精品解析：重庆市巴川中学校2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题

重庆市巴川中学校2024-2025学年度春期一阶段检测 初2025届数学试题 （总分150分 考试时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列各数中，绝对值最小的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数的大小比较．分别求出四个数的绝对值即可得到答案． 【详解】解：，，，， ， 绝对值最小的是0， 故选：B． 2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 如图，，，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理，掌握各知识点是解题的关键． 由平行线的性质得到，结合等边对等角，以及三角形的外角定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4. 如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到，，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵与位似， ∴， ∵与的周长之比是， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 5. 下列结论正确的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 任意多边形的外角和为 C. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 圆周角等于圆心角的一半 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，多边形的外角和，圆周角定理，对顶角．利用平行四边形的判定，多边形的外角和，圆周角定理，对顶角的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，本选项不符合题意； B、任意多边形的外角和为，本选项符合题意； C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，本选项不符合题意； D、同弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半，本选项不符合题意； 故选：B． 6. 在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是( ) A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】对于函数y＝来说，当k＜0时，每一条曲线上，y随x的增大而增大；当k＞0时，每一条曲线上，y随x的增大而减小． 【详解】反比例函数y=的图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大， 所以1－k＜0， 解得k＞1． 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的增减性的判定．在解题时，要注意整体思想的运用． 7. 估计的值在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估值．先根据二次根式的混合运算化简式子为，由即可解答． 【详解】解：， ∵， ∴． 即的值在1和2之间． 故选：B 8. 如图，在中，，，，把以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到边的延长线上点处，则边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（ ） A. 3π B. 9π C. 12π D. 16π 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查不规则图形面积的计算，将不规则图形转化为可求图形面积的和差，并牢记三角形面积公式和扇形面积公式是解题关键．首先求出，，然后根据结合三角形面积公式和扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ，， ， 故选：B． 9. 如图，正方形中，点E、F分别是和边的点，满足，连接、，过点F作，连接，H是上一点，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，证明，则，由，可得，由，可得，则，即是的中点，证明四点共圆，且圆心为点，利用圆周角定理结合等腰三角形的性质，计算求解即可， 【详解】解：连接， ∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即是的中点， ∵， ∴， ∴， ∴四点共圆，且圆心为点， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，圆周角定理等知识．证明四点共圆是解题的关键． 10. 已知关于的整式，其中，，，，为整数，且，下列说法：①的项数不可能小于等于3；②若，则不可能分解为一个整式的平方；③若，且，，，，均为正整数，则满足条件的共有4个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式的概念，因式分解，解题的关键是根据a，b，c，d，e的大小关系及范围，列出所有的情况进行求解． 【详解】解：根据，且，，，，为整数，可得a最小为0，则的项数至少是4项，故不可能小于等于3，故①正确； 若，则，假设可以分解为一个整式的平方， 设， 则 , ，，，，, ， ，, 这与矛盾， ∴假设不成立， 故，则不可能分解为一个整式的平方， ∴②正确； 若，且，，，，均为正整数， 则有，，，，， 或，，，，， 或，，，，共三种情况，故③错误； 故选：C． 二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. ______． 【答案】5 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的运算．直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简，进而得出答案． 【详解】解： ． 故答案为：5． 12. 现有4张相同的卡片，正面分别写有中国二十四节气中的“春分”、“谷雨”、“小满”、“夏至”，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽到“春分”、“夏至”的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法和概率公式求概率．画树状图，共有12种等可能的结果，找出抽到的两张卡片正面分别是“春分”、“夏至”的结果数，再由概率公式求解即可． 【详解】解：设“春分”、“谷雨”、“小满”、“夏至”分别为1，2，3，4，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面分别是“春分”、“夏至”的有2种， 故从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面2分别是“春分”、“夏至”的概率为． 故答案为：． 13. 如图，在边长为5的菱形中，为对角线，过点D作，交的延长线于点E．若，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识．先利用勾股定理求得的长，由面积可求出高的长，再利用正弦函数的定义，即可求解． 【详解】解：连接交于点O，作于点F， ∵菱形， ∴，，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵菱形的面积，即， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如果关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，解分式方程，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 先求出不等式组的解集为，由于关于x的不等式组有解且多有4个整数解，则，解得，再求出分式方程的解为，从分式有意义的条件和整数解即可求出． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， ∴， ∵关于x的不等式组有解且至多有4个整数解， ∴， 解得： ， ， 解得：，且，即， 当，，，，时，解不是整数，舍； ∴或， ∴满足条件的整数a的值之和为， 故答案为：． 15. 如图，四边形内接于，，，，，交的延长线于点N，则______；的半径为______． 【答案】 ①. 2 ②. ## 【解析】 【分析】延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接，即可证得，进而可求得，再利用圆周角定理得到，解直角三角形即可求解． 【详解】解：延长至点E，使，连接，连接并延长交于点F，连接， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴是的直径，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是直径， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：2，． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，解直角三角形等知识点，熟练掌握圆周角定理以及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 16. 如果一个四位自然数的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与十位数字的和为9，百位数字与个位数字的差为1，那么称为“九一数”．把的千位数字的2倍与个位数字的和记为，百位数字的2倍与十位数字的和记为，令，当为整数时，则称为“整九一数”．若（其中，，，且、、、均为整数）是“整九一数”，则满足条件的的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义进行逆向推理，得出M的千位数为，百位数为，十位数为，个位数为，且满足是整数，进行求解即可． 【详解】∵是“整九一数”， ∴M的千位数为，百位数为，十位数为，个位数为，且满足是整数， ∵，，，且、、、均为整数， ∴M的值为， ∴满足条件的的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题属于新定义类题目，考查了实数的运算和列代数式，准确理解新定义是解题的关键． 三、（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上， 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，分式的加减乘除混合运算，解题的关键在于能够熟练掌握相关计算法则． （1）先根据完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则计算乘方和乘法，然后再算加减； （2）先将小括号里的式子进行通分计算，然后再根据分式除法法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，已知线段与直线平行，是的平分线，交直线于点E． （1）尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，交于点F，交于点H，连接并延长交直线于点G，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，某学习小组讨论发现线段，，之间存在一定的数量关系，请你根据该兴趣小组的思路完成下面的填空： 解：，理由如下，如图所示， ∵，∴①_____________， 是的平分线， ∴②_____________， 为的垂直平分线， ∴．③_____________， 在和中，， ， ∴④_____________， ，， ． 小南再进一步研究发现，若连接，则四边形的形状是⑤_____________． 【答案】（1） 所作图形，如图， （2） ，理由如下，如图所示， ∵， ∴， 是的平分线， ， ， ∴， ∴， 为的垂直平分线， ∴， 在和中，， ， ∴， ，， ． ∵， ∴的垂直平分线经过点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形的形状是菱形． 【解析】 【分析】（1）利用尺规作图作出的垂直平分线即可； （2）按照题中给出的思路证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了基本作图，垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定等知识，掌握全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质是解答本题的关键． 19. 为了迎接中考体考，在临考前初三年级进行了全真模拟考试，并对各个项目进行了统计和分析．某数学兴趣小组从初三年级男、女同学中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析（跳绳个数记为x，共分为五组：A．，B．，C．，D．，E．），下面给出了部分信息： 被抽取的男同学的跳绳个数在C组的数据是：192，195，195，195，195，194． 被抽取的女同学的跳绳个数在C组的数据是：192，193，193，196，196，196，196，196． 被抽取的男、女同学跳绳个数的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 男同学 196 a 195 女同学 196 196 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，_______； （2）根据上述数据，你认为该校初三年级男生和女生，哪类学生的跳绳水平更高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校初三年级参加此次体育模拟考试的男生有800人，女生有600人，请你估计全年级跳绳个数不少于200个的人数． 【答案】（1）193；196；20 （2） 解：认为该校初三女同学一分钟跳绳更优秀， 因为男、女生跳绳个数的平均数相等，而女生跳绳个数的中位数大于男生跳绳个数， 所以女生跳绳个数的高分分数多于男生， 所以认为该校初三女同学一分钟跳绳更优秀（答案不唯一，合理均可）． （3）380人 【解析】 【分析】本题考查用样本估计总体、扇形统计图、中位数、众数的意义和计算方法，从统计图表中获取数量之间的关系是解决问题的关键． （1）根据中位数和众数的定义可得、的值，先求出被抽取的女同学跳绳个数在组人数所占百分比，再根据百分比之和为1可得的值； （2）根据众数、中位数及平均数的意义求解即可得出答案； （3）总人数分别乘以男、女生跳绳个数不少于200个的人数所占比例，再求和即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，被抽取的男同学跳绳个数数据的第10、11个数据分别为192、194， 所以其中位数， 被抽取的女同学跳绳个数在组人数所占百分比为， 组人数所占百分比，即， 被抽取的女同学跳绳个数的众数． 故答案为：193；196；20 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人， 答：估计全年级跳绳个数不少于200个的人数约为380人． 20. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了90亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个． （1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元 （2）当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组，不等式，函数解析式，是解题的关键： （1）设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元，根据购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，列出方程组进行求解即可； （2）设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃，根据题意，列出不等式，求出的取值范围，设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元，列出函数关系式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设每个A种娃娃的进价是x元，每个B种娃娃的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每个A种娃娃的进价是10元，每个B种娃娃的进价是8元； 【小问2详解】 解：设购进m个A种娃娃，则购进个B种娃娃， 根据题意得：， 解得：． 设这200个娃娃全部售完获得的总利润为w元， 则， 即， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，最大值为，此时（个）． 答：当购进50个A种娃娃，150个B种娃娃时，商家获利最大，最大利润是550元． 21. 如图1，在中，，，，点E，D分别在，上，且满足，，点P从A出发，沿着折线运动，到达点E时停止运动．设点P运动的路程为x，连接，记的面积为y，请解答下列问题： （1）请直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质； （3）结合函数图象，当时，则x的取值范围是_______．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】（1） （2） 函数图象如图所示， 当时，函数的最大值为； （3） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，解直角三角形，一次函数的性质； （1）证明，得出，进而得出，分在，上时，根据三角形的面积公式列出函数关系式，即可求解； （2）当时，；时，，连线画出函数图象，根据函数图象写出一条性质，即可求解； （3）根据函数图象，找到临界点即可求解． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∵，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当在上时，即，如图所示，过点作于点， ∴， ∴； 当在上时，即时，, ∴ 综上所述，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时， ∴或， 解得：或， 结合函数图象，当时，则x的取值范围是． 故答案为：． 22. 2025年重庆巴岳山越野赛即将在山势巍峨形似游龙的“重庆小十景”之一的巴岳山开跑，活动方开辟出了两条经典路线，如图是两条跑步路线的平面示意图，已知终点C在起点A的东北方向．路线①从起点A出发向北偏东的方向先跑过一段山路到达补给点B，再沿正东方向跑一段步道即可到达终点C；路线②从起点A出发沿北偏东的方向跑过一段山路到达补给点D，再沿正北方向的步道跑2400米即可到达终点C．（参考数据：，，） （1）求的长度；（结果精确到1米） （2）巴川小队有两位选手小潼和小量参加了跑步活动，小潼选择路线①，他的平均速度为80米/分钟，小量选择了路线②，他的平均速度为90米/分钟，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达终点？（结果精确到0.1分） 【答案】（1）的长度约为4632米； （2）小量会先到达终点 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用——方位角问题，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）如图，过点D作于点E，在中，求出（米），在中，求出（米），进而求解即可； （2）如图，过点A作交的延长线于点F，首先得到米，在中，求出米，在中，求出米，得到（米），然后分别求出小潼走路线①需要的时间和小量走路线②需要的时间，进而比较求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点D作于点E， 由题意，得，，米， 在中，（米）． 在中，（米） （米）． 答：的长度约为4632米； 【小问2详解】 如图，过点A作交的延长线于点F， 由题意，知， 由（1）知米， 在中， 米 在中， 米， 米 （米） 在中，（米）， 小潼走路线①需要的时间为：（分钟）． 小量走路线②需要的时间为：（分钟）． ，小量会先到达终点． 23. 如图1，抛物线与坐标轴分别交于A、B、C三点，其中A点坐标为，． （1）求抛物线解析式： （2）点E是直线上方抛物线上的一动点，于F，点D是x轴上一动点，连接，当线段长度最大时，求点E的坐标及的最小值． （3）如图2，在（2）条件下，将抛物线C沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线C的交点为G，请在新抛物线上找一点M（不与点G重合），使直线与直线的夹角为，直接写出符合条件的点M的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为：； （2）点E的坐标为；的最小值为； （3）点M的坐标． 【解析】 【分析】（1）由得到，推出，设抛物线的解析式为：，代入得到，解得：，即得； （2）过点E作轴交于点H，根据为等腰直角三角形，推出为等腰直角三角形，得到，当取得最大值时，有最大值，求出直线的解析式为，设点，则点，得到，得到当时，有最大值，求得点E的坐标为，作点E关于轴的对称点，连接交轴于点，此时，取得最小值，最小值为的长，据此求解即可； （3）将该抛物线沿射线的方向平移个单位相当于向右平移4个单位向下平移4个单位，得到，联立求得，作轴，垂足为点，直线交轴于点，利用待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可． 【小问1详解】 解：由知， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点， ∴设抛物线的解析式为：， ∴， 解得：， 则抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：过点E作轴交于点H， 由知，为等腰直角三角形， 则， ∵轴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 当取得最大值时，有最大值； 设直线的解析式为， 将代入，得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设点，则点， ∴， 当时，有最大值，即有最大值； 此时，点E的坐标为； 作点E关于轴的对称点，连接交轴于点， 此时，取得最小值，最小值为的长， ∵点E的坐标为， ∴点的坐标为， ∴， 则的最小值为； 【小问3详解】 解：将该抛物线沿射线的方向平移个单位相当于向右平移4个单位向下平移4个单位， 则， 联立得：， 解得：， ∴， ∴， 作轴，垂足为点，直线交轴于点， ∵为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， ∴， 同理，直线的解析式为， 联立得， 解得（舍去）或， ∴点M的坐标． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，二次函数的最值，两点间的距离公式，是解决问题的关键． 24. 如图，的两边与的两边相交于、、、四点，点为的中点． （1）若，，，，请求出的长度． （2）如图2，点为上方的一点连接，，交于点，且点在的垂直平分线上，，求证：； （3）如图3，若，，为上一点且，在平面内有一点，满足，若点为中点，的角平分线上有一点，连接，，当的值最小时，请直接写出的面积． 【答案】（1） （2） 证明：如图，过点作交延长线于点， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，在中求出和，易得，则可求出和，利用点为的中点，求出，再利用即可求解； （2）过点作交延长线于点，利用点在的垂直平分线上，，证明，得出，，再利用，得出，则，利用和点为的中点，证明，得出，易证，得出，再利用线段的和差即可证明； （3）延长，交延长线于点，连接，先证为的中位线，得，可知点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，易得为等边三角形，设交于点，利用对称性在上取点，使，可知，利用两点之间线段最短和圆外一点到圆上的最短距离，可知当、、、依次共线时最小，此时，过点作于点，过点作于点，在中，求出和，即可得，再利用勾股定理求出，再利用求出，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长，交延长线于点，连接， ∵点为的中点，点为中点， ∴， ∴点的轨迹为以为圆心，为半径的圆， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵平分， ∴垂直平分， 如图，设交于点，在上取点，使， ∴， ，垂直平分， ∴， ∴， 利用两点之间线段最短和圆外一点到圆上的最短距离，可知当、、、依次共线时最小，即最小， 此时如图，过点作于点，过点作于点， 在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质，勾股定理，圆的定义，中位线的性质，熟练掌握这些性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市巴川中学校2024-2025学年度春期一阶段检测 初2025届数学试题 （总分150分 考试时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列各数中，绝对值最小的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，．则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知与位似，位似中心为O，且与的周长之比是，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 下列结论正确的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 任意多边形的外角和为 C. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 D. 圆周角等于圆心角的一半 6. 在反比例函数的图象的每一条曲线上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是( ) A. －1 B. 0 C. 1 D. 2 7. 估计的值在（ ） A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 8. 如图，在中，，，，把以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到边的延长线上点处，则边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（ ） A. 3π B. 9π C. 12π D. 16π 9. 如图，正方形中，点E、F分别是和边的点，满足，连接、，过点F作，连接，H是上一点，且，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的整式，其中，，，，为整数，且，下列说法：①的项数不可能小于等于3；②若，则不可能分解为一个整式的平方；③若，且，，，，均为正整数，则满足条件的共有4个．其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题6个小题，每小题5分，共30分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. ______． 12. 现有4张相同的卡片，正面分别写有中国二十四节气中的“春分”、“谷雨”、“小满”、“夏至”，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽到“春分”、“夏至”的概率是______． 13. 如图，在边长为5的菱形中，为对角线，过点D作，交的延长线于点E．若，则的值为_______． 14. 如果关于x的不等式组有解且至多有4个整数解，且关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数a的值之和为______． 15. 如图，四边形内接于，，，，，交的延长线于点N，则______；的半径为______． 16. 如果一个四位自然数的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与十位数字的和为9，百位数字与个位数字的差为1，那么称为“九一数”．把的千位数字的2倍与个位数字的和记为，百位数字的2倍与十位数字的和记为，令，当为整数时，则称为“整九一数”．若（其中，，，且、、、均为整数）是“整九一数”，则满足条件的的最大值为______． 三、（本大题8个小题，每小题10分，共80分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上， 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，已知线段与直线平行，是的平分线，交直线于点E． （1）尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线，交于点F，交于点H，连接并延长交直线于点G，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，某学习小组讨论发现线段，，之间存在一定的数量关系，请你根据该兴趣小组的思路完成下面的填空： 解：，理由如下，如图所示， ∵，∴①_____________， 是的平分线， ∴②_____________， 为的垂直平分线， ∴．③_____________， 在和中，， ， ∴④_____________， ，， ． 小南再进一步研究发现，若连接，则四边形的形状是⑤_____________． 19. 为了迎接中考体考，在临考前初三年级进行了全真模拟考试，并对各个项目进行了统计和分析．某数学兴趣小组从初三年级男、女同学中各随机抽取20名学生，对其一分钟跳绳的个数进行整理和分析（跳绳个数记为x，共分为五组：A．，B．，C．，D．，E．），下面给出了部分信息： 被抽取的男同学的跳绳个数在C组的数据是：192，195，195，195，195，194． 被抽取的女同学的跳绳个数在C组的数据是：192，193，193，196，196，196，196，196． 被抽取的男、女同学跳绳个数的平均数、中位数、众数如表： 平均数 中位数 众数 男同学 196 a 195 女同学 196 196 b 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，_______； （2）根据上述数据，你认为该校初三年级男生和女生，哪类学生的跳绳水平更高？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）若该校初三年级参加此次体育模拟考试的男生有800人，女生有600人，请你估计全年级跳绳个数不少于200个的人数． 20. 近期，我国国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房突破了90亿，商家推出A、B两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进4件A种娃娃和购进5件B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，且A种娃娃售价为15元/个，B种娃娃售价为10元/个． （1）每个A种娃娃和每个B种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1700元的资金购进A、B两种娃娃共200个，若这200个娃娃全部售完，选择哪种进货方案，商家获利最大？最大利润是多少元？ 21. 如图1，在中，，，，点E，D分别在，上，且满足，，点P从A出发，沿着折线运动，到达点E时停止运动．设点P运动的路程为x，连接，记的面积为y，请解答下列问题： （1）请直接写出y关于x的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； （2）如图2，在给定的平面直角坐标系中，画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质； （3）结合函数图象，当时，则x的取值范围是_______．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 22. 2025年重庆巴岳山越野赛即将在山势巍峨形似游龙的“重庆小十景”之一的巴岳山开跑，活动方开辟出了两条经典路线，如图是两条跑步路线的平面示意图，已知终点C在起点A的东北方向．路线①从起点A出发向北偏东的方向先跑过一段山路到达补给点B，再沿正东方向跑一段步道即可到达终点C；路线②从起点A出发沿北偏东的方向跑过一段山路到达补给点D，再沿正北方向的步道跑2400米即可到达终点C．（参考数据：，，） （1）求的长度；（结果精确到1米） （2）巴川小队有两位选手小潼和小量参加了跑步活动，小潼选择路线①，他的平均速度为80米/分钟，小量选择了路线②，他的平均速度为90米/分钟，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达终点？（结果精确到0.1分） 23. 如图1，抛物线与坐标轴分别交于A、B、C三点，其中A点坐标为，． （1）求抛物线解析式： （2）点E是直线上方抛物线上的一动点，于F，点D是x轴上一动点，连接，当线段长度最大时，求点E的坐标及的最小值． （3）如图2，在（2）条件下，将抛物线C沿射线方向平移个单位长度，得到新抛物线，新抛物线与原抛物线C的交点为G，请在新抛物线上找一点M（不与点G重合），使直线与直线的夹角为，直接写出符合条件的点M的坐标． 24. 如图，的两边与的两边相交于、、、四点，点为的中点． （1）若，，，，请求出的长度． （2）如图2，点为上方的一点连接，，交于点，且点在的垂直平分线上，，求证：； （3）如图3，若，，为上一点且，在平面内有一点，满足，若点为中点，的角平分线上有一点，连接，，当的值最小时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $