7.3.2 离散型随机变量的方差课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦离散型随机变量的方差，涵盖定义、公式、标准差及性质。通过甲乙工人不合格产品数分布列的情境导入，结合已学均值无法反映波动的局限，搭建从均值到方差的知识支架。 其亮点是以现实问题（如射击比赛成绩比较）引导学生用数学眼光发现规律，通过方差公式推导培养数学思维的逻辑推理，借助例题和性质应用让学生用数学语言解决实际问题。采用探究对比法，小结系统梳理公式与性质，助力学生构建知识体系，提升数据分析能力，也为教师提供完整教学资源。

第七章 随机变量及其分布 7.3.2 离散型随机变量的方差 1 01 情境导入 2 现有甲、乙两个工人生产同一产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格产品数分别用，表示，它们的分布列如下： 思考：甲乙两个工厂哪个技术更好? 情境导入 X 0 1 2 3 P 0.6 0.2 0.1 0.1 Y 0 1 2 3 P 0.5 0.3 0.2 0 02 离散型随机变量的方差 4 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”.因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小.所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征. 新知讲解 探究：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩， 甲、乙两名同学击中目标靶的环数和的分布列如下表所示. 如何评价这两名同学的射击水平? X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 新知讲解 下图分别是和的概率分布图，比较两个图形，可以发现乙同学的射击成绩更集中于8环，即乙同学的射击成绩更稳定. O 6 7 8 10 9 P 0.1 0.2 0.3 0.4 O 6 7 8 10 9 P 0.1 0.2 0.3 0.4 X Y 新知讲解 思考 ：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度? 样本方差可以度量一组样本数据的离散程度，它是通过计算 所有数据与样本均值的“偏差平方的平均值”来实现的. 新知讲解 离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量的分布列如下表所示. x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 我们用偏差平方关于取值概率的加权平均，来度量随机变量取值与其均值的偏离程度，称为随机变量的方差. 并称为随机变量的标准差，记为.  该值一定非负 新知讲解 离散型随机变量的方差、标准差 故： 新知讲解 离散型随机变量的方差、标准差 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度. 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中； 方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 新知讲解 思考：随机变量的方差与样本的方差有何不同? 样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此它是一个随机变量， 而随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量与其均 值的平均偏离程度，因此它是一个常量而非变量. 新知讲解 探究：从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩， 甲、乙两名同学击中目标靶的环数和的分布列如下表所示. 如何评价这两名同学的射击水平? X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 新知讲解 【例1】抛掷质地均匀的一枚骰子，求掷出的点数的方差. 例题剖析 【练习】从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量 表示所选3人中女生的人数，求的方差. 【练习】袋中有大小相同的四个球，编号分别为1、2、3、4，每次从袋 中任取一个球，记下其编号.若所取球的编号为偶数，则把该 球编号改为3后放回袋中继续取球；若所取球的编号为奇数， 则停止取球. (1)求“第二次取球后才停止取球”的概率； (2)若第一次取到球的编号为偶数，记第二次和第一次取球的编号 之和为，求的分布列和方差. 举一反三 03 离散型随机变量方差的性质 16 探究：离散型随机变量加上一个常数，方差会有怎样的变化? 若是乘以一个常数，方差又会有怎样的变化? 离散型随机变量加上一个常数，其均值也相应加上常数， 故不改变与其均值的离散程度，方差保持不变，即： 若是乘以一个常数，其方差变为原方差的倍，即： 离散型随机变量方差的性质： 新知讲解 【例2】有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地 抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为. (1)求的分布列及方差； (2)若，且，求实数a的值. 例题剖析 【练习】设随机变量的方差，则的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.2 B.3 C.4 D.5 【练习】设离散型随机变量的分布列为 若，则 . 举一反三 X 0 1 P 04 课堂小结 20 离散型随机变量的方差 课堂小结 $