精品解析：广东省广州市天河中学2024-2025学年高一下学期基础考试数学试卷

广州市天河中学高中部2024学年第二学期基础考试 高一数学试卷 命题人：陈杰 赵文平 审题人：伍娟 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号和座位号填写在答题卡上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）.，则这块菜地的面积为（ ）. A. B. C. D. 3 3. 对于非零向量，下列命题中正确的是（ ）． A. B. 在上的投影向量为（ 是与方向相同的单位向量） C. D. 4. 在中，是角分别所对的边，，则一定是（ ） A. 底边和腰不相等的等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 5. 已知向量，不共线，且向量，，若与方向相反，则实数的值为（ ） A. -1 B. C. 1或 D. -1或 6. 如图，在平面四边形ABCD中， 若点E为边CD上的动点，则的最小值为 A. B. C. D. 7. 设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ） A. (1，9] B. (3，9] C. (5，9] D. (7，9] 8. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则（ ） A. 可以是 B. 若为纯虚数，则的虚部是2 C. D. 10. （多选）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则符合条件的有两个 11. 在中，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在方向上的投影向量为 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是虚数单位，复数，则________ 13. 在中，，，若该三角形为钝角三角形，且b为最大边，则边的取值范围是______. 14. 若的内角的对边分别为，，，点在边上，且的面积为，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，其中，，求： （1）和的值； （2）与的夹角的余弦值． 16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，的面积为，求b，c的值． 17. 已知甲船正在大海上航行，当它位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里处的乙船，乙船当即决定匀速前往救援，并且与甲船同时到达．（供参考使用：）. （1）试问乙船航行速度的大小； （2）试问乙船航行的方向(试用方位角表示，如北偏东…度). 18. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若B的角平分线交AC于点D，且，求△ABC的面积. （3）若的面积为，求c. 19. 如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为. （1）求的大小； （2）若外接圆半径为1，求的周长最大值. （3）若，设，，问是否存在常数，使得成立，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州市天河中学高中部2024学年第二学期基础考试 高一数学试卷 命题人：陈杰 赵文平 审题人：伍娟 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号和座位号填写在答题卡上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简，即可根据几何意义求解. 【详解】由可得， 故复数z对应的点为，位于第二象限. 故选：B 2. 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）.，则这块菜地的面积为（ ）. A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用直观图中的信息，求出的长度，结合斜二测法的定义得到原平面图形中的上底，下底及高的长度，利用梯形的面积公式求解即可. 【详解】在直观图中，过作于， ， ∴， ， 故原平面图形为梯形，其上底为，下底为，高为， 所以这块菜地的面积为， 故选：C. 3. 对于非零向量，下列命题中正确的是（ ）． A. B. 在上的投影向量为（ 是与方向相同的单位向量） C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律，向量垂直的性质，以及向量数量积的几何意义，判断选项. 【详解】A选项，时，，故错误； B选项，当同向时，投影向量为，错误；． C选项，时，，则，正确； D选项，时，，即与垂直，不一定有，错误. 故选：C． 4. 在中，是角分别所对的边，，则一定是（ ） A. 底边和腰不相等的等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用余弦定理可得，结合可得答案. 【详解】因为， 所以，由余弦定理有， 整理得，即，为等腰三角形， 又，所以为等边三角形. 故选：D 5. 已知向量，不共线，且向量，，若与方向相反，则实数的值为（ ） A. -1 B. C. 1或 D. -1或 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量的共线定理列方程求出的值，再讨论的值是否满足与反向． 【详解】因为向量，不共线，且向量，，与方向相反， 所以存在实数使， 则，即， 所以，整理得，解得或， 又，所以. 故选：B. 6. 如图，在平面四边形ABCD中， 若点E为边CD上的动点，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：由题意可得为等腰三角形，为等边三角形，把数量积分拆，设，数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。 详解：连接BD,取AD中点为O,可知为等腰三角形，而，所以为等边三角形，。设 = 所以当时，上式取最小值 ，选A. 点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。 7. 设锐角的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ） A. (1，9] B. (3，9] C. (5，9] D. (7，9] 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理求出，再由余弦定理可得，化为，结合角的范围，利用正弦函数的性质可得结论. 【详解】因为， 由正弦定理可得， 则有， 由的内角为锐角， 可得， ， 由余弦定理可得 因此有 故选：D. 【点睛】方法点睛：正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 8. 我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算列式，再借助方程思想求解作答. 【详解】依题意，， 于是， 所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数满足，则（ ） A. 可以是 B. 若为纯虚数，则的虚部是2 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的模长公式，纯虚数的概念及复数模长的几何意义可得选项. 【详解】当时，，选项A正确； 若为纯虚数，则，选项B错误； 易知，选项C正确； 由可知，在复平面上，复数对应的点在以点为圆心，2为半径的圆上， 的几何意义是点到点的距离，可得，选项D正确， 故选：ACD. 10. （多选）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是锐角三角形 C. 若，则为等腰三角形 D. 若，则符合条件的有两个 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正、余弦定理在解三角形中的应用，通过边角转化等一一判断即可. 【详解】对于A，当时，，根据正弦定理得， 整理得，故A正确； 对于B，因为，由正弦定理得，所以， 因为，所以，即C为锐角，但因为A，B中可能有钝角，所以不一定是锐角三角形，故B错误； 对于C，， 由正弦定理得，即， 所以或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D，由正弦定理得，即， 因为，所以，A为锐角，所以存在满足条件的有两个，故D正确． 故选：AD． 11. 在中，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在方向上的投影向量为 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，对已知的式子根据数量积定义展开，结合正弦定理和同角三角函数的关系可求出进行判断，对于B，先求出，然后利用两角和的正切公式求出，从而可求出进行判断，对于C，先利用同角三角函数的关系求出，再利用正弦定理求出，从而根据投影向量的定义可求出在方向上的投影向量，对于D，先利用正弦定理求出，再利用余弦定理求出，从而可求出进行判断. 【详解】对于A，对于，根据数量积的定义展开可得，， 即，即， 由正弦定理得，，即， 则为锐角，由， 解得，，A选项正确， 对于B，由A选项和题干可知，， 所以， 故，B选项正确. 对于C，在方向上的投影向量为， 由B知，，，且，解得， 由正弦定理，，则，C选项正确. 对于D，由正弦定理，，即，解得， 于是，，D选项错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是虚数单位，复数，则________ 【答案】 【解析】 【分析】由复数的乘法运算、共轭复数概念即可求解； 【详解】，则. 故答案为： 13. 在中，，，若该三角形为钝角三角形，且b为最大边，则边的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形边长关系得出，再应用角为钝角，列出不等式计算求解. 【详解】由三角形可得，解得， 若该三角形为钝角三角形，为最大边，则角为钝角，， 可得即，解得， 故答案为： 14. 若的内角的对边分别为，，，点在边上，且的面积为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】对于化简变形可求得，再由正弦定理结合已知条件可求出，求出，然后由的面积列方程可求出. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 即，所以， 因为，所以， 因为，，所以， 又，所以， 因为点在边上，，所以， 因为，， 所以，所以， 所以， 所以，得， 即 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，其中，，求： （1）和的值； （2）与的夹角的余弦值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）首先求向量的坐标，再根据数量积和模的坐标公式，即可计算； （2）利用向量夹角公式，即可计算. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 所以 . 【小问2详解】 . 16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A； （2）若，的面积为，求b，c的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理结合和差角的正弦公式化简求解即可； （2）由面积公式可得，再根据余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由正弦定理及． 得， 即， 即， 因为，所以， 所以，所以． 【小问2详解】 由题意得的面积，所以①． 又，且，所以②． 由①②得． 17. 已知甲船正在大海上航行，当它位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里处的乙船，乙船当即决定匀速前往救援，并且与甲船同时到达．（供参考使用：）. （1）试问乙船航行速度的大小； （2）试问乙船航行的方向(试用方位角表示，如北偏东…度). 【答案】（1）海里/小时；（2）乙船应朝北偏东的方向沿直线前往处救援. 【解析】 【分析】（1）根据题意画出的方位图，在中，利用余弦定理得到的长，然后计算速度即可. （2）在中，利用正弦定理得到的值，根据已知的条件，即可得到乙船航行的速度及方向. 【详解】解：（1）依题意画出的方位图，如下 在中，，设乙船运动到处的距离为海里 则由余弦定理， 即， ，又因为甲、乙两船行驶的时间小时，从而乙船的速度为. 故乙船航行速度为海里/小时. （2）在中，由正弦定理可得， 所以，所以， 所以. 故乙船应朝北偏东的方向沿直线前往处救援，速度为海里/小时. 18. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， （1）求B； （2）若B的角平分线交AC于点D，且，求△ABC的面积. （3）若的面积为，求c. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用余弦定理结合同角三角函数关系计算； （2）应用正弦定理结合三角形面积公式计算求解； （3）应用两角和正弦公式，再应用正弦定理及面积公式计算. 【小问1详解】 由余弦定理有，对比已知， 可得，因为，所以， 从而，又因为，即， ，所以； 【小问2详解】 由角平分得，所以， 在△BCD中，由正弦定理得所以； 【小问3详解】 由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 19. 如图，在四边形中，已知的面积为，记的面积为. （1）求的大小； （2）若外接圆半径为1，求的周长最大值. （3）若，设，，问是否存在常数，使得成立，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】(1)利用余弦定理即三角形的面积公式，结合已知条件即可求出； (2)利用正弦定理将的周长中的边转化为角，再结合辅助角公式化简，利用即可求出的周长最大值； (3)设，将图形中的角用来表示，结合正弦定理即可求出的值，再利用三角形的面积公式即可求出的值. 【小问1详解】 在中，由余弦定理知，， 所以， 因为， 所以，即， 又因为，所以； 【小问2详解】 由正弦定理得，，又， 所以，，， 由(1)可知，所以， 所以的周长， ， ， ， 因为，所以， 所以，所以的周长的取值范围是， 所以的周长的最大值为； 【小问3详解】 设，则，，， 在中，由正弦定理得，，即， 在中，由正弦定理，，即， 因为， 两式作商得，， 即，因为，所以， 所以，所以， 所以，， 假设，所以， 解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $