精品解析：四川省成都市天府新区华阳中学2024-2025学年高二下学期第一次阶段性考试（3月）数学试题

华阳中学&香山中学2024-2025学年度下期第一次阶段性考试 高二数学试题 说明： 1、全卷总分共150分，完成时间120分钟： 2、本卷分Ⅰ卷选择题和Ⅱ卷非选择题两部分，请将所有答案写在答题卷规定位置，交卷时只交答题卷． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 为等差数列前n项和，，，则该等差数列的公差（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列前和公式以及等差数列定义即可得到答案. 【详解】, 故. 故选：B. 2. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 【答案】D 【解析】 【分析】求出两椭圆的长轴长、短轴长、焦距以及离心率，即可得出合适的选项. 【详解】椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为， 椭圆的长轴长为，短轴长为， 焦距为，离心率为， 所以，两椭圆的焦距相等，长轴长不相等，短轴长不相等，离心率也不相等. 故选：D. 3. “点在圆外”是“直线与圆相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出给定的两个命题的充要条件，再分析即可判断得解. 【详解】命题p：点在圆外等价于， 命题q：直线与圆相交等价于， 从而有，所以p是q的必要不充分条件. 故选：B 4. 若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数（ ） A. -1 B. 2 C. -l或2 D. -2或l 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用分类讨论思想，结合平行直线的性质以及距离公式，可得答案. 【详解】①当时，可得，，由，则此时不符合题意； ②当时，可得直线的斜率，直线的斜率， 由，整理可得，则，解得或， 当时，可得，，整理的方程可得， 由两平行直线之间的距离，所以此时不符合题意； 当时，可得，，整理的方程可得， 由两平行直线之间的距离，所以此时符合题意. 综上可得. 故选：A. 5. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……．记各层球数构成数列，且为等差数列，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据累加法求得，利用裂项求和法求得正确答案. 【详解】，， 由于为等差数列，所以， 所以 ，也符合， 所以， 所以数列的前项和为. 故选：D 6. 已知分别是椭圆的左､右焦点，点是椭圆上的任意一点，动点满足，且，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知动点在线段的延长线上，根据椭圆定义可得为定值，即可判断其轨迹为圆，写出方程即可得解. 【详解】由椭圆得， 故， 由题意，动点在射线的延长线上，且， 故， 故动点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 其方程为. 故选：D 7. 在正三棱锥P-ABC中，，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据长度关系先证明出两两垂直，然后通过补形法求解出的值，再通过向量法求解出的值，则结果可知. 【详解】在正三棱锥中，，又，， 所以，所以， 同理可得，，即两两垂直， 把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 正方体的体对角线就是外接球的直径，易得， 如图，建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，令，则，所以， 则点到平面的距离，所以， 故选B. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个，一方面是能通过给定的长度关系确定出位置关系，同时能利用补形法完成计算，另一方面是能利用向量方法求解出点到面的距离. 8. 已知抛物线C：的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦与弦的交点恰好为F，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的方程可得焦点F的坐标，应用抛物线焦点弦性质，，，，结合三角的恒等变换的化简可得，即可求解. 【详解】由抛物线得，则，， 不妨设PQ的倾斜角为， 则由，得，， 所以，， 得，， 所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则方程表示的曲线的形状可以是（ ） A. 两条直线 B. 圆 C. 焦点在轴上的椭圆 D. 焦点在轴上的双曲线 【答案】ABD 【解析】 【分析】分类讨论，，与四种情况，结合直线、圆、椭圆与双曲线方程的特点即可判断. 【详解】对于方程， 当时，，方程为表示圆心在原点，半径为1的圆； 当时，，则， 此时方程，即表示焦点在轴的椭圆； 当时，，此时方程，即，表示两条直线； 当时，，则， 此时方程，即表示焦点在轴的双曲线. 综上可得符合依题意的有ABD. 故选：ABD. 10. 已知数列的前项的和为，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据递推公式可判定A，利用特殊项结合等比数列定义可判定B，利用迭代法及等比数列的定义结合的关系可判定C、D. 【详解】由题意可知，所以，故A正确； 因为， 所以不能是等比数列，故B错误； 因为（），即（）， 所以， 所以，即， 又因为，所以是以2为首项，4为公比的等比数列， 所以， 所以， 即，故D正确． 故选：AD. 11. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则四面体的体积为定值 B. 若的外心为，则为定值2 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 若且，则存在点，使得的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，作出辅助线，结合空间向量基本定理得到三点共线，得到平面，故点为平面距离为定值，四面体的体积为定值，A正确；B选项，作出辅助线，结合空间向量数量积的几何意义得到；C选项，建立空间直角坐标系，设，表达出，故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，落在正方形内的部分，结合弧长公式求出答案；D选项，求出，，得到，画出图形，数形结合得到其最小值. 【详解】A选项，在上分别取，使得，， 因为，所以， 因为，所以，即， 故，即， 所以三点共线， 因为，，所以， 故平面，故点为平面的距离为定值， 又为定值，故四面体的体积为定值，A正确； B选项，取的中点，因为的外心为，所以⊥， 又题意得， 则，B错误； C选项，取的中点，因为底面为菱形，， 故⊥， 以为坐标原点，以，分别为轴，建立空间直角坐标系， 故，设， 则， 化简得， 点满足， 即点在正方形内，包括边界， 故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，落在正方形内的部分， 如图所示： 因为，，故， 故为等腰直角三角形，， 故点的轨迹长度为，C正确； D选项，若且，， 即，即， 又，，设， 设，即， 解得，即， ， 如图所示， 设，且⊥，⊥， 在线段上取一点，设，则， 故， 显然，直接连接，此时取得最小值，最小值即为， 由勾股定理得， 故的最小值为， D正确. 故选：ACD 【点睛】空间向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用空间向量的几何意义将问题转化为空间几何中的最值或取值范围问题，然后根据图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用空间向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的两条渐近线互相垂直，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程，由条件列方程求. 【详解】因为双曲线的方程为，所以， 所以双曲线的渐近线方程为， 又双曲线的两条渐近线互相垂直， 所以，所以， 故答案为：. 13. 如图，在三棱锥A-BCD中，E是CD的中点，点F在AE上，且．设，，，则_______，_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由已知线段所表示的空间向量，应用向量加减运算的几何意义求得、，即可求，再由知，即可求. 【详解】在中，，，则， 在中，，，则， ∵在中，E是CD的中点， ∴，而，即， ∴在中，. ∴直线AE，BF的方向向量分别为、. 故答案为：，. 14. 在数列中，且，当时，，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】由数列的递推式可得，求和后结合条件可得，求出即可. 【详解】因为，，所以， 当时，，所以，所以， 所以 ， 因为， 所以，所以，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是由数列的递推式可得，然后利用累加法求和求解范围即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为，求的值. 【答案】 【解析】 【分析】 由题知，直线斜率为，从而求得直线方程为；又，所以，联立得，利用根与系数关系代入计算求出值. 【详解】，， ，，则直线的方程为：，即， 设两点的坐标分别为， 联立，消得：， ， ，， . 【点睛】本题主要考查了直线的方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题.解决直线与抛物线的位置关系，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”、“整体代入”等解法. 16. 随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛，其中差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具.对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，已知数列为常数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一阶差分数列概念，知道数列为等差数列，再用等差数列的知识解题即可． （2）先求出的通项公式，再运用裂项相消即可解题． 【小问1详解】 由于数列为常数列，且，可知为等差数列. 又．知道，解得． 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 ,则 17. 莲花山位于鄂州市洋澜湖畔．莲花山，山连九峰，状若金色莲初开，独展灵秀，故而得名．这里三面环湖，通汇长江，山峦叠翠，烟波浩渺．旅游区管委会计划在山上建设别致凉亭供游客歇脚，如图①为该凉亭的实景效果图，图②为设计图，该凉亭的支撑柱高为3m，顶部为底面边长为2的正六棱锥，且侧面与底面所成的角都是． （1）求该凉亭及其内部所占空间的大小； （2）在直线PC上是否存在点M，使得直线MA与平面所成角的正弦值为？若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）60 （2）直线PC上不存在点M，使得直线MA与平面所成角的正弦值为，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据正六棱柱的体积以及正六棱锥的体积公式即可求解.（2）根据空间直角坐标系中点的坐标得向量的坐标，根据空间向量的求解平面法向量与直线方向向量的夹角，进而可求解. 【小问1详解】 结合图②易得凉亭的顶是正六棱锥，侧面与水平面成45°，取的中点G，连接，PG，则，，故，易求，所以， 所以该凉亭的体积分为两部分，上半部分为正六棱锥，其体积为 ，下半部分为正六棱柱， 其体积， 所以该凉亭及内部所占空间为60， 【小问2详解】 取AB的中点H，以OH、FC、OP所在直线分别为x，y，z轴，以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示． 假设在直线PC上存在点M，使得直线MA与平面所成角的正弦值为， 则， ，,， 设则，平面的一个法向量， 则，，， 则 ，即，令，解得，，所以平面的一个法向量, 设直线MA与平面所成角为，则 ，化简得 ，,故该方程不存在实数解， 所以在直线PC上不存在点M，使得直线MA与平面所成角的正弦值为 18. 已知数列的前项和，且，正项等比数列满足：，. （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】(1)利用公式，求出，再结合即可求出的值，再利用公式即可求出数列的通项；根据已知条件列出方程，可求出数列的首项和公比，再根据等比数列的通项公式求解即可； (2)去掉绝对值可得，再对分和讨论求和即可. 【详解】(1)当时，， 由，得，即， 当时，，当时，， 所以； 设正项等比数列的公比为，则， 所以，解得或(舍)， 所以 (2)， 所以当时,， 当时，， 即 19. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图） 步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕. 现对这些折痕所围成的图形进行建模研究.若取半径为6的圆形纸片，如图，设定点到圆心的距离为4，按上述方法折纸.以点所在的直线为轴，线段中点为原点建立平面直角坐标系. （1）若已研究出折痕所围成的图形即是折痕与线段交点的轨迹，求折痕围成的椭圆的标准方程； （2）记（1）问所得图形为曲线，若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在点使得和之积为. 【解析】 【分析】（1）建立直角坐标系，利用椭圆的定义求椭圆的标准方程； （2）设出直线的方程，并与椭圆方程联立，根据斜率的定义求解. 【小问1详解】 如图，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系， 设为椭圆上一点，由题意可知， ∴点的轨迹点为焦点，长轴的椭圆， ∵，，∴， ∴，则椭圆的标准方程为， 【小问2详解】 设直线的方程为，将直线方程和椭圆方程联立 ， 消去得， 其中， 设，， 则 ， 消去和可得， 要使为定值，则， ∵，∴，此时， ∴存在点使得和之积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 华阳中学&香山中学2024-2025学年度下期第一次阶段性考试 高二数学试题 说明： 1、全卷总分共150分，完成时间120分钟： 2、本卷分Ⅰ卷选择题和Ⅱ卷非选择题两部分，请将所有答案写在答题卷规定位置，交卷时只交答题卷． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 为等差数列的前n项和，，，则该等差数列的公差（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 椭圆与椭圆的（ ） A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等 3. “点在圆外”是“直线与圆相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数（ ） A. -1 B. 2 C. -l或2 D. -2或l 5. 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……．记各层球数构成数列，且为等差数列，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 6. 已知分别是椭圆左､右焦点，点是椭圆上的任意一点，动点满足，且，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 在正三棱锥P-ABC中，，且该三棱锥的各个顶点均在以O为球心的球面上，设点O到平面PAB的距离为m，到平面ABC的距离为n，则（ ） A. B. C. D. 3 8. 已知抛物线C：焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦与弦的交点恰好为F，且，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则方程表示的曲线的形状可以是（ ） A. 两条直线 B. 圆 C. 焦点在轴上的椭圆 D. 焦点在轴上的双曲线 10. 已知数列的前项的和为，，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是等比数列 C. D. 11. 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点，点满足，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则四面体的体积为定值 B. 若的外心为，则为定值2 C. 若，则点的轨迹长度为 D. 若且，则存在点，使得的最小值为 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 双曲线的两条渐近线互相垂直，则_______． 13. 如图，在三棱锥A-BCD中，E是CD中点，点F在AE上，且．设，，，则_______，_______． 14. 在数列中，且，当时，，则实数的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为，求的值. 16. 随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛，其中差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具.对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，已知数列为常数列，且. （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，求数列前项和. 17. 莲花山位于鄂州市洋澜湖畔．莲花山，山连九峰，状若金色莲初开，独展灵秀，故而得名．这里三面环湖，通汇长江，山峦叠翠，烟波浩渺．旅游区管委会计划在山上建设别致凉亭供游客歇脚，如图①为该凉亭的实景效果图，图②为设计图，该凉亭的支撑柱高为3m，顶部为底面边长为2的正六棱锥，且侧面与底面所成的角都是． （1）求该凉亭及其内部所占空间的大小； （2）在直线PC上是否存在点M，使得直线MA与平面所成角的正弦值为？若存在，请确定点M的位置；若不存在，请说明理由． 18. 已知数列的前项和，且，正项等比数列满足：，. （1）求数列和的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 19. “工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图） 步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为； 步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点； 步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕； 步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕. 现对这些折痕所围成的图形进行建模研究.若取半径为6的圆形纸片，如图，设定点到圆心的距离为4，按上述方法折纸.以点所在的直线为轴，线段中点为原点建立平面直角坐标系. （1）若已研究出折痕所围成的图形即是折痕与线段交点的轨迹，求折痕围成的椭圆的标准方程； （2）记（1）问所得图形为曲线，若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$