第9章 平面向量 章末整合提升(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

一、平面向量的线性运算 1．向量加法是由三角形法则定义的，要点是“首尾相连”，即＋＝. 向量加法的平行四边形法则：将两向量移至共起点，分别为邻边作平行四边形，则同起点对角线的向量即为向量的和．加法满足交换律、结合律． 2．向量减法实质是向量加法的逆运算，是相反向量的作用． 几何意义有两个：一是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量；二是加法的平行四边形法则的另外一条对角线的向量，注意两向量要移至共起点． 3．数乘运算即通过实数与向量的乘积，实现同向或反向上向量长度的伸缩变换． 　设D为△ABC所在平面内一点，则＝3，则(　　) A.＝－＋ B.＝－ C.＝－ D.＝－＋ [解析]　∵＝3，∴－＝3(－)，∴2＝3－， ∴＝－. [答案]　D 二、平面向量的数量积运算 1．利用数量积的定义、运算律求解． 在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，上述两公式以及(a＋b)·(a－b)＝a2－b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用． 2．借助零向量． 即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理地进行向量的移项以及平方等变形，求解数量积． 3．借助平行向量与垂直向量． 即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积，借助a⊥b，则a·b＝0等解决问题． 4．建立坐标系，利用坐标运算求解数量积． 角度1　平面向量的数量积 　如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则·的最小值为(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D.3 [解析]　以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图的平面直角坐标系， 因为在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝120°， 所以A(0,0)，B(1,0)，D，设C(1，m)，E(x，y)，所以＝，＝，因为AD⊥CD，所以·＝0，即×＋＝0，解得m＝， 即C(1，)，因为E在CD上，所以≤y≤，由∥，得(x－1)＝(y－)，即x＝y－2，因为＝(x，y)，＝(x－1，y)，所以·＝(x，y)·(x－1，y)＝x2－x＋y2＝(y－2)2－y＋2＋y2＝4y2－5y＋6，令f(y)＝4y2－5y＋6，y∈.因为函数f(y)＝4y2－5y＋6在上单调递减，在上单调递增，所以f(y)min＝4×2－5×＋6＝. 所以·的最小值为，故选A. [答案]　A 角度2　向量的模与夹角 　(1)已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，△ABC中，＝2a＋2b，＝2a－6b，D为BC的中点，则||＝(　　) A．2　 B．4　　　 C．6　　　 D．8 (2)已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝，则向量a与b的夹角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 [解析]　(1)因为＝(＋)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以||2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×＝4，则||＝2. (2)设向量a与b的夹角为θ，因为a＋b＋c＝0， 所以c＝－(a＋b)，所以c2＝(a＋b)2， 即|c|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos θ， 所以19＝4＋9＋12cos θ， 所以cos θ＝，又0°≤θ≤180°， 所以a与b的夹角为60°. [答案]　(1)A　(2)C 三、平面向量的实际应用 1．平面几何应用 向量 几何问题 共线向量 点共线问题、直线与直线平行 数乘向量 求线段长度之比 数量积 线段的长度、直线与直线的夹角 2．物理应用：速度、位移、力、功． 　在风速大小为75(－)km/h的西风中，飞机以大小为150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向． [解析]　设ω＝风速，υa＝有风时飞机的航行速度，υb＝无风时飞机的航行速度，υa＝υb＋ω.如图所示． 设||＝|υa|，||＝|ω|，||＝|υb|， 作AD∥BC，CD⊥AD于D，BE⊥AD于E， 则∠BAD＝45°. 设||＝150，则||＝75(－)． ∴||＝||＝||＝75，||＝75. 从而||＝150，∠CAD＝30°. ∴|υb|＝150km/h，方向为北偏西60°. 不能将三点共线问题转化为向量共线问题而致误 [典例]　已知＝(2,1)，＝(1,7)，＝(5,1)，设C是直线OP上的一点(其中O为坐标原点)． (1)求使·取到最小值时的. (2)对(1)中求出的点C，求cos∠ACB. [解析]　(1)因为点C是直线OP上一点，所以向量与共线． 设＝t，则＝(2t，t)， ＝－＝(1－2t,7－t)， ＝－＝(5－2t,1－t)， ·＝(1－2t)(5－2t)＋(7－t)(1－t) ＝5t2－20t＋12＝5(t－2)2－8， 当t＝2时，·取得最小值，此时＝(4,2). (2)当＝(4,2)时，＝(－3,5)，＝(1，－1)， 所以||＝，||＝，·＝－8， cos∠ACB＝＝－. [纠错心得] (1)注意隐含信息的挖掘 对题目中的条件要认真分析，找出一些隐含条件，如本例中“C是直线OP上的一点”隐含着“向量与共线”． (2)注意函数思想在解决最值中的应用 涉及求解最值的问题，常常先通过题设建立函数关系式，在此基础上，借助函数知识求解，如本例第(1)问． 平面向量的运算及应用 [典例]　(12分)已知向量a＝(2＋sin x,1)，b＝(2，－2)，c＝(sin x－3,1)，d＝(1，k)(x∈R，k∈R)． (1)若x∈，且a∥(b＋c)，求x的值； (2)若函数f(x)＝a·b，求f(x)的最小值； (3)是否存在实数k，使得(a＋d)⊥(b＋c)？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由． [审题指导]　(1)利用向量平行的条件求解； (2)先写出函数解析式，利用函数观点求最小值； (3)假设存在，反向求解参数的取值范围． [规范解答]　(1)∵b＋c＝(sin x－1，－1)， a∥(b＋c)， ∴－(2＋sin x)＝sin x－1， 即sin x＝－.(2分) 又x∈，∴x＝－.(3分) (2)∵a＝(2＋sin x,1)，b＝(2，－2)， ∴f(x)＝a·b＝2(2＋sin x)－2＝2sin x＋2.(5分) ∵x∈R，∴－1≤sin x≤1， ∴0≤f(x)≤4，∴f(x)的最小值为0.(6分) (3)∵a＋d＝(3＋sin x,1＋k)， b＋c＝(sin x－1，－1)， 若(a＋d)⊥(b＋c)，则(a·d)·(a＋c)＝0，(8分) 即(3＋sin x)(sin x－1)－(1＋k)＝0， ∴k＝sin2x＋2sin x－4 ＝(sin x＋1)2－5，(10分) 由sin x∈[－1,1]， 得k∈[－5，－1]， ∴存在k∈[－5，－1]，使得(a＋d)⊥(b＋c)．(12分) 学科网（北京）股份有限公司 $$