9.4 向量应用 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

9.4　向量应用 学业标准 素养目标 1. 会用向量方法解决物理中的速度、力学问题．(难点) 2. 会用向量方法解决平面几何中的平行、垂直、长度、夹角等问题．(重点) 通过用向量方法解决物理和平面几何问题，培养数学建模、逻辑推理和数学运算核心素养. [教材梳理] 导学1 向量在物理中的应用 1．物理问题中常见的向量有力、速度、位移等． 2．向量的加减法运算体现在一些物理的合成和分解中． 3．动量mv是向量的数乘运算． 4．功是力F与位移s的数量积． 导学2 向量在平面几何中的应用 1．向量在平面几何中常见的应用 (1)证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理： a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y2＝0(b≠0)． (2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (3)求夹角问题，利用夹角公式： cos〈a，b〉＝＝. (4)求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：|a|＝＝或|AB|＝||＝. 2．用向量方法解决平面几何问题的“三个步骤” [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在四边形ABCD中，若·＝0，＝，则四边形ABCD是矩形．(　　) (2)在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是.(　　) (3)在△ABC中，若·＝0，则△ABC是等腰三角形．(　　) (4)当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为120°.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)√ 2．如果一架飞机先向东飞行200 km，再向南飞行300 km，设飞机飞行的路程为s km，位移为a，则(　　) A．s>|a|　　　 B．s<|a| C．s＝|a| D．s与|a|不能比较大小 解析　路程是数量，位移是向量，从而s＝500，由位移的合成易得|a|<500，故s>|a|. 答案　A 3．某物体做斜抛运动，初速度大小为|υ0|＝10 m/s，与水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水平方向上的速度大小是________m/s. 解析　设该物体在竖直方向上的速度为υ1，水平方向上的速度为υ2，如图所示，|υ2|＝|υ0|cos 60°＝10×＝5 (m/s)． 答案　5 4．力F＝(－1，－2)作用于质点P，使P产生的位移为s＝(3,4)，则力F对质点P做的功是________. 解析　因为W＝F·s＝(－1，－2)·(3,4)＝－11，则力F对质点P做的功是－11. 答案　－11 题型一　用向量解决物理中的相关问题 　如图所示，一个物体受到同一平面内三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°；|F2|＝4 N，方向为北偏东60°；|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功． [解析]　以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示，则F1＝(1，)，F2＝(2，2)，F3＝(－3,3)， 所以F＝F1＋F2＋F3＝(2－2,2＋4)． 又位移s＝(4，4)， 故合力F所做的功为W＝F·s ＝(2－2)×4＋(2＋4)×4 ＝4×6 ＝24(J)． 即合力F所做的功为24 J. [素养聚焦]　通过用向量法解决物理中的相关问题，数学建模、逻辑推理等核心素养体现在解题过程中． 用向量解决物理问题的一般步骤 (1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题． (2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型． (3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值． (4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象. [触类旁通] 1．在长江南岸某渡口处，江水以大小为12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度大小为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？ 解析　如图，设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度． 因为＋＝，所以四边形ABCD为平行四边形． 在Rt△ACD中，∠ACD＝90°， ||＝||＝12.5. ||＝25，所以∠CAD＝30°， 即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°. 题型二　向量在几何证明中的应用(一题多解) 　如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点， 求证：AF⊥DE. [证明]　法一　设＝a，＝b， 则|a|＝|b|，a·b＝0， 又＝＋＝－a＋b， ＝＋＝b＋a， 所以·＝· ＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0. 故⊥，即AF⊥DE. 法二　如图，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2， 则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)， ＝(2,1)，＝(1，－2)． 因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以⊥，即AF⊥DE. 常见的利用向量证明的问题 (1)利用共线向量定理证明线段平行或点共线． (2)利用向量的模证明线段相等． (3)利用向量的数量积为0证明线段垂直. [触类旁通] 2．如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.求证：点E，O，F在同一直线上． 证明　设＝m，＝n， 由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点， 所以＝＋＝＋＝－m＋(m＋n)＝m＋n， ＝＋＝＋＝(m＋n)－m＝m＋n.所以＝. 又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上． 题型三　平面向量在几何求值中的应用　(一题多变) 　已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n. (1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB； (2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(m，n表示)． (1)[证明]　以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，A(0，m)，B(n,0)． 因为D为AB的中点，所以D 所以||＝， ||＝， 所以||＝||，即CD＝AB. (2)[解析]　因为E为CD的中点， 所以E， 设F(x,0)，则＝， ＝(x，－m)． 因为A，E，F三点共线，所以＝λ. 即(x，－m)＝λ. 则 故λ＝，即x＝，所以F， 所以||＝，即AF＝. [母题变式] (变条件，变结论)本例中，若将“AC＝m，BC＝n”变为“AC＝6，BC＝4”，其他条件不变，试求两条直角边的中线所夹的锐角的余弦值为________. 解析　法一　如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别是BC，AC边的中点，BC＝4，AC＝6. 图(1) 则CD＝2，CE＝3， 所以||＝＝ ＝2， ||＝＝5， ·＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋·＋· ＝6×3＋0＋0＋2×4＝26. 设与的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝. 故直线AD与BE所夹的锐角的余弦值为. 法二　如图(2)所示，建立直角坐标系，点C为原点，两直角边所在直线为坐标轴．D，E分别为BC，AC的中点， 图(2) 所以A(0,6)，B(4,0)，D(2,0)，E(0,3)， 则＝(2，－6)，＝(4，－3)， 所以·＝2×4＋(－6)×(－3)＝26. ||＝＝2 ， ||＝＝5， 设与的夹角为θ， 则cos θ＝＝＝. 故直线AD与BE所夹的锐角的余弦值为. 答案　 用向量方法解决平面几何问题的步骤 [触类旁通] 3．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·＝________. 解析　以D为坐标原点，BC所在直线为x轴，线段BC的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设B(－a,0)，C(a，0)，A(b，c)，则E，F，＝(b＋a，c)，＝(b－a，c)， ＝，＝，＝，＝，由·＝b2－a2＋c2＝4，·＝－a2＋＝－1，解得b2＋c2＝，a2＝， 则·＝(b2＋c2)－a2＝. 答案　 [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　易错案例　　 用向量解决物理中的合力问题 [典例]　两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20 N，当它们的夹角为120°时，合力大小为(　　) A．10 N　　　　　 B．10 N C．20 N D．20 N 由题意知|F|＝|F1|， |F|＝20 N，所以|F1|＝|F2|＝10 N. 当它们的夹角为120°时， 以F1，F2为邻边作平行四边形， 此平行四边形为菱形， 此时|F合|＝|F1|＝10 N. [答案]　B [纠错心得]　向量在物理中应用的关注点 (1)将物理问题转化为数学的向量问题，注意相关概念的几何意义，合理建立数学模型，解决相关物理问题． (2)要明确向量方法研究物理问题的相关知识，注意物理量之间的关系． 知识落实 技法强化 (1)向量的平行、垂直、夹角问题. (2)向量的模的计算. (3)向量在物理、平面几何中的应用. (1)转化法，向量法. (2)向量法解题“三部曲”，注意“翻译”的准确性. 学科网（北京）股份有限公司 $$