10.1.2 两角和与差的正弦 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

10.1.2　两角和与差的正弦 学业标准 素养目标 1.理解两角和与差的正弦公式的推导过程. 2.会利用两角和与差的正弦公式进行简单的三角函数求值、化简和证明．(重点、难点) 3.会灵活运用两角和与差的正弦、余弦公式解决问题．(难点) 1.借助两角和与差的正弦公式的推导，培养数学建模核心素养. 2.通过用两角和与差的正弦公式进行化简、求值，提升数学运算、逻辑推理核心素养. [教材梳理] 导学 两角和与差的正弦公式 　 名称 公式 简记符号 条件 两角和 的正弦 sin(α＋β)＝ sin_αcos_β＋cos_αsin_β S(α＋β) α，β ∈R 两角差 的正弦 sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β S(α－β) [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在角α，β，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(　　) (2)任意角α，β，都有sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(　　) (3)存在角α，β，使得sin(α－β)≠sin αcos β－cos αsin β. (4)存在角α，β，使得sin(α＋β)＝sin αcos β－cos αsin β.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2．sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°的值为(　　) A.0　　　　　　　　 B. C. D. 解析　sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝. 答案　C 3．(多选题)若sin α＝，则2sin＝(　　) A. B. C. D. 解析　因为sin α＝，所以cos α＝±.当cos α＝时，根据两角和正弦公式得 sin＝sin αcos＋sin cos α＝sin α＋cos α＝×＋×＝； 当cos α＝－时，sin ＝－. 所以2sin＝或－. 答案　AD 4．计算sin＝________. 解析　sin ＝sin＝sincos＋cossin＝×＋×＝. 答案　 题型一　给角求值 　化简求值： (1)； (2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－cos(θ＋15°)． [解析]　(1)原式＝ ＝ ＝＝sin 30°＝. (2)设α＝θ＋15°， 则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－cos α ＝＋－cos α＝0. 解决给角求值问题的策略 (1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形． (2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式. [触类旁通] 1．cos 70°sin 50°－cos 200°sin 40°＝(　　) A．－　 B．－　　　 C．　　　 D． 解析　∵cos 200°＝cos(180°＋20°)＝－cos 20°＝－sin 70°，sin 40°＝cos 50°， ∴原式＝cos 70°sin 50°－(－sin 70°)cos 50°＝sin(50°＋70°)＝sin 120°＝. 答案　D 题型二　给值(式)求值 　已知sin α＝，cos β＝－，且α为第一象限角，β为第二象限角，求sin(α＋β)和sin(α－β)的值． [解析]　∵α为第一象限角且sin α＝， ∴cos α＝.又β为第二象限角且cos β＝－，∴sin β＝，∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝×＋×＝. sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β ＝×－×＝－. 给值求值问题的两种变换 (1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值． (2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值. [触类旁通] 2．若sin＝，cos＝，且0＜α＜＜β＜，求sin(α＋β)的值． 解析　∵0＜α＜＜β＜， ∴＜＋α＜π，－＜－β＜0， 又sin＝，cos＝， ∴cos＝－，sin＝－. ∴sin(α＋β)＝－cos ＝－cos ＝－ ＝－＝. 题型三　给值求角 　已知cos α＝，sin(α＋β)＝，0＜α＜，0＜β＜，求角β的值． [解析]　因为0＜α＜，cos α＝， 所以sin α＝. 又因为0＜β＜，所以0＜α＋β＜π. 因为sin(α＋β)＝＜sin α，所以＜α＋β＜π， 所以cos(α＋β)＝－， 所以sin β＝sin[(α＋β)－α] ＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α ＝×－×＝. 又因为0＜β＜，所以β＝. 求解给值求角的关键两点 (1)求出所求角的某种三角函数值； (2)确定角的范围．一旦做好这两个环节，结合三角函数的性质与图象，便可求解. [触类旁通] 3．在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,3cos A＋4sin B＝1，则C＝(　　) A. B. C.或 D.或 解析　把条件中的两个等式平方再相加，得sin(A＋B)＝，即sin C＝，所以C＝或.当C＝时，A＋B＝，由3cos A＋4sin B＝1， 得1－3cos A＝4sin B>0.即cos A<， 又∵<.∴A>. 此时A＋C>π，不符合题意．故C＝. 答案　A 题型四　辅助角公式的应用(一题多解　一题多变) 　(1)sin－cos＝________. (2)已知a＝(，－1)，b＝(sin x，cos x)，x∈R，f(x)＝a·b，求函数f(x)的周期，值域，单调递增区间． (1)[解析]　原式＝2. 法一(化正弦) 原式＝2 ＝2 ＝2sin＝2sin＝－. 法二(化余弦) 原式＝2 ＝－2 ＝－2cos＝－2cos＝－. [答案]　－ (2)[解析]　f(x)＝sin x－cos x ＝2 ＝2＝2sin， ∴T＝＝2π，值域[－2,2]． 由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，得递增区间为，k∈Z. [母题变式] 1．(变条件)若将本例(2)中“a＝(，－1)”改为“a＝(－1，)”，其他条件不变，如何解答？ 解析　f(x)＝－sin x＋cos x ＝2＝2cos， ∴T＝2π，值域为[－2,2]， 由－π＋2kπ≤x＋≤2kπ，得递增区间为，k∈Z. 2．(变条件)若将本例(2)中“a＝(，－1)”改为“a＝(m，m)，其中m＞0”，其他条件不变，应如何解答？ 解析　f(x)＝msin x＋mcos x ＝msin， ∴T＝2π，值域为[－m，m]， 由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，得递增区间为，k∈Z. [素养聚焦]　通过辅助角公式的应用，逻辑推理、数学运算等核心素养在解题过程中得以体现． 辅助角公式及其运用 (1)公式形式：公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(或asin α＋bcos α＝cos(α－φ))将形如asin α＋bcos α(a，b不同时为零)的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式． (2)形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定. [触类旁通] 4．若方程sin x－cos x＝m－1有解，则m的取值范围是________. 解析　sin x－cos x＝m－1， 即2＝m－1， 即2sin＝m－1， ∵sin∈[－1,1]． ∴－2≤m－1≤2， 即－1≤m≤3. 答案　[－1,3] [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　易错案例　　 两角和与差的正弦、余弦公式逆用 [典例]　已知sin＋sin α＝－，则cos＝(　　) A．－ B．－ C． D． [解析]　因为sin＋sin α ＝sin αcos＋cos αsin ＋sin α ＝sin α＋cos α＋sin α＝sin α＋cos α 易错警示：此处容易用错公式出现错误结果． 所以cos＝－， 所以cos＝－cos＝. [答案]　D 　[纠错心得] (1)恰当选择两角和与差的正、余弦公式形如asin x＋bcos x三角函数式的化简，关键是记准特殊角的三角函数值，恰当选择并逆用公式化简为一个角的一种三角函数形式，如本例中，sin α＋cos α＝cos. (2)注意与诱导公式或同角三角函数关系综合应用，三角函数式化简的思路主要从“角”“函数名”“式子结构”等角度找思路，此时要特别注意诱导公式、同角三角函数关系的应用，如本例中由α＋＋－α＝π想到cos＝－cos. 知识落实 技法强化 (1)公式的推导. (2)给式求值、给值求值、给值求角. (3)公式的正用、逆用、变形用. (1)转化法，整体代换法. (2)asin α＋bcos α＝·sin (α＋φ)公式中，角φ由tan φ＝和(a，b)所在象限确定. 学科网（北京）股份有限公司 $$