精品解析：江苏省泰州市姜堰区第一教研站联考2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

九年级下学期数学第一次独立作业 一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分．） 1. 下列四个数中，是负数的是（　　） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占．将0.0000007用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关．当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长，根据如图，在下列选项中指出白昼时长不足11小时的节气（　　） A. 惊蛰 B. 小满 C. 立秋 D. 大寒 5. 如图所示的飞镖游戏板是顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点后得到的，若某人向该游戏板投掷镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（　　） A. 1 B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知的边 平行于x轴，，，若在第一象限内，反比例函数的图象恰好经过C、D两点，则k的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．） 7. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 8. 因式分解：____． 9. 已知二次函数的图象上有三点，，，则的大小关系为______．（用“”连接） 10. 设是关于x的方程的两个根，且，则_______． 11. 为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知____种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）． 12. 如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为_______. 13. 若关于 的一元二次方程的一个根为 ．则_______． 14. 某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度（单位：m/s）与所受阻力 （单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为，则所受阻力 为__________． 15. 已知a、b、m满足，，则的最大值为______． 16. 已知（且），，，，，则的值为_______________． 三、解答题（本大题有10小题，共102分．） 17. 计算：． 18. 先化简，再代入求值：，其中． 19. 4月23日是世界读书日．为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的类，将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）． 被抽查学生最喜欢的书籍种类的 条形统计图 被抽查学生最喜欢的书籍种类的 扇形统计图 请根据图中信息解答下列问题： （1）求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值． （2）请将条形统计图补充完整．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上） （3）若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数． 20. 一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次． （1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________． （2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 21. 某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元． （1）求每个篮球和每个足球的售价； （2）如果学校计划购买这两种球共50个，总费用不超过5500元，那么最多可购买多少个足球？ 22. 如图，的直角边在 轴的正半轴上，反比例函数的图象与斜边相交于点 ，与直角边 相交于点 ，且． （1）若点，求点 的坐标； （2）若，求 的值． 23. 如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C． （1）求证：∠CBP＝∠ADB； （2）若OA＝4，AB＝2，求线段BP的长． 24. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面 的距离； （2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，，） 25. “尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的天中，第 天且 为整数)的售价为 (元千克)．当时，；当时，．销量(千克)与 的函数关系式为，已知该产品第 天的售价为元千克，第天的售价为元千克，设第 天的销售额为 (元)． （1） ，_____； （2）写出第 天的销售额 与 之间的函数关系式； （3）求在试销售的天中，共有多少天销售额超过元？ 26. 综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设 为， 为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出 的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且 和 的长均不小于，请直接写出 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级下学期数学第一次独立作业 一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分．） 1. 下列四个数中，是负数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了实数的大小比较，关键是能准确理解并运用绝对值、平方、算术平方根知识解决问题．运用绝对值、平方、算术平方根知识进行逐一计算、并比较大小． 【详解】解：，，，， 故选：A 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将抛物线的解析式化为顶点式，即可求解． 【详解】解：∵ ∴抛物线的顶点坐标是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了抛物线的顶点坐标，熟练掌握抛物线 的顶点坐标为 是解题的关键． 3. 随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占．将0.0000007用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中， 为整数，确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位， 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时， 是非负数，当原数绝对值小于1时， 是负数，表示时关键是要正确确定 的值以及 的值． 【详解】解：将0.0000007用科学记数法表示应为， 故选：C． 4. 二十四节气是中国古代劳动人民长期经验积累的结晶，它与白昼时长密切相关．当春分、秋分时，昼夜时长大致相等；当夏至时，白昼时长最长，根据如图，在下列选项中指出白昼时长不足11小时的节气（　　） A. 惊蛰 B. 小满 C. 立秋 D. 大寒 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图象确定每个节气白昼时长，然后即可确定正确的选项． 【详解】A、惊蛰白昼时长为11.5小时，高于11小时，不符合题意； B、小满白昼时长为14.5小时，高于11小时，不符合题意； C、秋分白昼时长为12.2小时，高于11小时，不符合题意； D、大寒白昼时长为9.8小时，低于11小时，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了函数的图象读懂函数的图象并从中整理出进一步解题的有关信息是解题的关键． 5. 如图所示的飞镖游戏板是顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点后得到的，若某人向该游戏板投掷镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：设正六边形的边长为 ， 则总面积为，其中阴影部分面积为， ∴飞镖落在阴影部分的概率是：， 故选：B． 【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知的边平行于x轴，，，若在第一象限内，反比例函数的图象恰好经过C、D两点，则k的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，合理设未知数并根据图象上点的坐标特征建立方程是解决反比例函数问题常用的方法．设，根据题意可以分别用含 的式子表示点 和点 的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征建立方程即可得到答案． 【详解】解：设，根据平行四边形的性质可知，， 又的边平行于 轴，，， ，， 又 反比例函数的图象恰好经过 、 两点， ， 解得：， ， ， 故选：B． 二、填空题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．） 7. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 8. 因式分解：____． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】， 故答案为： 9. 已知二次函数的图象上有三点，，，则的大小关系为______．（用“”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，先判断抛物线开口向下，对称轴为直线，根据函数图象上的点横坐标离对称轴越近，则纵坐标越大，即可得到的大小关系，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴二次函数对称轴为直线，抛物线开口向下， ∵，，在二次函数的图象上，且点 到对称轴的距离最近，点 到对称轴的距离最远， ∴， 故答案为：． 10. 设是关于x的方程的两个根，且，则_______． 【答案】2 【解析】 【分析】先利用根与系数的关系中两根之和等于3，求出该方程的两个根，再利用两根之积得到k的值即可． 【详解】解：由根与系数的关系可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴; 故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解决本题的关键是牢记公式，即对于一元二次方程，其两根之和为 ，两根之积为． 11. 为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8，由此可知____种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【详解】解：∵， ∴甲种秧苗长势更整齐， 故答案为：甲． 12. 如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为x m，则根据题意，可列方程为_______. 【答案】（12-x）（8-x）=77 【解析】 【分析】道路外的四块土地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是(12-x)和(8-x)，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解． 【详解】道路的宽为x米．依题意得： (12-x)(8-x)=77， 故答案为(12-x)(8-x)=77. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，关键将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量关系． 13. 若关于 的一元二次方程的一个根为 ．则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义及根的意义，得到，根据题意求解即可． 【详解】解：将代入得 ，整理得， 解得 或 当 时，原方程二次项系数为零，不满足题意， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键． 14. 某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度 （单位：m/s）与所受阻力 （单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为，则所受阻力 为__________． 【答案】2500 【解析】 【分析】根据题意得知函数成反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数的解析式，再将代入求的值． 【详解】解：设功率为 ，由题可知，即，将，代入解得， 即反比例函数为：， 将代入， 得， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数，熟练掌握将自变量代入解析式求得函数值是解题的关键． 15. 已知a、b、m满足，，则的最大值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，配方法求最值．两个等式联立成方程组，② ①得，利用配方法求最大值即可． 【详解】解：， ② ①得：， ， 当时，有最大值，最大值为5． 故答案为：5． 16. 已知（且），，，，，则的值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简，数字变化的规律，先分别表示出，即可得出数字变化的规律，进而得出答案． 【详解】∵， ∴； ； ； ； 可知三个数一个循环， ， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题有10小题，共102分．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先计算乘方、零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式，再计算乘法，最后计算加减即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 18. 先化简，再代入求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得解． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 4月23日是世界读书日．为了解学生的阅读喜好，丰富学校图书资源，某校将课外书籍设置了四类：文学类、科技类、艺术类、其他类，随机抽查了部分学生，要求每名学生从中选择自己最喜欢的类，将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）． 被抽查学生最喜欢的书籍种类的 条形统计图 被抽查学生最喜欢的书籍种类的 扇形统计图 请根据图中信息解答下列问题： （1）求被抽查的学生人数，并求出扇形统计图中m的值． （2）请将条形统计图补充完整．（温馨提示：请画在答题卷相对应的图上） （3）若该校共有1200名学生，根据抽查结果，试估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数． 【答案】（1）200人，40 （2） 补全的条形统计图如图所示                                         （3）360人 【解析】 【分析】（1）根据其它类的人数和所占的百分比求出调查的总人数，用科技类的人数比上总人数，即可得出科技类的学生人数占抽样人数的百分比； （2）用总人数减去文学类、科技类和其他的人数，求出艺术类的人数，补条形统计图即可； （3）用1200乘以文学类书籍所占的百分比，即可得出答案． 【小问1详解】 被抽查的学生人数是（人） ∵， ∴扇形统计图中m的值是40． 【小问2详解】 ∵（人）， ∴补全的条形统计图如图所示 【小问3详解】 ∵（人）， ∴估计全校最喜欢“文学类”书籍的学生人数共有360人． 【点睛】本题考查的是条形统计图及其应用与用样本估计总体的知识，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，能够根据各个数据进行正确计算． 20. 一个不透明的袋子中共装有五个小球，其中3个红球，1个白球，1个黄球，这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，记作随机摸球一次． （1）随机摸球10次，其中摸出黄球3次，则这10次摸球中，摸出黄球的频率是________． （2）随机摸球2次，用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的小球都是红球的概率． 【答案】（1）0.3 （2） 【解析】 【分析】本题考查求频率、画树状图或列表法求概率、概率公式，熟练掌握画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键． （1）根据“频数除以总数等于频率”求解即可； （2）画出树状图可得，共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，摸出黄球的频率是， 故答案为：0.3； 【小问2详解】 解：画树状图得， 共有25种等可能的结果，其中两次摸出的小球都是红球有9种结果， ∴两次摸出的小球都是红球的概率为． 21. 某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元． （1）求每个篮球和每个足球的售价； （2）如果学校计划购买这两种球共50个，总费用不超过5500元，那么最多可购买多少个足球？ 【答案】（1）每个篮球和的售价为100元，每个足球的售价为120元；（2）最多可购买25个． 【解析】 【分析】（1）设每个篮球和每个足球的售价分别为x元，y元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可； （2）设篮球购买a个，则足球购买（50﹣a）个，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可确定出最多购买的足球． 【详解】解：（1）设每个篮球和每个足球的售价分别为x元，y元，根据题意得： ， 解得：， 答：每个篮球和的售价为100元，每个足球的售价为120元； （2）设足球购买a个，则篮球购买（50﹣a）个，根据题意得： 120a+100（50﹣a）≤5500， 整理得：20a≤500， 解得：a≤25． 答：最多可购买25个足球． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 22. 如图，的直角边在 轴的正半轴上，反比例函数的图象与斜边相交于点 ，与直角边 相交于点 ，且． （1）若点，求点 的坐标； （2）若，求 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据点 的坐标可知、 的长度，进而确定反比例函数的关系式，由，根据相似三角形可求出点 的横坐标，由其横坐标可求出纵坐标； （2）根据三角形相似得到，，设点 ，则，即可得到，然后根据三角形面积得到，即可求出 的值． 【小问1详解】 解：如图，过点 作轴，垂足为点 ， ∵，， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 把代入得， ∴； 【小问2详解】 ∵轴， ∴， ∵轴 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 设点，则，把代入，得， ∴， ∴，中边上的高为， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了反比例函数系数 的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的图象和性质，直角三角形的性质及相似三角形的性质等知识，解题关键是求出相应的点的坐标． 23. 如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C． （1）求证：∠CBP＝∠ADB； （2）若OA＝4，AB＝2，求线段BP的长． 【答案】（1）见解析；（2）14 【解析】 【分析】（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD＝90°，再根据切线的性质得到∠OBC＝90°，然后利用等量代换进行证明； （2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的长． 【详解】（1）证明：连接OB，如图， ∵AD是⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∴∠A+∠ADB＝90°， ∵BC为切线， ∴OB⊥BC， ∴∠OBC＝90°， ∴∠OBA+∠CBP＝90°， 而OA＝OB， ∴∠A＝∠OBA， ∴∠CBP＝∠ADB； （2）∵OP⊥AD， ∴∠POA＝90°， ∴∠P+∠A＝90°， ∴∠P＝∠D， ∴△AOP∽△ABD， ∴＝，即＝， ∴BP＝14． 【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质． 24. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； （2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】（1）车后盖最高点到地面的距离为 （2）没有危险 理由如下： 过作，垂足为点     ∵， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴． ∵平行线间的距离处处相等 ∴到地面的距离为． ∵ ∴没有危险． 【解析】 【分析】（1）作，垂足为点 ，先求出的长，再求出的长即可； （2）过作，垂足为点 ，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可． 【小问1详解】 如图，作，垂足为点 在中 ∵， ∴ ∴ ∵平行线间的距离处处相等 ∴ 答：车后盖最高点到地面的距离为． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 25. “尔滨”火了，带动了黑龙江省的经济发展，农副产品也随之畅销全国．某村民在网上直播推销某种农副产品，在试销售的天中，第 天且 为整数)的售价为 (元千克)．当时，；当时，．销量(千克)与 的函数关系式为，已知该产品第 天的售价为元千克，第天的售价为元千克，设第 天的销售额为 (元)． （1） ，_____； （2）写出第 天的销售额 与 之间的函数关系式； （3）求在试销售的天中，共有多少天销售额超过元？ 【答案】（1） ， （2） （3）在试销售的天中，共有天销售额超过元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用； （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据销售额等于销量乘以售价，分段列出函数关系式，即可求解； （3）根据题意，根据，列出方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：依题意，将，代入， ∴ 解得： ∴ 故答案为： ，． 【小问2详解】 解：依题意， 当时， 当时， ∴ 【小问3详解】 解：依题意，当时， 当时， 解得： 为正整数， ∴第天至第天，销售额超过元 （天） 答：在试销售的天中，共有天销售额超过元 26. 综合与实践 如图1，某兴趣小组计划开垦一个面积为的矩形地块 种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为． 【问题提出】 小组同学提出这样一个问题：若，能否围出矩形地块？ 【问题探究】 小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设 为， 为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线：的交点坐标为和_________，因此，木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或___________m，__________m． （1）根据小颖的分析思路，完成上面的填空． 【类比探究】 （2）若，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图2中画出一次函数图象并说明理由． 【问题延伸】 当木栏总长为时，小颖建立了一次函数．发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当过点时，直线与反比例函数的图象有唯一交点． （3）请在图2中画出直线过点时的图象，并求出 的值． 【拓展应用】 小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”． （4）若要围出满足条件的矩形地块，且 和 的长均不小于，请直接写出 的取值范围． 【答案】（1）；4；2； （2）不能围出． ∵木栏总长为， ∴，则， 画出直线的图象，如图中所示： ∵与函数图象没有交点， ∴不能围出面积为的矩形； （3）如图中直线所示，即为图象， ； （4） 【解析】 【分析】（1）联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答； （2）根据得出，，在图中画出的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成； （3）过点作的平行线，即可作出直线的图象，将点代入，即可求出a的值； （4）根据存在交点，得出方程有实数根，根据根的判别式得出，再得出反比例函数图象经过点，，则当与图象在点左边，点右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围． 【详解】解：（1）∵反比例函数，直线：， ∴联立得：， 解得：，， ∴反比例函与直线：的交点坐标为和， 当木栏总长为时，能围出矩形地块，分别为：，；或，． 故答案为：4；2． （2）略 （3）图略，将点代入，得：， 解得； （4）根据题意可得∶ 若要围出满足条件的矩形地块， 与图象在第一象限内交点的存在问题， 即方程有实数根， 整理得：， ∴， 解得：， 把代入得：， ∴反比例函数图象经过点， 把代入得：，解得： ， ∴反比例函数图象经过点， 令，，过点，分别作直线的平行线， 由图可知，当与图象在点A右边，点B左边存在交点时，满足题意； 把代入得：， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $