期中真题必刷压轴70题（14个考点专练）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（苏科版2024）

期中真题必刷压轴70题（14个考点专练） 考点一 幂的运算压轴题（共5小题） 1．（23-24七年级下·江苏·自主招生）设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 2．（23-24·七年级下·江苏·阶段练习）观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是(　　　) A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）已知，，则 ． 4．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知，，，现给出3个数a，b，c之间的四个关系式：①；②；③；④．其中，正确的关系式是 （填序号）． 5．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 考点二 幂的运算比较大小压轴（共5小题） 6．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）已知，，，则a、b、c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·江苏无锡·单元测试）已知a=255，b=344，c=433，则a，b，c的大小关系为 ． 9．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 10．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方 (2)比较的大小，并说明理由； (3)若，，，求a，b，c之间的等量关系． 考点三 幂的运算新定义问题（共5小题） 11．（2024七年级下·江苏镇江·专题练习）对于任意正整数定义一种新运算：．比如，则．如果，那么的结果是（   ） A．2024 B． C． D．1012 12．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）如果，那么称b为n的“拉格数”，记为，由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：①，②，③，④，⑤．其中，正确的结论有（    ） A．①③④ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 13．（24-25七年级下·江苏·阶段练习）规定两正数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．小慧在研究这种运算时发现：，例如：．证明如下：设，，，根据定义可得：，，，因为，所以，即，所以．请根据前面的经验计算：的值为 ． 14．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如果，那么称为的“拉格数”，记为，由定义可知：．例如，因为，所以，．若，则 ． 15．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）阅读以下材料： 对数的创始入是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550年-1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若，则x叫做以a为底N的对数，记作．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：．理由如下：设，所以，所以，由对数的定义得，又因为，所以． 解决以下问题： (1)将指数转化为对数式__________________； (2)仿照上面的材料，试证明：； (3)_________；_________． 考点四 整式乘法压轴题（共5小题） 16．（23-24七年级下·江苏·周测）若能被整除，则的值是（    ） A． B． C．6 D．4 17．（23-24七年级下·江苏·自主招生）若实数x，y，z满足，求（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 18．（2025七年级下·江苏·专题练习）在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是 ． 19．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）为非零自然数，若为两个连续自然数之积，则的值是 ． 20．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）说明：对于任意的正整数，代数式的值是否总能被6整除． 考点五 多项式乘法中的规律性压轴题（共5小题） 21．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一．用“杨辉三角”可以解释（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数……，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当，除以2024，余数为2023． 上述结论正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 22．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算：的值是（   ） A． B． C． D． 23．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如杨辉三角．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a＋b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数降幂排列）的系数规律．例如，在三角形中第一行的三个数1，2，1，恰好对应（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b2展开式中的系数，结合杨辉三角的理解完成以下问题： （1）（a＋b）2展开式a2＋2ab＋b2中每一项的次数都是_______次；（a＋b）3展开式a3＋3a2b＋3ab2＋b2中每一项的次数都是_______次；那么（a＋b）n展开式中每一项的次数都是______次． （2）写出（a＋b）4的展开式______________________________． （3）写出（x＋1）5的展开式_________________________． （4）拓展应用：计算（x＋1）5＋（x－1）6＋（x＋1）7的结果中，x5项的系数为________________． 24．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）方法探究：同学们在学习数学过程中，遇到难题可以考虑从简单到特殊的情况入手，例如：求的值．分别计算下列各式的值： (1)填空： ； ； ； 由此可得 ； (2)计算： ； (3)根据以上结论，计算： 25．（23-24七年级·江苏苏州·阶段练习）（1）填空：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝　 　； （2）猜想：（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）＝　 　（n为大于3的正整数），并证明你的结论； （3）运用（2）的结论计算（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）； （4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3＝　 　． 考点六 乘法公式压轴题（共5小题） 26．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 27．（23-24七年级下·江苏常州·期末）设 ，，．若，则的值是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 28．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）设实数满足，若，则的值是 ． 29．（23-24七年级下·广西南宁·期末）已知是一个完全平方式，则 ． 30．（23-24七年级下·江苏·竞赛）已知实数满足等式和，求的值． 考点七 乘法公式与几何图形压轴题（共5小题） 31．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干张如图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用一张种纸片，一张种纸片，两张种纸片拼成了如图所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图中大正方形的面积：（用含的式子表示） 方法： ； 方法： ． (2)观察图，请写出代数式，，之间的等量关系式 ； (3)根据（）中的等量关系，解决如下问题： 已知，，求的值； 已知，求的值． 32．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）探究与实践 问题发现： （1）用四个长为a、宽为b的长方形拼成如图①所示的正方形，由此可以得到、、的等量关系是______； 问题探究： （2）如图②，将边长为a的正方形和边长为b正方形拼在一起，使得A、P、B共线，点E落在上，连接，若，的面积为，求的长度； 问题解决： （3）如图③，某小区物业准备在小区内规划设计一块休闲娱乐区，其中、为两条互相垂直的道路，且，，四边形与四边形为长方形，现计划在两个三角形区域种植花草，两个长方形区域铺设塑胶地面，按规划要求，道路的长度为80米，若种植花草每平方米需要100元，铺设塑胶地面每平方米需要30元，若物业为本次修建休闲娱乐区筹集了25万元，请你通过计算说明该物业筹集的资金是否够用？（道路的宽度均不计） 33．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．    (1)图2中阴影部分的正方形面积为______ 用含a，b的式子表示 (2)观察图2，下列三个代数式，，之间的等量关系是______ ． (3)根据（2）中得到的等量关系，若x，y为任意实数，且，，求的值． (4)如图3，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积______ ． 34．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是、、．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为和的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为的正方形）． (1)观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为，结论①； 图2中的大正方形的面积又可以用含字母、的代数式表示为：______，结论② 图3中的大正方形的面积又可以用含字母、、的代数式表示为：______，结论③． (2)思考： 结合结论①和结论②，可以得到个等式______ 结合结论②和结论③，可以得到个等式______ (3)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作、、，且．，求的值． (4)延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），直角边，斜边，求图中阴影部分面积和． 35．（23-24七年级下·广东珠海·期中）结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一个数学等式．    (1)如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______； (2)我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若x满足，可设，，则，．则______． (3)若x满足，则的值为______； (4)小玲想利用图2中x张A纸片，y张B纸片，z张C纸片拼出一个面积为的大长方形，则______； (5)如图3，已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 考点八 乘法公式中的配方法问题（共5小题） 36．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值；总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值-1． 根据上述材料，解答下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：___________； (2)将变形为的形式___________，则的最小值为___________； (3)已知，求代数式的最大值； 37．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）定义：将二次三项式变形为的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即就可以解决很多问题，例如：把多项式配方为：． (1)若多项式，． 证明：无论取任何实数，多项式的值一定恒为正数； 求多项式的最小值； (2)因为可得到：，即这是重要的基本不等式；，（当时，且是定值时，有最小值是），若，求的最小值，并求出此时的值． 38．（23-24七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题都有广泛的应用． 例如：用配方法分解因式：． 原式． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：； (2)将变形为的形式，并求出的最小值． 39．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）把关于的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法在代数式求值，最值问题，解方程等问题中都有着广泛的应用．配方法的本质是完全平方公式的逆运用，即：． 例如：将配方如下：． 请根据阅读材料解决下列问题： 【初步应用】（1）用上面的方法对多项式配方； 【类比应用】（2）求代数式的最小值； 【拓展应用】已知，求的值． 40．（23-24七年级下·江西南昌·期末）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即.例如：，，是的三种不同形式的配方. 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)已知，求的值. 考点九 乘法公式中的最值问题（共5小题） 41．（23-24七年级下·山东东营·期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， 当时，的值最小，最小值是0， ． 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)知识再现：当__________时，代数式有最小值是 ； (2)知识运用：若，判断y有最大值还是有最小值，并求x为何值时，y的最值． (3)知识拓展：若，求的最小值． 42．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）张老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以．所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当______时，有最小值是_______． (2)已知，求的最值为_______． (3)已知实数、满足，求的值． 43．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： ， 因为，所以当时，的值最小，最小值是． 所以．所以当时，的值最小，最小值是． 所以的最小值是． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当 时，有最 （填“大”或“小”）值，该值为 ． (2)已知的三边长分别为，，，且满足，求的周长． 44．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）阅读理解并解答： 为了求代数式的值，我们必须先知道x的值，若，则这个代数式的值为5；若，则这个代数式的值为10，……可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围． （1）把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题，例如：，因为是非负数，所以，这个代数式的最小值为______，这时相应的x的值是_______． 尝试探究并解答： （2）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （3）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （4）已知代数式，当x的值在（包含和4）之间变化时，直接写出代数式的值的变化范围． 45．（24-25七年级下·福建漳州·期中）在学习乘法公式的运用时，我们常利用完全平方公式求最大值或最小值．例如：求代数式的最小值？总结出如下解答方法： 解：， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 根据阅读材料利用完全平方公式解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 考点十 整式乘法新定义运算（共5小题） 46．（2025七年级下·全国·专题练习）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如，．若，求的值． 47．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如 (a、b为实数)的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如：；．根据以上信息，完成下列问题： (1)计算：， ； (2)计算：； (3)计算： 48．（24-25七年级下·上海虹口·期中）定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 49．（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式（是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： (1)小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，要根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子； (2)判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由； (3)若多项式（是常数）是一组平衡多项式，求的值． 50．（23-24七年级下·全国·单元测试）定义：是多项式A化简后的项数．例如多项式，则．一个多项式A乘以多项式B，化简得到多项式C（即），若，则称B是A的“郡园多项式”；若，则称B是A的“郡园志勤多项式”． (1)若，则B是不是A的“郡园多项式”？说明理由． (2)若是关于x的多项式且B是A的“郡园志勤多项式”，求a的值． 考点十一 平移压轴题（共5小题） 51．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在锐角三角形中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点的对应点分别是），连接．若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的度数不可能为（　　） A． B． C． D． 52．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）将图①中周长为40的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长58的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 （　　） A．44 B．48 C．46 D．50 53．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，，将沿着射线方向平移得到，连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则 ． 54．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期中）已知小正方形的边长为2厘米，大正方形的边长为4厘米，起始状态如图所示，大正方形固定不动，把小正方形以1厘米/秒的速度向右沿直线平移，设平移的时间为t秒，两个正方形重叠部分的面积为S平方厘米，完成下列问题： （1）当秒时， 平方厘米； （2）当时，小正方形平移的时间为 秒． 55．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图 1，被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接，． (1)请说明的理由． (2)将线段沿着直线平移得到线段，连接． ①如图 2，当时，求的度数； ②在整个运动中，当时，求的度数． ③在整个运动中，之间的等量关系为： ．（直接写出答案） 考点十二 轴对称压轴题（共5小题） 56．（24-25七年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，中，沿的平分线折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿沿的平分线折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1 折叠，点B n 与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称是好三角形．如果一个三角形的最小角是，且满足该三角形的三个角均是此三角形的好角，则此三角形另两个角的度数为（   ） A． B． C． D． 57．（24-25七年级下·上海黄浦·期末）如图，地面上有不在同一直线上的A，B，C三点，一只青蛙位于地面异于A，B，C的P点，第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点，第二步从跳到关于B的对称点，第三步从跳到关于C的对称点，第四步从跳到关于A的对称点…以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处P．（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 58．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，的面积为6，，平分，若M，N分别是上的动点，则的最小值为 ． 59．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，M为内部的一点．P、Q分别为边，上的动点，连接，，．已知，当的值最小时， ． 60．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，的边关于的对称线段是，边关于的对称线段是，连接．若点落在所在的直线上，，求的度数． 考点十三 折叠压轴题（共5小题） 61．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是（    ）．    A． B． C． D．2 62．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 63．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）如图，在一次数学活动课上，小明将一张长方形纸带进行了两次折叠，折痕分别为，，若，则 ． 64．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在点处，折痕为．点为射线上一点，连接，将长方形纸片的另一角沿折叠，使得点落在点处（折痕为）．若，则 ． 65．（24-25七年级下·上海宝山·阶段练习）在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点画直线的平行线的方法，折纸过程如下：． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______；如图④，______，则与的位置关系为______． (2)张华在（1）的条件下继续探究，他在两点处安装了绚丽的小射灯，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，若灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，在灯射线第一次到达之前，当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置． ①用含的式子表示_________；②当时，两条射线的夹角为_________． (3)在（2）的条件下，在灯射线第一次到达之前． 灯转动______秒，两灯的光束互相平行： 灯转动______秒，两灯的光束互相垂直． 考点十四 旋转压轴题（共5小题） 66．（24-25七年级下·浙江金华·期末）将直角三角板和直角三角板如图摆放，点O、B、D都在直线上，点A、C在的上方，其中，，．将三角板绕点以5度/秒的速度顺时针旋转，直至边第一次落在直线上，三角板停止转动，设三角板的旋转时间为t秒． (1)若三角板保持不动，则三角板旋转______秒时，平分； (2)若三角板旋转5秒时，三角板绕点O以3度/秒的速度逆时针开始旋转，当三角板停止转动时，三角板也停止转动． ①三角板旋转10秒时，是否平分？请说明理由； ②当t的值为多少时，射线，，中恰好有一条射线平分其余两条射线所构成的角？ 67．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． （1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则___________ 【实践探究】（2）第一小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺的旋转时间为秒，提出下列问题： ①当___________秒时，边落在边上． ②当平分时，___________秒 【深度探究】（3）如图2，第二小组受第一小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．求为何值时，． 68．（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知分别在内部旋转，从出发绕点以的速度逆时针旋转，从出发绕点以的速度逆时针旋转，．设运动时间为秒．    (1)求的度数．（用含的代数式表示） (2)当，求证：平分． (3)运动过程中，当时，，求的值． 69．（24-25七年级下·广东韶关·期末）【实验操作】 如图①，把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中，． （1）填空：________； （2）如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒6°的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒． ①当时，________； ②当何值时，？ 【拓展延伸】 （3）如图③，在（2）的条件下，若平分，平分．请问在三角板旋转的过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数． 70．（24-25七年级下·山东济宁·期末）如图，一副三角板最初按图1的方式放置，两个三角板的直角顶点重合，点落在边上，，（本题中所有的角均小于或等于）． (1)如图2，若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，而三角板保持静止不动，第10秒时，的度数为__________，的度数为__________，此时__________； (2)若将三角板绕点顺时针旋转一周后停止，而三角板保持静止不动，（1）中和的数量关系是否始终成立？请说明理由； (3)若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转的同时，将三角板以每秒的速度逆时针旋转，两个三角板均在旋转一周后停止，则第几秒时？（直接写出答案即可） 4 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷压轴70题（14个考点专练） 考点一 幂的运算压轴题（共5小题） 1．（23-24七年级下·江苏·自主招生）设m，n是正整数，且，若与的末两位数字相同，则的最小值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】由题意可知是100的倍数，从而分析得到的末尾数字是01，设（t为正整数），由，分析判断即可得到正确答案． 【详解】解：由题意知，是100的倍数 ∵与100互质 ∴是100的倍数 ∴的末尾数字是01 ∴的数值一定是偶数，且m，n是正整数， 设：（t为正整数） 则： ∵的末尾两位数字为61，的末尾两位数字为41，的末尾两位数字为21，末尾两位数字为01 ∴t的最小值为5， ∴的最小值为10 故答案为：B 【点睛】本题考查幂的乘方，牢记相关的知识点并能灵活应用是解题的关键． 2．（23-24·七年级下·江苏·阶段练习）观察等式：；；；…已知按一定规律排列的一组数：，若，用含的式子表示这组数据的和是(　　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得出，再利用整体代入思想即可得出答案． 【详解】解：由题意得：这组数据的和为： ∵， ∴原式=, 故选：A． 【点睛】本题考查规律型问题：数字变化，列代数式，整体代入思想，同底数幂的乘法的逆用，解题的关键是正确找到本题的规律：，学会探究规律，利用规律解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 3．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）已知，，则 ． 【答案】1 【分析】本题的思路是将等式两边化成同底数幂，推出指数相等．由于，因此对等式两边同时取y次方，可以得到，再把160换成得到，接着把换成（都等于160）得到，从而推出，最后对中的指数去括号，整体代入可得结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∵，, ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，将等式两边化成同底数幂，推出指数相等是解题的关键． 4．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）已知，，，现给出3个数a，b，c之间的四个关系式：①；②；③；④．其中，正确的关系式是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】根据同底数幂的乘法法则即可求出a、b、c的关系，代入各式验证即可． 【详解】解：∵，，． ∴，，， ∴a+2＝b+1＝c， 即b＝a+1，c＝b+1，c＝a+2， 于是有：①a+c＝a+a+2＝2a+2，2b＝2a+2， 所以a+c＝2b，因此①正确； ②a+b＝a+a+1＝2a+1，2c﹣3＝2a+4﹣3＝2a+1， 所以a+b＝2c﹣3，因此②正确； ③b+c＝a+1+a+2＝2a+3，因此③正确； ④b＝a+1，因此④不正确； 综上所述，正确的结论有：①②③三个， 故选：C． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，解题的关键是熟练运用同底数幂的乘法法则，得出a、b、c的关系． 5．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）阅读材料：的末尾数字是3，的末尾数字是9，的末尾数字是7，的末尾数字是1，的末尾数字是3，......，观察规律，，∵的末尾数字是1，∴的末尾数字是1，∴的末尾数字是3，同理可知，的末尾数字是9，的末尾数字是7．解答下列问题： (1)的末尾数字是 ，的末尾数字是 ； (2)求的末尾数字； (3)求证：能被5整除． 【答案】(1)3，6； (2)4； (3)证明见解析． 【分析】（1）根据阅读材料中的结论可知的末尾数字；根据阅读材料中提供的方法，可得的末尾数字是4，的末尾数字是6，于是得解； （2）先将化成，再利用的末尾数字是6，从而得出结论； （3）分别证明的末尾数字为6和的末尾数字9，则命题即可得证． 【详解】（1）解：， 的末尾数字为3； 的末尾数字是4，的末尾数字是6，的末尾数字是4，… 的末尾数字是4，的末尾数字是6， 的末尾数字是6； 故答案为：3，6； （2）解：， ∵的末尾数字是6， ∴的末尾数字是4； （3）证明：∵的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6，的末尾数字是2，… 的末尾数字是2，的末尾数字是4，的末尾数字是8，的末尾数字是6， 的末尾数字为6； 同理可得： 的末尾数字7，的末尾数字9，的末尾数字3，的末尾数字1； 的末尾数字9， ∴的末尾数字是5， ∴能被5整除． 【点睛】此题是一道阅读理解题，主要考查了幂的运算、数的整除，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则是解答此题的关键． 考点二 幂的运算比较大小压轴（共5小题） 6．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）已知，，，，则a、b、c、d的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先变形化简，，，，比较11次幂的底数大小即可． 【详解】因为，，，， 因为， 所以， 所以， 故即； 同理可证 所以， 故选A． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，熟练掌握幂的乘方及其逆运算是解题的关键． 7．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）已知，，，则a、b、c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把a、b、c三个数变成指数相同的幂，通过底数可得出a、b、c的大小关系． 【详解】解：∵a＝（35）11＝24311，b＝（44）11＝25611，c＝（53）11＝12511， 又∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了幂的乘方的逆运算，解答本题关键是掌握幂的乘方法则，把各数的指数变成相同． 8．（23-24七年级下·江苏无锡·单元测试）已知a=255，b=344，c=433，则a，b，c的大小关系为 ． 【答案】b＞c＞a 【分析】根据幂运算的性质，及它们的指数相同，只需比较它们的底数的大小，底数大的就大． 【详解】解：a=255=（25）11=3211， b=344=（34）11=8111， c=433=（43）11=6411， 则b＞c＞a． 【点睛】此题要熟练运用幂运算的性质把它们变成相同的指数，然后根据底数的大小比较两个数的大小． 9．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 【答案】(1)指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大 (2)① ；② 【分析】本题考查了幂的大小比较，熟练掌握比较大小的基本方法是解题的关键． （1）根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大解答即可． （2）①化成，，根据底数相同，指数大的幂大解答即可； ②，根据指数相同，底数大的幂大解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大， 故答案为：指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大． （2）解：①∵，， 根据底数相同，指数大的幂大 ∴， ∴． ②解：∵， 根据指数相同，底数大的幂大， ∴， ∴． 10．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方 (2)比较的大小，并说明理由； (3)若，，，求a，b，c之间的等量关系． 【答案】(1)C (2)；理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可； （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，，据此可得答案； （3）根据根据同底数幂的乘法法则得，即可解答 【详解】（1）解：，，且， ， 上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则， 故答案为：C； （2）解：∵，，，且， ∴； （3）∵， ， ∴， 即． 故答案为：． 考点三 幂的运算新定义问题（共5小题） 11．（2024七年级下·江苏镇江·专题练习）对于任意正整数定义一种新运算：．比如，则．如果，那么的结果是（   ） A．2024 B． C． D．1012 【答案】C 【详解】，，． 12．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）如果，那么称b为n的“拉格数”，记为，由定义可知：．如，则，给出下列关于“拉格数”的结论：①，②，③，④，⑤．其中，正确的结论有（    ） A．①③④ B．②③④ C．②③⑤ D．②④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键． 结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算进行计算即可． 【详解】解：由题意，∵ ，故①错误； ∵ ∴，故②正确； ∵，， ∴，故③正确； 设， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴，故④正确； ∴， ∵ ∴ ∴， 那么正确的有②③④． 故选：B． 13．（24-25七年级下·江苏·阶段练习）规定两正数a，b之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以．小慧在研究这种运算时发现：，例如：．证明如下：设，，，根据定义可得：，，，因为，所以，即，所以．请根据前面的经验计算：的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查新定义、幂的运算，根据新定义得出，，，进而可得出答案． 【详解】解：设，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴ 故答案为：3． 14．（24-25七年级下·江苏南通·期中）如果，那么称为的“拉格数”，记为，由定义可知：．例如，因为，所以，．若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查同底数幂的乘除法的实际应用，掌握同底数幂的乘除法法则是解题的关键． 结合定义，利用同底数幂的乘除法的逆运算得出，，进行计算即可． 【详解】解：由题意，设， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ， ， ∵． ， ， 故答案为：4． 15．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）阅读以下材料： 对数的创始入是苏格兰数学家纳皮尔（J.Napier，1550年-1617年），纳皮尔发明对数是在指数概念建立之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Euler，1707年-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若，则x叫做以a为底N的对数，记作．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：．理由如下：设，所以，所以，由对数的定义得，又因为，所以． 解决以下问题： (1)将指数转化为对数式__________________； (2)仿照上面的材料，试证明：； (3)_________；_________． 【答案】(1)； (2)证明见详解； (3)1；0． 【分析】（1）根据定义直接写出对数式即可； （2）先设logaM＝m，logaN＝n，根据对数的定义可表示为指数式为：M＝am，N＝an，计算的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论； （3）根据公式：loga（M·N）＝logaM+logaN和的逆用，将所求式子表示为：log2（2×4÷8），计算可得结论． 【详解】（1）解：将指数转化为对数式：． 故答案为：； （2）证明：设logaM＝x，logaN＝y， ∴M＝ax，N＝ay， ∴， 由对数的定义得， 又∵x﹣y＝logaM﹣logaN， ∴； （3）∵， ∴； 由题意：； 故答案为：1；0． 【点睛】本题考查同底数幂的乘法，整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系． 考点四 整式乘法压轴题（共5小题） 16．（23-24七年级下·江苏·周测）若能被整除，则的值是（    ） A． B． C．6 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了整式的乘法，及用待定系数法求字母的值．由于的最高次项是，而的最高次项是，因此可设 ，将按照多项式乘法法则乘开，再利用待定系数法即可求出m、n、a、b的值，再求出的值即可． 熟练掌握多项式乘法法则和待定系数法是解题的关键． 【详解】设， ， ， 解得，，，， ， 故选：A． 17．（23-24七年级下·江苏·自主招生）若实数x，y，z满足，求（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】令，分别求出，，，，最后根据分别代入化简求解即可． 【详解】解：令，则 ∵， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∵， ， ， ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∵ ， ， ∵ ∵， ∴，解得：， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是用换元法，将各个式子进行改写化简． 18．（2025七年级下·江苏·专题练习）在数学中，为了书写简便，世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”，如，；已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘法以及对新定义求和符号的理解与运用知识点，解题的关键是根据求和符号的运算规则将式子展开并化简，再通过对比系数求出m、n的值． 首先，我们需要理解题目中给出的求和符号＂＂以及如何展开求和表达式．接着，通过已知条件列出方程，求解出未知数和的值，最后计算的值． 【详解】由知， 即， 故答案为：． 19．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）为非零自然数，若为两个连续自然数之积，则的值是 ． 【答案】2或6 【分析】可分析确定，进而或，分别求解； 【详解】； ∵ ， ∴ ∴或 解得或 时，， 时，， 故答案为：2或6 【点睛】本题考查整式的运算，运用整式乘法确定代数式的取值范围是解题的关键． 20．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）说明：对于任意的正整数，代数式的值是否总能被6整除． 【答案】见解析 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握该运算规则是解题的关键．对代数式，先计算乘法，然后去括号，接着从左到右进行计算，得到答案，从而得证． 【详解】解： 是任意的正整数， 总能被6整除 对于任意的正整数，代数式的值总能被6整除． 考点五 多项式乘法中的规律性压轴题（共5小题） 21．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）“杨辉三角”（如图），是中国古代数学无比睿智的成就之一．用“杨辉三角”可以解释（n为非负整数）计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数……，某数学兴趣小组经过仔细观察，还发现（n为非负整数）计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当，除以2024，余数为2023． 上述结论正确的是（   ） A．②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查多项式乘多项式中的规律型问题，幂的乘方．根据“杨辉三角”得出展开式中各项系数的特点，逐项判断即可求解． 【详解】解：由题意知， 的计算结果中项的系数为“杨辉三角”第2026行第2个数与的积，即， 故结论①正确； 的计算结果中各项系数的之和为，因此的计算结果中各项系数的绝对值之和为， 故结论②正确； 当时，， 故结论③正确； 当，，展开式中最后一项为，其余各项的因数均包括2024，因此除以2024，余数为，即2023． 故结论④正确； 故选D． 22．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）观察下列各式： ； ； ； … 根据规律计算：的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘法规律探究；根据题中规律每一个式子的结果等于两项的差，被减数的指数比第二个因式中第一项大1，减数都为1，即可得到规律为，利用规律，当，时，代入其中即可求解． 【详解】解：由； ； ； … 观察发现： ， 当，时，得 ， ∴， 故选：A． 23．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，如杨辉三角．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a＋b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数降幂排列）的系数规律．例如，在三角形中第一行的三个数1，2，1，恰好对应（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b2展开式中的系数，结合杨辉三角的理解完成以下问题： （1）（a＋b）2展开式a2＋2ab＋b2中每一项的次数都是_______次；（a＋b）3展开式a3＋3a2b＋3ab2＋b2中每一项的次数都是_______次；那么（a＋b）n展开式中每一项的次数都是______次． （2）写出（a＋b）4的展开式______________________________． （3）写出（x＋1）5的展开式_________________________． （4）拓展应用：计算（x＋1）5＋（x－1）6＋（x＋1）7的结果中，x5项的系数为________________． 【答案】（1）2，3，n；（2）；（3）；（4）16 【分析】（1）观察（a＋b）2展开式和（a＋b）3展开式中各项，即可得答案； （2）根据展开式的系数规律，可知（a＋1）4的展开式的各项系数，按照a降幂b升幂排列，即可得解； （3）与（2）同理可得； （4）根据（3）的结果，再按杨辉三角，分别求得（x−1）6和（x＋1）7展开式中x5项的系数，几个系数相加即可得答案． 【详解】解：（1）（a＋b）2展开式a2＋2ab＋b2中的项分别为：a2、2ab、b2，它们的次数都是2． （a＋b）3展开式a3＋3a2b＋3ab2＋b3中的项分别为：a3、3a2b、3ab2、b3，它们的次数都是3， 故答案为：2；3；n； （2）根据展开式系数规律可知（a＋1）4的展开式的各项系数分别为： 1，4，6，4，1， 按照a降幂、b升幂，可得：（a＋1）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4 故答案为：a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4； （3）与（2）同理，（x＋1）5的展开式为：， 故填：； （4）（x＋1）5的展开式x5项的系数为1； 按照杨辉三角可知（x−1）6＝x6＋6x5•（−1）＋…＋1 （x＋1）7＝x7＋7x6×1＋21x5×12＋…＋1 ∴（x＋1）5＋（x−1）6＋（x＋1）7的结果中，x5项的系数为： 1＋6×（−1）＋21＝16 故答案为：16． 【点睛】本题考查了杨辉三角在多项式展开式系数中的应用，明确杨辉三角的展开式的原理，是解题的关键． 24．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）方法探究：同学们在学习数学过程中，遇到难题可以考虑从简单到特殊的情况入手，例如：求的值．分别计算下列各式的值： (1)填空： ； ； ； 由此可得 ； (2)计算： ； (3)根据以上结论，计算： 【答案】(1)，，，； (2)； (3)． 【分析】（）根据多项式乘以多项式运算法则计算即可； （）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （）根据得出的规律将原式变形，计算得到结果，即可做出判断． 【详解】（1）， ， ， 由此可得：， 故答案为：，，，； （2）， 故答案为：； （3）， , ， ． 【点睛】此题考查了多项式的乘法、平方差公式以及探索数字规律，弄清题意，找出题目中因式多项式与乘积多项式之间的特征关系律是解题的关键． 25．（23-24七年级·江苏苏州·阶段练习）（1）填空：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1； （x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝　 　； （2）猜想：（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）＝　 　（n为大于3的正整数），并证明你的结论； （3）运用（2）的结论计算（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380）； （4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3＝　 　． 【答案】（1）x4−1；（2）xn＋1−1，理由见详解；（3）；（4） 【分析】（1）根据多项式乘多项式法则计算即可求解； （2）利用发现的规律填写，再利用多项式乘多项式法则证明即可； （3）利用得出的规律计算得到结果； （4）两个数一组分别提取公因数，再把底数化为9，利用得出的规律计算，即可求解． 【详解】解：（1）解：根据多项式乘多项式法则可得：（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4−1， 故答案是： x4−1；     （2）∵（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4−1， ∴（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）= xn＋1−1， 理由如下：（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）= xn＋1+ xn+xn﹣1+……+x-（xn+xn﹣1+……+x+1） = xn＋1−1， 故答案是：xn＋1−1； （3）（32019+32018+32017+……+32+3+1）﹣（31050×2）2÷（8×380） =﹣32100×4÷8÷380 =- =； （4）32019﹣32018+32017﹣32016+……+35﹣34+33﹣32+3 =2×32018+2×32016+2×32014+……+2×32+3 =2×（32018+32016+32014+……+32）+3 =2×（91009+91008+91007+……+9+1-1）+3 =2×+3 =2× =， 故答案是：． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握多项式乘多项式法则，归纳出公式（x﹣1）（xn+xn﹣1+……+x+1）= xn＋1−1，是解题的关键． 考点六 乘法公式压轴题（共5小题） 26．（23-24七年级下·江苏宿迁·期中）的个位数字为（    ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，有理数的乘方．熟练掌握平方差公式进行运算是解题的关键． 由题意知，，由，可知每4个3相乘为1个循环，由，可知的个位数字为9，然后作答即可． 【详解】解：由题意知， …… ， ∵， ∴每4个3相乘为1个循环， ∵， ∴的个位数字为9， 故选：D． 27．（23-24七年级下·江苏常州·期末）设 ，，．若，则的值是(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据完全平方公式得出，，进而根据已知条件得出，进而即可求解． 【详解】，，， ，， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方公式变形求值，根据题意得出是解题的关键． 28．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）设实数满足，若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，由已知可得，代入进行降次计算可得，进而可得：，，，，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ， 又∵， ∴ ， ，，， ， 故答案为：． 29．（23-24七年级下·广西南宁·期末）已知是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方式．熟练掌握完全平方公式，根据平方项确定出这两个数是解题的关键．根据平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式列式进行计算，即可确定k的值． 【详解】∵是一个完全平方式， ∴， ∴． 故答案为：． 30．（23-24七年级下·江苏·竞赛）已知实数满足等式和，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减、完全平方公式和其性质等知识，对已知条件进行恰当的变形，结合完全平方公式的非负性即可得出答案，熟练运用整式和完全平方公式的化简是解题的关键． 【详解】解： ． 考点七 乘法公式与几何图形压轴题（共5小题） 31．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）乘法公式的探究及应用． 数学活动课上，老师准备了若干张如图所示的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形，并用一张种纸片，一张种纸片，两张种纸片拼成了如图所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法求图中大正方形的面积：（用含的式子表示） 方法： ； 方法： ． (2)观察图，请写出代数式，，之间的等量关系式 ； (3)根据（）中的等量关系，解决如下问题： 已知，，求的值； 已知，求的值． 【答案】(1)；； (2)； (3)；；． 【分析】（）方法可根据正方形面积等于边长的平方求出，方法可根据各个部分面积相加之和求出； （）由图可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和即可求解； （）根据题（）公式计算即可；令，从而得到，代入计算即可求解； 本题考查了完全平方公式的几何背景及应用，列代数式，掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键． 【详解】（1）解：方法：大正方形的边长为， ∴； 方法：大正方形面积各个部分面积之和， ∴； 故答案为：；； （2）解：由图可得总面积减掉两个小矩形面积等于两个正方形面积之和， 即， ∴， 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴； 令， ∴， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 32．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）探究与实践 问题发现： （1）用四个长为a、宽为b的长方形拼成如图①所示的正方形，由此可以得到、、的等量关系是______； 问题探究： （2）如图②，将边长为a的正方形和边长为b正方形拼在一起，使得A、P、B共线，点E落在上，连接，若，的面积为，求的长度； 问题解决： （3）如图③，某小区物业准备在小区内规划设计一块休闲娱乐区，其中、为两条互相垂直的道路，且，，四边形与四边形为长方形，现计划在两个三角形区域种植花草，两个长方形区域铺设塑胶地面，按规划要求，道路的长度为80米，若种植花草每平方米需要100元，铺设塑胶地面每平方米需要30元，若物业为本次修建休闲娱乐区筹集了25万元，请你通过计算说明该物业筹集的资金是否够用？（道路的宽度均不计） 【答案】（1）；（2）；（3）该物业筹集的资金不够用，说明见解析 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用： （1）根据正方形的面积等于边长乘以边长，又等于四个长为a、宽为b的长方形面积加上一个边长为的正方形面积即可得到结论； （2）设，则，，即，由（1）的结论可得，则（负值舍去），； （3）设，由题意得，，两个三角形区域的面积之和，两个长方形区域的面积之和，则一共需要的资金 元，求出，则一共需要的资金 元，根据，得到， 则，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：（1）正方形的面积可以表示为，正方形的面积又可以表示为四个长为a、宽为b的长方形面积加上一个边长为的正方形面积，即， ∴， 故答案为：； （2）设， ∴， ∵的面积为， ∴，即， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴； （3）该物业筹集的资金不够用，说明如下： 设， 由题意得，， 两个三角形区域的面积之和， 两个长方形区域的面积之和， ∴一共需要的资金 元， ∵， ∴， ∴一共需要的资金 元， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴该物业筹集的资金不够用． 33．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．    (1)图2中阴影部分的正方形面积为______ 用含a，b的式子表示 (2)观察图2，下列三个代数式，，之间的等量关系是______ ． (3)根据（2）中得到的等量关系，若x，y为任意实数，且，，求的值． (4)如图3，点C是线段上的一点，以、为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，则图中阴影部分面积______ ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）阴影部分的正方形边长等于小长方形的长减去小长方形的宽，平方即得． （2）图2中大正方形的面积等于阴影部分的正方形的面积加四个小长方形的面积． （3）由（2）中结果得，先求出的值，再开平方即得． （4）设正方形和的边长分别为m和n，根据题意，得，，根据公式变形即得． 本题主要考查了完全平方公式的几何意义．熟练掌握完全平方公式的结构特征以及图形中面积之间的关系，是解决问题的前提． 【详解】（1）解：∵阴影部分正方形的边长为， ∴阴影部分的正方形面积为， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 故答案为：． （3）解：由（2）知，， ∵，， ∴， ∴． （4）解：设正方形和的边长分别为m和n， 则，， 将等号的两边同时平方，得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 34．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）现有如图1的8张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别是、、．用其中4张纸片拼成如图2的大正方形（空白部分是边长分别为和的正方形）；用另外4张纸片拼成如图3的大正方形（中间的空白部分是边长为的正方形）． (1)观察：从整体看，整个图形的面积等于各部分面积的和．所以图2和图3的大正方形的面积都可以表示为，结论①； 图2中的大正方形的面积又可以用含字母、的代数式表示为：______，结论② 图3中的大正方形的面积又可以用含字母、、的代数式表示为：______，结论③． (2)思考： 结合结论①和结论②，可以得到个等式______ 结合结论②和结论③，可以得到个等式______ (3)应用：若分别以直角三角形三边为直径，向外作半圆（如图4），三个半圆的面积分别记作、、，且．，求的值． (4)延伸：若分别以直角三角形三边为直径，向上作三个半圆（如图5），直角边，斜边，求图中阴影部分面积和． 【答案】(1) (2) (3) (4)6 【分析】（1）图2的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上两个正方形的面积，图3的大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积； （2）根据两种方法表示的大正方形的面积相等整理即可得解； （3）根据结论②求出，然后进行计算即可得解； （4）根据结论③求出阴影部分的面积等于直角三角形的面积，然后列式计算即可得解． 【详解】（1）解：图2大正方形面积等于四个直角三角形的面积加上两个正方形的面积， ∴图2面积为：； 图3大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间空白正方形的面积， ∴图3面积可表示为：； 故答案为：； （2）解：结合结论①和结论②，可以得到一个等式：； 结合结论②和结论③，可以得到一个等式：，即． 故答案为：． （3）解：， ， ， ， ， 解得； （4）解：由（3）可知：， ∴阴影部分面积和为：， ， ∴阴影部分面积和为：． 【点睛】本题考查了列代数式，整式的运算的运用，完全平方公式的几何背景，读懂题目材料的信息并用两种方法准确表示出同一个图形的面积是解题的关键． 35．（23-24七年级下·广东珠海·期中）结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一个数学等式．    (1)如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______； (2)我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若x满足，可设，，则，．则______． (3)若x满足，则的值为______； (4)小玲想利用图2中x张A纸片，y张B纸片，z张C纸片拼出一个面积为的大长方形，则______； (5)如图3，已知正方形的边长为x，E，F分别是、上的点，且，，长方形的面积是24，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）方法一是直接将两个正方形的面积相加，方法二是用大的正方形面积减去两个长方形的面积，即可得到等式； （2）根据（1）中得到的关系式直接代入即可得到结果； （3）根据（2）中的方法可得到结果； （4）根据得到的大长方形的面积展开，可以得到一个关系式，由关系式中可知道用的纸张分别是多少，计算其和即可； （5）先根据阴影部分构造出来等式，然后根据两次完全平方公式得到结果． 【详解】（1）解：方法一：阴影部分是两个正方形的面积和，即； 方法二：阴影部分也可以看作边长为的面积减去两个长为，宽为的长方形面积，即， 两种方法可得出：； （2）解：由（1）可得， ∵，， ∴； （3）解：设，， ∵x满足， ∴， ∵， ∴， ∴的值为； （4）解：， A纸片的面积为，B纸片面积为，C纸片面积为， 根据可知要拼出一个面积为的大长方形，需要3张A纸片，1张B纸片，4张C纸片， 则； （5）解：由图知，， ∴， ∵长方形的面积是24， ∴， 设，， 则，， 由，得， ∴， ∴， 即， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查了完全平方公式在几何图形中的应用、多项式乘多项式、完全平方公式的变形适用，熟练掌握完全平方公式以及能够用换元法解题是解题的关键． 考点八 乘法公式中的配方法问题（共5小题） 36．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值；总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值-1． 根据上述材料，解答下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：___________； (2)将变形为的形式___________，则的最小值为___________； (3)已知，求代数式的最大值； 【答案】(1)16 (2)，1 (3)有最大值． 【分析】本题主要考查完全平方式的变换，根据式子进行变换化成完全平方式是解题的关键． （1）根据完全平方公式求解； （2）利用配方法求最小值； （3）由，得到，代入得，利用配方法求最大值即可． 【详解】（1） 解：∵， 故答案为：16； （2）解：∵ ， 其中，， ， 的最小值是1； 故答案为：，1； （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值． 37．（23-24七年级下·湖南永州·阶段练习）定义：将二次三项式变形为的形式，我们称为配方，然后由平方具有非负性，即就可以解决很多问题，例如：把多项式配方为：． (1)若多项式，． 证明：无论取任何实数，多项式的值一定恒为正数； 求多项式的最小值； (2)因为可得到：，即这是重要的基本不等式；，（当时，且是定值时，有最小值是），若，求的最小值，并求出此时的值． 【答案】(1)见解析；； (2)最小值为，或． 【分析】（）根据配方法的定义配方，由平方具有非负性，即可得证； 将配方成，即可确定最小值； （ ）根据，（当时，且是定值时，有最小值是），即可确定S最小值，然后解方程即可求出的值； 本题考查了配方法，完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是理解题意，掌握知识点的应用． 【详解】（1）证明：∵， ∴多项式的值一定恒为正数； ②解： ， ∴最小值为； （2）解：， ∴最小值为，此时有， ∴， ∴， ∴或． 38．（23-24七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题都有广泛的应用． 例如：用配方法分解因式：． 原式． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：； (2)将变形为的形式，并求出的最小值． 【答案】(1)；6 (2)，最小值 【分析】（1）根据配方的基本步骤解答即可； （2）根据配方的基本要求配方成，利用实数的非负性求得最小值即可． 本题考查了配方法解题，非负性解题，熟练掌握配方，实数的非负性是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，得， 故答案为：；6． （2）根据题意，得， ， 故最小值为． 39．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）把关于的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法在代数式求值，最值问题，解方程等问题中都有着广泛的应用．配方法的本质是完全平方公式的逆运用，即：． 例如：将配方如下：． 请根据阅读材料解决下列问题： 【初步应用】（1）用上面的方法对多项式配方； 【类比应用】（2）求代数式的最小值； 【拓展应用】已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查完全平方式的逆用和非负数的性质，负整数指数幂的含义，熟练掌握完全平方公式的逆运用是解题的关键． （1）根据完全平方公式的逆运用计算即可； （2）根据完全平方公式的逆运用把原式化为，再利用非负数的性质计算即可． （3）把化为，再结合非负数的性质进一步求解即可． 【详解】解：（1）； （2） ， ∵，， ∴； ∴的最小值为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，， 解得：，，， ∴． 40．（23-24七年级下·江西南昌·期末）阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即.例如：，，是的三种不同形式的配方. 请根据阅读材料解决下列问题： (1)比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； (2)已知，求的值. 【答案】(1)①；②；③ (2) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，代数式求值， （1），仿照例题配方即可； （2），将等式的左边化成3个完全平方公式和的性质，再求出字母的值，然后代入计算． 【详解】（1）①； ②； ③； （2）， 整理，得， 则， 即， ，，， ，，， ． 考点九 乘法公式中的最值问题（共5小题） 41．（23-24七年级下·山东东营·期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， 当时，的值最小，最小值是0， ． 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)知识再现：当__________时，代数式有最小值是 ； (2)知识运用：若，判断y有最大值还是有最小值，并求x为何值时，y的最值． (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)3，3 (2)有最大值，当时，有最大值 (3) 【分析】本题考查了偶次方的非负性，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式进行变形是解答本题的关键． （1）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性可得答案； （2）利用完全平方公式对变形，然后根据可得答案； （3）移项可得然后根据偶次方的非负性可得答案． 【详解】（1）解：， 当时，代数式有最小值3； 故答案为：3，3； （2）解：， 当时，有最大值． 即有最大值，此时； （3）解：， 当时，的最小值为． 42．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）张老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以．所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当______时，有最小值是_______． (2)已知，求的最值为_______． (3)已知实数、满足，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）把原式化成再利用完全平方公式计算即可； （3）化成完全平方公式和的形式计算出、的值，再代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）解： ∵ ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． 故答案为，； （2）∵， ， ∴ ∵ ∴当时，的值最小，最小值是0． ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． （3）， ， ． 43．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： ， 因为，所以当时，的值最小，最小值是． 所以．所以当时，的值最小，最小值是． 所以的最小值是． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当 时，有最 （填“大”或“小”）值，该值为 ． (2)已知的三边长分别为，，，且满足，求的周长． 【答案】(1)，大， (2)见解析 【分析】本题主要考查了完全平方公式的实际应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）将化成完全平方公式的形式计算即可； （2）将化成完全平方公式的形式计算，求出，，的值，根据三角形三边关系判断其可以构成三角形，即可求周长． 【详解】（1）解：， ， 当时，的值最小，为， ， 当时，有最小值，该值为． 故答案为：，大，． （2）解：， ， ，，， 边长为，，能构成三角形， 的周长为． 44．（23-24七年级下·江苏扬州·期中）阅读理解并解答： 为了求代数式的值，我们必须先知道x的值，若，则这个代数式的值为5；若，则这个代数式的值为10，……可见，这个代数式的值因x的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围． （1）把一个多项式进行部分因式分解可以来解决代数式值的最大（或最小）值问题，例如：，因为是非负数，所以，这个代数式的最小值为______，这时相应的x的值是_______． 尝试探究并解答： （2）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （3）求代数式的最大（或最小）值，并写出相应x的值． （4）已知代数式，当x的值在（包含和4）之间变化时，直接写出代数式的值的变化范围． 【答案】（1）1，；（2）的最小值，；（3）的最大值13，；（4）（包含和2） 【分析】（1）根据非负数的性质即可解决问题； （2）根据题干提供的方法，即可解决问题； （3）根据题干提供的方法，即可解决问题； （4）首先判断的最小值，求出或4时的值，即可判断的取值范围． 【详解】解：（1）∵， 又∵， ∴， ∴最小值为1，此时， 即； （2）∵， 又∵， ∴， ∴有最小值，此时，即； （3）∵， 又∵， ∴， ∴有最大值13，此时； （4）∵， ∴有最小值，此时， 令，则， 令，则， ∴当x的值在（包含和4）之间变化时，． 【点睛】本题考查非负数的性质、完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，利用非负数可以确定最值问题． 45．（24-25七年级下·福建漳州·期中）在学习乘法公式的运用时，我们常利用完全平方公式求最大值或最小值．例如：求代数式的最小值？总结出如下解答方法： 解：， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是1， ∴的最小值是1． 根据阅读材料利用完全平方公式解决下列问题： (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； (3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值． 【答案】(1)1 (2)5 (3)当时，最小值是17 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，正确掌握公式的结构特点是解题的关键． （1）先整理，因为，则，即可作答． （2）先整理，因为，所以，即可作答． （3）先整理，因为，所以，即可作答． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时的最小值是1； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的最大值是5； （3）解： ∵， ∴， ∴当时，的最小值是17． 考点十 整式乘法新定义运算（共5小题） 46．（2025七年级下·全国·专题练习）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如，．若，求的值． 【答案】的值为． 【分析】本题考查多项式乘多项式和新定义问题，解题的关键是理解题意，对新定义的理解． 根据定义化简，可得出，，，， ，再化简，代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 的值为． 47．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如 (a、b为实数)的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加、减、乘法运算与整式的加、减、乘法运算类似.例如：；．根据以上信息，完成下列问题： (1)计算：， ； (2)计算：； (3)计算： 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，多项式乘多项式法则，数字类规律，解答本题的关键是明确题意，发现相邻几个数相加的和的规律． （1）根据定义即可分别求得结果； （2）首先根据多项式乘多项式法则去括号，再根据定义及有理数的加减进行运算，即可求得结果； （3）首先根据复数的定义计算，找到规律，再根据规律进行运算，即可求得结果． 【详解】（1）解：； ； （2）解： ； （3）解：，，，，，，，，…， 每4个为一循环，且， ， ． 48．（24-25七年级下·上海虹口·期中）定义：整式乘以整式，得到整式，如果整式的项数正好比整式的项数多1，那么我们称整式是整式的“相邻增项式”． (1)如果，，判断是否是的“相邻增项式”，并说明理由； (2)已知，都是关于的整式且、均为不等于0的有理数． ①填空：当时，如果是的“相邻增项式”，那么的值为_____； ②设，，如果关于的整式中不含的二次项，且整式是整式的“相邻增项式”，求的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①或；②的值为 【分析】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是理解题意，掌握多项式乘多项式法则． （1）根据多项式乘法算出，再根据“相邻增项式”的定义判断即可． （2）①当时，算出，根据是的“相邻增项式”，得出或，解答即可． ②根据，算出，根据关于的整式中不含的二次项，得出，求出，从而得出，再表示出，算出，即可求解． 【详解】（1）解：是，理由如下： 根据题意可得：， 的项数正好比的项数多1， 是的“相邻增项式”． （2）解：①当时，， ∵是的“相邻增项式”， ∴或， 解得：或． ②根据题意可得， ∴， 由于关于的整式中不含的二次项，， ∴，解得：， ， ∵， ∴， ， 当时，为关于的二项式，而为四项式， 此时不合题意，舍去； 当时，则为关于的三项式， 又是的“相邻增项式”且， ， 综上所述，的值为． 49．（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）阅读下列材料，完成相应的任务． 平衡多项式 定义：对于一组多项式（是常数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个常数时，称这样的四个多项式是一组平衡多项式，的绝对值是这组平衡多项式的平衡因子． 例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组平衡多项式，其平衡因子为． 任务： (1)小明发现多项式是一组平衡多项式，在求其平衡因子时，列式如下：，要根据他的思路求该组平衡多项式的平衡因子； (2)判断多项式是否为一组平衡多项式，若是，求出其平衡因子；若不是，说明理由； (3)若多项式（是常数）是一组平衡多项式，求的值． 【答案】(1)3 (2)是，3 (3)或7或 【分析】本题主要考查了新定义的理解，多项式的运算，对于（1），根据多项式乘以多项式法则计算，并求出平衡因子； 对于（2），根据运算法则计算，并求出平衡因子； 对于（3），分三种情况列出算式，再计算求值． 【详解】（1）根据题意，得 ， 所以平衡因子是； （2）是平衡多项式，理由如下： 根据题意，得 ， 所以是平衡多项式，平衡因子是； （3）若 ， ∴， 解得； 若 ， ∴， 解得； 若 ， ∴， 解得. 所以m的值为或7或． 50．（23-24七年级下·全国·单元测试）定义：是多项式A化简后的项数．例如多项式，则．一个多项式A乘以多项式B，化简得到多项式C（即），若，则称B是A的“郡园多项式”；若，则称B是A的“郡园志勤多项式”． (1)若，则B是不是A的“郡园多项式”？说明理由． (2)若是关于x的多项式且B是A的“郡园志勤多项式”，求a的值． 【答案】(1)B是A的“郡园多项式”，理由见解析 (2)2 【分析】题目主要考查多项式的乘法及项数的理解，熟练掌握多项式的乘法是解题关键． （1）根据多项式的乘法及项数依据新定义求解即可； （2）根据多项式的乘法及项数确定求解即可． 【详解】（1）解：B是A的“郡园多项式”，理由如下： ∵， 的项数比A的项数多1， ∴B是A的“郡园多项式”． （2） ， ∵B是A的“郡园志勤多项式”， ∴且，解得， ∴a的值是2． 考点十一 平移压轴题（共5小题） 51．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在锐角三角形中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点的对应点分别是），连接．若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的度数不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质和平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：如图，当点在线段上时，过点作． 因为由平移得到， 所以， 所以， 当时， 设，则， 因为，， 所以，， 因为， 所以， 解得， 所以； 当时， 设，则， 同理可得，， 因为， 所以， 解得， 所以； 如图，当点在线段的延长线上时，过点作，同理可得， 当时， 设，则， 同理可得，， 因为， 所以， 解得， 所以； 当时， 由图可知，，故不存在这种情况， 综上所述，的度数为或或． 52．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）将图①中周长为40的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长58的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为 （　　） A．44 B．48 C．46 D．50 【答案】B 【分析】此题考查整式加减的应用，平移的性质，利用平移的性质将不规则图形变化为规则图形进而求解，解题的关键是设出未知数，列代数式表示各线段进而解决问题． 设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为，根据图1中长方形的周长为40，求得，根据图中长方形的周长为58，求得，根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长，计算即可得到答案． 【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， 由图1中长方形的周长为40，可得，， 解得：， 如图，∵图2中长方形的周长为58， ∴， ∴， 根据平移得：没有覆盖的阴影部分的周长为四边形的周长， ∴ ； 故选：B． 53．（23-24七年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，，将沿着射线方向平移得到，连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在倍关系，则 ． 【答案】或或 【分析】分类讨论，第一种情况：如图，当点在上时，过点作，当时；当时；第二种情况：当点在外时，过点作，当时；当时；根据平行线的性质，图形结合即可求解． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作， 由平移得到， ， ，， ， 当时， 设，则， ，， ， ，解得：， ； 当时， 设，则， ，， ， ，解得：， ； 第二种情况：当点在外时，过点作， 由平移得到， ， ，， ， 当时， 设，则， ，， ， ，解得：， ； 当时，由图可知，，故不存在这种情况； 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查图形变换，掌握平行线的判定和性质，平移的性质，角度的和差计算方法的综合是解题的关键． 54．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期中）已知小正方形的边长为2厘米，大正方形的边长为4厘米，起始状态如图所示，大正方形固定不动，把小正方形以1厘米/秒的速度向右沿直线平移，设平移的时间为t秒，两个正方形重叠部分的面积为S平方厘米，完成下列问题： （1）当秒时， 平方厘米； （2）当时，小正方形平移的时间为 秒． 【答案】 1或5 【分析】（1）由题意可得出时，重叠部分为长方形，且宽为，长为，再根据长方形的面积公式计算即可； （2）由题意可得出重叠部分长方形的长，则可计算出宽为．再分类讨论：①当重叠部分在大正方形的左边时和当重叠部分在大正方形的右边时，即可解答． 【详解】（1）时，重叠部分为长方形，且宽为，长为， ∴． 故答案为：3． （2）当时，重叠部分长方形的长， ∴宽为． 分类讨论：①当重叠部分在大正方形的左边时，如图， ∴； ②当重叠部分在大正方形的右边时，如图， ∴． 综上可知小正方形平移的时间为1秒或5秒． 故答案为：1或5． 【点睛】本题考查平移的性质．明确平移前后图形的形状和面积不变和利用分类讨论的思想是解题关键． 55．（23-24七年级下·广东佛山·阶段练习）如图 1，被直线所截，点D是线段上的点，过点D作，连接，． (1)请说明的理由． (2)将线段沿着直线平移得到线段，连接． ①如图 2，当时，求的度数； ②在整个运动中，当时，求的度数． ③在整个运动中，之间的等量关系为： ．（直接写出答案） 【答案】(1)见解析 (2)①；②或；③或或． 【分析】本题主要考查了平移的性质、平行线的判定和性质等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据平行线的性质得到，等量代换得到，再根据平行线的判定定理即可证明结论； （2）①如图2，过D作交于F，根据平行线的性质即可得到结论；②如图3：过D作交于F，根据平行线的性质即可得到结论．③结合①②即可得在整个运动中，之间的等量关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解： ①如图2，过D作交于F， ∵线段沿着直线平移得到线段， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，如图3：过D作交于F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵,即, ∴，解得：； 如图4，过D作交于F， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴； 综上所述，或； ③如图3，∵， ∴， ∴，即； 如图4，∵， ∴， ∴，即； 同理，当在下方时，． 综上所述，或或． 故答案为：或∠EDQ=∠Q−∠E或 考点十二 轴对称压轴题（共5小题） 56．（24-25七年级下·辽宁抚顺·阶段练习）如图，中，沿的平分线折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿沿的平分线折叠，剪掉重叠部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1 折叠，点B n 与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称是好三角形．如果一个三角形的最小角是，且满足该三角形的三个角均是此三角形的好角，则此三角形另两个角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了折叠问题，找规律，三角形的内角和定理，根据经过三次折叠是的好角，所以第三次折叠的，由，，又，，，由此即可求得结果，从折叠有限次数中找到规律是解本题的关键，也是难点． 【详解】解：在中，沿的平分线折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿的平分线折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿的平分线折叠，点与点重合，则是的好角． 理由如下：根据折叠的性质知，，，， 根据三角形的外角定理知，； 根据四边形的外角定理知，， 根据三角形的内角和定理知，， ； 当时，是的好角； 当时，是的好角； 当时，是的好角； 故若经过次折叠是的好角，则与（不妨设之间的等量关系为， 最小角是是的好角， 根据好角定义，则可设另两角分别为， （其中、都是正整数）． 由题意，得，所以． 因为、都是正整数，所以与是11的整数因子， 因此有：， ； 所以，； 所以， ； 所以该三角形的另外两个角的度数分别为：； 故选：B． 57．（24-25七年级下·上海黄浦·期末）如图，地面上有不在同一直线上的A，B，C三点，一只青蛙位于地面异于A，B，C的P点，第一步青蛙从P跳到P关于A的对称点，第二步从跳到关于B的对称点，第三步从跳到关于C的对称点，第四步从跳到关于A的对称点…以下跳法类推，青蛙至少跳几步回到原处P．（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查点与点对称的定义与应用，由已知条件，根据轴对称的性质画图解答，理解A是P与的中点，则P与关于点A对称是正确解答本题的关键． 【详解】解：如图： 根据题意：A是P与的中点；B是与的中点；C是与的中点； 依此类推，跳至第5步时，所处位置与点P关于C对称； 故再有一步，可以回到原处P． 所以至少要跳6步回到原处P． 故选：C． 58．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，的面积为6，，平分，若M，N分别是上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，垂线段最短，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．过点C作于点E，在上截取线段，使得，由，求出CE可得结论． 【详解】解：如图，过点C作于点E，在上截取线段，使得， 平分，， ，关于对称， ， ， ， ， ， 的最小值为 故答案为： 59．（24-25七年级下·山西吕梁·期末）如图，M为内部的一点．P、Q分别为边，上的动点，连接，，．已知，当的值最小时， ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，分别作出点M关于，的对称点，，连接，分别交，于点P，Q，连接，，，，，此时的值最小，根据对称可得，，，，，再求解即可，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，分别作出点M关于，的对称点，，连接，分别交，于点P，Q，连接，，，，，此时的值最小． 根据对称可得，，，，， 则，， ， 故答案为：． 60．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，的边关于的对称线段是，边关于的对称线段是，连接．若点落在所在的直线上，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查轴对称的性质，及三角形全等的判定及性质，根据对称性可判断出，先求出，再根据对称的性质判断，最后根据即可求解． 【详解】解：如图，连接，设与的交点为O． 因为关于的对称线段是， 所以． 因为， 所以 因为边关于的对称线段是， 所以， 所以， 所以， 所以． 又因为点落在所在的直线上，， 所以， 所以， 所以． 考点十三 折叠压轴题（共5小题） 61．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是（    ）．    A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由折叠的性质可得：，，，如图，过点D作于点M，作于点N，则可得，则， ，求出，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得：，，，如图，过点D作于点M，作于点N，则，    ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查折叠变换，三角形的面积，能够熟练掌握数形结合思想是解决本题的关键． 62．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，设，则，所以，再根据折叠的性质得到，则，接着利用折叠的性质得到，然后根据平角的定义得到，解方程可得到的度数，列出正确的方程是解题的关键． 【详解】解：， 设，则， ， 四边形沿折叠形成四边形， ， ， 四边形沿折叠得到四边形， ， ， ， 解得， 即的度数为． 故选：A． 63．（24-25七年级下·浙江·阶段练习）如图，在一次数学活动课上，小明将一张长方形纸带进行了两次折叠，折痕分别为，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折性质，角度计算，平行线性质等．根据题意可得设，则，求出，结合平行线的性质得，，再代入化简计算，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： ∵将一条长方形纸带进行了两次折叠，折痕分别为，， ∴ ∵， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 则 故答案为： ． 64．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在点处，折痕为．点为射线上一点，连接，将长方形纸片的另一角沿折叠，使得点落在点处（折痕为）．若，则 ． 【答案】108或72 【分析】本题考查了折叠的性质，角的计算，熟练掌握折叠变换的性质并采用分类讨论的数学思想是解题的关键．由折叠的性质可推出，，再分两种情况讨论，①当在的外部，则，求得，则；②当在的内部，则，求得，则，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，，， ，， ①当在的外部，如图 ，且， ， ， ∴； ②当在的内部，如图 ，且， ， ， ． 故答案为：108或72． 65．（24-25七年级下·上海宝山·阶段练习）在数学活动课上，陈老师引导同学们探究画平行线的方法，张华通过折纸想出了过点画直线的平行线的方法，折纸过程如下：． (1)通过上述的折纸过程，图②的折痕与直线的位置关系是______；如图④，______，则与的位置关系为______． (2)张华在（1）的条件下继续探究，他在两点处安装了绚丽的小射灯，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转，灯射线从开始绕点顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，若灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，在灯射线第一次到达之前，当灯转动秒时，灯射线转动到如图⑤的位置． ①用含的式子表示_________；②当时，两条射线的夹角为_________． (3)在（2）的条件下，在灯射线第一次到达之前． 灯转动______秒，两灯的光束互相平行： 灯转动______秒，两灯的光束互相垂直． 【答案】(1)垂直；；平行 (2)①；② (3)10或85或130；55或或145 【分析】（1）根据折叠性质及平行线判定即可得到本题答案； （2）①先求出灯转动20秒后度数为，继而得出本题答案； ②算出当时，，，再根据，得出，即可求出两条射线的夹角． （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形，根据平行线的性质和垂直的定义，列出方程，解题方程即可． 【详解】（1）解：如图， ∵折叠， ∴直线折叠重合为两个角，平角为， ∴，即， ∴与直线的位置关系是：垂直， 如图： ∵， ， 由折叠可知：， ， （内错角相等，两直线平行）； 故答案为：垂直；；平行； （2）解：①∵灯，灯转动的速度分别是/秒，/秒，灯射线转动20秒后，灯射线开始转动， ∴灯转动20秒后度数为， 又∵当灯转动秒时，灯射线转动到如图（5）的位置， ∴此时灯再次转动了， ， 故答案为：； ②当时，，， ∵， ∴， ∴两条射线的夹角为． （3）解：①当时，如图， ， ， ， ， ∴， 解得：； 当时，如图， ， ， ， ， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图， ， ， ， ， ∴， ∴ ∴， 解得：， 综上所述：当为10或85或130时，两灯的光束互相平行． ②当时，如图， ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：； 当时，如图， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 当时，如图， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：； 综上所述：当为55或或145时，两灯的光束互相垂直． 【点睛】本题考查垂直判定，平行线判定及性质，折叠性质等知识点，解题的关键是掌握相关知识点． 考点十四 旋转压轴题（共5小题） 66．（24-25七年级下·浙江金华·期末）将直角三角板和直角三角板如图摆放，点O、B、D都在直线上，点A、C在的上方，其中，，．将三角板绕点以5度/秒的速度顺时针旋转，直至边第一次落在直线上，三角板停止转动，设三角板的旋转时间为t秒． (1)若三角板保持不动，则三角板旋转______秒时，平分； (2)若三角板旋转5秒时，三角板绕点O以3度/秒的速度逆时针开始旋转，当三角板停止转动时，三角板也停止转动． ①三角板旋转10秒时，是否平分？请说明理由； ②当t的值为多少时，射线，，中恰好有一条射线平分其余两条射线所构成的角？ 【答案】(1) (2)①不是的平分线，理由见解析；②或或 【分析】（1）旋转后，旋转角等于，根据平分求出，然后根据平角定义列方程求解即可； （2）①求出旋转后的度数，即可判断； ②分平分，平分，平分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：如图， ∵平分， ∴， ∵旋转， ∴， 根据题意，得， 解得， 即三角板旋转秒时，平分， 故答案为：； （2）解：①不是的平分线， 理由：当时，如图， 此时，， ∴， ∴不是的平分线； ②当平分时，如图， 此时，， ∴， 根据题意，得， 解得； 当平分时，如图， 此时，， ∴， 根据题意，得， 解得； 当平分时，如图， 此时，， ∴， 根据题意，得， 解得； 综上，当t的值为或或时，射线，，中恰好有一条射线平分其余两条射线所构成的角． 【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，角的和差倍分的计算，一元一次方程的应用等知识，明确题意，合理分类讨论，画出旋转后的图形是解题的关键． 67．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）【创设情境】在初一数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动． （1）老师将三角尺和三角尺按如图1所示的方式摆放在直线上，边，落在直线上，，，，则___________ 【实践探究】（2）第一小组将图1中三角尺绕点逆时针旋转进行探究，当边首次落在直线上时停止旋转，若以每秒的速度旋转，设三角尺的旋转时间为秒，提出下列问题： ①当___________秒时，边落在边上． ②当平分时，___________秒 【深度探究】（3）如图2，第二小组受第一小组的启发继续进行探究：在三角尺绕点以每秒的速度逆时针旋转的同时，将三角尺也绕点以每秒的速度顺时针旋转，当三角尺的边首次落在直线上时停止旋转，同时三角尺也停止旋转．求为何值时，． 【答案】（1）（2）①3 ②（3）或 【分析】（1）由计算即可得到答案； （2）①由（1）得，当边落在边上，刚好旋转的度数为的度数，因此； ②先求出旋转的角度，再根据时间路程速度，进行计算即可求解； （3）分两种情况：①边与边相遇前；边与边相遇后，列方程进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：，，， ， 故答案为：； （2）解：①由（1）得，， 当边落在边上，刚好旋转的度数为的度数， 三角尺绕点逆时针旋转的速度为每秒， ， 故答案为：3； ②当平分时，图如图所示， 边平分， ， 旋转角度为， ， 故答案为：； （3）解：由（1）可知两个三角尺旋转前，，边旋转的角度为，边旋转的角度为， ①边与边相遇前，可得：， 解得：； ②边与边相遇后，可得：， 解得：， 为或秒时，． 【点睛】本题考查了几何图形中角度的计算、与角平分线有关的角度的计算、旋转的性质、一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键． 68．（24-25七年级下·浙江嘉兴·阶段练习）已知分别在内部旋转，从出发绕点以的速度逆时针旋转，从出发绕点以的速度逆时针旋转，．设运动时间为秒．    (1)求的度数．（用含的代数式表示） (2)当，求证：平分． (3)运动过程中，当时，，求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查角的动态变化以及角度的计算与证明，解题的关键是根据角的旋转速度和时间表示出相关角的度数，再结合题目中的等量关系进行求解和证明． （1）设，根据，结合建立等式，求出； （2）根据运动时间表示出，再结合，得出与的关系，从而证明平分； （3）当时，，根据运动时间表示出，然后依据建立方程，进而求出的值． 【详解】（1）解：从出发绕点以的速度逆时针旋转，从出发绕点以的速度逆时针旋转，运动时间为秒， 则， 设，则， 则， ， ∴， 即， ； （2）解：， ， 又， ， 解得，， 即， ∴， ， 即平分． （3）解：当时，． 从出发绕点以的速度逆时针旋转，从出发绕点以的速度逆时针旋转，运动时间为秒， 则，． ∴ ， ， 解得， 设，则， ， 解得：， 由（1）知 69．（24-25七年级下·广东韶关·期末）【实验操作】 如图①，把一副三角板拼在一起，边，在直线上，其中，． （1）填空：________； （2）如图②，三角板固定不动，将三角板绕点以每秒6°的速度顺时针开始旋转，在转动过程中，三角板一直在的内部，设三角板运动时间为秒． ①当时，________； ②当何值时，？ 【拓展延伸】 （3）如图③，在（2）的条件下，若平分，平分．请问在三角板旋转的过程中，的度数是否会发生变化？如果发生变化，请说明理由；如果不发生变化，请求出的度数． 【答案】（1）75；（2）①69；②；（3）不变， 【分析】本题考查旋转的性质，一元一次方程的应用，涉及列代数式，解题的关键是读懂题意，用含t的代数式表示相关角的度数．（1）把，，代入计算即得；（2）①把代入计算即得9；②由，得，解方程即得；（3）根据角平分线定义得，，代入计算即得 【详解】解：（1）∵，， ∴； 故答案为：75； （2）①当时，， 故答案为：69； ②∵， ∴， 解得， ∴当t为7.5时，； （3）的度数不会发生变化，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ， ∴； ∴的度数不会发生变化，它的度数为． 70．（24-25七年级下·山东济宁·期末）如图，一副三角板最初按图1的方式放置，两个三角板的直角顶点重合，点落在边上，，（本题中所有的角均小于或等于）． (1)如图2，若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，而三角板保持静止不动，第10秒时，的度数为__________，的度数为__________，此时__________； (2)若将三角板绕点顺时针旋转一周后停止，而三角板保持静止不动，（1）中和的数量关系是否始终成立？请说明理由； (3)若将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转的同时，将三角板以每秒的速度逆时针旋转，两个三角板均在旋转一周后停止，则第几秒时？（直接写出答案即可） 【答案】(1)，， (2)成立，理由见解析 (3)秒或秒或秒 【分析】本题主要涉及角的旋转以及角的数量关系问题，根据题意找到角的数量关系是解题的关键． （1）根据旋转速度和时间可求出旋转角度，进而得出相关角的度数； （2）通过设旋转角度，用含未知数的式子表示出和，验证它们的数量关系； （3）设旋转时间，根据两个三角板的旋转速度表示出和，再根据已知数量关系列方程求解． 【详解】（1）解：如图1， ∵三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转， ∴第10秒时，旋转的角度为， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （2）解：成立，理由如下， 设三角板绕点顺时针旋转度（）， 情况1，当时，如图2， ，， ∵， ∴， ∴； 情况2，当时，如图3， ； ∴（1）中和的数量关系始终成立． （3）解：设秒时，， 三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，则旋转了， 三角板以每秒的速度逆时针旋转，则旋转了， 情况1，时，如图4， ，， ∴， 解得：； 情况2，时，如图 ，， ∴， 解得：； 情况3，时，如图6， ，， ∴， 解得：； 综上，第秒或秒或秒时． 1 / 84 学科网（北京）股份有限公司 $$