精品解析：湖南省部分学校2025届高三“一起考”大联考（模拟一）数学试卷

2025届高三“一起考”大联考（模拟一） 数学 （时量）120分钟满分：150分） 命题人：湖南师大附中 陈淼君 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意计算，，根据补集的定义可求出结果. 【详解】解：由题知， 则，， 所以，所以中元素的个数为3. 故选：C． 2. 若是复数，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，由条件结合复数的几何意义确定复数在复平面上的对应点为的轨迹，结合复数模的几何意义求结论. 【详解】设，则复数在复平面上的对应点为， 因为， 所以，故， 所以点轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 所以点到原点的最大距离为， 所以的最大值为. 故选：B． 3. 在数列中，，且，则（ ） A. 3 B. -2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由递推关系求前几项的值，判断出数列是以4为周期的数列，利用周期性求出. 【详解】数列中，，且， 则，，，，，， 所以，即数列是以4为周期的数列， 所以， 故选：A． 4. 已知函数的最小正周期为，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的值域，可得与的取值，利用三角函数周期与最值的关系，可得答案. 【详解】由题意可知函数的最小正周期， 由，且， 则与分别为函数的最大(小)，小(大)值，所以. 故选：A. 5. 如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方体的性质判断点是否共面，并应用平面的性质画出截面即可判断. 【详解】由正方体性质，选项A，B，C中，A，B，C，D四点显然不共面． 对于D选项，如下图取E，F为正方体所在棱的中点，依次连接ADCEBF， 易知ADCEBF为平面正六边形，所以A，B，C，D四点共面． 故选：D 6. 若函数为偶函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据为偶函数，得在(或其子集)上为偶函数，求得的取值范围. 【详解】函数为偶函数，的定义域为，且为偶函数， 在(或其子集)上为偶函数， 恒成立， 恒成立， 故选: A . 7. 二十名校国旗班成员站成一排参加训练，教育计划在20人中选9人进行第一项训练，若这9人在原来队列中互不相邻、则教官的选择方式一共有（ ） A. 220种 B. 55种 C. 210种 D. 110种 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，采用插空法求解即可. 【详解】本题等价于向11个人的队中插入9个人使他们不相邻，考虑插空法即为220， 故选：A． 8. 已知定义域为且，则的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知，得，则，可得，利用换元法转化为二次函数，即可求得的最小值. 【详解】因为， 则， 所以， 又，得，则， 故， 令，则，， 因为时，则函数在单调递增， 因为时，则函数在单调递减， 且时， 所以，， 则，令，其图象的对称轴， 则在单调递减， 所以，即的最小值是. 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）已知曲线Γ：（），则（ ） A. Γ可能是等轴双曲线 B. 若Γ表示焦点在y轴上的椭圆，则 C. Γ可能是半径为的圆 D. 若Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据圆，椭圆，双曲线的标准方程，逐一判断选项即可. 【详解】对于A，若Γ是等轴双曲线，则，显然不成立，故A错误； 对于B，Γ表示焦点在y轴上的椭圆， 则，解得，故B正确； 对于C，Γ是圆，则，解得，半径为，故C正确； 对于D，Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则， 解得，故D正确. 故选：BCD. 10. 小王经过调查获得如下数据： 2 4 7 17 30 1 2 3 4 5 参考公式：相关系数，，． 下列说法正确的有（ ） A. 该数据组的线性回归方程（系数精确到0.01）为 B. 该数据组的相关系数，很接近1说明该数据组拟合效果很好 C. 所有数据点中残差最小的是 D. 去掉数据点后，回归直线会向下移动 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给出的相关系数公式，以及回归直线斜率和截距的最小二乘法公式求出线性回归方程，结合残差的定义逐项分析判断. 【详解】对于A，，， ， ， 所以，， 所以该数据组的线性回归方程为，故A正确； 对于B，由， 则，很接近1说明两个变量相关性越强，与拟合效果无关，故B错误； 对于C，由残差，结合A项的回归方程可得， ，，， ，，所有数据点中残差最小的是，故C正确； 对于D，，故点在回归直线上方，故去掉该点后，回归直线下移，故D正确． 故选：ACD． 11. 下列说法不正确的有（ ） A. 正四面体的四个面所在平面可以将空间划分为15个区块 B. 若直线和平面均垂直于平面，则 C. 正八面体的八个面所在平面可以将空间划分的区块数是正四面体划分区块数的4倍 D. 从空间内任意一点出发，最多可以引出5条射线使得他们两两之间的夹角均为钝角 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，参考直线划分平面的思路，通过增加平面计算增加空间区域数量，可得到正四面体的四个面所在平面可以将空间划分为15个区块；对于B，由线面、面面关系，即可判断；对于C，同选项A，可得正八面体的八个面所在平面可以将空间划分的区块数，即可判断；对于D，假设5条射线可以两两成钝角，通过空间向量数量积的坐标表示，推得假设不成立，即可判断. 【详解】对于A，参考直线划分平面的思路， 当新加入平面后，考虑已有平面与原有平面的交线可以将新加入的平面划分为个区域， 由于每一个区域可将原空间一分为二，所以新增加的区块数为（新加入平面被划分的区域）． 例如：一个平面将空间划分为2块，加入新平面．若平行，那么新增加的区块数为1． 若不平行，那么与有一条交线，这条交线把平面划分为2个区域，所以新增加的区块数为2． 类比分析四面体划分的区块， ①平面将空间划分为2个部分． ②增加平面，平面与平面的交线为，直线将平面一分为二， 每个区域将所在空间一分为二，故增加了2个区块，此时区块数为． ③增加平面，平面与平面的交线为，平面与平面的交线为， 这两条交线相交，将平面分为4个区域，这4个区域将所在空间一分为二， 故增加了4个区块，此时区块数为． ④增加平面，平面与上述三个平面的交线分别为，，，这3条交线将平面分为7个区域， 这7个区域将其所在空间一分二，故增加了7个区块，此时区块数为． 故正四面体的四个面所在平面可以将空间划分为15个区块，故A正确； 对于B，也可以，故B错误； 对于C，同选项A，正八面体的八个面所在平面可以将空间划分的区块数为59个，，故C错误； 对于D，假设5条射线可以两两成钝角，设起始点为，终点为， 则，以方向建立轴，， 那么，，，都在平面的的负半轴一侧，， 又恒大于0，且是在平面上的投影向量的数量积， 于是总有，使得．从而，故假设不成立，故D错误． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题、每小题5分，共15分． 12. 已知，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以． 13. 已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，，分别为的左，右顶点，为上一点，且轴，过点A的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的中点，则的离心率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设直线的方程为，与联立求，与联立求，利用中点公式求，根据关系，，三点共线列方程可得，结合离心率定义求结论. 【详解】由题意可设，，， 设直线的方程为， 令，可得，令，可得． 设的中点为，可得， 因为，，三点共线， 所以，又，， 所以， 所以，即， 所以椭圆的离心率. 故答案为：. 14. 已知，若在上有解，则的最小值是_____． 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意，的最小值即为原点到直线的距离的平方，从而求解． 【详解】因为函数， 又在上有解， 设这个解是，则， 则，即， 即点可看作在动直线上，则可转化为点到原点距离的平方的最小值． 则，令，， 则， 当且仅当，即时取等号，此时， 则． 故答案为：12. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，是互不相等的正实数． （1）若，，成等差数列，求证：，，不可能是等比数列； （2）设的内角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用反证法求证即可； （2）通过等比数列以及余弦定理基本不等式推出，利用三角形两边和大于第三边，推出，即可得到结论． 【小问1详解】 假设，，成等比数列，所以，① 因为，，成等差数列，所以，② 由①②可得，与已知，，是互不相等的正实数矛盾， 故假设不成立，原命题成立． 【小问2详解】 因为，，成等差数列，所以，所以， 由余弦定理和基本不等式可得 ， 当且仅当时，等号成立， 因为，，为的三边，所以， 所以，所以，所以． 16. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与底面夹角的余弦值； （3）求平面与四棱锥表面的交线围成的图形的周长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，可得，利用线面平行的判定定理，即可证得； （2）首先建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量利用坐标运算，即可求出平面与底面所成角的余弦值； （3）利用图形的对称性，设交点Q，利用坐标运算求向量的模，即可求得平面与四棱锥表面的交线围成的图形的周长. 【小问1详解】 如图，连接， 因为，分别为，的中点，所以， 又平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 因为底面，又平面， 所以， 又底面为正方形，则， 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，分别为，的中点． 则，，， 所以，． 设平面的一个法向量为， 所以， 令，则，，所以． 因为平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与底面夹角的余弦值为． 【小问3详解】 平面与棱交于一点， 由（2），设交点，则，， 又，所以， 则，所以， 又，， 则，即， 所以平面与四棱锥表面的交线围成的图形的周长为． 17. 市教育局计划举办某知识竞赛，先在，，，四个赛区举办预赛，每位参赛选手先参加“赛区预赛”，预赛得分不低于100分就可以成功晋级决赛．赛区预赛具体规则如下：每位选手可以在以下两种答题方式中任意选择一种答题．方式一：每轮必答2个问题，共回答6轮，每轮答题只要不是2题都错，则该轮次中参赛选手得20分，否则得0分，各轮答题的得分之和即为预赛得分；方式二：每轮必答3个问题，共回答4轮，在每一轮答题中，若答对不少于2题，则该轮次中参赛选手得30分，如果仅答对1题，则得20分，否则得0分．各轮答题的得分之和即为预赛得分．记某选手每个问题答对的概率均为． （1）若，求该选手选择方式二答题晋级的概率； （2）证明：该选手选择两种方式答题的得分期望相等． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先求该选手选择方式二答题，记每轮得分的可能及其概率，记预赛得分为，根据晋级所需分数求出即可得解； （2）分别求出该选手选择两种方式答题的得分期望，直接进行判断即可得解. 【详解】（1）该选手选择方式二答题，记每轮得分为， 则可取值为0，20，30， 且，， 记预赛得分为， ∴该选手所以选择方式二答题晋级的概率为． （2）该选手选择方式一答题： 设每轮得分为，则可取值为0，20， 且， ∴， 设预赛得分为，则， ． 该选手选择方式二答题： 设每轮得分，则可取值为0，20，30，且 ， ， ， ∴． 设预赛得分为，则 ， 因为，所以该选手选择两种方式答题的得分期望相等． 【点睛】本题考查了随机事件的概率，考查了离散型变量的期望，计算量较大，属于中档题. 本题的关键点有： （1）理解题目所给情形，并能转化成概率模型； （2）根据情形，精确求随机事件的概率. 18. 已知抛物线上的任意一点到焦点的距离比到y轴的距离大. （1）求抛物线C的方程； （2）过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，若三角形ABP的重心G在定直线上，求三角形ABP面积的最大值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意，抛物线上的任意一点到焦点的距离与到直线的距离相等，然后根据抛物线的定义即可求得答案. （2）设动点，切点，，进而设出切线方程并代入抛物线方程，结合判别式法和点G在直线上得到的关系，然后取线段AB的中点Q，求出点Q的坐标，最后根据求得答案. 【小问1详解】 根据题意，抛物线上的任意一点到焦点的距离与到直线的距离相等，由抛物线的定义可知：，，抛物线C的方程为. 【小问2详解】 设动点，切点，. 设过A的切线PA方程为，与抛物线方程联立， 消去x整理得，，所以， 所以切线PA方程为，同理可得切线PB方程为， 联立解得两切线的交点，所以有. 因为， 又G在定直线，所以有，即P的轨迹为， 因为P在抛物线外，所以. 如图，取AB中点Q，则， 所以，因为， 所以，所以，所以当时，. 【点睛】本题第（2）问运算量大，一定要注意对根与系数的关系的应用，另外本题为什么要取点Q，一方面是受点G为三角形的重心的影响，另一方面是为了处理三角形的面积，即有，平常一定要多加训练，培养自己做题的感觉. 19. 已知函数． （1）若，且有2个不同的零点． （i）求的取值范围； （ii）求证：． （2）记，对于任意，总存在，使得，求的取值范围． 参考公式：若与存在，则． 【答案】（1）（i）；（ii）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）（i）分离参数得，利用导数研究函数的单调性，结合图象可得范围；（ii）令，用表示，构造关于的函数，利用导数研究函数单调性及所给函数极限，即可证明不等式； （2）根据题意，转化为求解的最小值，令，构造得到关于的不等式，结合取等条件可得最小值. 【小问1详解】 （i）由得，显然不是方程的解. 当时，分离参数得， 由题意得关于的方程有两个解. 令，则， 当时，，在上单调递减，且； 当时，，在上单调递减，且； 当时，，在上单调递增，且； 当；当； 当；当； 如图作出的大致图象. 于是要使有两个解. 故的取值范围为. （ii）证明：结合题意及（i）有； 所以，且， 令，将代入上式解得， 则，， 要证，即证， 令, 则 ， 令，， 则， 令，， 则， 令，， 则， 则在单调递减，所以，即， 则在单调递增，所以，即， 则在单调递减，所以， 故，则在单调递增，且， 又， 故，即得证. 【小问2详解】 ，，且. 总存在，使得，则， 不妨设，简记为. 对于任意，恒成立，则. 由，可知在或或的极值点处取到. 则①，②， 由①②得，， 故当且仅当，且， 即时，“”成立，此时，且； 则， 所以③， 又④， 则由③④得，， 所以. 当且仅当， 即时，“”成立. 所以当，时，， 综上所述，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025届高三“一起考”大联考（模拟一） 数学 （时量）120分钟满分：150分） 命题人：湖南师大附中 陈淼君 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若是复数，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 3. 在数列中，，且，则（ ） A. 3 B. -2 C. D. 4. 已知函数的最小正周期为，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（ ）． A. B. C. D. 6. 若函数为偶函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 7. 二十名校国旗班成员站成一排参加训练，教育计划在20人中选9人进行第一项训练，若这9人在原来队列中互不相邻、则教官的选择方式一共有（ ） A. 220种 B. 55种 C. 210种 D. 110种 8. 已知的定义域为且，则的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 （多选）已知曲线Γ：（），则（ ） A. Γ可能是等轴双曲线 B. 若Γ表示焦点在y轴上的椭圆，则 C. Γ可能是半径为的圆 D. 若Γ表示焦点在x轴上双曲线，则 10. 小王经过调查获得如下数据： 2 4 7 17 30 1 2 3 4 5 参考公式：相关系数，，． 下列说法正确的有（ ） A. 该数据组的线性回归方程（系数精确到0.01）为 B. 该数据组的相关系数，很接近1说明该数据组拟合效果很好 C. 所有数据点中残差最小的是 D. 去掉数据点后，回归直线会向下移动 11. 下列说法不正确的有（ ） A. 正四面体的四个面所在平面可以将空间划分为15个区块 B 若直线和平面均垂直于平面，则 C. 正八面体的八个面所在平面可以将空间划分的区块数是正四面体划分区块数的4倍 D. 从空间内任意一点出发，最多可以引出5条射线使得他们两两之间的夹角均为钝角 三、填空题：本题共3小题、每小题5分，共15分． 12. 已知，则_____． 13. 已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，，分别为的左，右顶点，为上一点，且轴，过点A的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的中点，则的离心率为_____． 14. 已知，若在上有解，则最小值是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，是互不相等的正实数． （1）若，，成等差数列，求证：，，不可能等比数列； （2）设的内角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，求证：． 16. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与底面夹角的余弦值； （3）求平面与四棱锥表面的交线围成的图形的周长． 17. 市教育局计划举办某知识竞赛，先在，，，四个赛区举办预赛，每位参赛选手先参加“赛区预赛”，预赛得分不低于100分就可以成功晋级决赛．赛区预赛的具体规则如下：每位选手可以在以下两种答题方式中任意选择一种答题．方式一：每轮必答2个问题，共回答6轮，每轮答题只要不是2题都错，则该轮次中参赛选手得20分，否则得0分，各轮答题的得分之和即为预赛得分；方式二：每轮必答3个问题，共回答4轮，在每一轮答题中，若答对不少于2题，则该轮次中参赛选手得30分，如果仅答对1题，则得20分，否则得0分．各轮答题的得分之和即为预赛得分．记某选手每个问题答对的概率均为． （1）若，求该选手选择方式二答题晋级的概率； （2）证明：该选手选择两种方式答题的得分期望相等． 18. 已知抛物线上的任意一点到焦点的距离比到y轴的距离大. （1）求抛物线C的方程； （2）过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，若三角形ABP的重心G在定直线上，求三角形ABP面积的最大值. 19. 已知函数． （1）若，且有2个不同的零点． （i）求的取值范围； （ii）求证：． （2）记，对于任意，总存在，使得，求的取值范围． 参考公式：若与存在，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$