精品解析：广东省中山市第二中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

中山市第二中学高二第二学期第一次段考数学试卷 一、单选题（本大题共8题，每小题5分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1. 下列求导运算结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用初等函数的导数公式以及导数的运算法则求解可判断每个选项的正误. 【详解】，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确. 故选：A. 2. 函数的极大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数研究函数的单调性，进而得到极大值. 【详解】由题意得. 由，得；由，得或. 则在和上单调递减，在上单调递增， 故极大值. 故选：C 3. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的零点和极值点的个数即可判断作答. 【详解】函数的定义域为，由得或，即有两个零点，排除A； 求导得： ，由得：或， 当或时，，当时，， 因此是函数的两个极值点，排除C，D，选项B符合要求. 故选：B 4. 近日，各地有序开展新冠疫苗加强针接种工作，某社区疫苗接种点为了更好的服务市民，决定增派5名医务工作者参加登记､接种､留观3项工作，每人参加1项，接种工作至少需要2人参加，登记､留观至少1人参加，则不同的安排方式有（ ） A. 50 B. 80 C. 140 D. 180 【答案】B 【解析】 【分析】不同的安排方式分成两类，再求出每一类中的安排方式即可作答. 【详解】不同的安排方式有两类办法， 有3人参加接种工作的安排方式有种， 有2人参加接种工作的安排方式有种， 由分类加法计数原理得不同的安排方式有：种. 故选：B. 5. 男女六位同学站成一排，则位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先选个女生捆绑看做整体，然后将男生全排列以后再将女生插空即可. 【详解】由题意，先选个女生捆绑看做一个整体：，然后将男生全排列再将女生插空：， 所以不同的排法有种. 故选：B. 6. 从中任取3个数字，从中任取2个数字，组成没有重复数字的五位奇数，则这样的五位数共有（ ） A. 252 B. 396 C. 468 D. 612 【答案】C 【解析】 【分析】满足条件的五位数可分为两类，第一类含0，第二类不含0，利用分步乘法计数原理和分类加法计数原理即可求解. 【详解】满足条件的五位数可分为两类， 第一类含0，先由2,4,6中任选两个数，再从1,3,5中任选2个数，有种选法，最后将所选的数与0排成五位奇数有种排法，故满足条件的数共个， 第二类不含0，先由2,4,6中任选三个数，再从1,3,5中任选2个数，有种选法，最后将所选的数排成五位奇数有种排法，故满足条件的数共个， 故满足条件的五位数共个，即468个， 故选：C. 7. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】点是曲线上任意一点, 所以当曲线在点P的切线与直线平行时，点P到直线的距离的最小， 直线的斜率为1，由，解得或（舍）. 所以曲线与直线的切点为. 点到直线的距离最小值是.选C. 8. 十八世纪，数学家泰勒发现了公式…，其中，若，下列选项中与的值最接近的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】已知式两边同时求导，然后令代入，并结合角的变换，诱导公式变形可得． 【详解】因为…， 所以， 令得， 即． 故选：A． 二、多项选择题（本大题共3题，每小题6分，共计18分.每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，多选或错选不得分） 9. 已知函数，则（ ） A. B. 在上为增函数 C. 在上为减函数 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】求出函数的导数，计算，可判断A;根据导数的正负，可判断B,C;利用导数的正负判断函数的单调性，进而求出函数的最小值，可判断D. 【详解】因为，所以,所以A不正确； 因为时,，故在上为增函数，所以B正确； 因为的定义域为，且时， ，故在上为减函数，所以C不正确： 因为的定义域为．且在(0,1 )上为减函数，在上为增函数， 所以当时，有最小值，所以D正确, 故选：BD． 10. 现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ） A. 所有可能的方法有种 B. 若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种 C. 若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种 D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理判断AC选项的正确性，利用分类加法计数原理以及组合数计算判断B选项的正确性，利用排列数计算判断D选项的正确性. 【详解】所有可能的方法有种，A错误. 对于B，分三种情况：第一种：若有1名同学去工厂甲，则去工厂甲的同学情况为，另外两名同学的安排方法有种，此种情况共有种，第二种：若有两名同学去工厂甲，则同学选派情况有，另外一名同学的排法有3种，此种情况共有种，第三种情况，若三名同学都去工甲，此种情况唯一，则共有种安排方法，B正确. 对于C，若A必去甲工厂，则B，C两名同学各有4种安排，共有种安排，C正确. 对于D，若三名同学所选工厂各不同，则共有种安排，D正确. 故答案为：BCD 11. 已知函数（a，b，），则（ ） A. 若，则曲线在处的切线方程为 B. 若，，，则函数在区间上的最大值为 C. 若，，且在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 D. 若，，函数在区间内存在两个不同的零点，则实数c的取值范围 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，切线方程 对于B，在区间上的单调性得解 对于C，在区间上恒成立的取值范围 对于D，在区间内存在两个不同的根函数和的图象有两个不同的交点，的单调性→作出和的大致图象得解 【详解】对于A，，得，且，所以，所以曲线在处的切线方程为，即，所以A正确. 对于B，，得，所以在上单调递减，在上单调递增，又，，且易知，所以当时，，所以B不正确. 对于C，，定义域为，.因为在区间上单调递增，所以在区间上恒成立，即在区间上恒成立，而当时，函数的值域为，所以，所以C正确. 对于D，，所以，定义域为，在区间内存在两个不同的零点，等价于关于x的方程即在区间内存在两个不同的根.令，则原问题等价于函数和的图象有两个不同的交点， ，所以由，得，由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，，当时，，当时，，（作出函数和的大致图象，如图所示 由图可得，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题（每小题5分，共计15分） 12. 已知函数在处可导，若＝1，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的定义分析即可. 【详解】 即 故答案为：. 13. 已知函数 ， 若不等式 成立， 则实数的取值范围为________ 【答案】 【解析】 【分析】用导数判断的单调性，根据单调性解不等式. 【详解】由得，， 所以在上为减函数， 由得， 解得或. 故答案为： 14. 已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f（1）＝3，且f(x)的导数在R上恒有<2(x∈R)，则不等式f(x)<2x＋1的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】构造函数g(x)＝f(x)－2x－1，则原不等式可化为.利用导数判断出g(x)在R上为减函数，直接利用单调性解不等式即可 【详解】令g(x)＝f(x)－2x－1，则g（1）＝f（1）－2－1＝0. 所以原不等式可化为. 因为，所以g(x)在R上为减函数. 由解得：x>1. 故答案为：. 四、解答题（本题共5题，共77分，解答题需写出必要的解题过程或文字说明，） 15. 从A，B，C等8人中选出5人排成一排． （1）A必须在内，有多少种排法？ （2）A，B，C三人不全在内，有多少种排法？ （3）A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，有多少种排法？ 【答案】（1）4200种 （2）5520种 （3）240种 【解析】 【分析】（1）先依次求出从余下的7人中选4人、选出的4人与A进行全排列的方法数，再依据分布乘法计数原理即可得解. （2）先求出8人中任选5人的排列数，再求出8人中任选5人A，B，C三人全在内的排法，从而用8人中任选5人的排列数减去A，B，C三人全在内的结果即可得解. （3）先求余下5人中选2人的排法，接着依据题意先将A、B进行排列、再将选出的2人进行全排列，然后再求出将A、B这个整体与C插入至所选出的2人所产生的3个空位中的其中2个的排列数，最后根据分布乘法计数原理将前面几步所得结果乘起来即可得解. 【小问1详解】 由题意，先从余下的7人中选4人共有种不同结果， 再将选出的4人与A进行全排列有种不同的排法， 故由乘法原理可知共有种不同排法. 【小问2详解】 从8人中任选5人排列共有种不同排法， A，B，C三人全在内有种不同排法， 所以由间接法可得A，B，C三人不全在内共有种不同排法. 【小问3详解】 因A，B，C都在内，所以只需从余下5人中选2人有种不同结果， A、B必须相邻，有种不同排法， 由于C与A，B都不相邻，先将选出的2人进行全排列共有种不同排法， 再将A、B这个整体与C插入至所选出的2人所产生的3个空位中其中2个有种不同排法， 由乘法原理可得共有种不同排法. 16. （1）解不等式：，； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据排列数公式可得出关于的不等式组，结合可求得原不等式的解集； （2）根据组合数公式结合题干条件可得出关于的等式，结合的范围可求得的值. 【详解】解：（1）因为，则， 由题意可知， 所以，，即，解得， 又因为，解得，所以， 又因为，所以原不等式的解集为； （2）因为， 所以，， 所以，， 所以，所以，解得或（舍）， 所以. 17. 已知函数在x＝1处取得极值． （1）求a的值； （2）求f（x）在区间[－4，4]上的最大值和最小值． 【答案】（1）9；（2）最大值为76，最小值为－5. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用在处取得极值，，求解即可． （2）求出．判断导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解极值，求解端点值，推出最值即可． 【详解】解：（1）因为， 所以． 因为在x＝1处取得极值， 所以，即，解得 经检验，符合题意． （2）由（1）得． 所以． 令，得或； 令，得． 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为． 所以的极大值为，极小值为 又， ， 所以 所以的最大值为76，最小值为 18. 如图，已知海岛A到海岸公路BC的距离AB为50km，B，C间的距离为10km，从A到C，先乘船，船速为25km/h，再乘汽车，车速为50km//h，问：登陆点选在何处，所用时间最少？ 【答案】登陆点在点处，所用时间最少 【解析】 【分析】设出登陆点，计算出所用时间的函数，利用导数求得取得最小值时的登陆点. 【详解】设登陆点为，且距离为，， 所以所需时间函数， ， ， 由于，所以， 在上递减，所以当时，取得最小值，此时登陆点在点. 19. 已知函数. （1）若函数在点处的切线方程为，求函数的极值； （2）若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值为，极大值为；（2）. 【解析】 【分析】 （1）求出函数的导数，根据题意得，列出等式求解a即可写出的解析式，根据导数符号判断函数的单调性从而求极值；（2）根据题意可将不等式变形推出函数在上单调递减，令，则题意可转化在上恒成立，利用导数求出函数在上的最小值即可求得m的范围. 【详解】（1）由题意得函数的定义域为， 由函数在点处的切线方程为， 得，解得 此时，. 令，得或. 当和时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 则当时，函数取得极小值，为， 当时，函数取得极大值，为. （2）由得. 不等式可变形为， 即因为，且， 所以函数在上单调递减. 令 则在上恒成立， 即在上恒成立 设，则. 因为当时，， 所以函数在上单调递减，所以， 所以， 即实数的取值范围为. 【点睛】本题考查导数的几何意义、导数在研究函数的性质中的应用、利用导数证明不等式，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中山市第二中学高二第二学期第一次段考数学试卷 一、单选题（本大题共8题，每小题5分，共计40分.每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1. 下列求导运算结果不正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的极大值为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 4. 近日，各地有序开展新冠疫苗加强针接种工作，某社区疫苗接种点为了更好的服务市民，决定增派5名医务工作者参加登记､接种､留观3项工作，每人参加1项，接种工作至少需要2人参加，登记､留观至少1人参加，则不同的安排方式有（ ） A. 50 B. 80 C. 140 D. 180 5. 男女六位同学站成一排，则位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（ ） A. B. C. D. 6. 从中任取3个数字，从中任取2个数字，组成没有重复数字的五位奇数，则这样的五位数共有（ ） A. 252 B. 396 C. 468 D. 612 7. 若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（　　） A. B. C. D. 8. 十八世纪，数学家泰勒发现了公式…，其中，若，下列选项中与的值最接近的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3题，每小题6分，共计18分.每小题列出的四个选项中有多项是符合题目要求的，多选或错选不得分） 9. 已知函数，则（ ） A. B. 在上为增函数 C. 在上为减函数 D. 的最小值为 10. 现安排高二年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是（ ） A. 所有可能的方法有种 B. 若工厂甲必须有同学去，则不同的安排方法有37种 C. 若同学A必须去工厂甲，则不同的安排方法有16种 D. 若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种 11. 已知函数（a，b，），则（ ） A. 若，则曲线在处的切线方程为 B. 若，，，则函数在区间上的最大值为 C. 若，，且在区间上单调递增，则实数a的取值范围是 D. 若，，函数在区间内存在两个不同的零点，则实数c的取值范围 三、填空题（每小题5分，共计15分） 12. 已知函数在处可导，若＝1，则_______． 13. 已知函数 ， 若不等式 成立， 则实数的取值范围为________ 14. 已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f（1）＝3，且f(x)的导数在R上恒有<2(x∈R)，则不等式f(x)<2x＋1的解集为______. 四、解答题（本题共5题，共77分，解答题需写出必要的解题过程或文字说明，） 15. 从A，B，C等8人中选出5人排成一排． （1）A必须在内，有多少种排法？ （2）A，B，C三人不全在内，有多少种排法？ （3）A，B，C都在内，且A，B必须相邻，C与A，B都不相邻，有多少种排法？ 16. （1）解不等式：，； （2）已知，求的值. 17. 已知函数在x＝1处取得极值． （1）求a的值； （2）求f（x）在区间[－4，4]上的最大值和最小值． 18. 如图，已知海岛A到海岸公路BC的距离AB为50km，B，C间的距离为10km，从A到C，先乘船，船速为25km/h，再乘汽车，车速为50km//h，问：登陆点选在何处，所用时间最少？ 19. 已知函数. （1）若函数在点处的切线方程为，求函数的极值； （2）若，对于任意，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $