精品解析：广西壮族自治区北海市第七中学2024-2025学年高三下学期3月考试数学试题

2024—2025学年第二学期高三3月考试 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据得，利用集合间的关系可求的取值范围. 【详解】∵，∴， ∵，， ∴. 故选：B. 2. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的四则运算化简可得，进而可得复数的模. 【详解】， 则， 故选：C. 3. 设等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 33 B. 44 C. 55 D. 66 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列求和公式即可. 【详解】由等差数列前n项和公式可知. 故选：C. 4. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数和为可得，利用通项公式计算可得结果. 【详解】∵展开式的二项式系数之和为， ∴，故， ∴展开式的第项为， 由得， ∴，即含项的系数为. 故选：B. 5. 函数与的图象在上的交点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分别画出与的图象，结合图象，即可得到结果. 【详解】由题意作出与的图象： 结合图象可以得到在上两图象有5个交点， 故选：D. 6. 已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设球心到上底面圆心的距离为h，由题意可得，求解即可. 【详解】由题意可知圆台的高为. 设球心到上底面圆心的距离为h，则，解得. 则，所以圆台的外接球的表面积为. 故选：D. 7. 已知球的体积为，在球的内部放置一个圆锥，则能放下的圆锥的最大体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先求出球的半径，再结合锥体的体积公式可得，方法一：求导即可得圆锥的最大体积；方法二：利用三维基本不等式即可求出圆锥的最大体积. 【详解】由球的体积为，可得球半径为， 设圆锥高为，则底面圆半径为，所以圆锥体积， 方法一：设，则， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 所以. 方法二：由， 当且仅当时取等号，即时，最大为. 故选：A. 8. 已知函数，若方程恰有四个不同实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，作出函数的图象，然后求得与相切时的值，然后分，以及讨论两函数图像交点个数，即可得到结果. 【详解】如图所示，作出函数的图象， 易知， 先求与相切时的值， 设切点为，则切线方程为， 将代入，化简得，易知函数单调递增，，所以， 所以当时，与有两个交点； 当时，与有一个交点， 当时，与没有交点. 易知两函数图象均关于对称，可联立 得，，则， 此时切点横坐标为， 当过点时，， 所以当时，与有两个交点； 当时，与没有交点； 当时，与有三个交点. 综上，若与有四个交点， 则， 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在一个不透明的袋子里装有编号为1，2，3的3个白球和编号为4，5的2个红球.这五个小球除颜色外完全相同.现从中不放回地抽取2次，每次抽取一个小球，则下列说法正确的是（ ） A. 第二次抽到红球的概率为 B. 在抽取过程中，至少有一次抽到红球的概率为 C. 若已知第二次抽到的是红球，则第一次也抽到红球的概率为 D. 设抽到红球的个数为X，则 【答案】AD 【解析】 【分析】利用古典概型概率公式求得对应概率判断ABC，X可能取值为0，1，2，利用古典概型概率公式求得分布列，进而计算期望判断D. 【详解】第二次抽到红球的概率为，故A正确； 至少有一次抽到红球的概率为，故B错误； 已知第二次抽到的是红球，则第一次也抽到红球的概率为，故C错误； X可能取值为0，1，2，，， 故，故D正确. 故选：AD. 10. 以下选项正确的是（ ） A. 若等比数列的公比为，则“”是“是递增数列”的必要条件 B. 函数的图像关于对称，则 C. 函数在区间上的最小值为 D. 数列的前项和 【答案】ACD 【解析】 【分析】A由，则为摆动数列可判断；B 利用对称性可得可计算；C由于分子和分母均为正数，分析其各自的单调性即可判断最值；D采用裂项相消即可. 【详解】A，若等比数列的公比，则为摆动数列，显然不单调递增， 若等比数列是递增数列，一定有，A正确； B，因为函数的对称轴为，所以， 整理得：，则，B错误； C，首先且在区间上单调递减， 且在区间上单调递减，在上单调递增，对称轴为， 分析可知最小值在上，此时分子且单调递减，分母单调递增， 此时函数为单调递减函数，所以当时取得最小值为正确； D，因， 则，D正确. 故选：ACD. 11. 已知椭圆，过平面直角坐标系原点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点和点，则下列说法正确的是（ ） A. 四边形一定有内切圆 B. 四边形一定有外接圆 C. 四边形面积的最小值为 D. 四边形周长的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】结合题意分析易得四边形是菱形，进而判断AB；设，，，代入椭圆的方程整理可得，再结合基本不等式求解判断C；求出菱形的内切圆半径，进而求解判断D. 【详解】由题意可知，由椭圆的对称性，与关于原点对称，与关于原点对称， 所以四边形是平行四边形，且对角线互相垂直， 所以四边形是菱形，那么对角线就是角平分线， 所以对角线交点即为到四条边的距离相等，所以四边形一定有内切圆，A正确； 四边形是菱形，它不一定有外接圆，比如轴时，B错误； 在椭圆中，设， 则，即， 代入椭圆的方程得， 整理得， 两式相加可得，由上式，所以， 那么菱形的面积，当且仅当时等号成立，C正确； 由上述可知， 原点到两条边的距离即为内切圆半径， 又（为菱形的周长），， 所以菱形的周长，D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的一个焦点为，则的渐近线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据焦点求出，再得出，即可得出渐近线方程. 【详解】因为焦点为，所以， ，， 所以双曲线， 故渐近线方程为. 故答案为： 13. 中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且，那么边______. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用正弦定理求得的值，再由余弦定理可得关于的方程，解之，并检验多解情形. 【详解】由正弦定理可知， 又，那么，解得， 由余弦定理，解得或. 当时，，所以，那么， ，，所以为等腰直角三角形，不满足题意. 故答案为:. 14. 双曲线的左、右焦点分别为，，直线轴且与双曲线C在第一象限交于点P.设内切圆半径为r，若，则双曲线C的离心率的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】设内切圆E与分别相切于点M，N，Q，则，利用切线的性质可得，可得，求解即可. 【详解】设内切圆E与分别相切于点M，N，Q， 则，且，，， 所以，因为直线的倾斜角为， 所以，所以 因为， 由双曲线的定义可知，，所以，即， 所以，，所以，那么，即. 两边同时除以，则，解得或，又，则e的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 中角所对的边分别为，，. （1）若，求的面积； （2）求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件得，，根据正弦定理计算得，结合三角形面积公式可得结果. （2）根据条件可得，利用二倍角公式把化为关于的二次函数，由此可得最大值. 【小问1详解】 当时，， ∵，∴，， 由正弦定理得，，即，故， ∴. 【小问2详解】 ∵，∴，故， ∴， ∵，∴， ∵，∴或， ∴或（舍）， ∴， ∵，∴，故， ∴当时，有最大值，最大值为. 16. 已知函数，其中为常数. （1）过原点作图象的切线，求直线的方程； （2）若，使成立，求的最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）设切点，求导得出切线方程，代入原点，求出参数即得切线方程； （2）由题意，将其等价转化为在有解，即只需求在上的最小值，利用导数分析推理即得的最小值. 【小问1详解】 设切点坐标为，则切线方程为， 因为切线经过原点，所以，解得， 所以切线的斜率为，所以的方程为. 【小问2详解】 ，，即成立， 则得在有解， 故有时，. 令，，， 令得；令得， 故在单调递减，单调递增， 所以， 则，故的最小值为. 17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，是棱的中点，若侧棱底面，且直线与平面所成角的正弦值为. （1）求的值； （2）求平面与平面所成角的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，设，利用坐标法表示线面夹角，即可得解； （2）利用坐标法可得两平面的法向量，进而可得两平面夹角. 【小问1详解】 连接， 由直角梯形满足，，，， 可得，， 所以可得， 取的中点，连接， 计算可得，，所以， 所以， 所以，以为轴，为轴，为轴建立坐标系， 令， ，，，， 所以， ，， 令平面的法向量为， 则，即， 令，则， ， 计算得或， 即或， 又， 所以； 【小问2详解】 因为侧棱底面，平面， 所以， 又因为，，，平面， 可得平面， 又平面， 可得， 又因为，点是棱的中点， 所以， 又，平面， 所以平面， 所以为平面的法向量， 由于，，，，平面， 所以平面， 所以平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面所成角的大小为. 18. 国产动画电影《哪吒之魔童闹海》凭借其独特的艺术魅力与深刻的故事情节吸引了无数观众的目光，电影中的人物哪吒也深得观众喜爱.某公司适时推出20种款式不同的哪吒玩偶随机购活动，购买规则及概率如下：每次购买一个，且买到任意一种款式是等可能的.小王特别喜欢20种款式中的一种. （1）若20种款式的玩偶各有一个. （ⅰ）求小王第二次才买到特别喜欢的款式的概率； （ⅱ）设小王买到特别喜欢的款式所需次数为X，求X的数学期望. （2）若每种款式的玩偶数量足够多，每次玩偶被买后公司都会补充被买走的款式.为了满足客户的需求，引进了保底机制：在购买前指定一个款式，若前6次未买到指定款式，则第7次必定买到指定款式.设Y为小王买到某指定款式所需的次数，求Y的数学期望. （参考数据：，结果保留整数） 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2） 【解析】 【分析】（1）（i）根据条件，利用全概率公式，即可求解；（ii）由题知的可能取值为，利用古典概率公式求出相应取值对应的概率，即可求出分布列，再利用期望的计算公式，即可求解； （2）根据条件，求出的分布列，进而求出，再利用错位相减法，即可求解. 【小问1详解】 （i）设小王第次买到特别喜欢的款式为事件. 则小王第二次才买到特别喜欢的款式的概率为； （ii）的可能取值为， 则， 所以的分布列为 1 2 19 20 则； 【小问2详解】 记的可能取值为. 因为前6次（包含第6次）没有保底， 则，其中， ， 所以的分布列为 1 2 6 7 则. 记， 则， 两式相减，得 ， 所以. 19. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2），求 的值； （3）对于任意的，求证：． 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当 时，在上单调递减，在上单调递增； （2） ； （3）证明：由（2）知，在上，则， 令，则， 所以，得证. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，讨论、 研究导数的符号，即可确定单调性； （2）根据题设得 且，利用导数研究左侧的最值，即可得参数值； （3）根据（2）的结论有，则，应用累加即可证结论. 【小问1详解】 由题设且， 当时，，即在上单调递增； 当 时，令，则， 若，则，即在上单调递减， 若，则，即在上单调递增； 【小问2详解】 由且的定义域为， 由（1）知，在上单调递增，即上有，不符合； 所以 ，结合此时的性质，只需， 令，故， 当时，即在上单调递增， 当时，即在上单调递减， 所以 ，即， 所以，只需 ，满足. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第二学期高三3月考试 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 设等差数列的前n项和为，若，则（ ） A. 33 B. 44 C. 55 D. 66 4. 若展开式的二项式系数之和为，则展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. D. 5. 函数与的图象在上的交点个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知圆台的上、下底面半径分别为2和4，母线与底面所成的角为，则圆台的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知球的体积为，在球的内部放置一个圆锥，则能放下的圆锥的最大体积是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若方程恰有四个不同实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在一个不透明的袋子里装有编号为1，2，3的3个白球和编号为4，5的2个红球.这五个小球除颜色外完全相同.现从中不放回地抽取2次，每次抽取一个小球，则下列说法正确的是（ ） A. 第二次抽到红球的概率为 B. 在抽取过程中，至少有一次抽到红球的概率为 C. 若已知第二次抽到的是红球，则第一次也抽到红球的概率为 D. 设抽到红球的个数为X，则 10. 以下选项正确的是（ ） A. 若等比数列的公比为，则“”是“是递增数列”的必要条件 B. 函数的图像关于对称，则 C. 函数在区间上的最小值为 D. 数列的前项和 11. 已知椭圆，过平面直角坐标系原点作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点和点，则下列说法正确的是（ ） A. 四边形一定有内切圆 B. 四边形一定有外接圆 C. 四边形面积的最小值为 D. 四边形周长的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的一个焦点为，则的渐近线方程为__________. 13. 中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且，那么边______. 14. 双曲线的左、右焦点分别为，，直线轴且与双曲线C在第一象限交于点P.设内切圆半径为r，若，则双曲线C的离心率的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 中角所对的边分别为，，. （1）若，求的面积； （2）求的最大值. 16. 已知函数，其中为常数. （1）过原点作图象的切线，求直线的方程； （2）若，使成立，求的最小值. 17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，是棱的中点，若侧棱底面，且直线与平面所成角的正弦值为. （1）求的值； （2）求平面与平面所成角的大小. 18. 国产动画电影《哪吒之魔童闹海》凭借其独特的艺术魅力与深刻的故事情节吸引了无数观众的目光，电影中的人物哪吒也深得观众喜爱.某公司适时推出20种款式不同的哪吒玩偶随机购活动，购买规则及概率如下：每次购买一个，且买到任意一种款式是等可能的.小王特别喜欢20种款式中的一种. （1）若20种款式的玩偶各有一个. （ⅰ）求小王第二次才买到特别喜欢的款式的概率； （ⅱ）设小王买到特别喜欢的款式所需次数为X，求X的数学期望. （2）若每种款式的玩偶数量足够多，每次玩偶被买后公司都会补充被买走的款式.为了满足客户的需求，引进了保底机制：在购买前指定一个款式，若前6次未买到指定款式，则第7次必定买到指定款式.设Y为小王买到某指定款式所需的次数，求Y的数学期望. （参考数据：，结果保留整数） 19. 已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2），求 的值； （3）对于任意的，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $