天津市第四十七中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

天津市第四十七中学2024—2025第二学期高二年级 第一次阶段性检测数学试卷 第I卷（共三部分;满分150分） 一、单选题（每题5分） 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. “”是“直线与直线垂直”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 定义：若函数存在个极值点，则称为n折函数．例如，函数为3折函数．已知函数，则为（ ）（参考数据：） A. 4折函数 B. 5折函数 C. 6折函数 D. 7折函数 8. 天津市第四十七中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”“雨水”“惊蛰”“春分”“清明”“谷雨”“立夏”七张知识展板放置在七个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻．且“清明”和“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式种数为（ ） A. 265 B. 320 C. 480 D. 960 9. 若曲线上存在两条切线相互垂直，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题5分） 10. 已知函数在处可导，且则的值___________． 11. 圆关于直线对称，则实数m的值__________． 12. 函数在上的最小值为_______． 13. 天津有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客每天分别从包子、麻花、炸糕、素卷圈、锅巴菜、大饼卷一切这6种美食中随机选择品尝，每天至少品尝一种且每天不重样，若三天后他品尝完这6种美食，则这三天他选择美食的不同选法种数为__________． 14. 已知函数的定义域为R，且，则不等式的解集为_________． 15. 已知函数，当时，函数的图象始终在函数图象的上方，则实数a的取值范围为_________． 三、解答题 16. 设函数. （1）当时，求的极值； （2）当时，求的单调区间； （3）若对任意及，恒有 成立，求的取值范围. 17. 如图，已知多面体，，，均垂直于平面，，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到平面的距离． 18. 设为椭圆（）上任一点，，为椭圆的左右两焦点，短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形． （1）求椭圆的离心率； （2）直线：与椭圆交于、两点，直线，，的斜率依次成等比数列，且的面积等于，求椭圆的标准方程． 19. 已知为等差数列，为等比数列，，，. （1）分别求数列和的通项公式； （2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， （i）求证； （ii）对任意的正整数，设，求数列的前项和. 20. 已知函数，. （1）当时，证明：； （2）若在单调递增，求的取值范围； （3）若且，证明：. 天津市第四十七中学2024—2025第二学期高二年级 第一次阶段性检测数学试卷 第I卷（共三部分;满分150分） 一、单选题（每题5分） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】A 二、填空题（每题5分） 【10题答案】 【答案】 【11题答案】 【答案】3 【12题答案】 【答案】## 【13题答案】 【答案】540 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 三、解答题 【16题答案】 【答案】（1）极小值为 ，无极大值； （2）当时，的递减区间为；递增区间为； 当时，在单调递减； 当时，的递减区间为，递增区间为. （3）. 【17题答案】 【答案】（1）证明:取的中点，的中点，连接，. 因为，， 所以，， 又因为，，均垂直于平面，， 所以平面， 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示： AI    则，，，，， ，，. 设平面的法向量，则， 即，令，得， 所以，所以平面； （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1）；（2）． 【19题答案】 【答案】（1），； （2）（i）， ， 所以； （ii）. 【20题答案】 【答案】（1）令，则， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 所以，即， 令，， 令，， 当时，，单调递减，， 故，单调递减，，故， 所以. （2） （3）法一：增强函数法 在（2）中取，， 由于单调递增，不妨设， 故，又，则， 即，即， 又由（1）得，令，则， 所以，即； 法二：极值点偏移 令，， 所以在单调递增，记， 要证，即证，，令， ，故单调递增， 记==0，即，， 所以， 要证，即证，即证， 即证， 即证， ， 下面证明：当时，， 即证，又因为，， 所以，当且仅当时等号成立， 由于易知单调递增，所以当且仅当时等号成立； 即证，即证， 而，当且仅当时等号成立， 取等条件相同，所以，故单调递增， 又，所以成立， 所以成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $