湖南省部分学校2025届高三“一起考”大联考（模拟一）数学试卷

2025届高三“一起考”大联考（模拟一） 数学 （时量）120分钟满分：150分） 命题人：湖南师大附中 陈淼君 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，，则中元素的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 若是复数，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 3. 数列中，，且，则（ ） A. 3 B. -2 C. D. 4. 已知函数的最小正周期为，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在下列四个正方体中，A，B，C，D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A，B，C，D四点共面的是（ ）． A. B. C. D. 6. 若函数为偶函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 7. 二十名校国旗班成员站成一排参加训练，教育计划在20人中选9人进行第一项训练，若这9人在原来队列中互不相邻、则教官的选择方式一共有（ ） A. 220种 B. 55种 C. 210种 D. 110种 8. 已知的定义域为且，则的最小值是（ ） A. B. C. 0 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. （多选）已知曲线Γ：（），则（ ） A. Γ可能等轴双曲线 B. 若Γ表示焦点在y轴上的椭圆，则 C. Γ可能是半径为的圆 D. 若Γ表示焦点在x轴上的双曲线，则 10. 小王经过调查获得如下数据： 2 4 7 17 30 1 2 3 4 5 参考公式：相关系数，，． 下列说法正确的有（ ） A. 该数据组的线性回归方程（系数精确到0.01）为 B. 该数据组的相关系数，很接近1说明该数据组拟合效果很好 C. 所有数据点中残差最小的是 D. 去掉数据点后，回归直线会向下移动 11. 下列说法不正确的有（ ） A. 正四面体的四个面所在平面可以将空间划分为15个区块 B. 若直线和平面均垂直于平面，则 C. 正八面体的八个面所在平面可以将空间划分的区块数是正四面体划分区块数的4倍 D. 从空间内任意一点出发，最多可以引出5条射线使得他们两两之间的夹角均为钝角 三、填空题：本题共3小题、每小题5分，共15分． 12. 已知，则_____． 13. 已知为坐标原点，是椭圆的左焦点，，分别为的左，右顶点，为上一点，且轴，过点A的直线与线段交于点，与轴交于点．若直线经过的中点，则的离心率为_____． 14. 已知，若在上有解，则的最小值是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，是互不相等的正实数． （1）若，，成等差数列，求证：，，不可能是等比数列； （2）设的内角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，求证：． 16. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与底面夹角的余弦值； （3）求平面与四棱锥表面的交线围成的图形的周长． 17. 市教育局计划举办某知识竞赛，先在，，，四个赛区举办预赛，每位参赛选手先参加“赛区预赛”，预赛得分不低于100分就可以成功晋级决赛．赛区预赛具体规则如下：每位选手可以在以下两种答题方式中任意选择一种答题．方式一：每轮必答2个问题，共回答6轮，每轮答题只要不是2题都错，则该轮次中参赛选手得20分，否则得0分，各轮答题的得分之和即为预赛得分；方式二：每轮必答3个问题，共回答4轮，在每一轮答题中，若答对不少于2题，则该轮次中参赛选手得30分，如果仅答对1题，则得20分，否则得0分．各轮答题的得分之和即为预赛得分．记某选手每个问题答对的概率均为． （1）若，求该选手选择方式二答题晋级的概率； （2）证明：该选手选择两种方式答题得分期望相等． 18. 已知抛物线上的任意一点到焦点的距离比到y轴的距离大. （1）求抛物线C的方程； （2）过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为A，B，若三角形ABP的重心G在定直线上，求三角形ABP面积的最大值. 19 已知函数． （1）若，且有2个不同的零点． （i）求的取值范围； （ii）求证：． （2）记，对于任意，总存在，使得，求的取值范围． 参考公式：若与存在，则． 2025届高三“一起考”大联考（模拟一） 数学 （时量）120分钟满分：150分） 命题人：湖南师大附中 陈淼君 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】BCD 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题、每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】12 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【17题答案】 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【18题答案】 【答案】（1）； （2）. 【19题答案】 【答案】（1）（i）；（ii）证明见解析 （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$2025届高三“一起考”大联考（模拟一） 数学 (时量：120分钟 满分：150分) 命题人：湖南师大附中陈森君 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.若集合A=(1,2,3,4,5},B=(x∈Z3≤x≤6)，U=AUB,则Cu(A∩B)中元素的个数为 () A.1 B.2 C.3 D.4 2.若z是复数，z一2i川=1，则|z的最大值为 A.4 B.3 C.2 D.1 3.在数列a中，4-3，且a1-芒2则a- () A.3 B.-2 c-号 D 4.已知函数f(x)=5sin(ux+若)(w>0)的最小正周期为号，若f(x)·f(x)=-3,则 |x1一x2|的最小值为 () A晋 B开 c号 D. 5.如图，在下列四个正方体中，A,B,C,D分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，A,B, C,D四点共面的是 A B C 6者函数代)=9二为偶西数，则实数a的取值范围是 A.a≤-3 B.a≥3 C.-3≤a≤3 D.a≤-3或a≥3 2025届高三“一起考”大联考（模拟一）·数学 C图扫描全能王 1民A程后有利日信A0 7,二十名校国旗班成员站成一排参加训练，教官计划在20人中选9人进行第一项训练，若这 9人在原来队列中互不相邻，则教官的选择方式一共有 () A.220种 B.55种 C.210种 D.110种 &已知)的定义越为1，+o)且)+f(x)-2山少-子)=0，则 x (x)的最小值是 A学 a号 C.0 D-片 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 g已知贵线n舌十与本-1(m∈R,则 A.T可能是等轴双曲线 B.若T表示焦点在y轴上的椭圆，则-1<m<1 C.r可能是半径为√2的圆 D.若T表示焦点在x轴上的双曲线，则m<一3 10.小王经过调查获得如下数据： x 2 4 7 17 30 y 1 2 3 4 5 参考公式： 相关系数r= ,a=y-i证. 下列说法正确的有 A.该数据组的线性回归方程（系数精确到0.01）为=0.13x十1.44 B.该数据组的相关系数r≈0.94，|r很接近1说明该数据组拟合效果很好 C.所有数据点中残差最小的是(2,1) D.去掉数据点(4,2)后，回归直线会向下移动 1.下列说法不正确的有 () A.正四面体的四个面所在平面可以将空间划分为15个区块 B.若直线l和平面a均垂直于平面B,则l∥a C.正八面体的八个面所在平面可以将空间划分的区块数是正四面体划分区块数的4倍 D.从空间内任意一点出发，最多可以引出5条射线使得他们两两之间的夹角均为钝角 2025届高三“一起考”大联考（模拟一）·数学 C图扫描全能王 1民A程后有利日信A0 三、填空题：本脑共3小题，相小搬5分，粪15分. 12,已知tan0u=2,则tan(a+ 13.已知0为坐标原点F是椭圆C,等+茶：1(0>b>0)的左焦感人B分则为C的左右厦 点，P为C上一点、且PF⊥x轴、过点入的直线！与线段PF交于点M,与y轴空于点E. 若直线BM经过(OE的中点，则C的两心率为 14.已知了《x)=x++.若∫(x)=b在[-反，万]上有解，则日+2的最小值是 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知a,b,c是互不相等的正实数， (1)若a,b,c成等差数列，求证：a+1,b+1,c+1不可能是等比数列； (2设△ABC的内角A,BC所对的边分别为@，bc,者日，名，是成等差数列，求证：B<受 16.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,底面ABCD为 正方形，AB=PA=2,E,F分别为PB,PD的中点. (1)证明：EF∥平面ABCD; (2)求平面CEF与底面ABCD夹角的余弦值； (3)求平面CEF与四棱锥P-ABCD表面的交线围成的图形的 B 周长 2025届高三“一起考”大联考（模拟一）·数学 CS扫描全能王 1民A程后有利日信A0 17.(16分) 市般育局计划举办桑知积篼携、先在人、B.C,)个赛区举办预赛，每位参赛选手先参加 “赛区预赛“，预得分不祗于10分就可以战场普缆快猴，每个区预赛中，成功晋级并且 得分最高的进予获薄一天决藤中的“磷题萤算·，权。 赛区预赛的與林规则如下，每位选芋可以在以下满种警题方式中任意选择一种答题， 方式一，相轮必蓉2个问趣、共恸粹6轮，每轮常题只蓼不是2颠都错，则该轮次中参赛选 手得20分、否则得0分，各轮幕题的得分之和即为预赛得分， 方式二：每轮必蓉3个问题，共回答4轮，在每一轮警题中，若答对不少于2题，则该轮次中 参赛选手得30分，如果仅答对1题，则得20分，否则得0分.各轮答题的得分之和 即为预赛得分。 记某选手每个问题答对的概率均为p(0<p<1), (1)若力=号，该选手选择方式二答题，求他晋级的概率： (2)证明：该选手选择两种方式答题的得分期望相等。 18.(17分) 已知抛物线C:y=2pz(p>0)上的任意一点到焦点的距离比到y轴的距离大号 (1)求抛物线C的方程； (2)过抛物线外一点P(m,n)作抛物线的两条切线，切点分别为A,B,若△ABP的重心G 在定直线L:y=号x上，求△ABP面积的最大值， 19.(17分) 已知函数f(x)=e一ax一b. (1)若b=0,且f(x)有2个不同的零点x1,x2(x1<x2). (1)求a的取值范围； (ⅱ)求证：(x1十x2)·x1x2<2 (2)记g(x)=|f(x)l,对于任意a,b∈R,总存在xo∈[0,1]，使得g(xa)≥m,求m的取值 范围， 参考公式：若脚fa与恤ga存在，则四g]=四f·回8a),四气-1. 2025届高三“一起考”大联考（模拟一）·数学 C③扫描全能王 1民A程后有利日信A0 2025届高三“一起考”大联考（模拟一）·数学 双向细目表 题序 知识内容（考点） 难度系数 分值 1 集合 0.9 5 2 复数 0.9 5 3 数列 0.9 5 4 三角函数 0.8 5 5 空问几何体 0.8 5 6 函数的性质 0.7 5 7 概率 0.6 5 8 函数 0.6 5 圆锥曲线 0.9 6 10 统计（线性回归） 0.7 6 11 空间几何体 0.3 6 12 三角函数 0.9 5 13 圆锥曲线 0.6 6 14 函数 0.4 5 15 数列与三角 0.8 13 16 空间几何体 0.7 15 17 概率与统计 0.5 15 18 圆锥曲线 0.4 17 19 函数 0.2 17 2025届高三“一起考”大联考（模拟一）·数学参考答案 1 ⑤扫描全能王 2三民人罪益南利台倍A华 参考答案 1.C解析：由题知AUB=(1,2,3,4,5,6),A∩B=(3,4,5),所以Cu(A∩B)=(1,2,6),所以 C(A∩B)中元素的个数为3，选C 2.B解析：设x=x十yi(x,y∈R),|z一2i川=1表示以(0,2)为圆心，1为半径的圆上的点的集 合，所以|的最大值为3，选B. 3.A解折：因为a1=3,a4=-2,a1=-子a=之a=3,所以a+4=a,所以aag=ax41 =a1=3,选A. 4.A解析：因为函数fx)=5in(ur+若)(w>0)的最小正周期为等，所以u=6,故f(x)= si(6x+若).由f(x)·fx:)=-3,得fx),fx)分别为函数的最大（小）最小（大） 值，故1一x的最小值为7=若，选A 5.D解析：对于A,AB,CD是异面直线，四点显然不共面，A错误； 对于B,AD,BC是异面直线，四点显然不共面，B错误； 对于C,AB,CD是异面直线，四点显然不共面，C错误； 对于D,如图，E,F为所在棱的中点，连接AD,DC,CE,EB,BF,AF,易知ADCEBF为平面 六边形，所以A,B,C,D四点共面，D正确 6.A解折：因为)-二为偶商数y=V月=子的定义坡为[-3,3]，月为偶西数小 所以y=x-|x一a在[-3,3]（或其子集）上为偶函数，所以x一a≥0，所以a≤x(一3≤x≤ 3)恒成立，所以a≤一3，选A. 7.A解析：本题等价于向11个人的队中插入9个人使他们不相邻，考虑隔板法即为C品：= 220,选A. 8.B解析：由题意得[x(x)门'= 2Ξ.x-(nx)' -=血-n, x x 解得x)=n-lnx+ 又f(1)=0,得0=0-0+c,则c=0, 2 2025届高三“一起考”大联考（模拟一）·数学参考答案 C③扫描全能王 21房A罪后有利日倍A6 故fx)-血_h三=h2-1. 令兰=[0.]，则g)=-1,其图象的对称轴之>，所以g)=g)=。 选B. 9.BCD解析：对于A,若下是等轴双曲线，则1一m十3+m=0,显然不成立，A错误： 对于B,若下表示焦点在y轴上的椭圆，则3+m>1一m>0,解得一1<m<1,B正确： 对于C,若下是圆，则3+m=1一m>0,解得m=一1，此时，方程为x2+y=2,C正确： 对于D,者r表示焦点在x轴上的双曲线，则一m>0 解得m<一3，D正确.故选BCD 3+m<0, 10.ACD解析：对于A,将数据代人公式易知A正确； 对于B,r与拟合效果无关，B错误： 对于C,残差=观测值一预测值，结合A项的回归方程，知C正确： 对于D,1-4=0.13×4+1.44=1.96<2,故点(4,2)在回归直线上方，故去掉该点后，回 归直线下移，D正确， 故选ACD. 11.BCD解析：对于A,参考直线划分平面的思路，当新加人平面后，考虑已有平面与原有平 面的交线可以将新加人的平面划分为n个区域，由于每一个区域可将原空间一分为二，所 以新增加的区块数为n(新加人平面被划分的区域).例如：一个平面。将空间划分为2块， 加人新平面R.若B平行a,那么新增加的区块数为1.若P不平行a,那么B与a有一条交 线，这条交线把平面B划分为2个区域，所以新增加的区块数为2.类比分析四面体PABC 划分的区块，①平面PAB将空间划分为2个部分.②增加平面PBC,平面PBC与平面 PAB的交线为PB,直线PB将平面PBC一分为二，每个区域将所在空间一分为二，故增 加了2个区块，此时区块数为2+2=4.③增加平面PAC,平面PAC与平面PAB的交线 为PA,平面PAC与平面PBC的交线为PC,这两条交线相交，将平面PAC分为4个区 域，这4个区域将所在空间一分为二，故增加了4个区块，此时区块数为4十4=8.④增加 平面ABC,平面ABC与上述三个平面的交线分别为AB,BC,AC,这3条交线将平面ABC 分为7个区域，这7个区域将其所在空间一分为二，故增加了7个区块，此时区块数为8十 7=15.故正四面体的四个面所在平面可以将空间划分为15个区块，A正确， 对于C,同选项A可得59个，59≠4×15，C错误. 对于B,lCa也可以，B错误 对于D,假设5条射线可以两两成钝角，设起始点为0，终点为A,(i=1,2,3,4,5),则OA,- (x,y,),以OAi方向建立z轴，OA=(0,0,名1)，那么A:,A,A,A都在Oxy平面的z 的负半轴一侧，0A·0可=xx十yy,十zz,(i,j=2,3,4,5),又名·恒大于0，且xx 十yy,是OA,·OA在Oxy平面上的投影向量的内积，于是总有i,j使得xx,十yy≥0， 从而OA·OA,>0,故假设不成立，D错误. 故选BCD, 2025届高三“一起考"大联考（模拟一）·数学参考答案 3 CS扫描全能王 1民A程后有利日信A0 12.-3解析：因为tang=2,所以tan(a+)= ana十tan4 2+1 1-tan atan -2×7=-3. 13号 解析：（方法1）由题意可设F(-c,0),A(-a,0),B(a,0), 设直线AE的方程为y=k(x十a), 令x=-c,可得M(-c,k(a-c)),令x=0,可得E(0,ka) 设OE的中点为H,可得H(0,受)， ka 由B,H,M三点共线，可得km=km,即乙=a二 -a -c-4 化简可得千之即a=3c,可得6=台=子 (方法2)设OE的中点为H,由△AMFn△AE0,得4二S=, a OE' 由△B0 BFM,.得。千e-器-器 即有2a。2-a牛，即a=3c,得=台=宁 a a 14.12解析：设这个解是m,m∈[-√2,0)U(0W7们， 则6=m+告，即6一京-m一六-0， 即点(b,c)可看作在动直线上，则6十2可转化为点(b,c)到原点距离的最小值. Im+ lm+丛，令m+T=t,1,2], √m+I 则d-生=+≥25，当且仅当1=时取等号，此时m=士。 则(0+2)=(23)2=12. 15.证明：(1)（反证法）假设a+1,b+1,c+1成等比数列，所以(b+1)2=(a+1)(c+1),① 因为a,b,c成等差数列，所以b=于，②……(4分) 由①②可得a=c,与已知a,b,c是互不相等的正实数矛盾， 故假设不成立，原命题成立，…(6分) (2)因为日号成等差数列，所以号-日+所以2ac-6(a+,…… (8分) 由余弦定理和基本不等式可得 cosB=t少≥2ua=1-六-l-+万-1-年… (10分) 2ac 2ac 4 2025届高三“一起考"大联考（模拟一）·数学参考答案 ③扫描全能王 因为a,b,c为△ABC的三边，所以a+c>b, 所以1-年>0所以oB>0,所以B<受 ……4……(13分） 16.解析：(1)证明：如图，连接BD. 因为E,F分别为PB,PD的中点，所以EF∥BD, 又BDC平面ABCD,EF丈平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.… (4分) (2)以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立如图 所示的空间直角坐标系， 则C(2,2,0),E(1,0,1),F(0,1,1), 所以CE=(-1,-2,1),E=(-1,1,0). (5分) 设平面CEF的法向量为n=(x,y,x), CE·n=-x-2y十z=0, 所以 Ei·n=-x十y=0, 令x=1,则y=1,z=3,所以n=(1,1,3).…… (7分) 因为平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1), (8分) 所以ca0-品-9 =3=3厘 ī11 所以平面CEF与底面ABCD夹角的余弦值为3工 11 (10分) (3)易知平面CEF与梭PA交于一点， 设交点Q(0,0,t),则QE=(1,0,1一t), 又Q苑·m=1+3-31=0,所以1=子， (12分) 所以QE=QF=平， 又CE=CF=√6， 所以平面CEF与四梭锥P-A5CD表面的交线围成的图形的周长为2四+25. 3 (15分) 2025届高三“一起考”大联考（模拟一）·数学参考答案 5 C③扫描全能王 17.解析：(1)该选手选择方式二答题，记每轮得分为X,则X的可能取值为0,20,30， ………………(1分） 且P(X=0)=g,P(X=20)=是，P(X=30)= ……(4分) 记预赛得分为Y, P(Y≥100)=P(Y=120)+P(Y=110)+P(Y=100) =(学+c吃x音+c吃rx景r=器 所以该选手选择方式二答题晋级的概率为器 (6分) (2)证明：该选手选择方式一答题： 设每轮得分为5，则的可能取值为0,20， 且P(E=0)=(1-p)2,P(=20)=1-P(=0)=2p-p2, 所以E(日=20p(2-p), 设预赛得分为Y1,则Y1=6E,E(Y1)=E(6)=6E(白=120p(2-).…(9分) 该选手选择方式二答题： 设每轮得分为7，则)的可能取值为0,20,30，且P(7=0)=(1一)， P(=20)=3p(1-)2, P(=30)=3p2(1-p)+p3, 所以E()=60p(1-p)'+30[3p(1-p)+p]=30p(2-p). 设预赛得分为Y:,则Y:=4,E(Y:)=E(4)=4E()=120(2-p),…(13分) 因为E(Y)=E(Y2),所以该选手选择两种方式答题的得分期望相等.…(15分) 18,解析：(1)根据题意，抛物线C上的任意一点到您点的距离与到直线x=一之的距离相等， 由抛物线的定文可知号-是，即p=1, 所以抛物线C的方程为y2=2x.… (4分) (2)设切点A(学，B(受为)， 设过A的切线PA的方程为z一艺=y一， 将切线PA的方程与抛物线的方程联立，消去x整理得y2一2y十(2t一y)=0, …(6分） 所以△=4-8y1十47=0，即t=为， 所以切线PA的方程为yy=x+兰，四 (7分) 同理可得切线PB的方程为yy=r+学，② 6 2025届高三“一起考”大联考（模拟一）·数学参考答案 C③扫描全能王 1民A程后有利日信A0