精品解析：北京市顺义牛栏山第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷

2025北京牛栏山一中高一3月月考 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共40分. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，最小正周期为且是偶函数是（ ） A. B. C. D. 3. 将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，点N是BC中点，点M是AN的中点，设，，那么（ ） A. B. C. D. 5. 函数(其中，，)的图像的一部分如图所示，则此函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的图像（ ） A. 关于原点对称 B. 关于y轴对称 C. 关于直线对称 D. 关于点对称 7. 已知向量，不共线，且向量，，若与反向，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知向量为非零向量，则“”是“存在非零实数m，n，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 军事上通常用密位制来度量角．狙击手为了精确命中目标，需要调整射击角度，而狙击枪上的角度单位为密位制．在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如1个平角，1个周角．已知函数，将图象上所有点横坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于轴对称，则的最小值用密位制可以表示为（ ） A. B. C. D. 10. 在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，其中，，则所有点构成的图形面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11. ______. 12. 已知平面向量，，且，则实数______． 13. 已知非零向量夹角为，且.则等于_________. 14. 设是单位向量，且，则最小值为__________． 15. 已知O，M，N，P，Q在同一平面内，，且与的夹角为，则的最大值为_______. 三、解答题：本题共6小题，共85分. 16. 已知平面向量，.从下列条件①，条件②中选出一个作为已知条件，解答下列问题： （1）求的值； （2）求向量夹角的余弦值. 条件①：；条件②：. 注：如果选择条件①和条件②两个条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 已知函数()且函数相邻两个对称轴之间距离为： （1）求的解析式及最小正周期； （2）当时，对于恒成立，求的取值范围． 18. 已知，． （1）求及的值； （2）求的值． 19. 如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距地面最近处. （1）已知在时点距离地面的高度为.求时，点距离地面的高度； （2）当离地面m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点处有多少时间可以看到公园的全貌. 20. 已知函数，（其中，）的最小正周期为，它的一个对称中心为. （1）求函数的解析式； （2）当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围； （3）若方程在上的解为、，求. 21. 平面直角坐标系中，已知一列点：，，，，，，其中，向量. （1）求和的值； （2）证明：对任意的正整数，都有； （3）若正整数满足，则下列结论中正确的有___________.（填入所有正确选项的序号） ①；②；③. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025北京牛栏山一中高一3月月考 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共40分. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式，可得答案. 【详解】. 故选：D. 2. 下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数最小正周期公式和函数奇偶性对选项一一判断即可得出答案. 【详解】对于A，的最小正周期为：，故A不正确； 对于B，的最小正周期为：， 的定义域为，关于原点对称，令， 则，所以为奇函数，故B不正确； 对于C，的最小正周期为：， 令的定义域为关于原点对称， 则，所以为偶函数，故C正确； 对于D，的最小正周期为：， 的定义域为，关于原点对称，令， 则，所以为奇函数，故D不正确. 故选：C. 3. 将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据周期变换和平移变换的原则得出函数的解析式，再将代入即可. 【详解】将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到，再向右平移个单位长度，得到函数，所以，. 故选：B. 4. 如图，在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，设，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】根据已知条件结合平面向量基本定理求解即可. 【详解】因为在中，点N是BC的中点，点M是AN的中点，，， 所以 . 故选：A 5. 函数(其中，，)的图像的一部分如图所示，则此函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象可以求出最大值，结合函数的零点，根据正弦型函数的最小正周期公式，结合特殊值法进行求解即可. 【详解】由函数图象可知函数的最大值为，所以， 由函数图象可知函数的最小正周期为， 因为，所以，所以， 由图象可知： ，即， 因为， 所以令，所以，因此， 故选：C 6. 函数的图像（ ） A. 关于原点对称 B. 关于y轴对称 C. 关于直线对称 D. 关于点对称 【答案】B 【解析】 【分析】对函数化简后，对于AB，通过判断函数的奇偶性分析判断，对于C，求出对称轴进行判断，对于D，求出函数的对称中心进行判断. 【详解】的定义域为， ， 对于AB，因为，所以为偶函数， 所以的图象关于轴对称，所以A错误，B正确； 对于C，因为的对称轴为直线，所以C错误； 对于D，因为的对称中心为，所以D错误. 故选：B 7. 已知向量，不共线，且向量，，若与反向，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据共线定理有，再由平面向量基本定理列方程组可得. 【详解】∵向量，不共线，且向量，，与反向， ∴存在实数使， 于是． 整理得． 由于向量，不共线，所以有， 整理得， 解得或． 又因为，所以， 故． 故选：B． 8. 已知向量为非零向量，则“”是“存在非零实数m，n，使得”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知分别转化为同向共线及共线，再结合充分不必要条件定义判断即可. 【详解】向量为非零向量，则“”成立即得向量同向共线； “存在非零实数m，n，使得”成立即得向量共线； 向量同向共线可以得出共线，但是共线不一定是同向共线， 则“”是“存在非零实数m，n，使得”的充分不必要条件. 故选：A. 9. 军事上通常用密位制来度量角．狙击手为了精确命中目标，需要调整射击角度，而狙击枪上的角度单位为密位制．在密位制中，采用四个数字来记角的密位，且在百位数字与十位数字之间加一条短线，单位名称可以省去，如1个平角，1个周角．已知函数，将图象上所有点横坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象关于轴对称，则的最小值用密位制可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简，根据平移得到的解析式，利用的图象关于轴对称可得的最小值，根据密位制的定义即可得到结果. 【详解】由题意得，， 则， 因为的图象关于轴对称，所以， 则， 因为，所以当时，， 故的最小值用密位制可以表示为25-00． 故选：A. 10. 在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，其中，，则所有点构成的图形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，求出，从而可得出关于得二元一次不等式组，作出图象，结合图象，从而可得出答案. 【详解】设，则， 所以，所以， 由，， 得，即， 与交于， 与交于， 则所有点构成图形如图所示（阴影部分）， 则面积为. 故选：A. 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11. ______. 【答案】 【解析】 【分析】 利用两角差的正弦公式即可求解. 【详解】， 故答案为：. 12. 已知平面向量，，且，则实数______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据向量平行的条件求解即可. 【详解】因为，，， 所以， 解得， 故答案为：2 13. 已知非零向量夹角为，且.则等于_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数量积以及向量模的运算方法即可求解. 【详解】解：， 又， 即， 由题意知， 解得：. 故答案为：. 14. 设是单位向量，且，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设与的夹角为，根据已知，利用向量的数量积的运算将化为关于的三角函数表达式，进而利用三角函数的性质求得最小值. 【详解】，且均为单位向量， ∴， ||=1，, ∴. 设与的夹角为θ， 则. 故的最小值为 故答案为： 15. 已知O，M，N，P，Q在同一平面内，，且与的夹角为，则的最大值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量减法化简，再应用与的夹角为得出，最后应用向量方向得出向量模长最大值. 【详解】因为，且与的夹角为， 则， 则. 当与同向时取得最大值 故答案为：. 三、解答题：本题共6小题，共85分. 16. 已知平面向量，.从下列条件①，条件②中选出一个作为已知条件，解答下列问题： （1）求的值； （2）求向量夹角的余弦值. 条件①：；条件②：. 注：如果选择条件①和条件②两个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）若选①：由已知求得，再由向量垂直的坐标表示可求得答案； 若选②，由已知得，再由向量的模的计算公式可求得答案； （2）由（1）得，由向量夹角的坐标计算公式可求得答案. 【小问1详解】 解：若选①：因为，，所以， 又，所以，解得； 若选②，因为，，所以， 又，所以，又，解得； 【小问2详解】 解：由（1）得，所以，， 所以， 所以向量夹角余弦值为. 17. 已知函数()且函数相邻两个对称轴之间的距离为： （1）求的解析式及最小正周期； （2）当时，对于恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）化简整理得，根据相邻两个对称轴之间的距离可得周期，根据周期即可得解析式； （2）将恒成立转化为，求出的最小值即可. 【小问1详解】 由已知 函数相邻两个对称轴之间的距离为， ，则 ，最小正周期为； 【小问2详解】 当时，对于恒成立等价于当时， 由得， ， ， 即. 18. 已知，． （1）求及的值； （2）求的值． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件由两角和正切公式以及二倍角公式即可求解； （2）根据已知条件，结合同角三角函数基本关系以及两角差的余弦公式即可求解. 【详解】（1）因为，所以 因为，即， 解得：或 因为，所以，所以. （2）因为，且， 解得：，， 因为，所以，， 所以，， 因为，，所以， 所以. 19. 如图，某公园摩天轮的半径为40m，圆心O距地面的高度为50m，摩天轮做匀速转动，每转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在距地面最近处. （1）已知在时点距离地面的高度为.求时，点距离地面的高度； （2）当离地面m以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点处有多少时间可以看到公园的全貌. 【答案】（1） （2）转一圈中在点处有的时间可以看到公园的全貌. 【解析】 【分析】（1）根据题意，确定的表达式，代入运算即可； （2）要求，即，解不等式即可. 【小问1详解】 依题意知，，，， 由，解得，所以， 因为，所以，又，所以， 所以， 所以， 即时点距离地面的高度为； 【小问2详解】 令，即， 解得， 即， 又， 所以转一圈中在点处有的时间可以看到公园的全貌. 20. 已知函数，（其中，）的最小正周期为，它的一个对称中心为. （1）求函数的解析式； （2）当时，方程有两个不等的实根，求实数的取值范围； （3）若方程在上的解为、，求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦型函数的周期公式可求得的值，利用正弦型函数的对称性结合的取值范围，可得出的值，由此可得出函数的解析式； （2）解法一：由可得，问题等价于与的在内的图象有两个不同的交点，数形结合可得出实数的取值范围； 解法二：由题意可知，直线与函数在上的图象有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围； （3）由正弦型函数的对称性可得出，且，利用诱导公式可求得的值. 【小问1详解】 因为函数的最小正周期为，所以， 所以，，则， 因为函数的一个对称中心为， 则，则， 因为，所以，，故. 【小问2详解】 解法一：当时，， 所以，当时，方程有两个不等的实根， 等价于当时，方程有两个不等的实根， 即与的在内的图象有两个不同的交点， 如图可知，解得，即实数的取值范围为. 解法二：由题意可知，直线与函数在上的图象有两个交点， 作与的图象， 如图，可知，解得，即实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为，则，由可得， 由图知，点与点关于直线对称，所以，， 且， 所以， . 21. 在平面直角坐标系中，已知一列点：，，，，，，其中，向量. （1）求和的值； （2）证明：对任意的正整数，都有； （3）若正整数满足，则下列结论中正确的有___________.（填入所有正确选项的序号） ①；②；③. 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3）①③ 【解析】 【分析】(1)写出向量的坐标，利用坐标进行运算； (2)用坐标表示出向量的数量积，再对数量积进行作差，比较大小； (3)对于①，用坐标表示出，再判断大小； 对于②③，用坐标表示出向量的模长，再比较大小. 【小问1详解】 ， 【小问2详解】 ， ， . 【小问3详解】 对于①，，，， ，所以，， ，所以，故①正确； 对于②，，所以，， 同理，，， 因为，所以， ，所以②错误； 对于③，， ， ， 因为，所以， 所以， 即，所以③正确. 所以正确选项的序号为：①③. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$