期中数学常考点分类专题（考查范围：1～3章）（夯实基础篇）-2024-2025学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（浙教版）

专题 2024-2025学年七年级下学期期中数学常考点分类专题（夯实基础篇） （考查范围：相交线与平行线；二元一次方程组；整式的乘除） 第一部分【考点目录】 篇一：选择填空 第7章 相交线与平行线 【考点1】平移图形的识别............................................................1 【考点2】对顶角定义与性质+垂直定义.................................................3 【考点3】垂线段公理与点到直线距离..................................................5 【考点4】同位角、内错角、同旁内角..................................................7 【考点5】平行公理与平行线的判定....................................................9 【考点6】平行线的性质求值证明.....................................................12 【考点7】平行线的判定与性质.......................................................15 【考点8】平移的性质...............................................................17 第8章 二元一次方程组 【考点9】二元一次方程（组）定义及其解.............................................19 【考点10】二元一次方程组的特殊解法................................................21 【考点11】三元一次方程组特殊解法..................................................22 【考点12】二元一次方程组的应用....................................................23 第9章 整式的乘除 【考点13】科学记数法..............................................................25 【考点14】同底数幂的乘法运算......................................................26 【考点15】同底数幂的乘法逆运算....................................................27 【考点16】单（多）项式乘法运算与化简求值..........................................28 【考点17】利用乘法公式运算化简求值................................................29 【考点18】整式的乘法运算规律问题..................................................31 【考点19】整式乘法运算与几何图形..................................................33 【考点20】整式的乘除运算中的整体思想..............................................34 篇二：计算、化简求值、解答题 【考点21】解二元一次方程组........................................................36 【考点22】整式的乘除运算..........................................................40 【考点23】整式的乘除化简求值......................................................43 【考点22】整式的乘除与几何图形....................................................45 【考点23】二元一次方程组的应用....................................................48 【考点24】平行线的判定与性质求值证明..............................................51 第二部分【题型梳理与方法展示】 篇一：选择填空 第7章 相交线与平行线 【考点1】平移图形的识别 1．（江西省南昌市部分校联考2024-2025学年七年级下学期月考数学试题）第12届世界运动会将于年8月在四川成都举行，其会徽灵感源于熊猫、芙蓉花、中国结，传达奥林匹克精神，凸显中国与成都特色及价值观．以下会徽能通过如图平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的定义，熟练掌握平移的概念是解题的关键，根据平移的定义即可得到答案． 解：∵平移不改变图形的大小和方向，只改变图形的位置， ∴A、B、D均不符合题意， 故选：C． 2．（22-23七年级下·广东东莞·阶段练习）下列四个图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据平移的性质即可得出结论． 解：A.能通过其中一个四边形平移得到，不合题意； B.能通过其中一个四边形平移得到，不合题意； C.能通过其中一个四边形平移得到，不合题意； D.不能通过其中一个四边形平移得到，符合题意， 故选：D． 【点拨】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形的平移只改变图形的位置，平移后不改变图形的形状和大小，也不改变图形的方向（角度）是解答此题的关键． 3．（24-25七年级下·全国·期末）数学课上，老师提出了一个问题：如何作一条直线的平行线？如图是小明同学的作法，老师对小明的作法表示了肯定，那么小明作图的原理是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】B 【分析】本题考查了作图-平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．也考查了平行线的判定．先利用平移的性质得到，然后根据同位角相等两直线平行判断即可． 解：利用平移的性质得到， 可知小明作图的原理是同位角相等两直线平行， 故选：B． 【考点2】对顶角定义与性质+垂直定义 1．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）下面四个图形中，与是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查对顶角的定义．对顶角是两条直线相交，其中一个角是另一个角的边的反向延长线，据定义即可判断． 解：根据对顶角的定义，B，C，D不符合其中一个角是另一个角的边的反向延长线， 选项A是对顶角， 故选：A 2．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，过直线上一点作，直线经过点，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂直的定义，对顶角性质，几何角度计算，熟练掌握对顶角的性质是解题的关键；根据，可得，进而求得的度数，进而求解； 解：， ， ， ， ， ； 故选：B． 3．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，点O在直线上，过O在上方作射线，，直角三角板的直角顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．如果三角板绕点O按10度/秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 秒时，． 【答案】12或30 【分析】本题考查了垂线的定义，与三角板有关的角度的计算，解题的关键是分两种情况进行讨论，分别依据在右边和左边两种情况，画出示意图，得到三角板旋转的度数，进而得到的值． 解：当在右边时，如图： ，， ∴此时，重合， ， ∴三角板旋转的角度为， （秒）； 当在左边时，如图： ，， ∴此时，与延长线重合， ∴ 三角板旋转的角度为， （秒）； 的值为：12或30． 故答案为：12或30． 【考点3】垂线段公理与点到直线距离 1．（24-25七年级上·福建福州·期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（    ） A．平板弹墨线 B．建筑工人砌墙 C．弯河道改直 D．测量跳远成绩 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短这一基本事实在生活中的应用，解题的关键是理解每个生活、生产现象背后的数学原理，并判断是否符合“垂线段最短”． 依次分析每个选项中现象所依据的数学原理，判断能否用“垂线段最短”来解释． 解：A、平板弹墨线，利用的是“两点确定一条直线”的原理，通过两点弹出直线，并非“垂线段最短”，所以该选项不符合； B、建筑工人砌墙，是利用铅垂线的原理，保证墙与地面垂直，依据的是重力方向竖直向下，与“垂线段最短”无关，该选项不符合； C、弯河道改直，是为了缩短路程，依据的是“两点之间，线段最短”，而不是“垂线段最短”，该选项不符合； D、测量跳远成绩时，测量的是从起跳点到落脚点的垂线段的长度，因为从落脚点到起跳线的垂线段是最短的，这样测量能得到最准确的成绩，符合“垂线段最短”的原理，该选项符合． 故选：D． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在三角形中，．点是线段上的一动点，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，掌握点到直线垂线段最短是解题的关键． 根据题意，当时，的长度最短，由等面积法求高的方法列式求解即可． 解：由垂线段最短可知，当时，的长度最短， ∴在直角三角形中，由面积公式得：， 解得， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在四边形中，，，平分，若、分别是，边上的动点，当的值最小时，的度数为 ． 【答案】/15度 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，垂线段最短．作点Q关于的对称点H，则，则，当C、H、P三点在同一直线上，且时，最短，再由平分，可得点H在边上，即可求解． 解：如图，作点Q关于的对称点H，则， ∴， ∴当C、H、P三点在同一直线上，且时，最短， ∵平分， ∴点H在边上， ∴此时， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【考点4】同位角、内错角、同旁内角 1．（24-25七年级下·甘肃平凉·阶段练习）如图，下面说法错误的是（   ） A．和是对顶角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 【答案】B 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角的定义，对顶角的定义，由同位角、内错角、同旁内角的定义，对顶角的概念，即可判断，解题的关键是掌握同位角、内错角、同旁内角的定义，对顶角的概念． 解：A、和是对顶角，说法正确，故选项不符合题意； B、和不是同位角，故选项符合题意； C、和是同旁内角，说法正确，故选项不符合题意； D、和是内错角说法正确，故选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，与是 角，与是 角． 【答案】 同位 同旁内 【分析】此题考查了同位角、同旁内角的定义；根据同位角、同旁内角的定义：两直线被第三条直线所截，在截线的同一侧，被截线的同一方向的两个角是同位角；在截线的同一侧，被截线的内部的两个角是同旁内角，结合图形即可得出答案． 解：由图形可得，与是是同位角；与是是同旁内角； 故答案为：同位、同旁内． 3．（22-23七年级下·山东济宁·期中）如图，在，，，，和中，同位角对数为a，内错角对数为b，同旁内角对数为c，则 ．      【答案】16 【分析】根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同位角．内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线截线的两旁，则这样一对角叫做内错角．同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线截线的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，结合图形进行分析即可进行分析即可 解：同位角有：与，与， 内错角：与，与， 同旁内角：与，与，与，与， ，，， ， 故答案为：16 【点拨】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 【考点5】平行公理与平行线的判定 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，在下列条件中能判定的有（    ） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行线的判定，根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行可得答案．关键是掌握平行线的判定定理． 解：A、当时，可得，不合题意； B、当时，无法得到，不合题意； C、当且时，可得，可得，符合题意； D、当时，可得，不合题意． 故选：C． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在括号内填理由． （1）如图①，因为，，所以（ ）； （2）如图②，因为，过点F画（ ），所以（ ）． 【答案】 平行于同一条直线的两条直线平行 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】（1）根据平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行； （2）根据平行公理：过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行求解即可． 解：（1）因为，，所以（平行于同一条直线的两条直线平行）； 故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行； （2）如图②，因为，过点F画（过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行），所以（平行于同一条直线的两条直线平行）． 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行． 3．（21-22七年级下·江西南昌·阶段练习）如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间＝ ．    【答案】或 【分析】运用分类思想，结合平行线的判定，计算即可． 解：设运动x秒后，使得与平行， 此时转过了，转过了， 当与在的两侧，    此时， ∵， ∴， ∴ 解得； 当与在的同侧，    此时， ∵， ∴， ∴ 解得； 当转了一圈，与在的同侧，    此时， ∵， ∴， ∴ 解得（舍去）； 故答案为：或． 【点拨】本题考查了平行线的判定，一元一次方程的应用，熟练掌握性质，灵活解方程是解题的关键． 【考点6】平行线的性质求值证明 1．（24-25七年级下·天津滨海新·阶段练习）将一块直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置．以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质，对题目的结论逐项分析即可得出答案． 解：纸条的两边平行， ，，，故①②④正确； 三角板是直角三角板， ， 又， ，故③正确； 综上所述，其中正确的个数是4个． 故选：D． 2．（23-24七年级下·广东佛山·期中）如图，一张长方形纸片剪去两个角，测得，，则 ． 【答案】/130度 【分析】本题考查了长方形的性质和平行线的性质，主要考查学生的推理能力和计算能力；过作，交于，得出，推出，，把，代入求出即可． 解： 过作，交于，    四边形是长方形， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在三角形中，点分别在上，且． （1）与的位置关系是 ； （2）如果，且，那么 ． 【答案】 /70度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的判定定理和性质定理． （1）由可得，等量代换得出，即可证明； （2）由可得，再根据，即可求解． 解：（1）， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【考点7】平行线的判定与性质 1．（24-25七年级下·甘肃平凉·阶段练习）如图，平分，与互补，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的性质等知识，由与互补，得到，进而得出，，再根据角平分线的性质得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 解：如图： ∵与互补， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，点E，F分别在，上，点G，H在两条平行线，之间，与的平分线交于点M．若，，则 ． 【答案】/32度 【分析】过点G，M，H作，，，根据已知易得：，再利用锯齿模型可得，然后利用角平分线的定义可得，，从而可得，进而可得，最后利用猪脚模型可得，即可解答． 本题考查了平行线的性质，平行公理及推论，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 解：过点G，M，H分别作，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， 即， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，AC平分，且，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理是解题关键．先证明，得到，再根据即可求解． 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 【考点8】平移的性质 1．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，将三角形向右平移得到三角形，且点在同一条直线上，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的性质，由平移得，进而可得，据此即可求解，掌握平移的性质是解题的关键． 解：由平移得，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）如图，沿着由点B到点E的方向平移，得到，若，，那么平移的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等，本题关键要找到平移的对应点． 观察图象，发现平移前后，、对应，、对应，根据平移的性质，易得平移的距离，进而可得答案． 解：根据平移的性质得， ∴平移的距离， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，将沿直线向右平移后到达的位置．若 ，则的度数 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移前后的图形大小、形状相同是解题关键．由平移的性质可知，，再利用平角求解即可． 解：由平移的性质可知，， ， 故答案为：． 第8章 二元一次方程组 【考点9】二元一次方程（组）定义及其解 1．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）关于x，y的方程中“”处的系数印刷不清楚，已知是这个方程的一组解，则“”处的数是（   ） A． B．1 C．2 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据方程的解的定义，把方程的解代入方程，求解即可，掌握二元一次方程的解是解题的关键． 解：设“”为， ∵是方程的解， ∴把代入方程，得： ， 解得：， 故选：B． 2．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）现有A、B、C、D、E五张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程．若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为，则所取的两张卡片为 和 ．（填“A、B、C、D、E”中的两个字母） 【答案】 B C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，把分别代入五个方程中，看方程左右两边是否相等即可得到答案． 解：把代入方程中，左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； 把代入方程中，左边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中，左边，方程左右两边相等，则是方程的解； 把代入方程中，左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； 把代入方程中，左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解； ∴是方程和方程的解， ∴取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为，则所取的两张卡片为B和C， 故答案为：B；C． 3．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）若是关于，y的二元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】考查了二元一次方程的定义，利用平方根求解方程，二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为一次；（3）方程是整式方程，根据二元一次方程的定义得，解答即可得出结果． 解：是关于x，y的二元一次方程， ，解得：， 故答案为：． 【考点10】二元一次方程组的特殊解法 1．（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）若，，则的值是（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了求整式的值，①，②，①②即可求解；会用整体加减运算是解题的关键． 解：①，②， ①②得， ， 故选：C． 2．（23-24八年级上·江西九江·期末）已知，则为 ． 【答案】1 【分析】本题考查代数式的求值，二元一次方程组的应用，绝对值的非负性质，根据非负数的和为0，每一个非负数均为0，列出方程组，求出的值，再进行计算即可． 解：根据题意有；， 解得：， ∴， 故答案为：1． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，把甲的结果代入求出b的值，把乙的结果代入求出a的值，然后把a、b的值相加求解即可． 解：根据题意可得出：，， 解得：， ∴， 故答案为：3． 【考点11】三元一次方程组特殊解法 1．（22-23七年级下·海南省直辖县级单位·期末）在等式中，当时，；当时，；当时，．则这个等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，代值列出三元一次方程组进行解答，即可 解：时；时；时 从而得方程组， 解得，，． ∴， 故选：A 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）一生态牧场上的草每天均匀生长．这片草可供16头牛吃60天，或者供18头牛吃50天．如果将这片草全部割下制成干草以备冬天的草料，但制成干草后使用要比直接使用青草损失的营养．那么，由这些割下来的草所制成的干草可供30头牛吃 天． 【答案】16 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用．设这个生态牧场的原有草料a千克，每天生长b千克，每头牛每天可吃c千克草料，根据“这片草可供16头牛吃60天，或者供18头牛吃50天”，可列出关于a，b的三元一次方程组，解之可用含c的代数式表示出a，b的值，再将其代入中，即可求出结论． 解：设这个生态牧场的原有草料a千克，每天生长b千克，每头牛每天可吃c千克草料， 根据题意得：， 解得：， ∴（天）， ∴这些割下来的草所制成的干草可供30头牛吃16天． 故答案为：16． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ， ， ． 【答案】 1 【分析】本题主要考查绝对值非负性，解三元一次方程组；根据绝对值非负性列出三元一次方程组，计算求解即可． 解：根据题意得： 由②得 把代入③ 得： 把，代入① 解得： 故答案为：，1，． 【考点12】二元一次方程组的应用 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）我国古代经典数学著作《孙子算经》中记载着这样一个题目：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组，找到两个等量关系是解决本题的关键．根据两种测量方式各列一个方程，组成方程组即可． 解：设木长x尺，绳子长y尺， 根据题意有：， 故选：D 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，历经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事．现请你欣赏下面描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1 000里，逆风返回时4分钟走了600里，则风速是 里/分． 【答案】50 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，根据速度×时间=路程列方程组即可． 解：设孙悟空的速度是x里/分，风速是y里/分， 依题意，得，解得， 故风速是50里/分， 故答案为：50． 3．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期中）在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的大棚油桃喜获丰收，去年大棚油桃的利润（利润=收入-支出）为12000元，今年大棚油桃的收入比去年增加了20%，支出减少了10%，预计今年的利润比去年多11400元，设小明家去年种植大棚油桃的收入为x元，支出是y元．依题意列方程组 ． 【答案】 【分析】审题，明确等量关系，建立方程组． 解：由题意知，今年收入为，今年支出，故 故答案为： 【点拨】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意明确等量关系是解题的关键． 第9章 整式的乘除 【考点13】科学记数法 1．（24-25八年级上·浙江台州·期末）“纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的体积极小，长度约为，将数据0.00000117用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的个数所决定．确定a与n的值是解题的关键．这里的． 解：． 故选：A． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）某种细胞的直径约为，用科学记数法表示为，则原数中小数点后“0”的个数为 ． 【答案】5 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 解：∵某种细胞的直径约为，用科学记数法表示为，且， ∴则原数中小数点后“0”的个数为5， 故答案为：5． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）北宋诗人苏轼在《前赤壁赋》中写道：“寄蜉游于天地，渺沧海之一粟．”“沧海一粟”比喻非常渺小．据测量，200粒粟的质量大约为，1粒粟的质量用科学记数法可表示为 g． 【答案】 【分析】根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 本题考查科学记数法，解题的关键是：熟练掌握科学记数法． 解：由题意，得：1粒粟的质量； 故答案为：． 【考点14】同底数幂的乘法运算 1．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B．3 C．9 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，解答的关键是熟记同底数幂的乘法的法则并灵活运用．利用同底数幂的乘法的法则进行求解即可． 解：， ． 故选：D． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则满足的关系式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，幂的乘方，先整理，结合，且，所以，即可作答． 解：∵ ∴， ∵，且， ∴， 故答案为：． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）新定义题  同底数幂的乘法法则为（其中为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数的一种新运算：．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是新定义运算，同底数幂的乘法，根据新定义运算的含义可得，再进一步计算即可． 解：∵， ∴， ， ∴， ； 故答案为：． 【考点15】同底数幂的乘法逆运算 1．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）若，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，解一元一次方程，熟练掌握各个运算法则是解题的关键．先根据积的乘方的逆用得出，再解一元一次方程即可． 解：∵， ∴， 解得， 故选：A． 2．（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查积的乘方逆用，非负数的性质，解题的关键是掌握幂的运算法则．根据绝对值和平方式的非负性求出x和y的值，再逆用积的乘方运算法则进行计算． 解：∵，，且， ∴，， 解得：，， ∴． 故答案是：． 3．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）已知，，试用含，的式子表示： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了逆用幂的乘方和积的乘方．根据逆用幂的乘方和积的乘方公式进行解答即可． 解：，， ． 故答案为：． 【考点16】单（多）项式乘法运算与化简求值 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）观察图1中多项式乘以多项式的运算规律，将之迁移到图2所示运算中，可得是（   ） A． B．3 C． D．10 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握图1中的运算规律是解题关键．根据图1中的运算规律求解即可得． 解：由图1中的运算规律得：， 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）已知代数式的值是6，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了代数式求值，单项式乘以多项式，利用整体代入的思想求解是解题的关键．先根据已知条件得到，则，再由进行求解即可． 解：∵代数式的值是6，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）已知的乘积中不含和项，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式与多项式的乘法，熟练掌握多项式与多项式的乘法法则是解题的关键．先利用乘法法则计算得，再利用乘积中不含和项，即和项的系数为，计算即可． 解： ， ∵乘积中不含和项， ∴，且， 解得：，， ∴， 故答案为：． 【考点17】利用乘法公式运算化简求值 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平方差公式，掌握是解题的关键．根据平方差公式求解即可． 解： ， 故选：B． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则m的值是 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了平方差公式的应用，由平方差公式得，即可求解；能熟练利用平方差公式进行运算是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2025． 3．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）已知，代数式 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键．首先利用完全平方公式展开，然后再代入求值即可． 解：∵ ∴ ． 故答案为：2025． 【考点18】整式的乘法运算规律问题 1．（23-24七年级下·贵州六盘水·期中）如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应着的系数．根据数表中前四行的数字所反映的规律计算求值：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的运算规律的探究，以及“杨辉三角”的认识，熟练掌握运算法则是解题的关键．原式逆用“杨辉三角”系数规律变形，计算即可得到结果． 解：根据题意可得： ． 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将此表称为“杨辉三角”．如图所示，则中第三项系数为 ． 【答案】45 【分析】本题主要考查了规律型：数字的变化类，“杨辉三角”展开式中，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律是解题的关键．由题目可以得出一般规律：的第三项的系数为：，据此解答即可． 解：由题目中找规律可以发现： 的第三项的系数为：； 的第三项的系数为：； 的第三项的系数为：； ⋯， 的第三项的系数为：； ∴中第三项系数为； 故答案为45． 3．（24-25七年级上·河南商丘·阶段练习）观察下列算式，，，，，，…，通过观察，用你发现的规律，可以得出的末位数字为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了数字的变化规律，幂的乘方，能够通过所给条件，探索出数的规律是解题的关键．计算，通过观察可知每4次运算的尾数循环一次，则的个位数字与的个位数字相同，即可求解． 解：∵， 由题意可知，，，，，，的个位数字，每4个是一组循环， ∵， ∴的个位数字与的个位数字相同， ∴的个位数字是6， 故答案为：6． 【考点19】整式乘法运算与几何图形 1．（18-19七年级下·广东深圳·期中）如图，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式，解决问题的关键是根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后的面积为，新的图形面积等于，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论． 解：图中剩余部分的面积等于两个正方形的面积之差，即， 剩余部分通过割补拼成的长方形的面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积相等， ∴， 故选：D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为 ． 【答案】8 【分析】本题考查多项式乘多项式表示面积，计算长方形的面积并写成多项的形式，其中项的系数即为答案． 解：，， ， 即， 故需要C类纸片的张数为：8， 故答案为：8． 3．（21-22七年级下·山东青岛·期中）已知长方形金鱼池的面积为1平方米，周长为6米，以长方形鱼池相邻两边向外作正方形的小花园，则两个正方形小花园面积之和是 ． 【答案】7 【分析】设金鱼池的长与宽各为a米和b米，得，，由完全平方公式变形得，整体代入数据即可求解． 解：设金鱼池的长与宽各为a米和b米，得，， 由完全平方公式得， ， 故答案为：7． 【点拨】此题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形和完全平方公式灵活变式应用． 【考点20】整式的乘除运算中的整体思想 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式与多项式相乘，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据多项式乘多项式的法则先求出，得出，，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 解：∵ ∴， ∴ ∴ ． 故选：A． 2．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）若，则的值为 ． 【答案】128 【分析】本题考查了整式的乘法，将变形可得，再将所求式子变形为计算即可，能够运用整体代入的思想是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴原式 ． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）已知，则等于 ． 【答案】5 【分析】本题考查完全平方公式，等式两边同时除以，得到，进而得到，利用完全平方公式进行求值即可． 解：∵，且当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：5． 篇二：计算、化简求值、解答题 【考点21】解二元一次方程组 1．（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）解下列方程组： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，涉及加减消元法及代入消元法，根据方程组的结构特征准确选择恰当消元法求解是解决问题的关键． （1）利用代入消元法解二元一次方程组即可得到答案； （2）先将方程组中两个方程的系数化相同，再利用加减消元法解二元一次方程组即可得到答案； （3）利用加减消元法解二元一次方程组即可得到答案； （4）先恒等变形化简，再将方程组中两个方程的系数化相同，最后利用加减消元法解二元一次方程组即可得到答案． 解：（1）解：， 将①代入②得， 解得， 将代入①得， 原方程组的解为； （2）解：， ①②得， 将代入①得， 原方程组的解为； （3）解：， ①②得， 将代入①得， 原方程组的解为； （4）解：， 化简得， ②①得， 将代入②得， 原方程组的解为． 2．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）下面是小星同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：，得．③………………第一步 ，得，………………第二步 ，………………第三步 将代入①，得， ，………………第四步 ∴原方程组的解为………………第五步 解决下列问题： （1）上述这种求解二元一次方程组的方法叫做______法； （2）小星同学第______步开始出现错误； （3）求该方程组的正确解． 【答案】（1）加减消元；（2）二；（3） 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题关键． （1）根据加减消元法的定义“当二元一次方程组的两个方程中间一个未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法”即可得； （2）根据即可得； （3）利用加减消元法解二元一次方程组即可得． 解：（1）解：上述这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法， 故答案为：加减消元． （2）解：小星同学第二步开始出现错误，即计算时出现错误， 故答案为：二． （3）解：， ，得③， ，得， 解得：， 将代入①，得， 解得：， 所以原方程组的解为． 3．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）解下列方程组 （1） （2）小明求得方程组的解为，由于不小心，滴上了墨水，刚好遮住了两个数和，求这两个数． 【答案】（1）；（2）2和 【分析】本题考查解二元一次方程组和二元一次方程组的解，熟练掌握用加减消元法解方程组是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组，由于两方程中的系数互为相反数，故应先用加减法求出的值，再用代入法求出的值． （2）利用二元一次方程组解的意义，将代入方程中，求得值，再将值代入方程中，计算即可得出结论． 解：（1）解∶ 得，， 解得，， 把代入①得，， 解得，， 故原方程组的解为； （2）解：将代入方程得：， 解得：， 将代入方程中， ， 即两个数为2和． 【考点22】整式的乘除运算 1．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）计算题 （1）； （2） （3）；（用乘法公式计算） （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查的是零次幂的含义，有理数的混合运算，整式的乘法运算； （1）先计算乘方，零次幂，再合并即可； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可； （3）把原式化为，再结合平方差公式可得答案； （4）利用平方差公式，多项式乘以多项式计算乘法运算，再合并同类项即可． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； 2．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）已知：． （1）求的值 （2）已知：，求x的值 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查幂的运算，熟记运算法则是关键． （1）根据积的乘方求解即可； （2）根据同底数幂的乘方，幂的乘方以及积的乘方公式求解即可． 解：（1）解：∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： 3．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）计算： （1）． （2）． （3）． （4）． （5）． （6）． （7）． （8）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8） 【分析】本题考查了整式的混合运算，零指数幂、负整数指数幂，正确计算是解题的关键． （1）先计算幂的、积的乘方，再进行单项式与单项式的乘除计算； （2）先计算零指数幂、负整数指数幂，和有理数的乘方，再进行加减计算； （3）先提取负号，再用完全平方公式计算； （4）先计算平方差公式和多项式乘以多项式，再进行加减计算； （5）连续运用平方差公式计算； （6）利用多项式除以单项式法则计算； （7）先将后一项变形，再用平方差公式和完全平方公式计算； （8）先变形，再由完全平方公式计算． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； （7）解： ； （8）解： ． 【考点23】整式的乘除化简求值 1．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）（1）已知，求和的值； （2）已知．求的值． 【答案】（1），；（2）5 【分析】本题考查了利用完全平方公式变形求值，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由求解，再代入即可求解； （2）先由 求出，再代入即可求解值． 解：（1）解：， ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习） 化简求值： （1），其中； （2）若，，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握完全平方公式是解题关键． （1）先利用完全平方公式展开，再去括号、合并同类项化简，然后代入计算求值即可； （2）根据完全平方公式将变形为，然后代入计算求值即可． 解：（1）解： ， 当时，原式 （2）解： ． 3．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算括号内的整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算单项式除以单项式得到化简的结果，把代入计算即可． 解： ； 当，时，原式． 【考点22】整式的乘除与几何图形 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图1，在边长为a的大正方形中减去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成如图2所示的长方形． （1）比较图1和图2中空白部分的面积，可以得到等式：_________； （2）请用上面得到的公式计算下面各题： ①已知，，则_________； ②计算：； ③计算：． 【答案】（1）；（2）①8；②；③ 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，计算具有一定的难度，属于中档题． （1）分别求出两个图中空白部分面积，可得公式； （2）①根据平方差公式，，将代入即可求出答案； ②根据平方差公式求解即可； ③先利用平方差公式变形，再约分即可得到答案． 解：（1）解：如图1，大正方形面积，小正方形面积， 空白部分面积大正方形面积小正方形面积， 如图2，长方形的宽，长方形的长， 长方形的面积， 由拼接可知：空白部分面积相等，可以得到等式：； （2）①，， ∴ ∴； ② ； ③ ． 2．（2023八年级上·全国·专题练习）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． （1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积． 方法1： ；方法2： ； （2）观察图②请你写出下列三个代数式；之间的等量关系； （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求：的值； ②已知：，求：的值． 【答案】（1）；；（2）；（3）①1；②9 【分析】本题考查对完全平方公式几何意义的理解： （1）表示出阴影部分的边长，然后分别利用大正方形的面积减去四周四个矩形的面积列式；利用正方形的面积公式列式； （2）根据不同方法表示的阴影部分的面积相同解答； （3）①根据（2）的结论代入进行计算即可得解；②根据（2）的结论代入进行计算即可得解． 解：（1）解：根据题意得：图②中阴影部分的面积： 方法1：， 方法2：； 故答案为：；； （2）解：； （3）解：①∵， ∴； ②． 3．（24-25八年级下·四川乐山·阶段练习）我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这些形式表示，例如：，就可以用图甲或图乙等图形的面积表示． （1）请写出图丙所表示的代数恒等式； （2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示为： 【答案】（1）；（2）见分析 【分析】本题主要考查了多项式乘法的几何背景，应从整体和部分两方面来理解多项式乘法的几何意义；主要围绕图形面积展开分析． （1）图丙中大长方形的长为，宽为，根据题意列出恒等式； （2）设计一个长方形的长为，宽为的大长方形即可 解：（1）解：； （2）解：如图所示： 【考点23】二元一次方程组的应用 1．（24-25八年级上·河南郑州·期末）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． （1）求A，B两种头盔的单价各是多少元； （2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 【答案】（1）A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元；（2）共有2种购买方案，最大利润是220元 【分析】设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元，根据某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元；列出二元一次方程组，解方程组即可； 设购进A种头盔m个，B种头盔n个，根据该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程． 解：（1）解：设A种头盔的单价是x元，B种头盔的单价是y元， 由题意得：， 解得：， 答：A种头盔的单价是75元，B种头盔的单价是30元． （2）解：设购进A种头盔m个，B种头盔n个， 由题意得：， 整理得：， 、n均为正整数， 或， 该商店共有2种购买方案： ①购进A种头盔2个，B种头盔10个，利润为元； ②购进A种头盔4个，B种头盔5个，利润为元； ， 最大利润是220元． 2．（24-25八年级上·广东佛山·期末）为打造一河两岸景观带，需对一段长350米的河边道路进行整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天，求两工程队用时的天数． （1）根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：    乙： 根据申、乙两同学所列的方程组，指出未知数的含义： 甲：表示______________；乙：表示_______________． （2）从上述方程组中任选一组，将其补全，解答问题． 【答案】（1）工程队用时的天数；工程队整治道路的总长度；（2）见分析 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）读懂题意，联系上下文得甲：表示工程队用时的天数，乙：表示工程队整治道路的总长度；即可作答． （2）分别解出甲乙两个的方程组，即可作答． 解：（1）解：依题意，甲：表示工程队用时的天数， 乙：表示工程队整治道路的总长度； （2）解：选第一种：， 解得， 答：工程队用时10天，工程队用时20天； 选第二种：， 解得：， 工程队用时：， 工程队用时：， 答：工程队用时10天，工程队用时20天． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，四条街围成边长是的正方形，小宇家住在东西方向的街道的点P处，他的学校在东西方向的街道的点Q处．已知小宇爸爸骑摩托车在东西方向的街道的速度是，在南北方向的街道的速度是．小宇爸爸骑摩托车沿送小宇上学需要，沿（在B处遇堵车立即掉头）回家需要． （1）小宇爸爸骑行摩托车跑一圈需要多少分钟？ （2）求的长度． 【答案】（1）；（2）的长度分别是 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用； （1）根据路程除以速度等于时间列式计算即可； （2）设的长度是的长度是，根据题意列出二元一次方程组计算求解即可． 解：（1）解： ． 故小宇爸爸骑行摩托车跑一圈需要． （2）解：∵骑行一圈需要，沿骑行需要， ∴沿骑行需要． 又∵沿骑行需要， ∴沿骑行需要． 设的长度是的长度是． 根据题意，得， 解得， 故的长度分别是． 【考点24】平行线的判定与性质求值证明 1．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图，已知，，垂足分别为、，，试说明：．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由． 解：∵，（已知） ∴（①________）， ∴②________（③________）， ∴④________（⑤________）． 又∵（已知）， ∴（⑥___________）， ∴⑦________（⑧________）， ∴（⑨________）． 【答案】①垂直的定义；②；③同位角相等，两直线平行；④；⑤两直线平行，同旁内角互补；⑥同角的补角相等；⑦；⑧内错角相等，两直线平行；⑨两直线平行，同位角相等 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，同角的补角相等等知识点，熟练掌握平行线的判定和性质是解决此题的关键． 根据平行线的判定和性质，垂直的定义，同角的补角相等知识作答即可． 解：∵，（已知） ∴（①垂直的定义）， ∴②（③同位角相等，两直线平行角）， ∴④（⑤两直线平行，同旁内角互补）． 又∵（已知）， ∴（⑥同角的补角相等）， ∴⑦（⑧内错角相等，两直线平行）， ∴（⑨两直线平行，同位角相等）． 2．（23-24七年级上·河南开封·期末）问题情景： 数学活动课上，小明发现右图中蕴含着一个数学模型． 数学思考： 如图①，若，点在，之间，连接，，则，请说明理由． 拓展探究： 小明还发现若改变点的位置，如图②，若点在上方，连接，，则，，依然存在一定的数量关系，请认真思考后得出结论，并进行证明． 问题解决： 如图③，，点在射线上运动，，．请直接写出的度数． 【答案】数学思考：见分析；拓展探究：，证明见分析；问题解决：或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定： 数学思考：如图所示，过点E作，则，由平行线的性质得到，则； 拓展探究：如图所示，过点E作，则，由平行线的性质得到，则； 问题解决：分当点E在线段上时，当点E在线段延长线上时，两种情况利用数学思考和拓展探究的结论求解即可． 解：数学思考：理由如下；如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 拓展探究：，证明如下： 如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴，即； 问题解决：如图所示，当点E在线段上时，由数学思考可得； 如图所示，当点E在线段延长线上时，由拓展探究可得； 综上所述，的度数为或． 3．（24-25七年级下·甘肃酒泉·阶段练习）如图，点在射线上，点、为射线上两个动点，连接，，，，满足平分． 【初步探究】（1）如图1，当点在右侧时，求证：； 【深入探究】（2）如图2，当点在左侧时，过点作，交于点，探究、之间的关系并说明理由； 【衍生拓展】（3）如图3，当点在左侧时，为延长线上一点，平分，交于点，过点作，交于点，连接，若，求的度数． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，垂直的意义，利用平行线的性质和角平分线的定义得出角度的关系式是解题的关键． （1）通过证明，利用内错角相等，两直线平行即可得出结论； （2）利用（1）的方法证明，再利用平行线的性质即可得结论； （3）根据角平分线的定义及角的和差关系即可求出． 解：（1）证明：平分， ， ， ， ； （2）解：， 理由如下， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题 2024-2025学年七年级下学期期中数学常考点分类专题（夯实基础篇） （考查范围：相交线与平行线；二元一次方程组；整式的乘除） 第一部分【考点目录】 篇一：选择填空 第7章 相交线与平行线 【考点1】平移图形的识别............................................................1 【考点2】对顶角定义与性质+垂直定义.................................................2 【考点3】垂线段公理与点到直线距离..................................................3 【考点4】同位角、内错角、同旁内角..................................................4 【考点5】平行公理与平行线的判定....................................................4 【考点6】平行线的性质求值证明......................................................5 【考点7】平行线的判定与性质........................................................6 【考点8】平移的性质................................................................6 第8章 二元一次方程组 【考点9】二元一次方程（组）定义及其解..............................................7 【考点10】二元一次方程组的特殊解法.................................................8 【考点11】三元一次方程组特殊解法...................................................8 【考点12】二元一次方程组的应用.....................................................8 第9章 整式的乘除 【考点13】科学记数法...............................................................9 【考点14】同底数幂的乘法运算.......................................................9 【考点15】同底数幂的乘法逆运算.....................................................9 【考点16】单（多）项式乘法运算与化简求值..........................................10 【考点17】利用乘法公式运算化简求值................................................10 【考点18】整式的乘法运算规律问题..................................................10 【考点19】整式乘法运算与几何图形..................................................11 【考点20】整式的乘除运算中的整体思想..............................................12 篇二：计算、化简求值、解答题 【考点21】解二元一次方程组........................................................12 【考点22】整式的乘除运算..........................................................13 【考点23】整式的乘除化简求值......................................................14 【考点22】整式的乘除与几何图形....................................................14 【考点23】二元一次方程组的应用....................................................15 【考点24】平行线的判定与性质求值证明..............................................16 第二部分【题型梳理与方法展示】 篇一：选择填空 第7章 相交线与平行线 【考点1】平移图形的识别 1．（江西省南昌市部分校联考2024-2025学年七年级下学期月考数学试题）第12届世界运动会将于年8月在四川成都举行，其会徽灵感源于熊猫、芙蓉花、中国结，传达奥林匹克精神，凸显中国与成都特色及价值观．以下会徽能通过如图平移得到的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·广东东莞·阶段练习）下列四个图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（   ） A．   B．   C．   D．   3．（24-25七年级下·全国·期末）数学课上，老师提出了一个问题：如何作一条直线的平行线？如图是小明同学的作法，老师对小明的作法表示了肯定，那么小明作图的原理是（   ） A．两直线平行，同旁内角互补 B．同位角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【考点2】对顶角定义与性质+垂直定义 1．（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）下面四个图形中，与是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，过直线上一点作，直线经过点，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，点O在直线上，过O在上方作射线，，直角三角板的直角顶点与点O重合，边与重合，边在直线的下方．如果三角板绕点O按10度/秒的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 秒时，． 【考点3】垂线段公理与点到直线距离 1．（24-25七年级上·福建福州·期末）在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（    ） A．平板弹墨线 B．建筑工人砌墙 C．弯河道改直 D．测量跳远成绩 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，在三角形中，．点是线段上的一动点，则线段的最小值是 ． 3．（24-25八年级上·山东德州·期中）如图，在四边形中，，，平分，若、分别是，边上的动点，当的值最小时，的度数为 ． 【考点4】同位角、内错角、同旁内角 1．（24-25七年级下·甘肃平凉·阶段练习）如图，下面说法错误的是（   ） A．和是对顶角 B．和是同位角 C．和是同旁内角 D．和是内错角 2．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，与是 角，与是 角． 3．（22-23七年级下·山东济宁·期中）如图，在，，，，和中，同位角对数为a，内错角对数为b，同旁内角对数为c，则 ．      【考点5】平行公理与平行线的判定 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）如图，在下列条件中能判定的有（    ） A． B． C．且 D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在括号内填理由． （1）如图①，因为，，所以（ ）； （2）如图②，因为，过点F画（ ），所以（ ）． 3．（21-22七年级下·江西南昌·阶段练习）如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、，，，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线转动一周的时间内，使得与平行所有满足条件的时间＝ ．    【考点6】平行线的性质求值证明 1．（24-25七年级下·天津滨海新·阶段练习）将一块直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置．以下结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，在三角形中，点分别在上，且． （1）与的位置关系是 ； （2）如果，且，那么 ． 【考点7】平行线的判定与性质 1．（24-25七年级下·甘肃平凉·阶段练习）如图，平分，与互补，，则（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，点E，F分别在，上，点G，H在两条平行线，之间，与的平分线交于点M．若，，则 ． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图，，AC平分，且，则的度数是 ． 【考点8】平移的性质 1．（24-25七年级下·河北沧州·阶段练习）如图，将三角形向右平移得到三角形，且点在同一条直线上，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）如图，沿着由点B到点E的方向平移，得到，若，，那么平移的距离是 ． 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图，将沿直线向右平移后到达的位置．若 ，则的度数 ． 第8章 二元一次方程组 【考点9】二元一次方程（组）定义及其解 1．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）关于x，y的方程中“”处的系数印刷不清楚，已知是这个方程的一组解，则“”处的数是（   ） A． B．1 C．2 D．7 2．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）现有A、B、C、D、E五张卡片，卡片上分别写有一个二元一次方程．若取两张卡片，联立得到的二元一次方程组的解为，则所取的两张卡片为 和 ．（填“A、B、C、D、E”中的两个字母） 3．（24-25八年级上·广东茂名·阶段练习）若是关于，y的二元一次方程，则 ． 【考点10】二元一次方程组的特殊解法 1．（24-25七年级下·四川泸州·阶段练习）若，，则的值是（    ） A．1 B．0 C． D．2 2．（23-24八年级上·江西九江·期末）已知，则为 ． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则 ． 【考点11】三元一次方程组特殊解法 1．（22-23七年级下·海南省直辖县级单位·期末）在等式中，当时，；当时，；当时，．则这个等式为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）一生态牧场上的草每天均匀生长．这片草可供16头牛吃60天，或者供18头牛吃50天．如果将这片草全部割下制成干草以备冬天的草料，但制成干草后使用要比直接使用青草损失的营养．那么，由这些割下来的草所制成的干草可供30头牛吃 天． 3．（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ， ， ． 【考点12】二元一次方程组的应用 1．（24-25八年级上·四川成都·期末）我国古代经典数学著作《孙子算经》中记载着这样一个题目：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x尺，绳子长y尺，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）我国古典文学名著《西游记》讲述了孙悟空、猪八戒、沙和尚保护唐僧西天取经，沿途降妖除魔，历经九九八十一难，到达西天取得真经修成正果的故事．现请你欣赏下面描述孙悟空追妖精的数学诗：悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时四分行六百，风速多少才称雄？解释：孙悟空顺风去查妖精的行踪，4分钟就飞跃1 000里，逆风返回时4分钟走了600里，则风速是 里/分． 3．（22-23七年级下·河北秦皇岛·期中）在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的大棚油桃喜获丰收，去年大棚油桃的利润（利润=收入-支出）为12000元，今年大棚油桃的收入比去年增加了20%，支出减少了10%，预计今年的利润比去年多11400元，设小明家去年种植大棚油桃的收入为x元，支出是y元．依题意列方程组 ． 第9章 整式的乘除 【考点13】科学记数法 1．（24-25八年级上·浙江台州·期末）“纳米机器人”是机器人工程学的一种新兴科技，我国首创的一款溶栓纳米机器人的体积极小，长度约为，将数据0.00000117用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）某种细胞的直径约为，用科学记数法表示为，则原数中小数点后“0”的个数为 ． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）北宋诗人苏轼在《前赤壁赋》中写道：“寄蜉游于天地，渺沧海之一粟．”“沧海一粟”比喻非常渺小．据测量，200粒粟的质量大约为，1粒粟的质量用科学记数法可表示为 g． 【考点14】同底数幂的乘法运算 1．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）已知，则的值为（    ） A． B．3 C．9 D． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则满足的关系式是 ． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）新定义题  同底数幂的乘法法则为（其中为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数的一种新运算：．若，则 ． 【考点15】同底数幂的乘法逆运算 1．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）若，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25七年级下·河北保定·阶段练习）若，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·湖北恩施·阶段练习）已知，，试用含，的式子表示： ． 【考点16】单（多）项式乘法运算与化简求值 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）观察图1中多项式乘以多项式的运算规律，将之迁移到图2所示运算中，可得是（   ） A． B．3 C． D．10 2．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）已知代数式的值是6，则代数式的值是 ． 3．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）已知的乘积中不含和项，那么 ． 【考点17】利用乘法公式运算化简求值 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）为了运用平方差公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则m的值是 ． 3．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）已知，代数式 ． 【考点18】整式的乘法运算规律问题 1．（23-24七年级下·贵州六盘水·期中）如图所示的“杨辉三角”告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，如：第三行的三个数，恰好对应展开式中各项的系数；第四行的四个数恰好对应着的系数．根据数表中前四行的数字所反映的规律计算求值：（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将此表称为“杨辉三角”．如图所示，则中第三项系数为 ． 3．（24-25七年级上·河南商丘·阶段练习）观察下列算式，，，，，，…，通过观察，用你发现的规律，可以得出的末位数字为 ． 【考点19】整式乘法运算与几何图形 1．（18-19七年级下·广东深圳·期中）如图，边长为的大正方形剪去一个边长为的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形，根据图形能验证的等式为（    ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为 ． 3．（21-22七年级下·山东青岛·期中）已知长方形金鱼池的面积为1平方米，周长为6米，以长方形鱼池相邻两边向外作正方形的小花园，则两个正方形小花园面积之和是 ． 【考点20】整式的乘除运算中的整体思想 1．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）已知，则（    ） A．3 B．2 C． D． 2．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）若，则的值为 ． 3．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）已知，则等于 ． 篇二：计算、化简求值、解答题 【考点21】解二元一次方程组 1．（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）解下列方程组： （1）； （2）； （3）； （4）． 2．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）下面是小星同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：，得．③………………第一步 ，得，………………第二步 ，………………第三步 将代入①，得， ，………………第四步 ∴原方程组的解为………………第五步 解决下列问题： （1）上述这种求解二元一次方程组的方法叫做______法； （2）小星同学第______步开始出现错误； （3）求该方程组的正确解． 3．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）解下列方程组 （1） （2）小明求得方程组的解为，由于不小心，滴上了墨水，刚好遮住了两个数和，求这两个数． 【考点22】整式的乘除运算 1．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）计算题 （1）； （2） （3）；（用乘法公式计算） （4）． 2．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）已知：． （1）求的值 （2）已知：，求x的值 3．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）计算： （1）． （2）． （3）． （4）． （5）． （6）． （7）． （8）． 【考点23】整式的乘除化简求值 1．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）（1）已知，求和的值； （2）已知．求的值． 2．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习） 化简求值： （1），其中； （2）若，，求的值． 3．（24-25七年级下·四川成都·阶段练习）先化简，再求值：，其中，． 【考点22】整式的乘除与几何图形 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图1，在边长为a的大正方形中减去一个边长为b的小正方形，然后将剩余部分剪拼成如图2所示的长方形． （1）比较图1和图2中空白部分的面积，可以得到等式：_________； （2）请用上面得到的公式计算下面各题： ①已知，，则_________； ②计算：； ③计算：． 2．（2023八年级上·全国·专题练习）图①是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． （1）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积． 方法1： ；方法2： ； （2）观察图②请你写出下列三个代数式；之间的等量关系； （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：，求：的值； ②已知：，求：的值． 3．（24-25八年级下·四川乐山·阶段练习）我们知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这些形式表示，例如：，就可以用图甲或图乙等图形的面积表示． （1）请写出图丙所表示的代数恒等式； （2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示为： 【考点23】二元一次方程组的应用 1．（24-25八年级上·河南郑州·期末）随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． （1）求A，B两种头盔的单价各是多少元； （2）若该商店计划正好用450元购进A，B两种头盔两种头盔均购买，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元，求该商店共有几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 2．（24-25八年级上·广东佛山·期末）为打造一河两岸景观带，需对一段长350米的河边道路进行整治，任务由，两个工程队先后接力完成，工程队每天整治15米，工程队每天整治10米，共用时30天，求两工程队用时的天数． （1）根据题意，甲、乙两位同学分别列出了如下不完整的方程组： 甲：    乙： 根据申、乙两同学所列的方程组，指出未知数的含义： 甲：表示______________；乙：表示_______________． （2）从上述方程组中任选一组，将其补全，解答问题． 3．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，四条街围成边长是的正方形，小宇家住在东西方向的街道的点P处，他的学校在东西方向的街道的点Q处．已知小宇爸爸骑摩托车在东西方向的街道的速度是，在南北方向的街道的速度是．小宇爸爸骑摩托车沿送小宇上学需要，沿（在B处遇堵车立即掉头）回家需要． （1）小宇爸爸骑行摩托车跑一圈需要多少分钟？ （2）求的长度． 【考点24】平行线的判定与性质求值证明 1．（24-25七年级下·河南安阳·阶段练习）如图，已知，，垂足分别为、，，试说明：．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由． 解：∵，（已知） ∴（①________）， ∴②________（③________）， ∴④________（⑤________）． 又∵（已知）， ∴（⑥___________）， ∴⑦________（⑧________）， ∴（⑨________）． 2．（23-24七年级上·河南开封·期末）问题情景： 数学活动课上，小明发现右图中蕴含着一个数学模型． 数学思考： 如图①，若，点在，之间，连接，，则，请说明理由． 拓展探究： 小明还发现若改变点的位置，如图②，若点在上方，连接，，则，，依然存在一定的数量关系，请认真思考后得出结论，并进行证明． 问题解决： 如图③，，点在射线上运动，，．请直接写出的度数． 3．（24-25七年级下·甘肃酒泉·阶段练习）如图，点在射线上，点、为射线上两个动点，连接，，，，满足平分． 【初步探究】（1）如图1，当点在右侧时，求证：； 【深入探究】（2）如图2，当点在左侧时，过点作，交于点，探究、之间的关系并说明理由； 【衍生拓展】（3）如图3，当点在左侧时，为延长线上一点，平分，交于点，过点作，交于点，连接，若，求的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$