第9章 教考衔接(一) 平面向量与三角形的“四心”(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

一、真题展示 　(全国卷)已知O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，且·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的(　　) (注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心) A．重心　外心　垂心 B．重心　外心　内心 C．外心　重心　垂心 D．外心　重心　内心 二、真题朔源 教科书P37第10题 已知三角形的三条中线交于一点G(也称为三角形的重心)，且点G将每条中线分为2∶1的两段(如图，AG∶GM＝2∶1)．设△ABC三个顶点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，求证： (1)点G的坐标为； (2)＋＋＝0. 三、解法探究 在三角形中，重心、内心、垂心和外心简称“四心”，它们与向量知识的整合，既自然又表达形式多样，在新高考试题中，总会出现一些与“四心”相关的既新颖又别致的试题，不仅考查了向量的表示与运算、性质等知识点，而且培养了考生“以向量为工具”的逻辑推理能力． 类型一　平面向量与三角形的重心 　已知点O为△ABC所在平面内一点，若动点P满足＝＋λ(＋)(λ≥0)，则动点P的轨迹一定经过△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 [解析]　因为动点P满足＝＋λ(＋)(λ≥0)，所以＝λ(＋)，取BC中点D(图略)，则＝2λ，则动点P的轨迹一定过△ABC的重心，故选D. [答案]　D 设O是△ABC的重心，P为平面内任意一点，则有以下结论：①＋＋＝0；②＝(＋＋)；③动点P满足＝λ(＋)或＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则动点P经过三角形的重心. 类型二　平面向量与三角形的外心 　在△ABC中，设2－2＝2·，那么动点M形成的图形必经过△ABC的(　　) A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 [解析]　如图所示，设线段BC的中点为D，则＋＝2，∵2－2＝2·，∴(＋)·(－)＝2·，∴·(＋－2)＝0，∴·＝0，即MD⊥BC且平分BC.因此动点M形成的图形必经过△ABC的外心，故选C. [答案]　C 设O是△ABC的外心，则有以下结论：①||＝||＝||⇔2＝2＝2；②(＋)·＝(＋)·＝(＋)·＝0. 类型三　平面向量与三角形的垂心 　P是△ABC所在平面上一点，若·＝·＝·，则P是△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 [解析]　由·＝·，得·－·＝0，即·(－)＝0，即·＝0，则PB⊥CA，同理可证PA⊥BC，PC⊥AB，所以P为△ABC的垂心，故选D. [答案]　D 设O是△ABC的垂心，P为平面内任意一点， 则有以下结论：①·＝·＝·； ②||2＋||2＝||2＋||2＝||2＋|AB|2；③若动点P满足＝λ或＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则动点P经过三角形的垂心. 类型四　平面向量与三角形的内心 　若△ABC及内一点O满足关系式：S△OBC·＋S△OAC·＋S△OAB·＝0，即为经典的“奔驰定理”．若△ABC的三边为a，b，c，有a·＋b·＋c·＝0，则O为△ABC的(　　) A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 [解析]　∵＝＋，＝＋， ∴a·＋b·＋c· ＝a·＋b(＋)＋c(＋) ＝(a＋b＋c)·＋b·＋c·＝0. ∴＝， ∵，分别是，方向上的单位向量， ∴向量＋平分∠BAC，即AO平分∠BAC，同理BO平分∠ABC，∴O为△ABC的内心，故选B. [答案]　B 设O是△ABC的内心，P为平面内任意一点，则有以下结论：①||·＋||·＋||·＝0(或a＋b＋c＝0，其中a，b，c分别是△ABC的三边BC，AC，AB的长)；②若动点P满足＝λ或＝＋λ，λ∈[0，＋∞)，则动点P经过三角形的内心. 学科网（北京）股份有限公司 $$