西南名校联盟2025届“3+3+3”高考备考诊断性联考（二）数学试卷

西南名校联盟2025届“3+3+3”高考备考诊断性联考（二） 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，分别为两个实根，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 3. 设在中，点D为边上一点，且，点E为边上的中点. 若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 某班从5名同学中选3名同学分别参加数学、物理和化学知识竞答，已知甲同学不能参加物理和化学知识竞答，其他同学都能参加这三科知识竞答，则不同的安排有（ ） A. 42种 B. 36种 C. 6种 D. 12种 5. 已知“p：”是“q：与表示的曲线有两个不同交点”的（ ）条件. A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 四棱锥的底面是边长为2的正方形，且，设该四棱锥的外接球球心与内切球球心分别为，，则的长为（ ） A. 0 B. C. D. 7. 莫比乌斯（Mobius）环是最具有代表性的单侧曲面之一，它由德国数学家莫比乌斯于1858年发现. 就是把一根纸条扭转180°后，两头再粘接起来做成的纸带圈.现将一个长为30cm、宽为4cm的矩形纸条粘合两端（粘合两端重叠部分忽略不计），形成一个莫比乌斯环，如图： 下列关于莫比乌斯环说法正确的是（ ） A. 一只小虫在不跨过它的边缘情况下沿着表面至少走30cm就能回到原处 B. 如果把它沿中线剪开（如图白色线的部分），曲面被分成独立的两部分 C. 如果把它沿中线剪开（如图白色线的部分），最终得到纸带的边缘周长为120cm D. 一只小虫在不跨过它的边缘情况下不能爬遍整个曲面 8. 函数（且在上单调，且，若在上恰有2个零点，则的取值最准确的范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法正确的是（ ） A. 一组样本数据，，…，的平均数等于，，…，的平均数 B. 样本数据1，1，1，0，2的标准差大于方差 C. 若随机变量服从二项分布，则 D. 若随机变量服从正态分布，且，则 10. 函数满足，且，，下列说法正确的有（ ） A. 为的一个周期 B. 为奇函数 C. D. 11. 设函数，则（ ） A. 若，则为的唯一的极小值点 B. 函数不一定有最小值 C. 若方程恰有个实数根，则 D. 若对恒成立，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知双曲线的左、右焦点分别为，. 点A，点B是双曲线上两点，点C是y轴上一点，O为坐标原点. 若四边形AOBC是正方形，且，则双曲线的离心率e为________. 13. 数列的前n项和为，满足，，则__________. 14. ，，则的取值为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有． （1）求角A； （2）若的面积为，，求的周长. 16. 已知函数. （1）当时，求证：最大值小于； （2）若有两个零点，求实数k的取值范围. 17. 中心在原点，左、右焦点分别为，的椭圆的离心率，椭圆上的动点（不与顶点重合），满足当时，到左焦点的距离为3. （1）求椭圆的标准方程； （2）当的最大值小于5时，过点作椭圆的切线，与轴交于，与轴交于，求的最小值. 18. 一只猫和一只老鼠在两个房间内游走.每经过1分钟，猫和老鼠都可以选择进行一次移动. 猫从当前房间移动到另一房间的概率为0.6，留在该房间的概率为0.4；若上一分钟猫和老鼠都在一个房间，那么下一分钟老鼠必定移动到另一个房间，否则老鼠从当前房间移动到另一房间或留在当前房间的概率均为0.5，已知在第0分钟时，猫在0号房间，老鼠在1号房间.设在第n分钟时，猫和老鼠在0号房间的概率分别为，. （1）求第1分钟时，猫和老鼠所在房间号之和为1的概率； （2）求证：，均为等比数列； （3）在第几分钟时，老鼠在0号房间的概率最大？ 19. 如图，半径为2的半球面O，底面设为，AB是半球面O的直径，点C在半球面上，且，平面平面. 过点C的平面与半球面O相交形成圆S，CD为圆S的一条直径，且D在平面ABC上，且平面与的夹角为，点C，D均在平面的同侧，记，. （1）求证：平面； （2）点P在圆S上，设，. 且，Q在平面上. （i）用表示PQ的长； （ii）当DQ与平面ABC所成角最大时，求. 西南名校联盟2025届“3+3+3”高考备考诊断性联考（二） 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】10100 【14题答案】 【答案】1 四、解答题（本大题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） 当时，， 先证明：，令，其中， 则， 当时， ， 所以 在上单调递增，即， 则不等式在上恒成立， 再证明：，令，其中， 则， 则当时， ，当时， ， 所以在上递增，在上递减， 即， 则不等式在上恒成立， 所以有，证毕； （2） 【17题答案】 【答案】（1）或； （2）. 【18题答案】 【答案】（1）0.5； （2） 依题意，，， 当时，猫在第分钟时位于0号房间包含两种情况： 上一分钟在0号房间，继续保持在0号房间的概率为； 上一分钟在1号房间，转移到0号房间的概率为， 由全概率公式，得，则， 而，因此数列是首项为，公比为的等比数列， ，满足上式也满足题意，则， 老鼠第分钟在0号房间包含3种情况： 上一分钟猫和老鼠都在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为， 上一分钟猫在0号房间，老鼠在1号房间，老鼠转移到0号房间的概率为， 上一分钟猫在1号房间，老鼠在0号房间，老鼠仍在0号房间的概率为， 由全概率公式，得， 即，则， 即，而， 因此数列是首为，公比为的等比数列， ，而满足上式也满足题意，则， 又， 所以为等比数列. （3）第2分钟. 【19题答案】 【答案】（1） 因为，，， 又，则. 记为弧的中点，则， 又因为平面平面，且平面，平面平面， 则，又因为，则. 又根据题意知球心为，截面圆圆心为，连接， 则，，则， 又平面，平面，且， 则平面，又平面，则， 所以为平面与的夹角，即， 又，所以，已知，又为中点， 所以，则，即， 又平面平面，平面，平面平面， 所以平面． （2）（i）；（ii） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $