第7章 相交线与平行线单元总复习（9大压轴题型+提升训练）-2024-2025学年七年级下册数学【人教2024版】-原卷+解析版

第7章 相交线与平行线单元总复习（9大压轴题型） 【相交线2大题型+平行线7大题型】 题型一：相交线中与角平分线有关的计算 1．（23-24七年级·湖北恩施·期末）若直线和直线相交于点，为内部的射线，平分，平分． (1)若，求和的度数？ (2)若是任意角，求的度数？ (3)请猜想，度数会改变吗？若改变，请说明理由；若不改变，则度数是多少？ 【答案】(1)； (2) (3)的度数不变，值为 【详解】（1）解：平分，平分， ，， ， ， ， ， （2）解：平分， ， ， ， ， 平分， ， ； （3）解：的度数不变， 平分，平分， ，， ， ． 2．（2025七年级·全国·专题练习）如图，直线、相交于点，过点作． (1)如图1，求证：； (2)如图2，将射线沿着直线翻折得到射线，即，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作，当时，求的度数． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：，相交于点， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 平分． （3）解：， 设，则， ， ，， ， ， ，，三点在一条直线上， ， 解得：， ． 3．（24-25七年级·贵州贵阳·期末）将三角板的直角顶点O放置在直线上． (1)若按图1的方式摆放，且，射线平分，则________． (2)如图2，，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转一个角度（即，）． ①当平分由，，其中两条射线组成的角时，求满足要求的所有的值． ②在旋转过程中是否存在？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①或；②存在，的值为或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵射线平分， ∴， 故答案为：． （2）解：①（Ⅰ）如图，当平分由，两条射线组成的角时， ∴， ∵， ∴， ∴； （Ⅱ）如图，当平分由，两条射线组成的角时， ∴； （Ⅲ）如图，当平分由，两条射线组成的角时， ∴， ∴此时旋转角大于，不符合题意，舍去； 综上，满足要求的所有的值为或． ②（Ⅰ）如图，当时， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 解得，符合题设； （Ⅱ）如图，当时， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 解得，符合题设； （Ⅲ）如图，当时， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， 解得，不符合题设，舍去； 综上，在旋转过程中存在，此时的值为或． 4．（24-25七年级·河南驻马店·期末）如图，是的平分线． (1)当时，求的度数； (2)在（1）的条件下，过点作直线，且，求的度数； (3)当时，过点作直线，且，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【详解】（1）解：∵是的平分线，， ∴； （2）解：①∵， ， ∵， ∴； ②过点作直线，， ， ∵， ∴， 综上所述：或； （3）解：∵，过点作直线，且， ∴分两种情况讨论： ① ∴， ∴； ② ∴， ∴； 综上所述：的度数为或． 5．（24-25七年级·四川资阳·期末）如图，于点，射线，的方向如各图所示，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，射线平分．若，求，的度数； (3)如图3，射线平分，若，用含的代数式表示，的度数． 【答案】(1) (2)， (3)， 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵射线平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵射线平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴． 6．已知与的平分线交于点． ①如图1，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； ③如图3，若，的平分线交于点，则，与之间有怎样的数量关系？ 【答案】，理由见解析 ，理由见解析 （理由见解析） 【详解】解：，与之间的数量关系是：，理由如下： 如图，延长交于，设与交于点， 是的外角， ， 是的外角， ， ， 是的平分线， ， 是的平分线， ， ，， 又， ， 即：， 整理，得：， ，与之间的数量关系是：； ，与之间的数量关系是：，理由如下： ，为与的平分线， 可设，， 由可知：， 即：， ， 根据四边形的内角和等于，得：， 即：， 将代入上式，得：， ， ，与之间的数量关系是：； ，与之间的数量关系是：，理由如下： 如图，延长交于， ，是与的平分线， 可设，， 在中，， 即：， ， 由可知：， 即：， 由邻补角互补可得：， 是的一个外角， ， ， 将代入上式，得：， 即：， 答：，与之间的数量关系是：． 7．图1，线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8”字形．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： (1)在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：___________； (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：___________个； (3)图2中，当度，度时，求的度数． (4)图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 【答案】(1)(2)6(3) (4)，见解析 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）①线段、相交于点O，形成“8字形”； ②线段、相交于点O，形成“8字形”； ③线段、相交于点N，形成“8字形”； ④线段、相交于点O，形成“8字形”； ⑤线段、相交于点M，形成“8字形”； ⑥线段、相交于点O，形成“8字形”； 故“8字形”共有6个； （3）解：，① ，② ∵和的平分线和相交于点P， ∴，． 由得：， ∴． ∵度，度， ∴，即； （4）解：关系：． 如图， ∴①，②， 由得：． ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∴． 8．直线与相互垂直，垂足为点O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A、点B均不与点O重合 (1)如图①，平分，平分，若，求的度数 (2)如图②，平分，平分，的反向延长线交于点D． ①若，则 度（直接写出结果，不需说理） ②点，在运动过程中，是否发生变化，若不变，试求的度数；若变化，请说明变化规律 【答案】(1) (2)①；②不变， 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； ②不变， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴ 9（23-24七年级·广东佛山·期末）（1）①如图1所示，点O是直线上一点，平分，平分，则______º； ②如图2所示，射线在内部，且，平分，平分，则______º； （2）如图3所示，射线在内部，平分，平分．根据（1）的结果，请写出你发现的结论并说明理由； （3）若，射线在的外部，平分，平分，求的度数．（均指小于平角的角） 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（1）①∵点O是直线上一点， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 故答案为：； ②∵射线在内部，且， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 故答案为：； （2），理由为： ∵平分，平分， ∴，， ∴； （3）如图， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 题型二：相交线中探究角度之间的关系 1．（23-24七年级·安徽蚌埠·期中）如图①，已知线段、相交于点O，连接、，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题：    (1)在图①中写出、、、之间的等量关系为________． (2)如图②，和的平分线和相交于点P，并与、分别交于点M、N． ①若，，求的度数； ②探究与、之间有何等量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②；理由见解析 【详解】（1）解：，， 又∵， ； （2）解：①，， ， ， 、分别是和的角平分线， ，， 又， ； ②；理由如下： 根据“8字形”数量关系，，， ∴，， 、分别是和的角平分线， ，， ， 整理得，， ． 2．已知，． (1)如图1，若，的度数是______； (2)如图2，若，的度数是______； (3)根据（1）（2）结果猜想与有怎样的关系？并根据图1说明理由； (4)如图2，若，则的度数是______，的度数是______． 【答案】(1)(2)(3)与互补，理由见解析(4)， 【详解】（1）∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为： （2）∵，， ∴． ∴． 故答案为： （3）与互补． 理由如下：∵， ∴， ∴． ∵，所以， ∴， ∴．即与互补． 故答案为：与互补 （4）   由角的和差，得， 按比例分配，得，． 故答案为：， 3．（24-25七年级·河北廊坊·期末）如图1，为直线上一点，过点在直线的下方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方． (1)将图1中的三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转（始终保持在直线的上方），在旋转的过程中，第秒时，恰好与在同一直线上，请直接写出的值． (2)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图2所示的位置，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数． (3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图3的位置，使在的内部，请探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：如图， ∵，（即）恰好与在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： ∵，， ∴，， ∴， ∴， 故与之间的数量关系为：． 4．如图①，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，边在射线上，边在直线的下方． (1) 将图①中的三角板绕点O逆时针旋转至图②的位置，使边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将图①中的三角板绕点O顺时针旋转至图③的位置，使在的内部，请探究与之间的数量关系； (3)将图①中的三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转一周．在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：， ， 恰好平分， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：分两种情况讨论： 如图，当平分时， ， 旋转的角度是：， ， ； 如图，当的反向延长线平分时， ， ， 旋转的角度是：， ， ； 综上，的值为或， 故答案为：或． 5．（24-25八年级·山东枣庄·期中）如图，是等边△ABC的高，，点在射线上运动，将一块三角板角的顶点放在点处，让其一边经过点，另一边与射线交于点（在的下方），连接． (1)试判断的形状，并证明你的结论； (2)连接，求线段的最小值； (3)在点的运动过程中，请你直接写出与之间的关系． 【答案】(1)是等边三角形，证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）是等边三角形，理由如下， 证明：∵是等边的高， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； （2）解：∵点在射线上， ∴当时，取得最小值， 又，， ∴当时， （3）∵是等边三角形； ∴， 又∵ ∴ 即 6．已知：是直线上的一点，，平分． (1)如图1若．求的度数； (2)在图1中，若，直接写出的度数（用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点顺时针转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【详解】（1）解： ， ， ， ， 平分， ， （2）， ， ， 平分， ， ． （3） 理由是： ，OE平分， ， ， ， ， 即． 题型三：相交线和平行线中多结论问题（选填压轴） 1．（23-24七年级·广东江门·期中）如图，，F为上一点，，过点F作于点G，且平分，．有下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：， ， ， ， ， ，， 设，则，， ， ， 解得：，即，故①正确； ， ，故②正确； ， 若需证明平分，则需证，而由题目条件无法证明，故③不正确； ， 若需证明平分，则需证，而由题目条件无法证明，故④不正确； 综上所述，正确结论有①②，正确结论的个数是2． 故选：B． 2．（24-25七年级·全国·单元测试）如图，已知（其中），添加以下一个条件：①；②；③；④．能判定的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：添加①， 过F作， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，故①正确； 添加②， 过F作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； 添加③， 则， 而F不在， 故不能证明，故③错误； 添加④， ∵， ∴，即， 无法证明，故④错误； 故选：C 3．（24-25七年级·山东滨州·阶段练习）将一副三角板（，，）如图放置，则下列结论： ①若，则； ②若，则 ③若，则； ④若，则； ⑤． 其中正确的有（　　） A．②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④⑤ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴，故④错误； ∵， ∴，故⑤正确； 故选：B． 4．如图，平分平分，且．有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵平分平分， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分；故①正确， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴；故③正确； ∵， ∴；故④正确； 综上：正确的有①②③④； 故选D． 5．（24-25七年级·四川宜宾·期末）如图，，平分，平分，点、、共线，点、、、共线，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，． ∵， ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④错误． 故选：A． 6．如图，平分，点E，F分别在和上，平分交于点．给出下列结论：①；②；③；④．其中所有正确的序号是（） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】C 【详解】解：平分， ， ， ， ， ∴①正确； 由题意，设， 显然无法说明， ∴②错误； 又， ， ， ， ， ， ∴③正确． ， ， ∴④错误． 综上，①③正确； 故选：C． 7．（24-25七年级·吉林长春·开学考试）如图，，平分，，以下结论：①；②；③；④；其中正确结论是 ． 【答案】①②④ 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴，故②正确； ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； ∵， ∴ ，即，故④正确； 综上所述，正确的选项①②④， 故选：B． 8．（24-25七年级·陕西安康·阶段练习）如图，，平分，平分，点、、在一条直线上，点、、、在一条直线上，，则下列结论：①；②；③，其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①② 【详解】解：∵平分，平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，①正确； ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，②正确； ∴， ∵， ∴，③错误； 综上所述：正确的结论有①②． 故答案为：①②． 9．（24-25七年级·江苏泰州·阶段练习）如图，，为上一点，且垂足为，，平分，且，则下列结论：；平分；；；其中正确的有 ．（请填写序号） 【答案】 【详解】解：， ， ， 平分， ， 故错误； ，， ， ， ， ， ， 平分， 故正确； 已知，， ， 故正确； ，， ， ， ， 故正确． 正确的有． 故答案为： ． 10．（22-23七年级·广东深圳·期中）如图，，平分，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】B 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴，即①正确； ∵平分， ∴, ∵， ∴， ∴,，即③正确； ∴ ∴平分，故②正确； ∵， ∴， ∴， 而题目中不能得到，故④错误． 故选：B． 11．（24-25七年级·江西宜春·期中）如图，平分交于M，，F，D分别是延长线上的点，和的平分线交于点N．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：如图，过点N作， 平分交于M， ，， ， ， ，， ，， ，平分，故①②③正确； ， ， ，， ， ， 和的平分线交于点N， ，故④正确． 故选：D． 题型四：平行线中“拐点”模型------一个拐点 1．（24-25七年级·山西太原·阶段练习）将一副三角板按如图所示方式摆放在一张对边平行的长方形纸片上，其中含角的直角三角板的斜边与纸片一边贴合，含角的直角三角板的一个顶点与含角的直角三角板的直角顶点重合，且两个直角三角板的一条直角边贴合，而含角的直角三角板的另一个顶点恰好落在纸片的另一边上，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作，由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 2．（24-25七年级·四川泸州·阶段练习）空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．2006年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过作， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：C． 3．如图，，则之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，过点作， ， 又∵， ∴， ， ，即， ． 故选：C． 4．（24-25七年级·河南周口·阶段练习）如图，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点C作， 则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图：过C作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 6．如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点C作， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A 7．（23-24七年级·甘肃兰州·期中）[问题情境] 在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线 ，点分别为直线上的点，点是平面内任意一点，连接． [探索发现] （1）当时，求证：； [拓展探究] （2）如图2点分别是直线上的点，且 ，直线，交于点，“智胜小组”探究 与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由． 【答案】（1）证明过程见详解 （2），理由见详解 【详解】解：（1）证明：如图所示，过点作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2），理由如下， 设， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25七年级·河南信阳·阶段练习）【问题解决】（1）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成一道习题： 如图1，如果，那么（   ） A．    B．    C．    D． 【类比探究】（2）在同学们解答完这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，不变，当点移动到点的位置时，请写出之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）善于思考的南南同学也对这道题进行了改编：如图3，将图1的部分与图2重合，不变，当分别平分和时，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）．理由见解析 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选：； （2）过点M作，如图， 则有， ∵ ∴ ∴， ∴ ∴； （3）由（1）得， 由（2）得，， ∵分别是的平分线， ∴，， ∴， ∴． 9．（24-25七年级·安徽阜阳·阶段练习）综合与实践． 【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知直线，，，． （1）若，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，创新小组的同学把直线向上平移，发现，请你进行证明； 【拓展应用】 （3）缜密小组将图形变化为如图3所示的形式，此时平分，他们发现，请你进行证明． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【详解】解：（1）∵， ， ∵， ； （2）过点作．如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：过点作，如图所示： 平分， ， 又， ， ， ， 又， ， ． 10．（23-24七年级·贵州六盘水·期中）在一次综合与实践课上，李老师让同学们以“两条平行线、和一块含角的直角三角尺的不同方式摆放”为主题开展数学探究活动． 【初步体验】 （1）如图①，三角尺的角的顶点在上．，则的度数为_____． 【基础巩固】 （2）如图②，彬彬把三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，请你探索与之间的数量关系，并说明理由． 【强化应用】 （3）如图③，强强把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点在上．若，，请写出与的数量关系（用含，的式子表示），并说明理由． 【答案】（1）40；（2），理由见解析（3），理由见解析 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 11．（23-24七年级·甘肃兰州·期中）探究题： (1)如图1，若，则，你能说明理由吗？ (2)若将点E移至图2的位置，此时、、之间有什么关系？并证明 【答案】(1)理由见解析 (2)，证明见解析 【详解】（1）解：能，理由如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ． （2）解：，证明如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ， 又， ． 12．（23-24七年级·河南南阳·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作， ∴_____，______， 又∵． ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数． （3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系． 【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析 【详解】解：（1）过点A作， ∴，， 又∵， ∴， 故答案为：；；； （2）过点E作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）， 理由：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型五：平行线中“拐点”模型------两个拐点 1．（24-25七年级·河北廊坊·阶段练习）如图，两条公路和互相平行，之间有三段公路连接，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点，作，过点，作； 根据，，， 则， ，， ， 则， ， ， ，     ； 故选：B 2．（24-25七年级·浙江温州·阶段练习）如图，，若，则等于（  ） A．50 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点分别作的平行线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级·河南信阳·阶段练习）如图，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 同法可得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 4．（24-25八年级·河北保定·期末）如图，，，，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如下图所示，过点作，过点作， ， ，， ，， ， 又，， ，， ， ， ，， ， ． 故选：D ． 5．如图，，，则，和的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴①， ∵， ∴，即②， 将②代入①得：， 故选：B． 6．（24-25七年级·四川眉山·期末）已知直线，点在直线之间，连接．下面结论正确的个数为（   ） ①如图1，若，，则； ②如图2，点在之间，当，，则； ③如图2，点在之间，当，，则； ④如图3，的角平分线交于，且，点在直线之间，连接，，，，则和的关系为（用含的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：①过点P作，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；①正确； ②点P作，过点Q作，则，， ∴， ∴，即， 同理：， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，②正确； ③过点P作，过点Q作，则，， ∴， ∴，即， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴，即，③正确； ④过点P作，则， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴ 过点N作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，④正确． 综上，正确的有4个， 故选：D． 7．（24-25七年级·天津滨海新·阶段练习）已知． （1）如图1，当时，则的度数为 ； （2）如图2，判断，，之间的数量关系为 ； （3）如图3，设，，．请直接写出的大小 （用含α、β、γ的式子表示）． 【答案】 【详解】解：（1）如图，过点作， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）如图，过点作， ， ， ，， ， ， ， ； 故答案为：． （3）如图，过点作，过点作， ，，， ， ，，， ，，， ，，， ； 故答案为：． 8．（23-24七年级·贵州六盘水·期中）如图，已知，和分别平分和，若，则 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作，过点作， 又， ， ，，，， ， ， 和分别平分和， ，， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 9．（22-23七年级·江苏盐城·阶段练习）如图 1.已知 ， 、 分别平分、 ． (1) ； (2)如图②， 将 改为折线 ，、 分别平分、，其余条件不变，若 ， 求 的度数；并进一步猜想 与 之间的数量关系； (3)如图 3，若， ，、 分别平分、，那么 是多少度． 【答案】(1) (2)=60°；，理由见解析 (3) 【详解】（1）解：， ， 、分别平分、， ， ． 故答案为：； （2）解：如图所示， 过点作， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ 同理可得 、分别平分、， ，， ， ． 猜想：． 设， ， 、分别平分、， ，， ∴ （3）解：如图所示，过分别作的平行线， ∴ ∴ ∴ 、分别平分、， ，， ∴ 10．（1）对于图1，已知，直接写出与和之间的数量关系为____________； （2）如图2，平分平分，且．试说明：； （3）拓展与应用：在（2）的条件下，作射线和交于点F．已知．请判断与之间的数量关系，并说明理由．    【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【详解】解：（1） 过点E向右作．      因为， 所以， 所以， 所以； （2）因为平分平分， 所以， 由（1）知，， 因为， 所以 所以， 则； （3）．理由如下： 过点E向右作，过点F向右．    又因为， 所以， 所以， 所以， 同理，． 因为， 所以， 所以． 题型六：平行线中“拐点”模型------多个拐点 1．（24-25七年级·重庆长寿·阶段练习）观察图1~图4． (1)如图1，若，则、、的关系为________，若将点移至图2所示位置，此时、、的关系为________，请选择其中一个说明理由． (2)若将点移至图3所示位置，、、之间的关系为________（直接写出结论） (3)在图4中，，、、、、的关系为________（直接写出结论） 【答案】(1)图1；图2 (2) (3) 【详解】（1）解：选图1过点作， ， ∴， ， ， ； 故答案为：； 若将点移至图2所示位置，过点作， ， ∴  ， ， ； 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：过点作，过点作，过点作， ， ， ， ， 整理可得原图中的． 故答案为：； 2．（24-25七年级·河南濮阳·阶段练习）如图，，定点，分别在直线，上，在平行线、之间有一动点，满足． (1)试问，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线、之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论；如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为________，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为________． (2)如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则________°． ②猜想与的数量关系，并说明理由． ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 【答案】(1)（1）， (2)①150；②与的数量关系为，理由见解析；③ 【详解】（1）如图1，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 如图2，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）①如图3，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∵，分别平分和， ∴ ∴； ②由（1）可知，， ∵，分别平分和， ∴，， ∴， ∴； ③由（2）②知， 同理可证：， ， …… ， 故答案为：． 3．（24-25七年级·湖南长沙·阶段练习）已知，，点在上，点在上，点为一动点． (1)如图1，当在与之间时，点在上，连接、、，若，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且有． ①当，时，求的度数； ②当平分，，交于点时，若，求的值． (3)如图3，当H在上方，交于点，的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点，的角平分线和的角平分线相交于点，依此类推，请论证与之间的数量关系，并直接写出与的数量关系（用含n的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）①如图，过点作， ∴． 由题意可知：， 故可设，则． ∴，，． ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴，解得：， ∴，． ∵， ∴， ∴． ②如图，过点作． 由题意可设，则． ∵，平分， ∴，． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分， ∴，， ∴． ∵， ∴． ∴，即． 由（1）可知， ∴， ∴， 即，解得：， ∴． （3）过点作，过点作． 设，， 同理（2）可得：，， ∴， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点， ∴，， 由（2）得， ∴. ∵的角平分线和的角平分线相交于点。 同理可得： ∴， ∴， ∴ 题型七：平行线中“铅笔头”模型 1．如图，，则（    ） A．度 B．度 C．度 D．度 【答案】B 【详解】解：如图，分别过点作， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．（23-24七年级·贵州安顺·阶段练习）如图，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4 =540°，根据以上的规律求∠1+∠2+∠3+…+∠n = °． 【答案】 【详解】解：（1）如图，过点P作一条直线PM平行于AB， ∵AB∥CD，AB∥PM ∵AB∥PM∥CD， ∴∠1+∠APM=180°，∠MPC+∠3=180°， ∴∠1+∠APC+∠3=360°； （2）如图，过点P、Q作PM、QN平行于AB， ∵AB∥CD， ∵AB∥PM∥QN∥CD， ∴∠1+∠APM=180°，∠MPQ+∠PQN=180°，∠NQC+∠4=180°； ∴∠1+∠APQ+∠PQC+∠4=540°； 根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补． 即可得到∠1+∠2+∠3+…+∠n =180°（n-1）． 故答案为： 3．已知，解答下列问题： (1)如图①， ； (2)如图②，求的度数； (3)如图③，求的度数； (4)如图④，根据以上结论，试探究： ． (5) 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （3）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（）可得， ∴， 即 （4）解：由图①得， 由图②得， 由图③得， ， ∴， 故答案为：． 4．（2025七年级·全国·专题练习）（1）如图①，，则______； 如图②，，则______； 如图③，，则______． 利用图②，说明你所填写的结论的正确性； （2）如图④，，则______； （3）利用上述结论解决问题：如图⑤，已知，和的平分线相交于点，用含的代数式表示的度数． 【答案】（1），，；（2）；（3） 【详解】解：（1）如图∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 如图②，过点作， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴， 即； 如图③，分别过点作、， 同上题可得， 即， 故答案为：；；． （2）∵， ， ， ∴． 故答案为：． （3）根据上述结论得： ， ， 又∵和的平分线相交于F， ∴， 即， ∴， ∴， 即 5．（23-24七年级·江苏南京·期中）从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，探索问题的解．    (1)如图1，，点E为、之间的一点．求证：． (2)如图2，，点E、F、G、H为、之间的四点．则______． (3)如图3，，则______． 【答案】(1)证明见详解；(2)；(3)； 【详解】（1）证明：如下图，过点作，    ∵，， ∴， 根据两直线平行同旁内角互补可得： ，， ∴， ∴； （2）解：如下图，分别过点E、F、G、H作，，，，    结合（1）解答在两相邻平行线间可得： ， ， ， ， ， 将所有角度相加可得： ； （3）解：由（2）解答可知在、之间每有一条线段便可求得一个180°角度和， 由图3可知： 当、之间有2条线段时，， 当、之间有3条线段时，， 当、之间有4条线段时，， 当、之间有5条线段时，， …， 当、之间有条线段时，， ∴； 题型八：平行线中“猪蹄”模型 1．（24-25七年级·上海闵行·阶段练习）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； (3)如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)或或 【详解】（1）解：过点作， ， ， ，， ， 即； （2）如图， 设，则，设，则， 由（1）知，， 同理可得， ， ， ， 由，得， 由，得， 将，代入， 可得； （3）将直线的点M平移与直线的N点重合，如图， 根据题意得，，， 则， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， ， ； 根据题意得，，， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， 即， ； 根据题意得，，， 直线与直线相交所夹的锐角为， ， ， 即， ； 综上所述，或或． 2．（23-24七年级·江西景德镇·期中）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，E为，之间一点，连接、，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． (2)【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图②，若，点E、F为直线、之间两个点，连接、、，，求的值．并说明理由． (3)【拓展延伸】如图③，如图，，平分，平分，、的反向延长线相交于点H，，求的值．写出必要的求解过程． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，理由见解析 (3) 【详解】（1）解：， 理由如下： 过E作，如图，    ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （2）如图，过作，过作， ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴． （3）如图，分别过作，的垂线，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，，，， ∵ ∴， ∴， ∴， 过作的平行线，而， ∴， ∴，， ∴， ∴． 3．（2025七年级·全国·专题练习）推理能力【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图①所示的几何图形很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”．“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． 【结论】（1）如图1，，M是、之间的一点，连接，．试说明：； 【运用】（2）如图2，，M，N是、之间的两点，且．请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，求出、、三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析 【详解】（1）证明：如图，过作． ， ， ，， ． （2）解：、、三者之间的数量关系：． 理由如下： 如图：过点N作的平行线． ∵， ∴由“猪蹄模型”知， 设，则， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴ ∴ 即：． ∴、、三者之间的数量关系：． 4．（2025七年级·全国·专题练习）【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 【答案】（1）100°；（2），理由见解析；（3） 【详解】解：（1）过点M作，如图①所示： ， ， ， ， ， ； （2）和之间的数量关系是：，理由如下： 过点M作，如图②所示， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， 又， ， ； （3），理由如下： 过点G作，如图③所示： ， ， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． 题型九：平行线中探究问题 1．（24-25七年级·江苏连云港·期末）【习题再现】（1）苏科版初中数学教材七上第194第10题：如图1，，点在，之间．写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【迁移思考】（2）小明在完成第10题的探究后，对该页的第5题又作了探究与变式思考： ①如图2，在长方体盒底部有一面平面镜，点处有一个光源，光线的入射角等于反射角，法线与平面镜垂直，即，垂足为，入射光线经过镜面发射后，恰好经过点．小明认为，图中，请帮小明说明理由； ②如图3，在长方体盒子里放置4块平面镜，其中，若光线从上的处射出，在平面镜上经点反射后，到达上的点，其传播路径为请判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），理由见解析 （2）①理由见解析；②，理由见解析 【详解】解：（1），，之间的数量关系是：，理由如下： 过点E作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）①理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵光线的入射角等于反射角， ∴， ∴； ②与的数量关系是：，理由如下： 由①的结论得：，， ∴， ∵， 由（1）的结论得：，， ∴． 2．（24-25七年级·全国·课后作业）综合与探究： 已知直线，点A是a上的动点，点B在a上（点A不与点B重合），点C、D在b上，且点C在点D左侧，的平分线相交于点E． (1)如图1所示，若点A在点B的左侧，，过点E作，求的度数； (2)如图2所示，若点A在点B的左侧，，则___________（用含、的式子表示）； (3)如图3所示，若点A在点B的右侧，，求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：、分别是，的平分线， ，， ∵， ， ∵， ∴， ， ； （2）解：过点E作， 、分别是，的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：过点向右作， ，分别是、的平分线， ，， ∵， 又∵， ∴， ， ． 3．（24-25七年级·重庆九龙坡·阶段练习）如图，已知直线与直线相交于点，于点，且，为射线上一点，过点作的平行线，与直线相交于点，直线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，旋转所得的直线与直线相交于点，设旋转时间为． (1)求的度数； (2)为延长线上一点，分别为，的三等分线，且，． ①如图，当时，探究与的数量关系； ②当时，以上数量关系是否仍然成立？若成立，请写出推理过程，若不成立，请直接写出此时与的数量关系． (3)如图，作的角平分线，与的角平分线交于点．当直线开始旋转的同时，三角形也开始绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，得到三角形，当停止旋转时，三角形也同时停止旋转，在旋转过程中，直接写出当直线与三角形的某一边所在直线垂直时的值． 【答案】(1) (2)①；不成立， (3)或或或 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①当时，如图，由题意得， ∴， ∵， ∴， 由（），得， ∵， ∴， ∴ ， 即； ②不成立，，理由如下： 如图，设与相交于点， 同理①可得，，， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，，，作的角平分线，与的角平分线交于点． ∴，，， ∴， ∵，， 如图，当于时， ∴，， ∴， ∴， 解得：， 如图，当于时，记与于， 此时，， ∵， ∴， 解得：， 如图，当于时， 同理：，， ∴， 解得：， 如图，当第二次于时， 由对顶角相等可得：，，， ∴， 解得：， 综上：当或或或时，直线与三角形的某一边所在直线垂直． 4．【感知】如图，，求的度数． 小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程． 解：如图①所示，过点P作， （ ）， ， （平行于同一直线的两条直线平行）， ∴ （两直线平行，同旁内角互补）， ， ， ，即． 【探究】如图②所示，的平分线和的平分线交于点G，求的度数． 【应用】如图③所示，已知直线，点在直线a上，点在直线b上（点C在点D的左侧），连接作平分平分，且所在的直线交于点E，设， （）请画出图形并求出的度数（用含，的式子表示）． 【答案】【感知】见解析；【探究】35°；【应用】图见解析，的度数为或或或或 【详解】如图①所示，过点P作， （ 两直线平行，内错角相等）， ， （平行于同一直线的两条直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ， ，即 ， 故答案为：两直线平行，内错角相等；； 【探究】如图②所示， 是的平分线，是的平分线， ， ， 过点G作， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （平行于同一条直线的两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， ． 【应用】当点A在B左侧时， 如图，过点E作，则， ， 平分平分， ， ， ． 当点A在B右侧时，点E在和外时，点E在上方时， 如图，过点E作，则， ， 平分平分， ， ， ． 当点A在B右侧时，点E在和外时，点E在下方时， 同理可求． 当点A在B右侧时，点E在和内时， 过点E作，则， ， 平分平分， ， ， ， ，或， 综上，的度数为或或或或． 5．（24-25七年级·陕西榆林·阶段练习）如图，点在射线上，点、为射线上两个动点，连接，，，，满足平分． 【初步探究】（1）如图1，当点在右侧时，求证：； 【深入探究】（2）如图2，当点在左侧时，过点作，交于点，探究、之间的关系并说明理由； 【衍生拓展】（3）如图3，当点在左侧时，为延长线上一点，平分，交手点，过点作，交于点，连接，若，求的度数． 【答案】（1）见解析（2），见解析（3） 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：平分，， ， ， ， ， ． 6．（24-25七年级·福建泉州·期末）已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析(2)(3) 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图2，过点作， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 由对顶角相等得：， 由（2）可知， ， 所以的度数为． 7．（24-25八年级·贵州贵阳·期末）小星在学习完《平行线的证明》一章后，想利用一副三角板探究平行线的相关问题．于是他将两块三角板的直角顶点C重叠，固定，将绕着点C在平面内转动．其中∠B=90°，∠D=∠E=45°，假设这一副三角板的直角边．图中所有点均在一个平面内． 【问题解决】 （1）如图①，当点D、E均在直线的上方，且时，求证：； 【问题探究】 （2）如图②，当点D在直线的上方，点E在直线的下方，且时，设的度数为，求的值； 【拓展延伸】 （3）设度数为，当等于多少时， ．请画出图形并完成相应解答． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）当等于或时， 【详解】解：（1），， ， ； （2）， ， ； （3）当点E在上方时，设与交于点G， ， ， ， ； 当点E在下方时，设与直线交于点H， ， ， ， ； 综上所述，当等于或时，． 1．（24-25七年级·河北唐山·阶段练习）综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知，为的平分线．为的平分线，和相交于点．若，，请写出和间的数量关系（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示，过点作，过点作， 设，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， 即， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线，为的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 2．（2025七年级·全国·专题练习）如图，已知直线，直线分别交直线，于点E，F，平分交于点M，G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H．设．有下列四个式子：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：当点在点右侧时，如图示： 平分，平分， ，， ， ． ， ， 当点在和之间时，如图： 平分，平分， ，， ， ． ， ，则； 综上：①④正确，②③错误； 故选：B． 3．（24-25八年级·安徽芜湖·期中）如图，直线，垂足为，点是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点是射线上的一个动点（不与点重合），连接，作的两个外角平分线交于点，在点在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，作于E，于G，于H，连接， ∵平分，， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴平分，即点C在的平分线上， ∴， ∵， ∴， 如图，作于，则， 即的最小值为，此时点C与重合， ∴， ∴， ∴当线段取最小值时，的度数为， 故选：B． 4．（2025七年级·浙江·专题练习）如图，两条平行直线，被直线所截，点位于两平行线之间，且在直线右侧，点是上一点，位于点右侧．小明进行了如下操作：连接，，在平分线上取一点，过点作，交直线于点．记，，，则 （用含，的代数式表示）． 【答案】或或 【详解】设，因为平分，所以，，根据小明的操作有以下三种情况： 当点在的右侧，且在上方时，过点作，如图所示： 因为， 所以， 所以，， 又因为， 所以， 同理：， 因为， 所以， 因为，，， 所以，， 得：，代入得， 所以； 当点在的左侧时，且在上方时，如图所示： 同理：，， 因为， 所以，， 得：，代入得：； 当点在直线的下方时，过点作，如图所示： 同理：，即， 因为，， 所以，，， 因为， 所以，将代入得， 所以， 综上所述：或或， 故答案为：或或． 5．（2024七年级·全国·专题练习）已知直线，相交于点，平分，射线于点，且，则 ． 【答案】或 【详解】解：当点F和点C在同侧时， ∵于点O， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； 当点F和点C在异侧时， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：或． 6．（24-25八年级·山西晋城·期中）如图，在△ABC中，，分别是，上的点，，，且，，交于点．若，则的度数是 ． 【答案】/110度 【详解】提示：如图，延长交于点，交于点． ， ，， ， ． ， ， ， ， ． ， ， 故答案为． 7．（23-24七年级·安徽合肥·期末）将一个三角板如图所示摆放，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当 时，与三角板的直角边平行． 【答案】5或35或65或95或125 【详解】解：如图， 时， 延长交于D点， 则，， ， ， ， ， ， 解得； ②如图：时， ，， ， ， ， 解得； ③如图第二次平行于时， 设与的交点为E， 则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； ④如图第二次平行于时， ，， ∵， ∴， ∴， 解得； ⑤如图：第三次平行于时， 则，， ， ， 又， ， ∴， 解得； ⑥如图：第三次平行于时， ，， ， ， ∴， 解得（舍去）． 综上，所有满足条件的t的值为：5或35或65或95或125． 故答案为：5或35或65或95或125 8．（24-25七年级·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为 时，与平行． 【答案】秒或秒 【详解】解：分三种情况： 如图①，与在的两侧时， ∵，，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒， ∴，， 要使，则需， 即， 解得：， 此时， ∴； ②旋转到与都在的右侧时， ∵，， ∴，， 要使，则需， 即， 解得：， 此时， ∴； ③旋转到与都在的左侧时， ∵，， ∴，， 要使，则需， 即， 解得：， 此时， ∵， ∴此情况不存在； 综上所述，当时间的值为秒或秒时，与平行． 故答案为：秒或秒． 9．（2025七年级·全国·专题练习）如图，直线，，的角平分线交于点P． (1)与相等吗？请说明理由． (2)若，求的度数． (3)点Q为射线上一点，连接，．若，且，求的度数． 【答案】(1)与相等，理由见解析 (2) (3)或 【详解】（1）解：与相等，理由如下： ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴； （3）解：设， ∵， ∴， ∵点Q为射线上一点， ∴有以下两种情况： ①当点Q在线段上时，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即； ②当点Q在线段的延长线上时， 过点Q作交的延长线于R，如图2所示： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴， 综上所述：的度数为或． 10．（23-24七年级·安徽滁州·期末）如图1，，过点作，可得．利用平行线的性质，可得：与，之间的数量关系是 　 　， 　 　． 利用上面的发现，解决下列问题： （1）如图2，，点是和平分线的交点，，求的度数； （2）如图3，，平分，，平分，若比大，则的度数是 　 　． 【答案】，；（1）；（2）． 【详解】解：与，之间的数量关系是：． 理由如下： ，， ， ，， ， 即：； ，理由如下： ， ，， ， 即：， 故答案为：，； （2）平分，平分， 设，， ，， 由（1）的结论得： ， ， 又， ， ， ； （3）设， 平分， ， ， ， 由（1）的结论得： ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， 比大， ， 即：， 解得：， ． 故答案为：． 11．（23-24七年级·北京海淀·期中）已知，，点C在上方，连接． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点C作交的延长线于点F，写出和之间的数量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：过点C作，如图1， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由： 过点C作，如图， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （3）解：延长交于点Q，过点G作，如图3， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 由（2）可得：， ∴， 即． 12．（24-25七年级·云南昭通·阶段练习）【感知】（1）如图①，，求的度数． 小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程． 解：如图①，过点P作， 【探究】（2）如图②，，求的度数； 【应用】（3）如图③，在以上【探究】条件下，的平分线和的平分线交于点G，求的度数． （4）已知直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上（点C在点D的左侧），连接，的平分线与的平分线所在的直线交于点E，设，请画出图形并求出的度数（用含的式子表示）． 【答案】（1）；推理过程见解析；（2）；（3）；（4）的度数为或或或或． 【详解】解：（1）如图①所示，过点P作， （ 两直线平行，内错角相等）， ， （平行于同一直线的两条直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ， ，即； （2）如图②，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴； （3）如图③所示， 是的平分线，是的平分线， ， ， 过点G作， （两直线平行，内错角相等）． （已知）， （平行于同一条直线的两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， ； （4）当点A在B左侧时，如图，过点E作，则， ， 平分平分， ， ， ． 当点A在B右侧时，点E在上方时，如图，过点E作，则， ， 平分平分， ， ， ． 当点A在B右侧时，点E在和外时，点E在下方时， 同理可求． 当点A在B右侧时，点E在和内时， 过点E作，则， ， 平分平分， ， ， ， ，或， 综上，的度数为或或或或． 13．（24-25七年级·广东佛山·阶段练习）阅读理解：如图，已知点是外一点，连接，．求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程． 解：过点作， ∴______，______． ∵． ∴． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用： （2）如图，已知，求的度数． 深化拓展： （3）如图3，已知，点在点的右侧，，平分，点是直线上的一个动点（不与点重合），，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间．若，请求出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】（1），；（2） （3）或 【详解】解：（1）过点作， ∴，， ∵． ∴． 故答案为：，； （2）如图2，过作， ， ， ， ， ， ，即 （3）如图3，当在左侧时，过点作， ， ， ，， 平分，平分，，， ，， ； 如图4，当在右侧时，过点作， 平分，平分，，， ，， ， ， ，， ． 综上，的度数为或． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第7章 相交线与平行线单元总复习（9大压轴题型） 【相交线2大题型+平行线7大题型】 题型一：相交线中与角平分线有关的计算 1．（23-24七年级·湖北恩施·期末）若直线和直线相交于点，为内部的射线，平分，平分． (1)若，求和的度数？ (2)若是任意角，求的度数？ (3)请猜想，度数会改变吗？若改变，请说明理由；若不改变，则度数是多少？ 2．（2025七年级·全国·专题练习）如图，直线、相交于点，过点作． (1)如图1，求证：； (2)如图2，将射线沿着直线翻折得到射线，即，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作，当时，求的度数． 3．（24-25七年级·贵州贵阳·期末）将三角板的直角顶点O放置在直线上． (1)若按图1的方式摆放，且，射线平分，则________． (2)如图2，，将三角尺绕点O按顺时针方向旋转一个角度（即，）． ①当平分由，，其中两条射线组成的角时，求满足要求的所有的值． ②在旋转过程中是否存在？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由． 4．（24-25七年级·河南驻马店·期末）如图，是的平分线． (1)当时，求的度数； (2)在（1）的条件下，过点作直线，且，求的度数； (3)当时，过点作直线，且，直接写出的度数． 5．（24-25七年级·四川资阳·期末）如图，于点，射线，的方向如各图所示，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，射线平分．若，求，的度数； (3)如图3，射线平分，若，用含的代数式表示，的度数． 6．已知与的平分线交于点． ①如图1，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； ②如图2，试探究，与之间的数量关系，并说明理由； ③如图3，若，的平分线交于点，则，与之间有怎样的数量关系？ 7．图1，线段、相交于点，连接、，我们把形如图1的图形称之为“8”字形．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、．试解答下列问题： (1)在图1中，请直接写出、、、之间的数量关系：___________； (2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：___________个； (3)图2中，当度，度时，求的度数． (4)图2中和为任意角时，其他条件不变，试问与、之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）． 8．直线与相互垂直，垂足为点O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A、点B均不与点O重合 (1)如图①，平分，平分，若，求的度数 (2)如图②，平分，平分，的反向延长线交于点D． ①若，则 度（直接写出结果，不需说理） ②点，在运动过程中，是否发生变化，若不变，试求的度数；若变化，请说明变化规律 9（23-24七年级·广东佛山·期末）（1）①如图1所示，点O是直线上一点，平分，平分，则______º； ②如图2所示，射线在内部，且，平分，平分，则______º； （2）如图3所示，射线在内部，平分，平分．根据（1）的结果，请写出你发现的结论并说明理由； （3）若，射线在的外部，平分，平分，求的度数．（均指小于平角的角） 题型二：相交线中探究角度之间的关系 1．（23-24七年级·安徽蚌埠·期中）如图①，已知线段、相交于点O，连接、，我们把这种图形称之为“8字型”，试解答下列问题：    (1)在图①中写出、、、之间的等量关系为________． (2)如图②，和的平分线和相交于点P，并与、分别交于点M、N． ①若，，求的度数； ②探究与、之间有何等量关系，并说明理由． 2．已知，． (1)如图1，若，的度数是______； (2)如图2，若，的度数是______； (3)根据（1）（2）结果猜想与有怎样的关系？并根据图1说明理由； (4)如图2，若，则的度数是______，的度数是______． 3．（24-25七年级·河北廊坊·期末）如图1，为直线上一点，过点在直线的下方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的上方． (1)将图1中的三角板以每秒的速度绕点顺时针旋转（始终保持在直线的上方），在旋转的过程中，第秒时，恰好与在同一直线上，请直接写出的值． (2)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图2所示的位置，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数． (3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转到图3的位置，使在的内部，请探究与的数量关系，并说明理由． 4．如图①，点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，边在射线上，边在直线的下方． (1) 将图①中的三角板绕点O逆时针旋转至图②的位置，使边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将图①中的三角板绕点O顺时针旋转至图③的位置，使在的内部，请探究与之间的数量关系； (3)将图①中的三角板绕点O以每秒的速度顺时针旋转一周．在旋转的过程中，第t秒时，直线恰好平分锐角，则t的值为 5．（24-25八年级·山东枣庄·期中）如图，是等边△ABC的高，，点在射线上运动，将一块三角板角的顶点放在点处，让其一边经过点，另一边与射线交于点（在的下方），连接． (1)试判断的形状，并证明你的结论； (2)连接，求线段的最小值； (3)在点的运动过程中，请你直接写出与之间的关系． 6．已知：是直线上的一点，，平分． (1)如图1若．求的度数； (2)在图1中，若，直接写出的度数（用含的代数式表示）； (3)将图1中的绕顶点顺时针转至图2的位置，探究和的度数之间的关系．写出你的结论，并说明理由． 题型三：相交线和平行线中多结论问题（选填压轴） 1．（23-24七年级·广东江门·期中）如图，，F为上一点，，过点F作于点G，且平分，．有下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级·全国·单元测试）如图，已知（其中），添加以下一个条件：①；②；③；④．能判定的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25七年级·山东滨州·阶段练习）将一副三角板（，，）如图放置，则下列结论： ①若，则； ②若，则 ③若，则； ④若，则； ⑤． 其中正确的有（　　） A．②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③④⑤ D．①②③④ 4．如图，平分平分，且．有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25七年级·四川宜宾·期末）如图，，平分，平分，点、、共线，点、、、共线，，，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 6．如图，平分，点E，F分别在和上，平分交于点．给出下列结论：①；②；③；④．其中所有正确的序号是（） A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 7．（24-25七年级·吉林长春·开学考试）如图，，平分，，以下结论：①；②；③；④；其中正确结论是 ． 8．（24-25七年级·陕西安康·阶段练习）如图，，平分，平分，点、、在一条直线上，点、、、在一条直线上，，则下列结论：①；②；③，其中所有正确结论的序号是 ． 9．（24-25七年级·江苏泰州·阶段练习）如图，，为上一点，且垂足为，，平分，且，则下列结论：；平分；；；其中正确的有 ．（请填写序号） 10．（22-23七年级·广东深圳·期中）如图，，平分，，，，则下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①②④ 11．（24-25七年级·江西宜春·期中）如图，平分交于M，，F，D分别是延长线上的点，和的平分线交于点N．下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型四：平行线中“拐点”模型------一个拐点 1．（24-25七年级·山西太原·阶段练习）将一副三角板按如图所示方式摆放在一张对边平行的长方形纸片上，其中含角的直角三角板的斜边与纸片一边贴合，含角的直角三角板的一个顶点与含角的直角三角板的直角顶点重合，且两个直角三角板的一条直角边贴合，而含角的直角三角板的另一个顶点恰好落在纸片的另一边上，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级·四川泸州·阶段练习）空竹在中国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．2006年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．小洛在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，，则之间的关系是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级·河南周口·阶段练习）如图，，，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（   ） A． B． C． D． 6．如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级·甘肃兰州·期中）[问题情境] 在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线 ，点分别为直线上的点，点是平面内任意一点，连接． [探索发现] （1）当时，求证：； [拓展探究] （2）如图2点分别是直线上的点，且 ，直线，交于点，“智胜小组”探究 与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由． 8．（24-25七年级·河南信阳·阶段练习）【问题解决】（1）在一次数学课上，李老师让同学们独立完成一道习题： 如图1，如果，那么（   ） A．    B．    C．    D． 【类比探究】（2）在同学们解答完这道题后，李老师对这道题进行了改编：如图2，不变，当点移动到点的位置时，请写出之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）善于思考的南南同学也对这道题进行了改编：如图3，将图1的部分与图2重合，不变，当分别平分和时，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 9．（24-25七年级·安徽阜阳·阶段练习）综合与实践． 【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知直线，，，． （1）若，求的度数； 【深入探究】 （2）如图2，创新小组的同学把直线向上平移，发现，请你进行证明； 【拓展应用】 （3）缜密小组将图形变化为如图3所示的形式，此时平分，他们发现，请你进行证明． 10．（23-24七年级·贵州六盘水·期中）在一次综合与实践课上，李老师让同学们以“两条平行线、和一块含角的直角三角尺的不同方式摆放”为主题开展数学探究活动． 【初步体验】 （1）如图①，三角尺的角的顶点在上．，则的度数为_____． 【基础巩固】 （2）如图②，彬彬把三角尺的两个锐角的顶点，分别放在和上，请你探索与之间的数量关系，并说明理由． 【强化应用】 （3）如图③，强强把三角尺的直角顶点放在上，角的顶点在上．若，，请写出与的数量关系（用含，的式子表示），并说明理由． 11．（23-24七年级·甘肃兰州·期中）探究题： (1)如图1，若，则，你能说明理由吗？ (2)若将点E移至图2的位置，此时、、之间有什么关系？并证明 12．（23-24七年级·河南南阳·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”． 如图1，已知点A是外一点，连接，．求的度数． 解：过点A作， ∴_____，______， 又∵． ∴______． 【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程． 【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 【方法运用】（2）如图2，已知，、交于点E，，求的度数． （3）如图3，若，点P在，外部，请直接写出，，之间的关系． 题型五：平行线中“拐点”模型------两个拐点 1．（24-25七年级·河北廊坊·阶段练习）如图，两条公路和互相平行，之间有三段公路连接，且，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级·浙江温州·阶段练习）如图，，若，则等于（  ） A．50 B． C． D． 3．（24-25七年级·河南信阳·阶段练习）如图，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级·河北保定·期末）如图，，，，则与的数量关系是（   ） A． B． C． D． 5．如图，，，则，和的关系是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级·四川眉山·期末）已知直线，点在直线之间，连接．下面结论正确的个数为（   ） ①如图1，若，，则； ②如图2，点在之间，当，，则； ③如图2，点在之间，当，，则； ④如图3，的角平分线交于，且，点在直线之间，连接，，，，则和的关系为（用含的式子表示，题中的角均指大于且小于的角）． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（24-25七年级·天津滨海新·阶段练习）已知． （1）如图1，当时，则的度数为 ； （2）如图2，判断，，之间的数量关系为 ； （3）如图3，设，，．请直接写出的大小 （用含α、β、γ的式子表示）． 8．（23-24七年级·贵州六盘水·期中）如图，已知，和分别平分和，若，则 ． 9．（22-23七年级·江苏盐城·阶段练习）如图 1.已知 ， 、 分别平分、 ． (1) ； (2)如图②， 将 改为折线 ，、 分别平分、，其余条件不变，若 ， 求 的度数；并进一步猜想 与 之间的数量关系； (3)如图 3，若， ，、 分别平分、，那么 是多少度． 10．（1）对于图1，已知，直接写出与和之间的数量关系为____________； （2）如图2，平分平分，且．试说明：； （3）拓展与应用：在（2）的条件下，作射线和交于点F．已知．请判断与之间的数量关系，并说明理由．    题型六：平行线中“拐点”模型------多个拐点 1．（24-25七年级·重庆长寿·阶段练习）观察图1~图4． (1)如图1，若，则、、的关系为________，若将点移至图2所示位置，此时、、的关系为________，请选择其中一个说明理由． (2)若将点移至图3所示位置，、、之间的关系为________（直接写出结论） (3)在图4中，，、、、、的关系为________（直接写出结论） 2．（24-25七年级·河南濮阳·阶段练习）如图，，定点，分别在直线，上，在平行线、之间有一动点，满足． (1)试问，，满足怎样的数量关系？ 解：由于点是平行线、之间有一动点，因此需要对点的位置进行分类讨论；如图1，当点在的左侧时，，，满足数量关系为________，如图2，当点在的右侧时，，，满足数量关系为________． (2)如图3，，分别平分和，且点在左侧． ①若，则________°． ②猜想与的数量关系，并说明理由． ③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果） 3．（24-25七年级·湖南长沙·阶段练习）已知，，点在上，点在上，点为一动点． (1)如图1，当在与之间时，点在上，连接、、，若，求证：． (2)如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且有． ①当，时，求的度数； ②当平分，，交于点时，若，求的值． (3)如图3，当H在上方，交于点，的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点，的角平分线和的角平分线相交于点，依此类推，请论证与之间的数量关系，并直接写出与的数量关系（用含n的式子表示） 题型七：平行线中“铅笔头”模型 1．如图，，则（    ） A．度 B．度 C．度 D．度 2．（23-24七年级·贵州安顺·阶段练习）如图，已知ABCD，易得∠1+∠2+∠3=360°，∠1+∠2+∠3+∠4 =540°，根据以上的规律求∠1+∠2+∠3+…+∠n = °． 3．已知，解答下列问题： (1)如图①， ； (2)如图②，求的度数； (3)如图③，求的度数； (4)如图④，根据以上结论，试探究： ． (5) 4．（2025七年级·全国·专题练习）（1）如图①，，则______； 如图②，，则______； 如图③，，则______． 利用图②，说明你所填写的结论的正确性； （2）如图④，，则______； （3）利用上述结论解决问题：如图⑤，已知，和的平分线相交于点，用含的代数式表示的度数． 5．（23-24七年级·江苏南京·期中）从特殊到一般是数学研究的常用方法，有助于我们发现规律，探索问题的解．    (1)如图1，，点E为、之间的一点．求证：． (2)如图2，，点E、F、G、H为、之间的四点．则______． (3)如图3，，则______． 题型八：平行线中“猪蹄”模型 1．（24-25七年级·上海闵行·阶段练习）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形（如图1），我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图（1），，为，之间一点，连接，，得到，试探究与，之间的数量关系，并说明理由． (2)如图（2），若在之间，，平分，，求与的数量关系； (3)如图（3），射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，同时射线从开始，绕点以每秒的速度逆时针旋转，直线与直线交于，若直线与直线相交所夹的锐角为，直接写出运动时间秒的值． 2．（23-24七年级·江西景德镇·期中）【问题背景】同学们，我们一起观察小猪的猪蹄，你会发现一个我们熟悉的几何图形，我们就把这个图形形象的称为“猪蹄模型”，猪蹄模型中蕴含着角的数量关系． (1)如图①，，E为，之间一点，连接、，得到．试探究与、之间的数量关系，并说明理由． (2)【类比探究】请你利用上述“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的问题：如图②，若，点E、F为直线、之间两个点，连接、、，，求的值．并说明理由． (3)【拓展延伸】如图③，如图，，平分，平分，、的反向延长线相交于点H，，求的值．写出必要的求解过程． 3．（2025七年级·全国·专题练习）推理能力【模型发现】某校七年级数学兴趣小组的同学在活动中发现：如图①所示的几何图形很像小猪的猪蹄，于是大家就把这个图形形象地称为“猪蹄模型”．“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． 【结论】（1）如图1，，M是、之间的一点，连接，．试说明：； 【运用】（2）如图2，，M，N是、之间的两点，且．请你利用（1）中“猪蹄模型”的结论，求出、、三者之间的数量关系，并说明理由． 4．（2025七年级·全国·专题练习）【模型发现】数学兴趣小组的同学在活动中发现：图①中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． （1）如图①，，M是之间的一点，连接，若，求的度数； 【灵活运用】 （2）如图②，是之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图③，均是之间的点，如果，直接写出的度数． 题型九：平行线中探究问题 1．（24-25七年级·江苏连云港·期末）【习题再现】（1）苏科版初中数学教材七上第194第10题：如图1，，点在，之间．写出，，之间的数量关系，并说明理由； 【迁移思考】（2）小明在完成第10题的探究后，对该页的第5题又作了探究与变式思考： ①如图2，在长方体盒底部有一面平面镜，点处有一个光源，光线的入射角等于反射角，法线与平面镜垂直，即，垂足为，入射光线经过镜面发射后，恰好经过点．小明认为，图中，请帮小明说明理由； ②如图3，在长方体盒子里放置4块平面镜，其中，若光线从上的处射出，在平面镜上经点反射后，到达上的点，其传播路径为请判断与的数量关系，并说明理由． 2．（24-25七年级·全国·课后作业）综合与探究： 已知直线，点A是a上的动点，点B在a上（点A不与点B重合），点C、D在b上，且点C在点D左侧，的平分线相交于点E． (1)如图1所示，若点A在点B的左侧，，过点E作，求的度数； (2)如图2所示，若点A在点B的左侧，，则___________（用含、的式子表示）； (3)如图3所示，若点A在点B的右侧，，求的度数（用含的式子表示）． 3．（24-25七年级·重庆九龙坡·阶段练习）如图，已知直线与直线相交于点，于点，且，为射线上一点，过点作的平行线，与直线相交于点，直线绕点以每秒的速度顺时针方向旋转，旋转所得的直线与直线相交于点，设旋转时间为． (1)求的度数； (2)为延长线上一点，分别为，的三等分线，且，． ①如图，当时，探究与的数量关系； ②当时，以上数量关系是否仍然成立？若成立，请写出推理过程，若不成立，请直接写出此时与的数量关系． (3)如图，作的角平分线，与的角平分线交于点．当直线开始旋转的同时，三角形也开始绕点以每秒的速度逆时针方向旋转，得到三角形，当停止旋转时，三角形也同时停止旋转，在旋转过程中，直接写出当直线与三角形的某一边所在直线垂直时的值． 4．【感知】如图，，求的度数． 小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程． 解：如图①所示，过点P作， （ ）， ， （平行于同一直线的两条直线平行）， ∴ （两直线平行，同旁内角互补）， ， ， ，即． 【探究】如图②所示，的平分线和的平分线交于点G，求的度数． 【应用】如图③所示，已知直线，点在直线a上，点在直线b上（点C在点D的左侧），连接作平分平分，且所在的直线交于点E，设， （）请画出图形并求出的度数（用含，的式子表示）． 5．（24-25七年级·陕西榆林·阶段练习）如图，点在射线上，点、为射线上两个动点，连接，，，，满足平分． 【初步探究】（1）如图1，当点在右侧时，求证：； 【深入探究】（2）如图2，当点在左侧时，过点作，交于点，探究、之间的关系并说明理由； 【衍生拓展】（3）如图3，当点在左侧时，为延长线上一点，平分，交手点，过点作，交于点，连接，若，求的度数． 6．（24-25七年级·福建泉州·期末）已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． 7．（24-25八年级·贵州贵阳·期末）小星在学习完《平行线的证明》一章后，想利用一副三角板探究平行线的相关问题．于是他将两块三角板的直角顶点C重叠，固定，将绕着点C在平面内转动．其中∠B=90°，∠D=∠E=45°，假设这一副三角板的直角边．图中所有点均在一个平面内． 【问题解决】 （1）如图①，当点D、E均在直线的上方，且时，求证：； 【问题探究】 （2）如图②，当点D在直线的上方，点E在直线的下方，且时，设的度数为，求的值； 【拓展延伸】 （3）设度数为，当等于多少时， ．请画出图形并完成相应解答． 1．（24-25七年级·河北唐山·阶段练习）综合与实践课上，老师让同学们以“平行中的数量关系”为主题开展数学活动．已知，为的平分线．为的平分线，和相交于点．若，，请写出和间的数量关系（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级·全国·专题练习）如图，已知直线，直线分别交直线，于点E，F，平分交于点M，G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H．设．有下列四个式子：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④ 3．（24-25八年级·安徽芜湖·期中）如图，直线，垂足为，点是射线上一点，，以为边在右侧作，且满足，若点是射线上的一个动点（不与点重合），连接，作的两个外角平分线交于点，在点在运动过程中，当线段取最小值时，的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（2025七年级·浙江·专题练习）如图，两条平行直线，被直线所截，点位于两平行线之间，且在直线右侧，点是上一点，位于点右侧．小明进行了如下操作：连接，，在平分线上取一点，过点作，交直线于点．记，，，则 （用含，的代数式表示）． 5．（2024七年级·全国·专题练习）已知直线，相交于点，平分，射线于点，且，则 ． 6．（24-25八年级·山西晋城·期中）如图，在△ABC中，，分别是，上的点，，，且，，交于点．若，则的度数是 ． 7．（23-24七年级·安徽合肥·期末）将一个三角板如图所示摆放，直线与直线相交于点，，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当 时，与三角板的直角边平行． 8．（24-25七年级·湖北省直辖县级单位·阶段练习）如图，直线上有两点、，分别引两条射线、，，与在直线异侧．若，射线、分别绕点，点以度秒和度秒的速度同时顺时针转动，设时间为秒，在射线转动一周的时间内，当时间的值为 时，与平行． 9．（2025七年级·全国·专题练习）如图，直线，，的角平分线交于点P． (1)与相等吗？请说明理由． (2)若，求的度数． (3)点Q为射线上一点，连接，．若，且，求的度数． 10．（23-24七年级·安徽滁州·期末）如图1，，过点作，可得．利用平行线的性质，可得：与，之间的数量关系是 　 　， 　 　． 利用上面的发现，解决下列问题： （1）如图2，，点是和平分线的交点，，求的度数； （2）如图3，，平分，，平分，若比大，则的度数是 　 　． 11．（23-24七年级·北京海淀·期中）已知，，点C在上方，连接． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，过点C作交的延长线于点F，写出和之间的数量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点G，连接并延长至点H，若平分，求的值． 12．（24-25七年级·云南昭通·阶段练习）【感知】（1）如图①，，求的度数． 小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程． 解：如图①，过点P作， 【探究】（2）如图②，，求的度数； 【应用】（3）如图③，在以上【探究】条件下，的平分线和的平分线交于点G，求的度数． （4）已知直线，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上（点C在点D的左侧），连接，的平分线与的平分线所在的直线交于点E，设，请画出图形并求出的度数（用含的式子表示）． 13．（24-25七年级·广东佛山·阶段练习）阅读理解：如图，已知点是外一点，连接，．求的度数． （1）阅读并补充下面推理过程． 解：过点作， ∴______，______． ∵． ∴． 解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决． 方法运用： （2）如图，已知，求的度数． 深化拓展： （3）如图3，已知，点在点的右侧，，平分，点是直线上的一个动点（不与点重合），，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间．若，请求出的度数．（用含的代数式表示） 学科网（北京）股份有限公司 $$