9.3.3 向量平行的坐标表示(课件PPT)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学必修第二册（苏教版2019）

第9章　平面向量 9.3　向量基本定理及坐标表示 9.3.3　向量平行的坐标表示 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 目 录 课前案 必备知识·自主学习 01 02 CONTENTS 课堂案 关键能力·互动探究 03 课后案 学业评价·层级训练 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 课前案 必备知识·自主学习 01 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 导学 向量平行的坐标表示 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 课堂案 关键能力·互动探究 02 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 点击进入Word 课后案 学业评价·层级训练 03 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 谢谢观看 返回目录 第9章　平面向量 数学•必修　第二册(配SJ版) 1 学业标准 素养目标 1.掌握向量平行的坐标表示．(重点) 2.能利用向量平行的坐标表示解决有关向量平行问题．(难点) 通过向量平行的坐标表示的应用，主要提升数学运算、逻辑推理核心素养. [教材梳理] 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. [基础自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若向量a＝(－2,3)，b＝(4,6)，则a与b不共线．(　　) (2)向量x＝(1,2)与y＝(m,2m)同向．(　　) (3)若a＝(x1，y1)b＝(x2，y2)则a∥b⇔eq \f(y1,x1)＝eq \f(y2,x2).(　　) (4)a∥b的充要条件是b＝λa(λ∈R)．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．已知a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，且a∥b，则m＝(　　) A．－9　 B．9　　　 C．3　　　 D．－3 解析　因为a＝(－6,2)，b＝(m，－3)， 若a∥b，则－6×(－3)－2m＝0，解得m＝9. 答案　B 解析　∵a＝(x,1)，b＝(4，x)，若a∥b，则x2－4＝0，即x2＝4，∴x＝±2，当x＝－2时，a和b方向相反．当x＝2时，a与b方向相同． 答案　2 3．若a＝(x－2,5)，b＝(－1，y＋2)，且a＝b，则x＝_______，y＝_______. 解析　∵a＝b，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－2＝－1,5＝y＋2))，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝3.)) 答案　1　3 4．若向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，则当x＝_______时，a与b共线且方向相同． 题型一　向量共线的判定(一题多解) [解析]　a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)， 法一　a＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)， 当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ， 使ka＋b＝λ(a－3b)． 由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)， 所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k－3＝10λ，,2k＋2＝－4λ，)) 解得k＝λ＝－eq \f(1,3). 当k＝－eq \f(1,3)时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－eq \f(1,3)a＋b＝－eq \f(1,3)(a－3b)，因为λ＝－eq \f(1,3)<0， 所以ka＋b与a－3b反向． 法二　由题知ka＋b＝(k－3,2k＋2)， a－3b＝(10，－4)，因为ka＋b与a－3b平行， 所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0， 解得k＝－eq \f(1,3). 这时ka＋b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)－3，－\f(2,3)＋2))＝－eq \f(1,3)(a－3b)． 所以当k＝－eq \f(1,3)时，ka＋b与a－3b平行，并且反向． 向量共线的判定方法 [触类旁通] 1．(1)(2021·全国卷Ⅰ)已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，则λ＝_______. (2)已知点P(－1,2)，线段QP的中点M的坐标为(1，－1)．若向量eq \o(QP,\s\up16(→))与向量a＝(λ，1)共线，则λ＝_______. 解析　(1)由题意结合向量平行的充分必要条件可得2×4－λ×5＝0， 解方程可得λ＝eq \f(8,5).故答案为eq \f(8,5). (2)点P(－1,2)，线段QP的中点M的坐标为(1，－1)，所以向量eq \o(QP,\s\up16(→))＝2(－1－1,2＋1)＝(－4,6)， 又因为eq \o(QP,\s\up16(→))与向量a＝(λ，1)共线， 所以(－4)×1－6λ＝0，解得λ＝－eq \f(2,3). 答案　(1)eq \f(8,5)　(2)－eq \f(2,3) 题型二　三点共线问题(一题多解　一题多变) o(OA,\s\up16(→))INCLUDEPICTURE "教师WORD/例2.tif" \* MERGEFORMAT" 　(1)已知＝(3,4)，eq \o(OB,\s\up16(→))＝(7,12)，eq \o(OC,\s\up16(→))＝(9,16)，求证：点A，B，C共线； (2)设向量eq \o(OA,\s\up16(→))＝(k,12)，eq \o(OB,\s\up16(→))＝(4,5)，eq \o(OC,\s\up16(→))＝(10，k)，求当k为何值时，A，B，C三点共线． (1)[证明]　由题意知eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＝(4,8)， eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(OC,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＝(6,12)，所以eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \f(3,2) eq \o(AB,\s\up16(→))， 即eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AC,\s\up16(→))共线．又因为eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AC,\s\up16(→))有公共点A，所以点A，B，C共线． (2)[解析]　法一　因为A，B，C三点共线，即eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AC,\s\up16(→))共线，所以存在实数λ(λ∈R)，使得eq \o(AB,\s\up16(→))＝λeq \o(AC,\s\up16(→)).因为eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＝(4－k，－7)，eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(OC,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＝(10－k，k－12)， 所以(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)， 即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(4－k＝λ10－k，,－7＝λk－12，))解得k＝－2或k＝11. 所以当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线． 法二　由已知得eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AC,\s\up16(→))共线， 因为eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＝(4－k，－7)， eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(OC,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＝(10－k，k－12)， 所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0， 所以k2－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11. 所以当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线． [母题变式] 1．(变条件、变结论)将本例(2)变为：若点A(1，－3)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(1,2)))，C(x,1)共线，则x＝_______. 解析　eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7，\f(7,2)))，eq \o(AC,\s\up16(→))＝(x－1,4)． 因为A，B，C共线，所以eq \o(AB,\s\up16(→))与eq \o(AC,\s\up16(→))共线． 所以7×4－eq \f(7,2)(x－1)＝0，解得x＝9. 答案　9 2．(变条件、变结论)将本例(2)变为：已知向量eq \o(OA,\s\up16(→))＝(1，－3)，eq \o(OB,\s\up16(→))＝(2，－1)，eq \o(OC,\s\up16(→))＝(m＋1，m－2)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m应满足的条件是_______. 解析　若点A，B，C不能构成三角形，则只能共线． 因为eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(OC,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1. 所以若A，B，C三点能构成三角形，则m≠1. 答案　m≠1 [素养聚焦]　通过三点共线的证明及应用，直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养体现在解题过程中． 判断三点共线的三个步骤 [触类旁通] 2．设向量eq \o(OA,\s\up16(→))＝(1，－2)，eq \o(OB,\s\up16(→))＝(a，－1)，eq \o(OC,\s\up16(→))＝(－b,0)，其中O为坐标原点，a>0，b>0.若A，B，C三点共线，则eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为(　　) A．4　　 B．6　　　　 C．8　　　　 D．9 解析　eq \o(AB,\s\up16(→))＝eq \o(OB,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＝(a－1,1)，eq \o(AC,\s\up16(→))＝eq \o(OC,\s\up16(→))－eq \o(OA,\s\up16(→))＝(－b－1,2)，∵A，B，C三点共线，∴eq \o(AB,\s\up16(→))∥eq \o(AC,\s\up16(→))， ∴2(a－1)＝－b－1，∴2a＋b＝1， 又a>0，b>0，∴eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(2,b)))(2a＋b) ＝2＋2＋eq \f(b,a)＋eq \f(4a,b)≥4＋2eq \r(\f(b,a)·\f(4a,b))＝8， 当且仅当eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2a＝b，,2a＋b＝1，))即a＝eq \f(1,4)，b＝eq \f(1,2)时等号成立， 故eq \f(1,a)＋eq \f(2,b)的最小值为8，故选C. 答案　C 题型三　向量共线的应用 o(OC,\s\up16(→))INCLUDEPICTURE "教师WORD/例3.tif" \* MERGEFORMAT" 　如图所示，在△AOB中，A(0，5)，O(0,0)，B(4,3)，＝eq \f(1,4) eq \o(OA,\s\up16(→))，eq \o(OD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(OB,\s\up16(→))，AD与BC相交于点M，求点M的坐标． [解析]　因为eq \o(OC,\s\up16(→))＝eq \f(1,4) eq \o(OA,\s\up16(→))＝eq \f(1,4)(0，5)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4)))，所以Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4))). 因为eq \o(OD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2) eq \o(OB,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(4,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2)))， 所以Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,2))). 设M(x，y)，则eq \o(AM,\s\up16(→))＝(x，y－5)， eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－0，\f(3,2)－5))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－\f(7,2))). 因为eq \o(AM,\s\up16(→))∥eq \o(AD,\s\up16(→))，所以－eq \f(7,2)x－2(y－5)＝0， 即7x＋4y＝20.① 又eq \o(CM,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，y－\f(5,4)))，eq \o(CB,\s\up16(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(7,4))) 因为eq \o(CM,\s\up16(→))∥eq \o(CB,\s\up16(→))，所以eq \f(7,4)x－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(5,4)))＝0， 即7x－16y＝－20.② 联立①②解得x＝eq \f(12,7)，y＝2， 故点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,7)，2)). 应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤 [触类旁通] 3．如图所示，已知△ABC，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求eq \o(DF,\s\up16(→))的坐标． 解析　因为A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)， 所以eq \o(AB,\s\up16(→))＝(3－7,5－8)＝(－4，－3)，eq \o(AC,\s\up16(→))＝(4－7,3－8)＝(－3，－5)．又因为D是BC的中点， 所以eq \o(AD,\s\up16(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(AB,\s\up16(→))＋eq \o(AC,\s\up16(→)))＝eq \f(1,2)(－4－3，－3－5)＝eq \f(1,2)(－7，－8)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)，－4)) 因为M，N分别为AB，AC的中点， 所以F为AD的中点， 所以eq \o(DF,\s\up16(→))＝－eq \o(FD,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2) eq \o(AD,\s\up16(→))＝－eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)，－4))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,4)，2)). [缜密思维提能区]　　　　　　易错案例　　 因向量共线的概念理解不正确而致误 [典例]　已知A(1,2)，B(3,6)，则与eq \o(AB,\s\up16(→))共线的单位向量为________. [审题指导]　将与eq \o(AB,\s\up16(→))共线的向量表示出来，再除以向量的模即可． [解析]　因为A(1,2)，B(3,6)， 所以eq \o(AB,\s\up16(→))＝(2,4)，所以|eq \o(AB,\s\up16(→))|＝2eq \r(5)， eq \a\vs4\al(与\o(AB,\s\up16(→))同向的单位向量为\f(\o(AB,\s\up16(→)),|\o(AB,\s\up16(→))|),＝\f(1,2\r(5))2，4＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))；,与\o(AB,\s\up16(→))反向的单位向量为,－\f(\o(AB,\s\up16(→)),|\o(AB,\s\up16(→))|)＝－\f(1,2\r(5))2，4,＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5)))，) eq \x(\a\al(易错警示：与,\o(AB,\s\up16(→))共线的单位,向量有两类：与,\o(AB,\s\up16(→))同向，与\o(AB,\s\up16(→)),反向，易忽视与,\o(AB,\s\up16(→))反向的,一个.)) 综上所述，与eq \o(AB,\s\up16(→))共线的单位向量为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5))). [答案]　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)，－\f(2\r(5),5))) [纠错心得]　(1)正确理解概念：共线的两个向量可以是同向共线，也可以是反向共线．(2)关键是审题：解答这类试题时，要认真审题，“共线”二字的含义是平行，因此，与eq \o(AB,\s\up16(→))共线的向量有两个方向． 知识落实 技法强化 (1)向量平行的坐标表示及判定. (2)向量(三点)共线的应用. (1)转化法. (2)若a＝(x，y)≠0，则与a共线的单位向量是 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,\r(x2＋y2))，\f(y,\r(x2＋y2))))和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(x,\r(x2＋y2))，－\f(y,\r(x2＋y2)))). (3)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. $$