精品解析：天津市滨海高新技术产业开发区第一学校2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷

天津市滨海高新技术产业开发区第一学校2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷 命题人：郑迎雨 审核人：高二数学组 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟. 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号写在答题卡上.答卷时，考生务必将答案写在答题卡上，答在试卷上的无效. 第Ⅰ卷 选择题（60分） 一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案涂在答题卡中. 1. 一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为（的单位：m，t的单位：s），则时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 完成一项工作有3种方法，其中有5个人只会用第一种方法，有4个人只会用第2种方法，有3个人只会用第3种方法，从中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ ） A. 5种 B. 4种 C. 9种 D. 12种 4. 下列函数中，存在极值的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 2或6 6. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 7. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极大值点（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 某高中期中考试需要考查九个学科（语文、数学、英语、生物、物理、化学、政治、历史、地理），已知语文考试必须安排在首场，且物理考试与英语考试不能相邻，则这九个学科不同的考试顺序共有（ ）种 A B. C. D. 9. 一个矩形铁皮长为，宽为，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为，小盒子的容积为，则（ ） A. 当时，有极小值 B. 当时，有极大值 C. 当时，有极小值 D. 当时，有极大值 10. 若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是（ ） A. [-1，+∞） B. （-1，+∞） C. （-∞，-1] D. （-∞，-1） 11. 天津国家海洋博物馆，位于天津市滨海新区中新生态城，是集收藏、展示、研究、教育为一体的国家级综合性海洋博物馆.博物馆每周一闭馆，周二至周日开放（节假日除外）.某学校计划于年月日（周二）至月日（周日）组织高一、高二、高三年级的同学去天津国家海洋博物馆参观研学（此周学生不休息），每天只能有一个年级参观，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 12. 已知函数若函数的零点有个或个，则实数的取值范围为（ ） A B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择部分（90分） 二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 计算：___________. 14. 函数的单调递减区间为______． 15. 已知函数的导函数为，且满足，则________． 16. 若函数f(x)＝x3＋mx2＋x＋1在R上无极值点，则实数m的取值范围是_____. 17. 用这六个数字组成没有重复数字的三位数，且是偶数，则这样的三位数有______个. 18. 如图，天津市共辖16区，市内六区分布如图，用4种颜色标注6个区域，相邻区颜色不同，不同的涂色方式共有______种. 19. 已知函数，当时，有极大值，则a的取值范围为______． 20. 已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为_____. 三、解答题：本题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 已知函数在区间内，当时取得极小值，当时取得极大值. （1）求函数在时的对应点的切线方程； （2）求函数在上最大值与最小值. 22. 从名男同学中选出人，名女同学中选出人．（此题结果用数字作答） （1）共有多少种不同的选法； （2）若将选出的人排成一排． ①共有多少种不同的排法； ②若选出名男同学必须相邻，共有多少种不同的排法． 23. 如图，在多面体中，，，，平面，，，. （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 24. 已知函数， （1）若，求函数的极值； （2）设函数，求函数的单调区间； （3）若对内任意一个，都有成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 天津市滨海高新技术产业开发区第一学校2024-2025学年高二下学期第一次月考数学试卷 命题人：郑迎雨 审核人：高二数学组 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟. 答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、准考证号写在答题卡上.答卷时，考生务必将答案写在答题卡上，答在试卷上的无效. 第Ⅰ卷 选择题（60分） 一、选择题：本卷共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将所选答案涂在答题卡中. 1. 一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为（的单位：m，t的单位：s），则时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 分析】 利用导数求瞬时速度即可 【详解】∵， ∴ 故选：D 【点睛】本题考查利用导数求瞬时速度，属于基础题. 2. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据常见初等函数的求导函数的公式可得选项． 【详解】对于A：，故A不正确； 对于B：，故B不正确； 对于C：，故C不正确； 对于D：，故D正确， 故选：D． 3. 完成一项工作有3种方法，其中有5个人只会用第一种方法，有4个人只会用第2种方法，有3个人只会用第3种方法，从中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有（ ） A. 5种 B. 4种 C. 9种 D. 12种 【答案】D 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理，求得答案. 【详解】若用第一种方法完成，有5种选法， 若用第二种方法完成，有4种选法， 若用第三种方法完成，有3种选法， 故从中选1个人完成这项工作，则不同的选法共有 种， 故选：D 4. 下列函数中，存在极值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据极值定义逐一分析即可. 【详解】对于：函数是实数集上的增函数，不存在极值； 对于：函数在上单调递增，不存在极值； 对于：函数在区间上单调递减，不存在极值； 对于：在上单调递增，在上单调递减， 因此是函数的极小值点，符合题意. 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. 2 B. 5 C. 2或5 D. 2或6 【答案】C 【解析】 【分析】 根据组合数的性质可得或，解方程即可. 【详解】由， 可得或， 解得或5. 故选：C 6. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得函数的导数，得到，结合导数的概念，即可求解. 【详解】由题意，函数，可得，则， 根据导数的概念，可得. 故选：D. 7. 函数的定义域为开区间，导函数在内的图像如图所示，则函数在开区间内有极大值点（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合图像，由函数极值的定义即可得到结果. 【详解】依题意，记函数的图像与轴的交点横坐标依次为 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以为极小值点，为极大值点，为极小值点 故极大值点有1个 故选:A 8. 某高中期中考试需要考查九个学科（语文、数学、英语、生物、物理、化学、政治、历史、地理），已知语文考试必须安排在首场，且物理考试与英语考试不能相邻，则这九个学科不同的考试顺序共有（ ）种 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用分步乘法原理，不相邻问题运用插空法，可求出这九个学科不同的考试顺序的种数. 【详解】解：语文考试必须安排在首场，方法，除了物理、英语外，还有6科，这6科任意排，方法种， 这6科中间有7个空，从这7个空中，插入物理、英语这2科，方法有种， 则这九个学科不同的考试顺序共有种， 故选：C. 9. 一个矩形铁皮的长为，宽为，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，若记小正方形的边长为，小盒子的容积为，则（ ） A. 当时，有极小值 B. 当时，有极大值 C. 当时，有极小值 D. 当时，有极大值 【答案】B 【解析】 【分析】求出小盒子的容积，通过求导判断函数的极值情况可得答案. 【详解】小盒子的容积为， 所以，令，得或（舍去）， 当时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减， 所以当时，取得极大值，无极小值. 故选：B. 10. 若f(x)=上是减函数，则b的取值范围是（ ） A. [-1，+∞） B. （-1，+∞） C. （-∞，-1] D. （-∞，-1） 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可知，在上恒成立，即在上恒成立，由于，所以，故Ｃ为正确答案． 11. 天津国家海洋博物馆，位于天津市滨海新区中新生态城，是集收藏、展示、研究、教育为一体的国家级综合性海洋博物馆.博物馆每周一闭馆，周二至周日开放（节假日除外）.某学校计划于年月日（周二）至月日（周日）组织高一、高二、高三年级的同学去天津国家海洋博物馆参观研学（此周学生不休息），每天只能有一个年级参观，其中高一年级需要连续两天，高二、高三年级各需要一天，则不同的方案有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】首先确定高一年级的安排方法，再在剩下的四天里安排高二和高三，按照分步乘法计数原理计算可得结果. 【详解】由于周一闭馆，所以高一年级可以选择从周二和周三，周三和周四，周四和周五，周五和周六，周六和周日中选择两天去参观，共种选择方法， 再从剩下的四天里安排高二和高三，共种选择方法， 故不同的方案有种． 故选：C． 12. 已知函数若函数的零点有个或个，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】与题意可知，直线与函数的图象有个或个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】时，，，令，可得. 当时，，函数递增； 当时，，函数递减，且此时； 时，，， 当时，，函数递增； 当时，，函数递减，且此时. 所以极小值，极大值，， 在且时，， 函数的示意图如图所示，所以当它与有个或个交点时，. 故选：B. 【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，同时也考查了导数的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 第Ⅱ卷 非选择部分（90分） 二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 13. 计算：___________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据排列数和组合数计算公式可得答案. 【详解】解：原式. 故答案为：0. 14. 函数的单调递减区间为______． 【答案】## 【解析】 【分析】求导，再令即可得解. 【详解】函数的定义域为， ， 令，得， 所以函数函数的单调递减区间为. 故答案为：. 15. 已知函数的导函数为，且满足，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】对已知式求导，然后令代入即得． 【详解】因，则， 令，可得，解得. 故答案为：1． 16. 若函数f(x)＝x3＋mx2＋x＋1在R上无极值点，则实数m的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】求导，利用判别式小于等于0得出实数m的取值范围. 【详解】f′(x)＝3x2＋2mx＋1.由题意得Δ＝4m2－12≤0，解得，即实数m的取值范围是. 故答案为： 17. 用这六个数字组成没有重复数字的三位数，且是偶数，则这样的三位数有______个. 【答案】 【解析】 【分析】组成没有重复数字的三位数，且是偶数,按个位是0和不是0进行分类; 个位不是0时要注意选中的数有0和无0情况求解. 【详解】由题意，从六个数字中任取个数字组成没有重复数字三位偶数，可分为两类， 当末位是时，这样的三位数有个 当末位不是时，从余下的两位偶数中选一个放在个位，再从余下的四位非零数字中选一个放在首位，然后从余下的四个数中取一个放在中间，由此知符合条件的偶数有 综上得这样的三位数共有个. 【点睛】本题考查两个计数原理的综合问题.使用两个计数原理进行计数的基本思想: 对需用两个计数原理解决的综合问题要“先分类，再分步”，即先分为若干个“既不重复也不遗漏”的类，再对每类中的计数问题分成若干个“完整的步骤”，求出每个步骤的方法数，按照分步乘法计数原理计算各类中的方法数，最后再按照分类加法计数原理得出总数． 18. 如图，天津市共辖16区，市内六区分布如图，用4种颜色标注6个区域，相邻区颜色不同，不同的涂色方式共有______种. 【答案】144 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理，结合排列即可求解. 【详解】先涂红桥区，河北区和南开区，此时共有种方法， 若和平区与红桥区不同色，和平区只有1种选择，此时涂河东区和河西区一共有3种选择， 若和平区与红桥区同色，和平区只有1种选择，此时涂河东区和河西区一共有3种选择， 因此总的涂色方法有， 故答案为：144 19. 已知函数，当时，有极大值，则a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求导数，结合极大值情况可求范围. 【详解】， 令，得或，且是开口向上的二次函数， 因为当时，有极大值，所以，解得. 故答案为： 20. 已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】对函数分成两段进行求解，当时，二次函数的对称轴，分成和两种情况讨论；当时，采用参变分离，构造函数求最值. 【详解】（1）当时，，过定点，对称轴， 当时，，解得：，所以； 当时，在单调递减，且，所以； 所以在恒成立，可得. （2）当时，恒成立，即恒成立， 令，则， 当时，，所以在单调递增， 当时，，所以在单调递减， 所以. 综合（1）（2）可得：. 【点睛】本题研究二次函数在的最小值时，利用函数恒过定点，使讨论的过程更简洁，即只要研究对称轴和两种情况. 三、解答题：本题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 21. 已知函数在区间内，当时取得极小值，当时取得极大值. （1）求函数在时的对应点的切线方程； （2）求函数在上的最大值与最小值. 【答案】(1) 【解析】 【分析】(1)根据函数解析式得到，利用在处取极小值，在 处取极大值得到，由此求出的值,结合的值求出的解析式，进而求出切点以及，利用点斜式求出切线方程；（2）由（1）可得，此时根据导数研究函数的最值即可. 【详解】（1）， 又，分别对应函数的极小、极大值， 则，是方程的两实根， ， 于是，经检验满足题意 则且当时，，且， 所求切线方程为，即； （2） ，， 在上的最大值为2,最小值为， 【点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题.求函数极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数；(3) 解方程求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查在的根左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么在处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么在处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与极值的大小. 22. 从名男同学中选出人，名女同学中选出人．（此题结果用数字作答） （1）共有多少种不同的选法； （2）若将选出的人排成一排． ①共有多少种不同的排法； ②若选出的名男同学必须相邻，共有多少种不同的排法． 【答案】（1）；（2）①；②． 【解析】 【分析】（1）先分析属于分步问题，然后根据组合数进行计算； （2）①在（1）的基础上乘以所选人的全排列即可得到结果； ②在（1）的基础上，采用捆绑法将名男同学看成一个人，和名女生进行排列，注意男生内部排序. 【详解】解：（1）从名男同学中选出人，名女同学中选出人，共种选法． （2）①这人全排列，共种排法； ②男同学必须相邻共种排法，人排列共种排法 所以共有种排法． 23. 如图，在多面体中，，，，平面，，，. （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据，即可得证 （2）分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解值； （3）设点到平面的距离为，利用点到平面的向量公式即可求解. 【小问1详解】 因为，平面，平面， 所以， 所以，，两两垂直， 则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示 的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量，则，令， 得， 所以，则， 又因为平面 所以直线平面. 【小问2详解】 由，得，， 设平面的法向量为，则，令 得， 所以 则平面与平面夹角的余弦值为 【小问3详解】 由于，平面的法向量， 设点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为 24. 已知函数， （1）若，求函数的极值； （2）设函数，求函数的单调区间； （3）若对内任意一个，都有成立，求的取值范围. 【答案】(1)的极小值是，没有极大值；(2)答案见解析；(3). 【解析】 【详解】试题分析： （1）的定义域为，且，结合导函数的解析式研究函数的极值可得的极小值是，没有极大值； （2），则，分类讨论可得： ①当时，在上单调递减，在上单调递增； ②当时，函数在上单调递增； （3）原问题等价于“函数在上的最小值大于零” 结合（2）的结论分类讨论：①；②；③；④四种情况可得的范围是：. 试题解析： （1）的定义域为， 当时，，， 3 — 0 + 极小 所以的极小值是，没有极大值； （2）， ， ①当时，即时，在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增； ②当，即时，在上， 所以，函数在上单调递增； （3）“对内任意一个，都有成立”等价于 “函数在上的最小值大于零” 由（2）可知 ①当时，在上单调递增，所以，解得； ②当，即时，在上单调递减， 所以的最小值为可得， 因为，所以； ③当，即时，在上单调递增， 所以最小值为，由可得，所以； ④当，即时，可得最小值为， 因为，，所以， 故，恒成立. 综上讨论可得所求的范围是：. 点睛：导数是研究函数单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$