且是第四象限角，则等于（ ） A． B． C． D． 15．已知，都是定义在上的函数，若存在实数m，n使对任意都成立，则称为，在上生成的函数. ①函数为，在上生成的函数； ②为，在上生成的函数； ③函数为，在上生成的函数； ④若为，在上的一个生成函数，且，，的最小值为，，则，； 其中所有正确结论的序号是_______. 题型四 逆用和、差角的正余弦公式化简、求值（共5小题） 16．（ ） A． B． C． D． 17．（    ） A． B． C． D． 18．（    ） A． B． C． D． 19．的值为（   ） A． B． C． D． 20．（   ） A． B． C． D． 题型五 已知两角的正、余弦，求和差角的正切（共5小题） 21．（1）求值：. （2）在中，已知，且，求角. 22．如图，某学校足球场长90米，宽60米，球门宽6米，球门位于底线中央（中点与底线中点重合）.是球场边线的中点，是底线上一点，且米，球员甲沿方向带球突进. (1)求的值； (2)若甲准备在线段上某一点处起脚射门，试问点距离底线多远时，对球门的张角（）最大？ 23．已知是第一象限角，且，则的值为_________． 24．已知，则（   ） A． B． C． D． 25．（1） 化简：． （2） 已知，求的值． 题型六 用和、差角的正切公式化简、求值（共5小题） 26．某校足球社团计划举办校内足球比赛.如图为五人制足球场地，其球门AB长3米，宽1.2米，假设一球员在沿平行于边线GC的EF上跑向底线CD，在距底线CD为3米的处获得进球机会，已知点到FE的距离为3m，则其有效射门角的正切值为________ 27．已知. (1)求，的值； (2)若，为锐角，且，求. 28．已知，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 29．最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”．如图，树顶A离地面18米，树上另一点B离地面11米，若在离地面2米的C处看此树，则tan∠ACB的最大值为（   ） A． B． C． D． 30．如图所示，三个边长为1的正方形相连，若，，则（ ） A． B． C． D． 题型七 逆用和、差角的正切公式化简、求值（共5小题） 31．___________． 32．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 33．（    ） A．1 B． C． D．2 34．若，则________. 35．______. 题型八 二倍角的正弦公式（共5小题） 36．下列选项中，值为的是（    ） A． B． C． D． 37．如图所示，有一块正方形的钢板，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角度___________来截. 38．已知，，则______． 39．（   ） A． B． C． D． 40．已知，，则（ ） A．1 B．-1 C． D． 题型九 二倍角的余弦公式（共5小题） 41．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 42．函数的最小值为___________. 43．已知. (1)求的值； (2)若为锐角，求的值. 44．已知，，，． (1)分别求和的值； (2)分别求和的值． 45．已知，则（    ） A． B． C． D． 题型十 二倍角的正切公式（共5小题） 46．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 47．已知，，则__________. 78．已知 (1)求的值； (2)求的值. 49．下列式子中正确的是（    ）. A． B． C． D． 50．已知是第二象限角， (1)求和的值； (2)求和和的值. 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $