7.3.2 离散型随机变量的方差(Word教参)-【精讲精练】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

7.3.2　离散型随机变量的方差 学业标准 素养目标 1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念，掌握方差的性质．(重点) 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(难点) 1．通过离散型随机变量方差概念的学习，培养数学抽象等核心素养． 2．通过随机变量方差的应用，提升数学运算、数学建模等核心素养. 导学 离散型随机变量的方差 　甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为X和Y，X和Y的分布列如下： X 0 1 2 P Y 0 1 2 P (1)试求E(X)，E(Y)． [提示]　E(X)＝0×＋1×＋2×＝，E(Y)＝0×＋1×＋2×＝. (2)能否由E(X)与E(Y)的值比较两名工人技术水平的高低？ [提示]　不能，因为E(X)＝E(Y)． (3)试想用什么指标衡量甲、乙两名工人技术水平的高低？ [提示]　方差． ◎结论形成 1．离散型随机变量的方差 (1)方差和标准差的定义 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，有时也记为Var(X)，并称为随机变量X的标准差，记为σ(X)． (2)方差和标准差的意义：随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度．方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散． 2．离散型随机变量的方差的性质： D(aX＋b)＝a2D(X)． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的方差越大， 随机变量越稳定．(　　) (2)若a是常数， 则D(a)＝0.(　　) (3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．(　　) (4)若a，b为常数，则＝a.(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖数据，计算出样本均值E(X甲)＝E(X乙)，方差分别为D(X甲)＝11，D(X乙)＝3.4.由此可以估计(　　) A．甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B．乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D．甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 解析　D(X甲)＞D(X乙)，所以乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐． 答案　B 3．(多选题)已知随机变量X的分布列为 X －1 0 1 P 则下列式子正确的是(　　) A．E(X)＝－　　 B．D(X)＝ C．P(X＝0)＝ D．P(X≥0)＝ 解析　由分布列可知，E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，故A正确； D(X)＝2×＋2×＋2×＝，故B不正确，CD显然正确． 答案　ACD 4．已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝_______，b＝______. X －1 0 1 2 P a b c 解析　由题意知解得 答案　　 题型一　求离散型随机变量的方差 　(1)设随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 P 则D(X)等于(　　) A．　　　　　　　 B． C． D． [解析]　由题意知，E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝， 故D(X)＝2×＋2×＋2×＋2×＝. [答案]　C 求离散型随机变量X的方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值； (2)求X取各个值的概率，写出分布列； (3)根据分布列，由期望的定义求出E(X)； (4)根据公式计算方差．　 [触类旁通] 1．已知随机变量X的分布列为： X 0 1 x P p 且E(X)＝1．1，则D(X)＝________. 解析　由随机变量分布列的性质可得p＝1－－＝.又E(X)＝0×＋1×＋x×＝1．1，解得x＝2.所以D(X)＝(0－1．1)2×＋(1－1．1)2×＋(2－1．1)2×＝0.49. 答案　0.49 题型二　方差的性质 　已知随机变量X的分布列为： X 0 1 x P p 若E(X)＝，则 (1)求D(X)的值； (2)若Y＝3X－2，求的值． [解析]　由分布列的性质，得＋＋p＝1，解得p＝， ∵E(X)＝0×＋1×＋x＝， ∴x＝2. (1)D(X)＝2×＋2×＋2×＝＝. (2)∵Y＝3X－2，∴D(Y)＝D(3X－2)＝9D(X)＝5，∴＝. [母题变式] (变条件)若本例(2)中“Y＝3X－2”改为“Y＝2X＋1”，求的值． 解析　因为Y＝2X＋1，所以D(Y)＝D(2X＋1)＝4D(X)＝，所以＝. 方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D(X)＝E(X2)－[E(X)]2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2D(X)．　 [触类旁通] 2．设随机变量X的分布列为： X －1 0 1 P 若Y＝2X＋2，则D(Y)＝(　　) A．－　　　　　　　 B． C． D． 解析　由题意知，E(X)＝－1×＋0×＋1×＝－， 故D(X)＝2×＋2×＋2×＝， D(Y)＝D(2X＋2)＝4D(X)＝4×＝. 答案　D 题型三　方差的实际应用 　为选拔某运动会射击选手，对甲、乙两名射手进行选拔测试．已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X，Y，甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2. (1)求X，Y的分布列； (2)求X，Y的数学期望与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人． [解析]　(1)依题意，0.5＋3a＋a＋0.1＝1， 解得a＝0.1． ∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2， ∴乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2. ∴X，Y的分布列分别为 X 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 Y 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)由(1)可得 E(X)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2(环)； E(Y)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7(环)； D(X)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96； D(Y)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1．21． 由于E(X)>E(Y)，说明甲平均射中的环数比乙高； 又∵D(X)<D(Y)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定． ∴甲比乙的技术好，故应选拔甲射手参加奥运会． [素养聚焦] 解决此类实际应用问题的关键是准确地计算随机变量的均值和方差，在求解过程提升数学运算、数学建模等核心素养. 利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 (1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平， 因此， 在实际决策问题中， 需先计算均值，看一下谁的平均水平高． (2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定． (3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论．　 [触类旁通] 3．已知海关大楼顶端镶有A，B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1，X2(单位：s)，其分布列如下： X1 －2 －1 0 1 2 P 0.05 0.05 0.8 0.05 0.05 X2 －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量． 解析　∵由题意得，E(X1)＝0，E(X2)＝0， ∴E(X1)＝E(X2)． D(X1)＝(－2－0)2×0.05＋(－1－0)2×0.05＋(0－0)2×0.8＋(1－0)2×0.05＋(2－0)2×0.05 ＝0.5， D(X2)＝(－2－0)2×0.1＋(－1－0)2×0.2＋(0－0)2×0.4＋(1－0)2×0.2＋(2－0)2×0.1＝1.2. ∴D(X1)<D(X2)． 综上可知，A大钟的质量较好． 知识落实 技法强化 1．离散型随机变量的方差、标准差． 2．离散型随机变量的方差的性质. 解题时方差公式常套用错误. 学科网（北京）股份有限公司 $$