9.3.3 向量平行的坐标表示 (Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

9.3.3　向量平行的坐标表示 学业标准 素养目标 1.掌握向量平行的坐标表示．(重点) 2.能利用向量平行的坐标表示解决有关向量平行问题．(难点) 通过向量平行的坐标表示的应用，主要提升数学运算、逻辑推理核心素养. [教材梳理] 导学 向量平行的坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若向量a＝(－2,3)，b＝(4,6)，则a与b不共线．(　　) (2)向量x＝(1,2)与y＝(m,2m)同向．(　　) (3)若a＝(x1，y1)b＝(x2，y2)则a∥b⇔＝.(　　) (4)a∥b的充要条件是b＝λa(λ∈R)．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝(　　) A．－9　 B．9　　　 C．3　　　 D．－3 解析　因为a＝(－6,2)，b＝(m，－3)， 若a∥b，则－6×(－3)－2m＝0，解得m＝9. 答案　B 3．若a＝(x－2,5)，b＝(－1，y＋2)，且a＝b，则x＝________，y＝________. 解析　∵a＝b，∴，即 答案　1　3 4．若向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，则当x＝________时，a与b共线且方向相同． 解析　∵a＝(x,1)，b＝(4，x)，若a∥b，则x2－4＝0，即x2＝4，∴x＝±2，当x＝－2时，a和b方向相反．当x＝2时，a与b方向相同． 答案　2 题型一　向量共线的判定(一题多解) 　已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？ [解析]　a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 法一　a＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， 当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ， 使ka＋b＝λ(a－3b)． 由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)， 所以 解得k＝λ＝－. 当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，因为λ＝－<0， 所以ka＋b与a－3b反向． 法二　由题知ka＋b＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(10，－4)，因为ka＋b与a－3b平行， 所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0， 解得k＝－. 这时ka＋b＝＝－(a－3b)． 所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，并且反向． 向量共线的判定方法 [触类旁通] 1．(1)(2021·全国卷Ⅰ)已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝________. (2)已知点P(－1,2)，线段QP的中点M的坐标为(1，－1)．若向量与向量a＝(λ，1)共线，则λ＝________. 解析　(1)由题意结合向量平行的充分必要条件可得2×4－λ×5＝0， 解方程可得λ＝.故答案为. (2)点P(－1,2)，线段QP的中点M的坐标为(1，－1)，所以向量＝2(－1－1,2＋1)＝(－4,6)， 又因为与向量a＝(λ，1)共线， 所以(－4)×1－6λ＝0，解得λ＝－. 答案　(1)　(2)－ 题型二　三点共线问题(一题多解　一题多变) 　(1)已知＝(3,4)，＝(7,12)，＝(9,16)，求证：点A，B，C共线； (2)设向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线． (1)[证明]　由题意知＝－＝(4,8)， ＝－＝(6,12)，所以＝， 即与共线．又因为与有公共点A，所以点A，B，C共线． (2)[解析]　法一　因为A，B，C三点共线，即与共线，所以存在实数λ(λ∈R)，使得＝λ.因为＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(10－k，k－12)， 所以(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)， 即解得k＝－2或k＝11. 所以当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线． 法二　由已知得与共线， 因为＝－＝(4－k，－7)， ＝－＝(10－k，k－12)， 所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0， 所以k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11. 所以当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线． [母题变式] 1．(变条件、变结论)将本例(2)变为：若点A(1，－3)，B，C(x,1)共线，则x＝________. 解析　＝，＝(x－1,4)． 因为A，B，C共线，所以与共线． 所以7×4－(x－1)＝0，解得x＝9. 答案　9 2．(变条件、变结论)将本例(2)变为：已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件是________. 解析　若点A，B，C不能构成三角形，则只能共线． 因为＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，＝－＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1. 所以若A，B，C三点能构成三角形，则m≠1. 答案　m≠1 [素养聚焦]　通过三点共线的证明及应用，直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 判断三点共线的三个步骤 [触类旁通] 2．设向量＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，其中O为坐标原点，a>0，b>0.若A，B，C三点共线，则＋的最小值为(　　) A．4　　 B．6　　　　 C．8　　　　 D．9 解析　＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)，∵A，B，C三点共线，∴∥， ∴2(a－1)＝－b－1，∴2a＋b＝1， 又a>0，b>0，∴＋＝(2a＋b) ＝2＋2＋＋≥4＋2＝8， 当且仅当即a＝，b＝时等号成立， 故＋的最小值为8，故选C. 答案　C 题型三　向量共线的应用 　如图所示，在△AOB中，A(0，5)，O(0,0)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC相交于点M，求点M的坐标． [解析]　因为＝＝(0，5)＝，所以C. 因为＝＝(4,3)＝， 所以D. 设M(x，y)，则＝(x，y－5)， ＝＝. 因为∥，所以－x－2(y－5)＝0， 即7x＋4y＝20.① 又＝，＝ 因为∥，所以x－4＝0， 即7x－16y＝－20.② 联立①②解得x＝，y＝2， 故点M的坐标为. 应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤 [触类旁通] 3．如图所示，已知△ABC，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求的坐标． 解析　因为A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)， 所以＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)，＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)．又因为D是BC的中点， 所以＝(＋)＝(－4－3，－3－5)＝(－7，－8)＝ 因为M，N分别为AB，AC的中点， 所以F为AD的中点， 所以＝－＝－＝－＝. [缜密思维提能区]　　　　　　　　　　　　　　易错案例　　 因向量共线的概念理解不正确而致误 [典例]　已知A(1,2)，B(3,6)，则与共线的单位向量为________. [审题指导]　将与共线的向量表示出来，再除以向量的模即可． [解析]　因为A(1,2)，B(3,6)， 所以＝(2,4)，所以||＝2， 综上所述，与共线的单位向量为，. [答案]　， [纠错心得]　(1)正确理解概念：共线的两个向量可以是同向共线，也可以是反向共线．(2)关键是审题：解答这类试题时，要认真审题，“共线”二字的含义是平行，因此，与共线的向量有两个方向． 知识落实 技法强化 (1)向量平行的坐标表示及判定. (2)向量(三点)共线的应用. (1)转化法. (2)若a＝(x，y)≠0，则与a共线的单位向量是 和 . (3)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 学科网（北京）股份有限公司 $$