精品解析：广东省肇庆市鼎湖中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

肇庆鼎湖中学2026届高二级3月月考 数学学科 命题□：陈瑞红 审题□：李文君 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知数列的首项，且满足，则（ ） A B. C. 16 D. 19 2. 记等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 已知等差数列中，，则（ ） A. 8 B. 4 C. 16 D. -4 4. 已知是正项等比数列，若，，成等差数列，则的公比为（ ） A B. C. D. 5. 一个等差数列共有2n项，奇数项和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 20 6. 已知函数 的导函数为 ，且 ，则 （ ） A. 2 B. C. 10 D. 5 7. 下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知各项为正的数列的前项和为，满足，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 3 D. 2 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对，得部分分） 9. 设等差数列的前n项的和为，公差为d．已知，，，则（ ） A. B. C. 与均为的最大值 D. 当时，n的最小值为13 10. 已知数列的首项，且，满足下列结论正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列 C. D. 数列的前n项的和 11. 已知等比数列的前项和为，且，为等差数列，且，，记集合中元素的个数为，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则在处切线方程为___________ 13. 在等差数列中，，，则数列的前2022项的和为_______． 14. 等差数列，前项和分别为，，且，则________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 已知数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和为，求证：． 17. 设单调递减的等差数列的前项和为. （1）求数列的通项公式及前项和； （2）设数列的前项和为，求. 18. 已知数列中，，． （1）证明数列是等比数列，并求的通项公式； （2）数列满足，设为数列的前项和，求使恒成立的最小的整数． （3）设，求数列的前项和． 19. 已知数列，的各项都是正数，是数列的前项和，满足；数列满足，， （1）求数列和的通项公式； （2）记 ，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 肇庆鼎湖中学2026届高二级3月月考 数学学科 命题□：陈瑞红 审题□：李文君 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知数列的首项，且满足，则（ ） A. B. C. 16 D. 19 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件得出数列是以，的等差数列，即可求出结果. 详解】由，得到，又， 所以数列是以，公差的等差数列，得到， 故选：B. 2. 记等比数列的前项和为，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列前项和公式的形式，可以得到。从而得到，当时，得. 【详解】显然，等比数列前项和公式为， 因为为等比数列的前项和，所以， 所以 所以. 故选：C 3. 已知等差数列中，，则（ ） A. 8 B. 4 C. 16 D. -4 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列的性质求解. 【详解】解：由等差数列的性质知， 所以， 所以， 所以， 故选：B 4. 已知是正项等比数列，若，，成等差数列，则公比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意设出公比，根据等差中项的性质建立方程，可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则， 由，，为等差数列，则，即， 所以，整理得，解得或（舍去） 故选：C. 5. 一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质得到方程组，求出，从而求出数列的项数. 【详解】根据等差数列的性质得：，， 解得：，故该数列的项数为. 故选：B 6. 已知函数 的导函数为 ，且 ，则 （ ） A. 2 B. C. 10 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合导数的定义分析求解. 【详解】由题意可得：. 故选：C. 7. 下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由，，，可推测，以上式子累加，结合等差数列的求和公式可得答案． 【详解】，，，，，，，， 等式两边同时累加得，即，也符合该式， 所以第个图形中小正方形的个数是． 故选：C 8. 已知各项为正的数列的前项和为，满足，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由结合求出，从而求得，由此求出的表达式，利用基本不等式即可求得答案． 【详解】各项为正的数列， ， 时，， 即，化为：， ，， 又，解得， 数列是等差数列，首项为1，公差为2． ， ， ，当且仅当时取等号， 的最小值为2． 故选：D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对，得部分分） 9. 设等差数列的前n项的和为，公差为d．已知，，，则（ ） A. B. C. 与均为的最大值 D. 当时，n的最小值为13 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过数列的性质可将化为，结合，则选项A可判定；由，，，，通项公式构建公差的不等式组， 则选项B可判定； 等差数列中，，可知的最大值为，则选项C可判定；将，转化为前n项的和的正负，即可判定D选项. 【详解】等差数列中，则，即， 所以由等差数列的性质可得，又，所以，故A正确； 已知，，，， 所以，，， 解得，故B正确； 等差数列中，，可知的最大值为，故C错误； 等差数列中，所以， 继而可得，又，故D正确. 故选: ABD. 10. 已知数列的首项，且，满足下列结论正确的是（ ） A. 数列是等比数列 B. 数列是等比数列 C. D. 数列的前n项的和 【答案】BC 【解析】 【分析】计算数列前三项可判断A；利用，构造等比数列，可判断B，C；结合C的结果以及等比数列前n项和公式可判断D. 【详解】由题意数列的首项，且满足，则， 则，故数列不是等比数列，A错误； 由得，，否则与矛盾， 则，则数列是等比数列，B正确； 由B分析知数列是等比数列，首项为，公比为， 则，所以，C正确； 数列的前n项的和为，D错误. 故选：BC 11. 已知等比数列的前项和为，且，为等差数列，且，，记集合中元素的个数为，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用与的关系以及等比数列的基本量运算即可求其通项；对于B，利用A的结论，结合等差数列基本量运算可得；对于C，根据A，B项所求易得的通项；对于D，利用分组求和法与等比、等差数列求和公式计算即得. 【详解】对于A，设等比数列的公比为，由，得， 两式相减得，即，所以， 又，因为等比数列，故，联立解得， 所以，A错误； 对于B，设等差数列的公差为，由，， 得，解得，所以，B正确； 对于C，由，得， 则集合中元素的个数为，即，C错误； 对于D， ，D正确． 故选：BD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则在处的切线方程为___________ 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求得切线的斜率，求得切点坐标后求得切线方程. 【详解】因为，所以，又因为，所以切点为， 所以曲线在处的切线方程为. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查切线方程的求法，属于基础题. 13. 在等差数列中，，，则数列的前2022项的和为_______． 【答案】2022 【解析】 【分析】首先利用等差数列的项求出数列的通项公式，进一步用分组求和法求和即可. 【详解】设等差数列的公差为，则，解得， ∴，故， ∵，∴， 对任意的，， ∴数列的前项的和为 ； 故答案为：. 14. 等差数列，的前项和分别为，，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用等差数列项的性质和前项和公式计算即得. 【详解】由可得：， 则. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知数列，中，，，是公差为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据题意及等差数列的通项公式计算出数列的通项公式，再根据等比数列的通项公式计算出数列的通项公式，即可计算出数列的通项公式； （2）根据数列的通项公式的特点运用分组求和法，以及等差数列和等比数列的求和公式即可计算出前项和． 【小问1详解】 由题意，可得， 故，， 数列是公比为2的等比数列，且， ， ，． 【小问2详解】 由题意及（1），可得， 则 ． 16. 已知数列的前项和． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和为，求证：． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用关系求通项公式即可； （2）应用裂项相消法求和得，即可证. 【小问1详解】 因为， 当时，， 两式相减，得， 当时，满足上式， 故数列通项公式为． 【小问2详解】 由（1）知，故， 所以， 由，则，所以，故． 17. 设单调递减的等差数列的前项和为. （1）求数列的通项公式及前项和； （2）设数列的前项和为，求. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件结合等差数列的性质可得，解方程组求出，从而可求出，， （2）由，得，然后分和两种情况求. 【小问1详解】 因为数列为等差数列，所以， 又，解得，或， 又因为数列单调递减，所以， 所以，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 由，解得， ，解得，即， 所以当时，， 当时，， 综上. 18. 已知数列中，，． （1）证明数列是等比数列，并求的通项公式； （2）数列满足，设为数列的前项和，求使恒成立的最小的整数． （3）设，求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析， （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）将递推公式适当变形，根据等比数列的定义证明，进而得的通项公式，再得的通项公式； （2）根据通项公式得到通项公式，再利用错位相减法求和，进而根据不等式的特征求解整数即可； （3）根据通项公式得到通项公式，再利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 在数列中，由，得， 则， 所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列， 则，解得，所以的通项公式． 【小问2详解】 由（1）知. 所以， 则， 两式相减得： . 因此，， 当时，， 所以由恒成立，可得， 所以使恒成立最小的整数为4； 【小问3详解】 ， 所以 . 19. 已知数列，的各项都是正数，是数列的前项和，满足；数列满足，， （1）求数列和的通项公式； （2）记 ，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先根据条件算出 ，再算出 和 ； （2）对于 采用分组求和的方法，推出 的解析式，再根据条件，计算不等式 ，确定 的范围. 【小问1详解】 依题意，根据，得， 又，，得； 当时，；当时，适合上式， 所以数列的通项公式，所以，， 又因为，所以数列为等比数列， 所以，解得或（舍去），所以； 【小问2详解】 由题意可知，，； 由已知可得 ， 设的前项和中，奇数项的和为，偶数项的和为， 所以，， 当为奇数时，， 所以 ， 当为偶数时，，所以， 由，得，即， 当为偶数时，对一切偶数成立，当 时， 为最小值，所以， 当为奇数时，对一切奇数成立，当 时 为最大值，所以此时， 故对一切恒成立，则． 综上，，， 的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$