10.1.1 两角和与差的余弦 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

10.1　 两角和与差的三角函数 10.1.1　两角和与差的余弦 学业标准 素养目标 1.理解两角和与差的余弦公式的推导过程. 2.会利用两角和与差的余弦公式进行简单的三角函数求值、化简和证明．(重点、难点) 1.借助推导两角和与差的余弦公式，培养直观想象、数学建模等核心素养. 2.通过两角和与差的余弦公式的应用，提升数学运算和逻辑推理核心素养. [教材梳理] 导学1 两角差的余弦公式 公式 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β. 简记符号C(α－β) 适用条件 公式中的角α，β都是任意角 公式结构 公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反 导学2 两角和的余弦公式 名称 公式 简记符号 条件 两角和 的余弦 cos (α＋β)＝ cos_αcos_β－sin_αsin_β C(α＋β) α，β∈R [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于任意角α，β，都有cos(α－β)＝cos α－cos β.(　　) (2)对于任意角α，β，都有cos(α－β)≠cos α－cos β.(　　) (3)不存在角α，β，使得cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.(　　) (4)存在α和β，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．cos(30°－45°)＝(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析　cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝×＋×＝. 答案　D 3．(多选题)满足cos αcos β＝－sin αsin β的一组α，β的值是(　　) A．α＝，β＝ B．α＝，β＝ C．α＝，β＝ D．α＝，β＝ 解析　由条件cos αcos β＝－sin αsin β得cos αcos β＋sin αsin β＝，即cos (α－β)＝，检验知B、D符合． 答案　BD 4．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°＝________. 解析　原式＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝. 答案　 题型一　给角求值 　求下列各式的值： (1)cos(－375°)； (2)cos 105°； (3)coscos＋cossin； (4)cos 105°＋sin 105°. [解析]　(1)cos(－375°)＝cos 375°＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝×＋×＝. (2) cos 105°＝cos(60°＋45°) ＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45° ＝×－×＝. (3) coscos＋cossin ＝coscos＋sinsin ＝cos＝cos＝. (4)cos 105°＋sin 105° ＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105° ＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝. 利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路 (1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解． (2)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值. [触类旁通] 1．(1)cos＝(　　) A.　　　　　　　 B. C. D.－ (2)若θ是第二象限角且sin θ＝，则cos(θ＋60°)＝________. 解析　(1)cos＝cos＝－cos ＝－cos ＝－coscos－sinsin ＝－×－×＝－. (2)∵θ是第二象限角且sin θ＝，∴cos θ＝－＝－，∴cos(θ＋60°)＝cos θ－sin θ＝×－×＝－. 答案　(1)D　(2)－ 题型二　给值(式)求值(一题多变) 　(1)已知sin＝，α∈，求cos α的值． (2)已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos 2α与cos 2β的值． [解析]　(1)∵α∈，∴＋α∈， ∴cos＝－ ＝－＝－. ∵α＝－， ∴cos α＝cos ＝coscos＋sinsin ＝－×＋×＝. (2)∵＜β＜α＜， ∴0＜α－β＜，π＜α＋β＜. 又∵cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－， ∴sin(α－β)＝ ＝＝， cos(α＋β)＝－ ＝－＝－. ∴cos 2α＝cos [(α＋β)＋(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β) ＝－×－×＝－， cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝－×＋×＝－. [母题变式] 1．(变条件)将本例(1)的条件改为“sin＝，且<α<”，求cos α的值． 解析　∵sin＝，且<α<， ∴<α＋<π， ∴cos＝－＝－， ∴cos α＝cos＝coscos ＋sinsin ＝－×＋×＝. 2．(变条件、变结论)将本例(1)的条件改为“sin＝－，α∈”，求cos的值． 解析　∵＜α＜，∴－＜－α＜， 又sin＝－＜0， ∴－＜－α＜0， cos＝＝， ∴cos＝cos ＝cos ＝cos＋sin ＝×＋×＝－. [素养聚焦]　在给值(式)求值的过程中，提升了数学运算、逻辑推理等核心素养． 给值求值问题的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角． (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有： ①α＝(α－β)＋β； ②α＝＋； ③2α＝(α＋β)＋(α－β)； ④2β＝(α＋β)－(α－β). [触类旁通] 2．(1)已知点P(cos α，sin α)，Q(cos β，sin β)，则||的最大值是(　　) A． B．2 C．4 D． (2)已知α，β都是锐角，sin＝，cos(α＋β)＝－，则cos＝(　　) A. B. C. D. 解析　(1)||＝(cos β－cos α，sin β－sin α)， 则||＝＝， 则当cos (α－β)＝－1时，||的最大值是2，故选B. (2)由于α，β都是锐角， 则－＜α－＜，0＜α＋β＜π， 因为sin＝＞0，cos＝－＜0， 所以0＜α－＜，＜α＋β＜π， 所以cos＝，sin(α＋β)＝， 所以cos＝cos ＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝－×＋×＝，故选B. 答案　(1)B　(2)B 题型三　给值求角 　已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝，则α－β＝________. [解析]　∵α，β均为锐角， ∴cos α＝，cos β＝. ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝×＋×＝. 又∵sin α＞sin β，∴0＜β＜α＜， ∴0＜α－β＜.故α－β＝. [答案]　 已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，即根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．(为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数．) (3)结合三角函数值及角的范围求角. [触类旁通] 3．已知cos (α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值． 解析　由α－β∈， 且cos (α－β)＝－，得sin (α－β)＝. 由α＋β∈，且cos (α＋β)＝， 得sin (α＋β)＝－. 所以cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝×＋×＝－1. 又因为α－β∈，α＋β∈， 所以2β∈，所以2β＝π，则β＝. [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　易错案例　　 三角形中忽视角的范围而致误 [典例]　在△ABC中，sin(A＋B)＝，cos B＝－， 则cos A＝________. [解析]　在△ABC中， 因为cos B＝－<0，sin(A＋B)＝， cos(A＋B)＝－ ＝－＝－. 所以cos A＝cos[(A＋B)－B] ＝cos(A＋B)cos B＋sin(A＋B)sin B ＝×＋×＝. [答案]　 [纠错心得] (1)重视角的范围的计算 应用两角差的余弦公式计算三角函数值时，经常有用正(余)弦值计算余(正)弦值的情况，此时特别注意计算角的范围．如本题中注意在三角形中，A＋B＋C＝π，A，B，C∈(0，π)． (2)注意拆角、凑角方法的应用 应用两角差的余弦公式计算三角函数值时，分析已知角与所求角的关系式是探究解题思路的关键．如本题中，注意到A＝(A＋B)－B，就自然想到解题思路． 知识落实 技法强化 (1)两角差的余弦公式的推导. (2)Cα－β，Cα＋β的简单应用. (1)构造法. (2)公式中的角是任意的，注意给定角的范围转化法，整体代换法. 学科网（北京）股份有限公司 $$