高一数学期中模拟卷（北京专用，测试范围：平面向量+解三角形+复数+立体几何表面积与体积）-学易金卷：2024-2025学年高中下学期期中模拟考试

2024-2025学年高一数学下学期期中卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第一册5.5-5.7，必修第二册第六章、第七章、8.1-8.3。 5．难度系数：0.73。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．若复数，则（   ） A．2 B． C．10 D． 3．已知，，，则（   ） A．A、B、D三点共线 B．A、B、C三点共线 C．B、C、D三点共线 D．A、C、D三点共线 4．已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 5．角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．在中，，则一定是　　 A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 7．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 8．设函数，，，则可以是（   ） A． B．1 C．2 D．3 9．如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边分别交于点，设，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一补四脚帐篷的示意图，其中曲线和均是以为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知是实数，且，则x+y= 12．在复平面内，向量、分别对应复数、，则对应的复数为 13．在中，内角的对边分别为，且，，，则 ； ． 14．直线 与曲线 和曲线 分别相交于点 . （1）若 ， 则 的最大值为 . （2）若 的最大值为 ， 则 的值为 . 15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）.若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t分钟后点P距离水面的高度为h米，下列结论正确的有 ①．h关于t的函数解析式为 ②．点P第一次到达最高点需用时5秒 ③．P再次接触水面需用时10秒 ④．当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（14分）已知向量、满足，. (1)求与的夹角； (2)求； (3)求向量在向量上的投影向量的坐标． 17．（14分）在中，，. (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：； 条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（13分）设函数. (1)求的最小正周期； (2)当时，求函数的最大值和最小值. 19．（14分）如图、某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西方向且与该港口相距的A处，并以的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇.（假设水面平静） (1)要使相遇时小艇的航行距离最短，小艇的航行速度应为多少？ (2)假设小艇的速度最快只能达到，要使小艇最快与轮船相遇，应向哪个方向航行？ 20．（15分）已知函数（，，）的部分图像如图． (1)根据图像求函数解析式． (2)写出的解集． (3)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图象，且关于的方程在上有解，求的取值范围． 21．（15分）如图，点P，Q分别是矩形ABCD的边DC，BC上的两点，，．    (1)若，，，求的范围； (2)若，求的最小值； (3)若，连接AP交BC的延长线于点T，Q为BC的中点，试探究线段AB上是否存在一点H，使得最大．若存在，求BH的长；若不存在，说明理由． 5 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期中卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第一册5.5-5.7，必修第二册第六章、第七章、8.1-8.3。 5．难度系数：0.73。 第一部分（选择题 共40分） 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因，则. 故选：C 2．若复数，则（   ） A．2 B． C．10 D． 【答案】D 【详解】因为， 所以. 故选：D. 3．已知，，，则（   ） A．A、B、D三点共线 B．A、B、C三点共线 C．B、C、D三点共线 D．A、C、D三点共线 【答案】A 【详解】，，， ，，与共线， 因为两向量有一个公共点B，、B、D三点共线，故A正确． 由，，可得， 所以不存在使得，故A、B、C三点不共线，故B不正确； 由，，可得， 所以不存在使，故B、C、D三点不共线，故C不正确； 因为，， 所以， 又，可得， 所以不存在使，故A、C、D三点不共线，故D不正确； 故选：A. 4．已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 【答案】B 【详解】因为与相交，所以与确定一个平面，不妨设为， 又，所以或， 若，则与相交，若，则与异面； 综上可得与的位置关系是相交或异面. 故选：B 5．角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为， 所以，又. 故选：B 6．在中，，则一定是　　 A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】C 【详解】此题考查解三角形 解：由sin(A+B)=sin(A-B)得，所以，又因为为三角形的内角，故，因此，，所以是直角三角形.选C. 答案：C 7．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以， 所以，因为， 所以，又因为，所以. 所以与的夹角为. 故选：A. 8．设函数，，，则可以是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】函数的最大值为2，最小值为，又， ，分别为函数的最大值和最小值， 不妨设，， 即，，， ，， 又， ，， 当时，，的一个可能值为3. 故选：D. 9．如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边分别交于点，设，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为点是线段的中点，所以， 所以， 又因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时，取到最小值， 故选：D. 10．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一补四脚帐篷的示意图，其中曲线和均是以为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设截面与底面的距离为，在帐篷中的截面为， 设底面中心为，截面中心为，则，， 所以，所以截面为的面积为. 设截面截正四棱柱得四边形为，截正四棱锥得四边形为， 底面中心与截面中心之间的距离为， 在正四棱柱中，底面正方形边长为，高为，， 所以，所以为等腰直角三角形， 所以，所以四边形边长为， 所以四边形面积为， 所以图2中阴影部分的面积为，与截面面积相等， 由祖暅原理知帐篷体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积， 即. 故选：A. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。 11．已知是实数，且，则x+y= 【答案】7 【详解】由是实数，且，得， 所以. 故答案为：7 12．在复平面内，向量、分别对应复数、，则对应的复数为 【答案】 【详解】，所以向量对应的复数为. 故答案为： 13．在中，内角的对边分别为，且，，，则 ； ． 【答案】 /0.75 【详解】由正弦定理，根据可得， 又，所以. 因为为三角形内角，所以，所以. 因为，所以. 由余弦定理：，， 得：， 所以或（舍去）. 故答案为：； 14．直线 与曲线 和曲线 分别相交于点 . （1）若 ， 则 的最大值为 . （2）若 的最大值为 ， 则 的值为 . 【答案】 （） 【详解】（1）当时 当且仅当（）即（）取等号 （2） 其中的象限由点决定，且 所以 当且仅当（）取等号 依题意，，所以，所以（） 故答案为：；（） 15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）.若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t分钟后点P距离水面的高度为h米，下列结论正确的有 ①．h关于t的函数解析式为 ②．点P第一次到达最高点需用时5秒 ③．P再次接触水面需用时10秒 ④．当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 【答案】①②③ 【详解】函数中，所以， 时，，解得，因为，所以， 所以，①正确； 令得，则，解得， 所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，②正确； 由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），③正确； 当时，，点P距水面的高度为2米，④错误． 故选：①②③ 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（14分）已知向量、满足，. (1)求与的夹角； (2)求； (3)求向量在向量上的投影向量的坐标． 【详解】（1）因为向量、满足，，则，，， 所以，， 因为，故，即与的夹角为.（6分） （2）因为，故.（10分） （3）向量在向量上的投影向量为.（14分） 17．（14分）在中，，. (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：； 条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得. 因为在中，，所以. 所以. 因为，所以.（6分） （2）选条件①：， 则，即，解得， 故无解，所以不存在； 选条件②：， 由余弦定理，得. 解得或. 当时，. 当时，.       条件③：， 因为，所以为钝角，所以. 由，得. 因为 ， 所以.（14分） 18．（13分）设函数. (1)求的最小正周期； (2)当时，求函数的最大值和最小值. 【详解】（1）， ， ，即的最小正周期为；（6分） （2），， 当，即时，取得最大值为， 当，即时，取得最小值为.（13分） 19．（14分）如图、某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西方向且与该港口相距的A处，并以的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇.（假设水面平静） (1)要使相遇时小艇的航行距离最短，小艇的航行速度应为多少？ (2)假设小艇的速度最快只能达到，要使小艇最快与轮船相遇，应向哪个方向航行？ 【详解】（1） 如图设小艇的速度为，时间为相遇，相遇点为C， 则由余弦定理得：， 即, 当时，取得最小值，此时速度， 此时小艇的航行方向为正北方向，航行速度为.（7分） （2）要用时最小，则首先速度最高，即为， 则由（1）可得：， 即，解得，此时相遇点为B， 此时，在中，，则， 故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东，航行速度为，小艇能以最短时间与轮船相遇.（14分） 20．（15分）已知函数（，，）的部分图像如图． (1)根据图像求函数解析式． (2)写出的解集． (3)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图象，且关于的方程在上有解，求的取值范围． 【详解】（1）由函数的图象， 知，， ∴，， 将点代入，可得：， 又∵，∴， 所以.（6分） （2）由得， 所以，即， 所以的解集为.（9分） （3）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线的图象， 把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到 的图象， 由在上有解，即在上有解， 因为，， 所以， 所以的取值范围为．（15分） 21．（15分）如图，点P，Q分别是矩形ABCD的边DC，BC上的两点，，．    (1)若，，，求的范围； (2)若，求的最小值； (3)若，连接AP交BC的延长线于点T，Q为BC的中点，试探究线段AB上是否存在一点H，使得最大．若存在，求BH的长；若不存在，说明理由． 【详解】（1）由，，故，，则， ， 由，故；（4分） （2）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，    设，， 则，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为；（9分） （3）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系， 由题意可得，，，即， 假设存在点H，使得最大，由，即有最大， 设，当时，角度为，此时不可能最大，故， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即存在，且.（15分）    1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2024-2025学年高一数学下学期期中卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版2019必修第一册5.5-5.7，必修第二册第六章、第七章、8.1-8.3。 5．难度系数：0.73。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知，则（   ） A． B． C． D． 2．若复数，则（   ） A．2 B． C．10 D． 3．已知，，，则（   ） A．A、B、D三点共线 B．A、B、C三点共线 C．B、C、D三点共线 D．A、C、D三点共线 4．已知直线，若，且与相交，则与的位置关系是（    ） A．相交 B．相交或异面 C．平行或异面 D．相交、平行或异面 5．角以为始边，它的终边与单位圆相交于点，且点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．在中，，则一定是　　 A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 7．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 8．设函数，，，则可以是（   ） A． B．1 C．2 D．3 9．如图，在中，点在线段上，且，点是线段的中点．过点的直线与边分别交于点，设，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．祖暅是我国南北朝时期杰出的数学家和天文学家祖冲之的儿子，他提出了一条原理：“幂势既同，则积不容异”这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体积相等，利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差，图1是一补四脚帐篷的示意图，其中曲线和均是以为半径的半圆，平面和平面均垂直于平面，用任意平行于帐篷底面的平面截帐篷，所得截面四边形均为正方形，模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥（如图2），从而求得该帐篷的体积为（    ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11．已知是实数，且，则x+y= 12．在复平面内，向量、分别对应复数、，则对应的复数为 13．在中，内角的对边分别为，且，，，则 ； ． 14．直线 与曲线 和曲线 分别相交于点 . （1）若 ， 则 的最大值为 . （2）若 的最大值为 ， 则 的值为 . 15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）.若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，经过t分钟后点P距离水面的高度为h米，下列结论正确的有 ①．h关于t的函数解析式为 ②．点P第一次到达最高点需用时5秒 ③．P再次接触水面需用时10秒 ④．当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 16．（14分）已知向量、满足，. (1)求与的夹角； (2)求； (3)求向量在向量上的投影向量的坐标． 17．（14分）在中，，. (1)求； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：； 条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（13分）设函数. (1)求的最小正周期； (2)当时，求函数的最大值和最小值. 19．（14分）如图、某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西方向且与该港口相距的A处，并以的航行速度沿正东方向匀速行驶，假设该小艇沿直线方向以的航行速度匀速行驶，经过与轮船相遇.（假设水面平静） (1)要使相遇时小艇的航行距离最短，小艇的航行速度应为多少？ (2)假设小艇的速度最快只能达到，要使小艇最快与轮船相遇，应向哪个方向航行？ 20．（15分）已知函数（，，）的部分图像如图． (1)根据图像求函数解析式． (2)写出的解集． (3)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线，把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到的图象，且关于的方程在上有解，求的取值范围． 21．（15分）如图，点P，Q分别是矩形ABCD的边DC，BC上的两点，，．    (1)若，，，求的范围； (2)若，求的最小值； (3)若，连接AP交BC的延长线于点T，Q为BC的中点，试探究线段AB上是否存在一点H，使得最大．若存在，求BH的长；若不存在，说明理由． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2024-2025学年高一数学下学期期中卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题4分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 二、填空题（每小题5分，共25分） 11．____________________ 12．___________________ 13．___________ 14．___________ 15．____________________ 三、解答题（共85分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期中卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B A B B C A D D A 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分． 11． 12． 13．/0.75 14． （） 15．①②③ 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（14分） 【详解】（1）因为向量、满足，，则，，， 所以，， 因为，故，即与的夹角为.（6分） （2）因为，故.（10分） （3）向量在向量上的投影向量为.（14分） 17．（14分） 【详解】（1）因为， 由正弦定理，得. 因为在中，，所以. 所以. 因为，所以.（6分） （2）选条件①：， 则，即，解得， 故无解，所以不存在； 选条件②：， 由余弦定理，得. 解得或. 当时，. 当时，.       条件③：， 因为，所以为钝角，所以. 由，得. 因为 ， 所以.（14分） 18．（13分） 【详解】（1）， ， ，即的最小正周期为；（6分） （2），， 当，即时，取得最大值为， 当，即时，取得最小值为.（13分） 19．（14分） 【详解】（1） 如图设小艇的速度为，时间为相遇，相遇点为C， 则由余弦定理得：， 即, 当时，取得最小值，此时速度， 此时小艇的航行方向为正北方向，航行速度为.（7分） （2）要用时最小，则首先速度最高，即为， 则由（1）可得：， 即，解得，此时相遇点为B， 此时，在中，，则， 故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东，航行速度为，小艇能以最短时间与轮船相遇.（14分） 20．（15分） 【详解】（1）由函数的图象， 知，， ∴，， 将点代入，可得：， 又∵，∴， 所以.（6分） （2）由得， 所以，即， 所以的解集为.（9分） （3）将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线的图象， 把上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到 的图象， 由在上有解，即在上有解， 因为，， 所以， 所以的取值范围为．（15分） 21．（15分） 【详解】（1）由，，故，，则， ， 由，故；（4分） （2）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系，    设，， 则，， ， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值为；（9分） （3）如图所示，以点为坐标原点，为轴，建立直角坐标系， 由题意可得，，，即， 假设存在点H，使得最大，由，即有最大， 设，当时，角度为，此时不可能最大，故， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即存在，且.（15分）    1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$