10.1.3 两角和与差的正切 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

10.1.3　两角和与差的正切 学业标准 素养目标 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．(重点) 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值和证明．(重点) 3.熟练掌握两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．(难点) 1.借助两角和与差的正切公式的推导，培养数学建模、逻辑推理的核心素养. 2.通过两角和与差的正切公式的应用，提升数学运算、逻辑推理等核心素养. [教材梳理] 导学 两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正切 公式 T(α＋β) tan(α＋β)＝ α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z) 且tan α·tan β≠1 两角差 的正切 公式 T(α－β) tan(α－β)＝ α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z) 且tan α·tan β≠－1 [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在α，β∈R，tan(α＋β)＝成立．(　　) (2)对任意α，β∈R，tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)都成立．(　　) (3)tan 90°＝tan(30°＋60°)＝＝2.(　　) (4)＝.(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．若tan β＝3，tan (α－β)＝－2，则tan α＝(　　) A．　　　　　 B．－ C．1 D．－1 解析　tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝. 答案　A 3．已知tan α＝3，则tan＝(　　) A．－2 B．2 C． D．－ 解析　tan＝tan＝＝＝－. 答案　D 4．计算：tan 75°＝________. 解析　tan 75°＝tan(45°＋30°) ＝＝＝＝＝2＋. 答案　2＋ 题型一　公式的正用与逆用 　(1)已知tan α＝，tan (α－β)＝－，则tan (β－2α)＝(　　) A．－　 B．－　　　 C．－　　　 D． (2)＝________. [解析]　(1)由已知可知tan(－α)＝－， 又β－2α＝(－α)－(α－β)， 所以tan (β－2α)＝tan[(－α)－(α－β)] ＝＝ ＝－. (2)原式＝＝tan (45°＋15°)＝tan 60°＝. [答案]　(1)B　(2) 1．利用公式T(α＋β)求角的步骤： (1)计算待求角的正切值． (2)缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息． (3)根据角的范围及三角函数值确定角． 2．公式T(α±β)的逆用，一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．如tan ＝1，tan ＝，tan ＝等． 要特别注意tan＝， tan ＝. [触类旁通] 1．(1)已知角α，β均为锐角，且cos α＝，tan (α－β)＝，则tan β＝________. (2)＝________. 解析　(1)因为cos α＝，α为锐角， 所以sin α＝，tan α＝， 所以tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝＝3. (2)原式＝＝＝tan (30°－75°)＝－tan 45°＝－1. 答案　(1)3　(2)－1 题型二　公式的变形应用(一题多变) 　tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝________. [解析]　∵tan 67°－tan 22°＝tan(67°－22°)·(1＋tan 67°tan 22°)＝tan 45°(1＋tan 67°tan 22°)＝1＋tan 67°tan 22°， ∴tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝1＋tan 67°·tan 22°－tan 67°tan 22°＝1. [答案]　1 [母题变式] 1．(变条件)将本例中的角同时增加1°，结果又如何？ 解析　∵tan 45°＝tan(68°－23°) ＝， ∴1＋tan 68°tan 23°＝tan 68°－tan 23°， 即tan 68°－tan 23°－tan 68°tan 23°＝1. 2．(变结论)能否为本例和变式1归纳出一个一般结论？若能，试证明． 解析　一般结论：若α－β＝45°(α，β≠kπ＋，k∈Z)，则tan α－tan β－tan αtan β＝1. 证明：∵tan 45°＝tan(α－β)＝， ∴1＋tan αtan β＝tan α－tan β， 即tan α－tan β－tan αtan β＝1. [素养聚焦]　在两角和与差的正切公式变形应用中，数学运算等核心素养体现在解题过程中． 1．整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式． 2．熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形如下． (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β) (2)1－tan αtan β＝； (3)tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan (α＋β)； (4)tan α·tan β＝1－. [触类旁通] 2．在锐角三角形ABC中，sin A＝3cos Bcos C，则tan Atan Btan C的最小值是(　　) A．3 B． C． D．12 解析　∵sin A＝3cos Bcos C， ∴sin(B＋C)＝3cos Bcos C， ∴sin Bcos C＋cos Bsin C＝3cos Bcos C， ∴tan B＋tan C＝3， ∴tan Atan Btan C ＝－tan (B＋C)tan Btan C ＝·tan Btan C ＝＝3＋， ∵tan Btan C≤2＝， 当且仅当tan B＝tan C时等号成立， ∴tan Atan Btan C≥. 即tan Atan Btan C的最小值是. 答案　B 题型三　证明问题 　已知tan α＝2，证明： sin2α＋sin αcos α＝－－. [证明]　因为tan α＝2， 所以左边＝＝＝＝，右边＝－－＝－－＝－－tan＝－－tan＝， 所以左边＝右边，所以原等式成立． 灵活应用两角和与差的正切公式是解题的关键. [触类旁通] 3．已知3sin β＝sin(2α＋β)，且α≠，α＋β≠＋kπ(k∈Z)，求证：tan(α＋β)＝2tan α. 证明　因为sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)·cos α－cos (α＋β)sin α，sin (2α＋β)＝sin [(α＋β)＋α]＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α， 所以3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，即sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)·sin α.又α≠，α＋β≠＋kπ(k∈Z)，所以cos α≠0，cos(α＋β)≠0.于是等式两边同除以cos(α＋β)·cos α，得tan(α＋β)＝2tan α. [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　易错案例　　 给值求角问题 [典例]　已知tan α＝(1＋m)，(tan αtan β＋m)＋tan β＝0，且α，β都是锐角，则α＋β＝________. [解析]　由已知可得tan α＝(1＋m)， tan β＝－tan αtan β－m. 两式两边分别相加得： tan α＋tan β＝(1－tan αtan β)， 所以＝tan(α＋β)＝. [答案]　 [纠错心得]　(1)给值求角问题的关键点：解决给值(式)求角问题的关键是寻求所求角的三角函数值与已知值或式之间的关系，利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式，求出所求角的三角函数值，从而求出角． (2)给值求角问题的注意点：解决给值(式)求角问题时，易忽视角的范围而造成解题错误，如本题忽视角α，β都是锐角的限定条件，由tan(α＋β)＝得出了α＋β＝kπ＋的错误答案． 知识落实 技法强化 (1)T(α＋β)，T(α－β)的推导、正用逆用. (2)公式的综合应用. (1)转化法、整体代换法. (2)注意公式的使用条件和特征. 学科网（北京）股份有限公司 $$