10.1.1 两角和与差的余弦(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

第10章　三角恒等变换 10.1　 两角和与差的三角函数 10.1.1　两角和与差的余弦 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 目 录 课前案 必备知识·自主学习 01 02 CONTENTS 课堂案 关键能力·互动探究 03 课后案 学业评价·层级训练 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 课前案 必备知识·自主学习 01 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 导学1 两角差的余弦公式 cos αcos β＋sin αsin β 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 导学2 两角和的余弦公式 cos αcos β－sin αsin β 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 课堂案 关键能力·互动探究 02 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 点击进入Word 课后案 学业评价·层级训练 03 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 谢谢观看 返回目录 第10章　三角恒等变换 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 学业标准 素养目标 1.理解两角和与差的余弦公式的推导过程. 2.会利用两角和与差的余弦公式进行简单的三角函数求值、化简和证明．(重点、难点) 1.借助推导两角和与差的余弦公式，培养直观想象、数学建模等核心素养. 2.通过两角和与差的余弦公式的应用，提升数学运算和逻辑推理核心素养. [教材梳理] 公式 cos(α－β)＝____________________________. 简记符号C(α－β) 适用条件 公式中的角α，β都是任意角 公式结构 公式右端的两部分为同名三角函数的积，连接符号与左边角的连接符号相反 名称 公式 简记符号 条件 两角和 的余弦 cos (α＋β)＝ ________________________ C(α＋β) α，β∈R [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对于任意角α，β，都有cos(α－β)＝cos α－cos β.(　　) (2)对于任意角α，β，都有cos(α－β)≠cos α－cos β.(　　) (3)不存在角α，β，使得cos(α－β)＝cos αcos β－sin αsin β.(　　) (4)存在α和β，使得cos(α＋β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．cos(30°－45°)＝(　　) A.eq \f(\r(2),2)　　　　　　　　　 B.eq \f(\r(3),2) C.eq \f(\r(2)＋\r(3),4) D.eq \f(\r(2)＋\r(6),4) 解析　cos(30°－45°)＝cos 30°cos 45°＋sin 30°sin 45°＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2)＋\r(6),4). 答案　D 3．(多选题)满足cos αcos β＝eq \f(\r(3),2)－sin αsin β的一组α，β的值是(　　) A．α＝eq \f(13π,12)，β＝eq \f(3π,4) B．α＝eq \f(π,2)，β＝eq \f(π,3) C．α＝eq \f(π,2)，β＝eq \f(π,6) D．α＝eq \f(5π,12)，β＝eq \f(π,4) 解析　由条件cos αcos β＝eq \f(\r(3),2)－sin αsin β得cos αcos β＋sin αsin β＝eq \f(\r(3),2)，即cos (α－β)＝eq \f(\r(3),2)，检验知B、D符合． 答案　BD 4．cos 65°cos 35°＋sin 65°sin 35°＝_______. 解析　原式＝cos(65°－35°)＝cos 30°＝eq \f(\r(3),2). 答案　eq \f(\r(3),2) 题型一　给角求值 (1)cos(－375°)； (2)cos 105°； (3)coseq \f(5π,12)coseq \f(π,6)＋coseq \f(π,12)sineq \f(π,6)； (4)eq \f(1,2)cos 105°＋eq \f(\r(3),2)sin 105°. [解析]　(1)cos(－375°)＝cos 375°＝cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30° ＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝eq \f(\r(6)＋\r(2),4). (2) cos 105°＝cos(60°＋45°) ＝cos 60°cos 45°－sin 60°sin 45° ＝eq \f(1,2)×eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2)－\r(6),4). (3) coseq \f(5π,12)coseq \f(π,6)＋coseq \f(π,12)sineq \f(π,6) ＝coseq \f(5π,12)coseq \f(π,6)＋sineq \f(5π,12)sineq \f(π,6) ＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,12)－\f(π,6)))＝coseq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2). (4)eq \f(1,2)cos 105°＋eq \f(\r(3),2)sin 105° ＝cos 60°cos 105°＋sin 60°sin 105° ＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝eq \f(\r(2),2). 利用两角和与差的余弦公式求值的一般思路 (1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解． (2)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值. [触类旁通] 1．(1)coseq \f(13π,12)＝(　　) A.eq \f(\r(6)＋\r(2),4)　　　　　　　 B.eq \f(\r(6)－\r(2),4) C.eq \f(\r(2)－\r(6),4) D.－eq \f(\r(6)＋\r(2),4) (2)若θ是第二象限角且sin θ＝eq \f(5,13)，则cos(θ＋60°)＝_______. 解析　(1)coseq \f(13π,12)＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,12)))＝－coseq \f(π,12) ＝－coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,6))) ＝－coseq \f(π,4)coseq \f(π,6)－sineq \f(π,4)sineq \f(π,6) ＝－eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)＝－eq \f(\r(6)＋\r(2),4). (2)∵θ是第二象限角且sin θ＝eq \f(5,13)，∴cos θ＝－eq \r(1－sin2θ)＝－eq \f(12,13)，∴cos(θ＋60°)＝eq \f(1,2)cos θ－eq \f(\r(3),2)sin θ＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))－eq \f(\r(3),2)×eq \f(5,13)＝－eq \f(12＋5\r(3),26). 答案　(1)D　(2)－eq \f(12＋5\r(3),26) 题型二　给值(式)求值(一题多变) b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))INCLUDEPICTURE "教师WORD/例2.tif" \* MERGEFORMAT" 　(1)已知sin＝eq \f(12,13)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，求cos α的值． (2)已知eq \f(π,2)＜β＜α＜eq \f(3π,4)，cos(α－β)＝eq \f(12,13)，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，求cos 2α与cos 2β的值． [解析]　(1)∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，∴eq \f(π,3)＋α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))， ∴coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝－eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))) ＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝－eq \f(5,13). ∵α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))－eq \f(π,3)， ∴cos α＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))－\f(π,3))) ＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))coseq \f(π,3)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))sineq \f(π,3) ＝－eq \f(5,13)×eq \f(1,2)＋eq \f(12,13)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(12\r(3)－5,26). (2)∵eq \f(π,2)＜β＜α＜eq \f(3π,4)， ∴0＜α－β＜eq \f(π,4)，π＜α＋β＜eq \f(3π,2). 又∵cos(α－β)＝eq \f(12,13)，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)， ∴sin(α－β)＝eq \r(1－cos2α－β) ＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝eq \f(5,13)， cos(α＋β)＝－eq \r(1－sin2α＋β) ＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))2)＝－eq \f(4,5). ∴cos 2α＝cos [(α＋β)＋(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β) ＝－eq \f(4,5)×eq \f(12,13)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq \f(5,13)＝－eq \f(33,65)， cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝－eq \f(4,5)×eq \f(12,13)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq \f(5,13)＝－eq \f(63,65). [母题变式] 1．(变条件)将本例(1)的条件改为“sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，且eq \f(π,4)<α<eq \f(3π,4)”，求cos α的值． 解析　∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(4,5)，且eq \f(π,4)<α<eq \f(3π,4)， ∴eq \f(π,2)<α＋eq \f(π,4)<π， ∴coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2)＝－eq \f(3,5)， ∴cos α＝coseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－\f(π,4)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))cos eq \f(π,4)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))sin eq \f(π,4)＝－eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(4,5)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),10). 2．(变条件、变结论)将本例(1)的条件改为“sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝－eq \f(12,13)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))”，求coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)))的值． 解析　∵eq \f(π,6)＜α＜eq \f(5π,6)，∴－eq \f(π,2)＜eq \f(π,3)－α＜eq \f(π,6)， 又sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝－eq \f(12,13)＜0， ∴－eq \f(π,2)＜eq \f(π,3)－α＜0， coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)))＝eq \f(5,13)， ∴coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)))＝coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－α)) ＝cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))－\f(π,4))) ＝eq \f(\r(2),2)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＋eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)) ＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(5,13)＋eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))＝－eq \f(7\r(2),26). [素养聚焦]　在给值(式)求值的过程中，提升了数学运算、逻辑推理等核心素养． 给值求值问题的解题策略 (1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角． (2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有： ①α＝(α－β)＋β； ②α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)； ③2α＝(α＋β)＋(α－β)； ④2β＝(α＋β)－(α－β). [触类旁通] 2．(1)已知点P(cos α，sin α)，Q(cos β，sin β)，则|eq \o(PQ,\s\up16(→))|的最大值是(　　) A．eq \r(2) B．2 C．4 D．eq \f(\r(2),2) (2)已知α，β都是锐角，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq \f(1,7)，cos(α＋β)＝－eq \f(3,5)，则coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,6)))＝(　　) A.eq \f(－4－12\r(3),35) B.eq \f(4－12\r(3),35) C.eq \f(－12＋4\r(3),35) D.eq \f(－12－4\r(3),35) 解析　(1)|eq \o(PQ,\s\up16(→))|＝(cos β－cos α，sin β－sin α)， 则|eq \o(PQ,\s\up16(→))|＝eq \r(cos β－cos α2＋sin β－sin α2)＝eq \r(2－2cosα－β)， 则当cos (α－β)＝－1时，|eq \o(PQ,\s\up16(→))|的最大值是2，故选B. (2)由于α，β都是锐角， 则－eq \f(π,6)＜α－eq \f(π,6)＜eq \f(π,3)，0＜α＋β＜π， 因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq \f(1,7)＞0，coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋β))＝－eq \f(3,5)＜0， 所以0＜α－eq \f(π,6)＜eq \f(π,3)，eq \f(π,2)＜α＋β＜π， 所以coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝eq \f(4\r(3),7)，sin(α＋β)＝eq \f(4,5)， 所以coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,6)))＝cos eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6))))) ＝cos(α＋β)coseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＋sin(α＋β)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,6)))＝－eq \f(3,5)×eq \f(4\r(3),7)＋eq \f(4,5)×eq \f(1,7)＝eq \f(4－12\r(3),35)，故选B. 答案　(1)B　(2)B 题型三　给值求角 f(2\r(5),5)INCLUDEPICTURE "教师WORD/例3.tif" \* MERGEFORMAT" 　已知α，β均为锐角，且sin α＝，sin β＝eq \f(\r(10),10)，则α－β＝_______. [解析]　∵α，β均为锐角， ∴cos α＝eq \f(\r(5),5)，cos β＝eq \f(3\r(10),10). ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝eq \f(\r(5),5)×eq \f(3\r(10),10)＋eq \f(2\r(5),5)×eq \f(\r(10),10)＝eq \f(\r(2),2). 又∵sin α＞sin β，∴0＜β＜α＜eq \f(π,2)， ∴0＜α－β＜eq \f(π,2).故α－β＝eq \f(π,4). [答案]　eq \f(π,4) 已知三角函数值求角的解题步骤 (1)界定角的范围，即根据条件确定所求角的范围． (2)求所求角的某种三角函数值．(为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数．) (3)结合三角函数值及角的范围求角. [触类旁通] 3．已知cos (α－β)＝－eq \f(12,13)，cos(α＋β)＝eq \f(12,13)，且α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，求角β的值． 解析　由α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))， 且cos (α－β)＝－eq \f(12,13)，得sin (α－β)＝eq \f(5,13). 由α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，且cos (α＋β)＝eq \f(12,13)， 得sin (α＋β)＝－eq \f(5,13). 所以cos 2β＝cos[(α＋β)－(α－β)] ＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β) ＝eq \f(12,13)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,13)))×eq \f(5,13)＝－1. 又因为α－β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))， 所以2β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3,2)π))，所以2β＝π，则β＝eq \f(π,2). [缜密思维提能区]　　　　　　易错案例　　 三角形中忽视角的范围而致误 [典例]　在△ABC中，sin(A＋B)＝eq \f(2,3)，cos B＝－eq \f(3,4)， 则cos A＝________. [解析]　在△ABC中， 因为cos B＝－eq \f(3,4)<0，sin(A＋B)＝eq \f(2,3)， cos(A＋B)＝－eq \r(1－sin2A＋B) ＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2)＝－eq \f(\r(5),3). 所以cos A＝cos[(A＋B)－B] ＝cos(A＋B)cos B＋sin(A＋B)sin B ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)))＋eq \f(2,3)×eq \f(\r(7),4)＝eq \f(2\r(7)＋3\r(5),12). [答案]　eq \f(2\r(7)＋3\r(5),12) [纠错心得] (1)重视角的范围的计算 应用两角差的余弦公式计算三角函数值时，经常有用正(余)弦值计算余(正)弦值的情况，此时特别注意计算角的范围．如本题中注意在三角形中，A＋B＋C＝π，A，B，C∈(0，π)． (2)注意拆角、凑角方法的应用 应用两角差的余弦公式计算三角函数值时，分析已知角与所求角的关系式是探究解题思路的关键．如本题中，注意到A＝(A＋B)－B，就自然想到解题思路． 知识落实 技法强化 (1)两角差的余弦公式的推导. (2)Cα－β，Cα＋β的简单应用. (1)构造法. (2)公式中的角是任意的，注意给定角的范围转化法，整体代换法. $$