湖南省常德市2025届高三下学期模拟考试数学试题

2025年常德市高三年级模拟考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的， 1.已知集合A={x(x+1)(x-3)≤0}，B={←-3，-2，-1,1,2,3}，则A∩B= A.{-2,-1} B.{-1,1,2,3} C.红，2} D.{-3,-2,-1} 2.命题“3x∈R,x2+x+2=0”的否定是 A.3x∈R,x2+x+2≠0 B.3x∈R,x2+x+2>0 C.x∈R,x2+x+2≠0 D.x∈R,x2+x+2=0 3.已知数列{an}的前n项和为Sn,41=1,且an+1=a+a2+.+an(neN,则 A.2=2 B.a4=8 C.S2=3 D.S5=16 4.已知复数z满足：z-1 =21,则|z A.1 B.√2 C.5 D.2 5.下列不等式正确的是 A.0.303>0.30.2 B.logo20.3>1og20.2 C.203>302 D.1og20.3<log30.2 6.从1,2,3,4,5,6,7这7个数任选3个不同数排成一个数列，则得到的数列为 等差数列的概率为 B.3 0 C. 35 D.18 7.已知cos2a=2sm2月-名coe-月=子，则mamA= A月 B.7 c月 D.-7 8已稀翻于 +京=1(a>b>0)的左、右焦点分别为E,5,点P在椭圆上，连接 PE并延长交椭圆C于点N若PE⊥PE,且PF1=4EN,则椭圆C的离心率为 B. c. 5 5 D.7 数学试题第1页（共4页 ▣ 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.设样本空间2={5,67,8}，且每个样本点是等可能的，已知事件A={5,6,B={5,7 C={5,8,则下列结论正确的是 A.事件A与B为互斥事件 B.事件A,B,C两两独立 C.P(ABC)=P(A)P(B)P(C) D.P(AC)=P(CIA) 10.已知连续函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，且在区间(0，+0)上单调递增，则下 列说法正确的是 A.函数y=x2+f(x)在(0，+o)上单调递增 B.函数y=x2f(x)在(0，+o)上单调递增 C.函数y=f(x2)存在极小值点 D.“f(0)21”是“f(x+1)+xe≥0”的充要条件 I1.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，空间中的 点P满足A亚=AD+元AB+AA,且∈[0，]，4∈[0，]， ⊙ 则下列说法正确的是 A.若H=1,则BP⊥AD B.若AP=V5,则2+2u的最大值为 2 C.若1=1，则平面BPD截该正方体的截面面积的最小值为√6 D.若元+4=1，则平面ACD,与平面AB,P夹角的正切值的最小值为2√2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2.双曲线C:二片=@>0，b>0)的离心率为，则双曲钱C的渐进线方程为 13.若函数f(x)= 1-a,xS1有最小值，则实数a的取值范围是 xlnx,x>1 14。已知函数f国=c0@r-孕@0在区间(-x,)上有且仅有1个零点和1条对称 轴，则实数。的取值范围是 数学试题第2页（共4页） 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本小题满分13分) 某景区经过提质改造后统计连续5天进入该景区参观的人数（单位：千人）如下： 日期 3月5日 3月6日 3月7日 3月8日 3月9日 第x天 1 2 3 4 5 参观人 数y 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 (1)建立y关于x的回归直线方程，预测第10天进入该景区参观的人数： (2)该景区只开放东门、西门供游客出入，游客从东门、西门进入该景区的概率分别 为子子且出录区与进入最区滋择相同的门的藏率为行出景区与进入景区选 择不同的门的概率为4. 假设游客从东门、西门出入景区互不影响，求甲、乙两 名游客都从西门出景区的概率。 附：参考数据： =72，=55，=4. 金考公式：回归直线方程=x+a,其中6三水一回 -,a=v-标. 16.(本小题满分15分) 如图，在四棱锥E-ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，AE⊥平面CDE,二 面角B-AB-D为4 B (1)证明：平面ADE⊥平面ABCD; (2)求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值. D 第16题图 数学试题第3页（共4页） ▣g 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣6 17.(本小题满分15分) 如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC上的点，且BD=CE,BE与CD交于点 O,已知0C=0D=2,且∠E0C= 3 (1)若O8=3,求BC的长： (2)求BE的长. 第17题图 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=(x2-m)e在x=0处的切线与直线y=x-1垂直. (1)求函数f(x)的单调区间： (2)若f(x)≥ar-1对任意xe(-l,+o)恒成立，求实数a的值； (3)对于函数f(x),规定：f'(x)=[f(x,②(x)=[f'(x),…,o(x)=[f-(x, f0(x)叫做函数f(x)的n阶导数(n∈N).若对任意x∈(-l,+oo),fm(x)>0恒成 立，求满足条件的正整数n的最小值. 19.(本小题满分17分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(a,2)在C上，且|PF=2. (1)求抛物线C的方程： (2)过点P作圆0：x2+y2=2(r>0)的两条切线4,1，且4,1，分别与C相交于点A, B(异于点P). （i)若1⊥，求△PAB的面积； (ⅱ)证明：直线AB过定点 数学试题第4页（共4页） 。夸克扫描王 极速扫描，就是高效筒：2025年常德市高三年级模拟考试 数学参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 题号 1 2 3 5 6 8 答案 B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 BD ACD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.y=土x 13.[L+9o) 写 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) y-5 解：(1)由最小二乘法公式可得6=逗 72-5×3×4 =1.2,2分 55-5×32 则a=y-bx=4-1.2×3=0.4, 3分 所以y关于x的回归直线方程为y=12x+0.4,… 4分 当x=10时，y=1.2×10+0.4=12.4, 因此，预测第10天入园参观人数约为12.4千人. 6分 (2)记事件A:甲从东门入景区，事件B:甲从西门出景区 则P0-子P=PE0=手PB闭-= 8分 P(B=PAPB40+P(APB1A=×+4×5= 一X 因为甲、乙两名游客从东门、西门出入景区互不影响， 所以甲、乙两名游客从西门出景区的概率都为 20 故甲、乙从西门出景区的概率p=13×3=169 2020400 13分 数学参考答案第1页共5页 16.(本小题满分15分) (1)因为AE⊥平面CDE,CDC平面CDE,所以AE⊥CD,…2分 又正方形ABCD中，CD⊥AD,4分 又AEOAD=A,AE,ADC平面ADE,所以CD⊥平面ADE,6分 又CDC平面ABCD,所以平面ADE⊥平面ABCD.7分 (2)由(1)CD⊥平面ADE, 因为AB/CD,所以AB⊥平面ADE,8分 所以AB⊥AD,AB⊥AE,且ADc面ABCD,AEc面ABE平面， 可得∠EAD为二面角E-AB-D的平面角， 依题意∠EAD=云，所以△EAD是等腰直角三角形 4 ，9分 以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设DE=1,则AE=1,CD=AD=P+P=√2， 所以D0,0,0),A,0,1),E1,0,0),C(0,√2,0)， 所以DA=L0,),DC=0,2,0, 11分 设平面ABCD的法向量为i=(x,y,z), 则i:D1=x+z=0,取x=1,得n=0,-), 12分 i.DC=√2y=0 BE=BA+AE=CD+AE=0,2-1) 13分 所以COs<n,BE>= n.BE 1 6 6 4444444444 .14分 故直线BE与平面ABCD所成角的正弦值为 15分 6 17.(本小题满分15分) 解：(1)在△OBC中，由余弦定理有 BC2=OB2+OC2-20BOCcos LBOC,.............. 2分 所以C-号4-2x2x(-子解得8c-=圆 2 4 5分 (2)法1：设OB=x,OE=y, 在△OBD中，由余弦定理有 BD2=OB2+OD2-OB.ODcos ZBOD=x2+4-2x, …5分 在△OEC中，由余弦定理有 CE2=0E2+0C2-0C.0Ec0s∠E0C=y2+4-2y,…9分 因为BD=CE,所以x2+4-2x=y2+4-2y, 即(x-y(x+y-2)=0,解得x=y或x+y=2, 13分 若x=y即OB=OE,则△OBD≡△OEC, 所以∠OBD=∠OEC,BD//EC,不符合题设， 所以X+y=2,即BE=2.15分 数学参考答案第2页共5页 法2：设OB=x,OE=y,过B,E分别作CD的垂线，垂足分别为M,N, 则ow-营w-w-2- 2 ON-.EN.CN-2- 2 在△DBM中与△CEN中，由勾股定理有 BD=8M+D=3买+2-=F-2x+4,9分 Cg2=BN+cN-3+2-登=y2-2y+4,B分 4 因为BD=CE,所以x2+4-2x=y2+4-2y, 即(x-y)x+y-2)=0,解得x=y或x+y=2. 13分 若x=y即OB=OE,则△OBD=△OEC, 所以∠OBD=∠OEC,BD/IEC,不符合题设， 所以x+y=2,即BE=2.15分 18.(本小题满分17分) 解：(1)f(x)=(x2-m)e的定义域为R,∫'(x)=(x2+2x-m)e」 由f"(0)=-m=-1得m=1, 2分 所以f'(x)=(x2+2x-1)e 由f'(x)=(x2+2x-1)e=0得x=-1±V2 当x∈(-0，-1-V2)U(-1+V2,+o)时，f'(x)>0: 当x∈(-1-√2，-1+V2)时"(x)<0, 所以函数f(x)的单调递增区间为：(-o,-1-√2)，(-1+√2，+o0): 单调递减区间为：(-1-√2，-1+√2).… .4分 (2)令g(x)=f(x)-ax+1=(x2-1)e-ar+1(x>-1) 由题可知g(x)≥0对任意x∈(1，+)恒成立， 又g(O)=0,所以x=0必为函数g(x)的极小值点， 又g'(x)=(x2+2x-1)e-a,所以g'(0)=-1-a=0,解得a=-1. ….6分 下面证明：当a=-1时，g(x)=(x2-1)e+x+120对任意x∈(-l,+o)恒成立， g'(x)=(x2+2x-1)e+1,g"(x)=(x2+4x+l)e, 由g"(x)=0得。=-2+√5 当x∈(-1，x)时，g"(x)<0:当x∈(x,+o)时，g"(x)>0 所以函数g'()在(-1，)上单调递减：在（化，+∞）上单调递增.7分 又g-=-2+10,g岁-e1<0.g0=0, 数学参考答案第3页共5页 所以存在x∈-1，-，使得gx)=0 当x∈(-l,x)时，g'(x)>0；当xe(:,0)时，g'()<0:当x∈(0，+o)时g'()>0 所以函数g(x)在(-1，x)上单调递增：在(x,0)上单调递减：在(0，+0)上单调递增， 又g(-1)=0,g0)=0 所以g(x)=(x2-1)e+x+120对任意x∈(-l,+oo)恒成立， 所以实数a的取值为-1.……………10分 (3)f(x)=(x2+ax+b)e'(nEN),f((x)=(x2+ax+b)e" 由题可知f+(x)=[f(x=[x2+(an+2)x+an+bn]e, 所以a1=an+2,b1=an+bn… 12分 又因为f'(x)=(x2+2x-1)e,所以a,=2,b=-l 所以an=2+2(n-l)=2n,b1-bn=2n, b,=6.-b)+6,-b2)+…+6,-b)+6=2xm-》+a-D-1=2-m-1 所以f0(x)=[x2+2x+(n2-n-1)]e,….…15分 对任意xe(-L,+oo),fm(x)>0恒成立，即[x2+2r+(n2-n-1)]e>0 所以x2+2x+(n2-n-1)>0对任意x∈(-1，+oo)恒成立， 函数p(x)=x2+2x+(n2-n-1)在(-n,+o)上单调递增， 又n≥1，函数p(x)在(-1，+oo)上单调递增， 所以p(x)>p(-)=n2-3n,所以n2-3n20,解得n≥3 所以满足条件的正整数n的最小值为3. ……17分 (阅卷说明：第(3)问采用不完全归纳法，观察出f()=[x2+2r+(n2-n-1e 扣过程分4分) 19.(本小题满分17分) 解：(1)由抛物线的定义可得PF=a+?=2, 2 又点P(a,2)在抛物线C上，所以4=2pa, 解得：p=2,a=1, 所以抛物线C的方程为：y2=4x.… ……4分 (2)因为11h,所以2r=0P=5,得r=而 设切线的斜率为k,则切线方程为y-2=k(x-1) 所以原点O到切线的距离为d= 2-k- V1+k2 化简得：32+8k-3=0,解得片=了k=-3· 6分 数学参考答案第4页共5页 设切线PA方程：y-2=k(x-1),切线PB方程：y-2=k(x-1) 与抛物线方程联立 y-2=k1(x-),消元得ky-4y-4(k-2)=0, y2=4x 由韦达定理y4+yp k =y4+2: 所以g,2=10P-+是，-小-110-24=8而8分 所以5wP4PA=×80x而=6 …10分 9 (3)证明：因为P(1,2),设A(x,乃)，B(x2,2),由题意，直线PA,PB斜率均存在， 1空-2名子兰2 k4=4-2=-2.4 4 -12-1乃+2 4 4 直线P彷程：y-2= +26-0:即PM:4-0y+2y+2g=0. 直线PB方程：y-2=4 +2-l,即P8:4-+2y+2%=0.…l12分 因为直线PA与圆O相切，所以 24 =r V16+0y+2)2 即(4-r2）x-r2%-5r2=0, 同理，由直线PB与圆0相切可得(4-r2）x3-r2-5r2=0..14分 所以(：，)，(x2,乃2)是直线(4-r2)x-r2y-5r2=0上的两点， 即直线AB的方程为：(4-2)x-ry-5r2=0 整理得：2(x+y+5)-4x=0, 所以直线AB恒过定点(O,-5) 17分 数学参考答案第5页共5页