期中真题必刷计算110题（11个考点专练）-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（苏科版2024）

期中真题必刷计算110题（11个考点专练） 考点一 同底数幂的乘法（共10小题） 1．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)（是正整数）； (4)（是正整数）． 3．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）计算： (1)（是正整数）； (2)（是大于1的整数）； (3)（是大于1的整数）； (4)（是正整数）． 4．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）计算： (1)； (2)． 5．（2025七年级下·江苏徐州·专题练习）计算： (1)； (2)． 6．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．（2025七年级下·江苏无锡·专题练习）计算： (1)； (2)． 8．（2025七年级下·江苏镇江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 9．（2025七年级下·江苏宿迁·专题练习）计算： (1)； (2)（为大于1的整数）； (3)； (4)． 10．（2025七年级下·江苏扬州·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（m、n是正整数）； (6)（n是正整数）． 考点二 幂的乘方与积的乘方（共10小题） 11．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3) (4) 12．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）计算： (1)； (2)． 13．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知，求值： (1)； (2)． 14．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）已知：． (1)求的值 (2)已知：，求x的值 15．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知，求的值． 16．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）我们知道：对于正整数，若，则；若，则．因此在比较幂的大小时，我们可以把它们化成底数相同的数，比较次数的大小，或者化成次数相同的数，比较底数的大小．请运用此方法解决下列问题： (1)比较大小：___________；（填“”“”或“”） (2)已知，试比较的大小． 17．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 18．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 19．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)是正整数）． 20．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点三 同底数幂的除法（共10小题） 21．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 22．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）已知，，求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 23．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）在数学中．我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题． (1)已知，若，，请你也利用逆向思考的方法求的值； (2)下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题．请你参考小贤的方法解答问题： 小贤的作业 计算：． 解：． 计算：． 24．（2025七年级下·江苏扬州·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 25．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）（1），则的值为___________； （2）已知，求的值． 26．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 27．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 28．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)． 29．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 30．（24-25七年级下·江苏镇江·阶段练习）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 考点四 幂的运算新定义运算（共10小题） 31．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）定义新运算：， (1)求的值． (2)若，求m的值． 32．（2025七年级下·江苏苏州·专题练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则 ， 即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 33．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新计算，若，记做，例如：因为，所以 (1)根据上述规定，填空： ①若，则_______； ②若，则_______； (2)若，，，求c的值． 34．（2024七年级下·江苏南京·专题练习）请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 35．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 36．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式，，，成立．证明如下： 设，，则，，故，则，即，，，． (1)根据上述规定，填空： ________；(________； (2)求证： 37．（24-25七年级下·江苏·期末）阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 38．（2024七年级下·江苏·专题练习）在形如的式子中， 我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况： 已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果，，，则叫做以为底的对数，记作：，例如： 求，因为，所以；又比如 ， ， (1)根据定义计算： ① ；② ；③如果，那么 ； (2)设，，则，，，、均为正数） ，， ， ，即这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得出： ； （其 中、、、、均为正数，， (3)请你猜想： （，，、均为正数） 39．（23-24七年级下·江苏南京·期末）教材重读：小明在学完第12章《证明》后，对数学推理证明有了进一步的认识，在回顾第8章《幂的运算》过程中，小明又仔细阅读七下教材P57如下的一段话： 规定了零指数幂、负整数指数幂的意义后，同底数幂的除法运算性质扩展为： （，m、n是整数）． 小明注意到当m、n是正整数，时，教材给出根据幂的定义证明（，m、n是正整数，）成立，但对于幂运算性质适用一切整数指数幂，并未给出相应的解释． 为此，小明进行了如下的探究： (1)根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：（，m、n是正整数，）． (2)当，时，根据负整数指数幂的定义， 得____________， ∵， ∴． (3)当m、n是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：． 40．（23-24七年级下·北京海淀·期中）如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：_______； (2)劳格数有如下运算性质： 若为正数，则，． 根据运算性质， 填空： ______（为正数）． 若，则______， ______；（答案精确到小数点后一位） (3)已知，，，则之间的等量关系式为______． 考点五 单项式乘法（共10小题） 41．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2) 42．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 43．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）计算： (1)； (2)． 44．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 45．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 46．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 47．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 48．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)（是正整数）； (2)． 49．（24-25七年级下·江苏徐州·开学考试）计算 (1)； (2)； (3)． 50．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（把作为整体看作一个因式的底数）． 考点六 多项式乘法（共10小题） 51．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 52．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习） 计算： (1) (2) 53．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 54．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）计算： (1)； (2)． 55．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 56．（24-25七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算： (1) (2) 57．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）计算： (1) (2) 58．（2025七年级下·江苏徐州·专题练习）计算：． 59．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 60．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点七 多项式乘法的化简求值（共10小题） 61．（24-25·江苏苏州·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 62．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 63．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）先化简，再求值： (1)已知，求的值； (2)，其中． 64．（24-25·江苏·江苏南通）已知，求代数式的值． 65．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）先化简，再求值：，其中． 66．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）先化简，再求值：，其中、． 67．（24-25七年级下·福建厦门·期中）先化简，再求值：，其中． 68．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知，，求代数式的值． 69．（24-25七年级下·辽宁·期末）先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的．我们称为“降次代换法” 例如：已知，求代数式的值． 解：， 原式 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为 ． (2)若，求代数式的值． 70．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 考点八 已知多项式乘积不含某项求字母的值（共10小题） 71．（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）若多项式与的积不含项和项，求和的值． 72．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知的展开式中不含项和常数项，求： (1)m，n的值； (2)的值． 73．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）已知的积中不含有x项和项，求代数式的值． 74．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）若的结果中不含和项，求的值： 75．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知多项式与的乘积的展开式中不含项，且常数项为，求a，b的值． 76．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）在学习多项式乘多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现一次项系数就是，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)所得多项式的一次项系数是______； (2)计算所得多项式的一次项系数； (3)如果计算所得多项式不含一次项，求的值． 77．（22-23七年级下·甘肃兰州·期中）已知的结果中不含项， (1)求的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 78．（24-25七年级下·河南新乡·阶段练习）若的展开式中不含的项，求m，n的值 79．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）已知的展开式中不含项，且常数项是． (1)求，的值． (2)求的值． 80．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）已知的展开式中不含和项． (1)求的值； (2)先化简，再求值：． 考点九 乘法公式（共10小题） 81．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）计算： (1) (2) 82．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 83．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）用乘法公式计算： (1) (2)． (3) (4)； 84．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）用乘法公式计算： (1)； (2)． 85．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）利用乘法公式计算： (1)； (2)． 86．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）运用乘法公式计算： (1)； (2)． 87．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）利用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 88．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）运用乘法公式计算： (1) (2) (3) 89．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）运用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)． 90．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 考点十 乘法公式的变形求值（共10小题） 91．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）已知，求： (1)的值； (2)的值． 92．（24-25七年级下·浙江温州·阶段练习）已知，，请你求出下列代数式的值． (1)； (2)； (3)． 93．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，，求下面代数式的值： (1)； (2) 94．（2024七年级下·江苏南京·专题练习）已知，求的值． 95．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，求下列各式的值； (1)； (2)； (3)． 96．（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）已知，求下列各式的值． (1)． (2)． 97．（24-25七年级下·江西九江·阶段练习）（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值； 98．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 99．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知 ，，求下列各式的值． (1)； (2) 100．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 考点十一 整式乘法中的规律计算（共10小题） 1．（24-25七年级下·广东湛江·期末）观察并验证下列等式： ， ， ， (1)续写等式：________；（写出最后结果） (2)我们已经知道，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：________；（结果用因式乘积表示） (3)利用（2）中得到的结论计算： ； 2．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）杨辉三角形是形如（这里，2，3，4……）的展开式的系数在三角形中的一种几何排列：记载于1261年他所著的（详解九章算术）中．1854年：法国数学家帕斯卡也发现了这一规律，不过比杨辉迟了近四百年，杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就．如图是杨辉三角形与展开式的部分对照，请回答下列问题 （1）的展开式中系数为10的项是 ． （2）的展开式中的系数是 ． 3．（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式：_______． (2)猜想：_______． (3)利用（2）中的结论，求的值． 4．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）观察下列式子： ①；②；③；④；… (1)猜想：第⑤个式子是______________________________． (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并证明你的结论； (3)应用你发现的规律计算：． 5．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）【项目任务】老师与学生一起探索两个十位上的数字和为10，个位上的数相同的两位数字积的规律． 【初步探究】； ； ； ． 【类比尝试】结合上面的探究，学生独立完成下面任务： 填空：____________； 【深入探究】 具有上述一定特点的两个两位数的乘积体现的一般规律：设其中的一个两位数的十位上的数字为m，个位上的数字为n，这个两位数表示为，则另一个两位数的十位上的数字为______，个位上的数为n，这个两位数表示为______，这两个两位数相乘的一般性结论为____________（用含m，n的代数式表示），并证明． 6．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角． 如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写． (1)判断的展开式共有 　 　项；写出的第三项的系数是 　 　； (2)结合杨辉三角解决以下问题： ①计算：； ②猜想：的展开式中含项的系数是 　 　． (3)运用：若今天是星期二，那么再过天是星期 　 　． 7．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．如；． …… …… …… …… … … (1)请你写出和的展开式； (2)此规律还可以解决实际问题：若今天是星期二，再过7天还是星期二，则再过天是星期________． (3)设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，例如令则，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； (4)你能在（3）的基础上求出的值吗？若能，请写出过程． 8．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）【发现问题】 ， ， …… 小明在学习第十四章数学活动时，经历了以上计算过程，他发现其中有一定的运算规律． 【提出问题】 上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢？ 如果个位数字不是5，但仍满足两个数的个位数字之和为10，上面的运算规律是否成立？ 【分析问题】 请你通过计算与思考，完成下面的探究并填空： （1）①_____； ②_______________； （2）____________________； …… 【解决问题】 （3）两个两位数相乘，它们十位上的数相同都为，个位上的数的和为，设其中一个数的个位上的数字为，请你用含有，的等式表示两数的积的规律，并证明． 9．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）“杨辉三角”揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 第一行          1 第二行        1   1                                    各项系数和为2 第三行       1  2  1                            各项系数和为4 第四行     1  3   3  1                   各项系数和为8 第五行   1   4  6  4   1          各项系数和为16 根据上述规律，完成下列各题： (1)将展开后，各项的系数和为______． (2)将展开后，各项的系数和为______． (3)______． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： 第一行                 第二行                  第三行                    第四行                   第五行                                  …………………… (4)若表示第m行，从左到右数第n个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是______，表示的数是______． 10．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，如图所示是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”，它的发现比欧洲早五百年左右． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据上述规律，解决以下问题： (1)已知，则_____； (2)多项式展开式共有_____项，各项系数和为_____； (3)若，求的值. (4)如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，……，记，，，……．请完成下列问题： ①根据规律，的值是_____； ②计算：； ③请直接写出的值． 23 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷计算110题（11个考点专练） 考点一 同底数幂的乘法（共10小题） 1．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则； （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加求解即可； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加求解即可； （3）先化为以x为底，再根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加求解即可； （4）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)（是正整数）； (4)（是正整数）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂运算法则进行计算即可； （2）根据同底数幂运算法则进行计算即可； （3）根据同底数幂运算法则进行计算即可； （4）根据同底数幂运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 3．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）计算： (1)（是正整数）； (2)（是大于1的整数）； (3)（是大于1的整数）； (4)（是正整数）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查同底数幂相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘运算法则计算即可； （2）根据同底数幂相乘运算法则计算即可； （3）根据同底数幂相乘运算法则计算即可； （4）根据同底数幂相乘运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 4．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法进行计算即可； （2）根据题意得到，再进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5．（2025七年级下·江苏徐州·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的相关运算，掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘底数不变指数相加计算即可． （2）根据同底数幂相乘底数不变指数相加计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： 6．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握相关运算法则为解题关键． （1）根据同底数幂的乘法法则进行求解即可； （2）根据同底数幂的乘法法则进行求解即可； （3）根据同底数幂的乘法法则进行求解即可； （4）根据同底数幂的乘法法则进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）． 7．（2025七年级下·江苏无锡·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法运算进行计算； （2）根据同底数幂的乘法运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 8．（2025七年级下·江苏镇江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解决本题的关键． （1）根据整式的混合运算，先计算乘法，再计算加法． （2）根据整式的混合运算，先计算乘法，再计算加法． （3）根据整式的混合运算，先计算乘法，再计算加减． （4）先变形，再根据同底数幂乘法法则（同底数幂相乘，底数不变，指数相加）解决此题． 【详解】（1）解： ． （2） ． （3） ． （4） ． 9．（2025七年级下·江苏宿迁·专题练习）计算： (1)； (2)（为大于1的整数）； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，整式的加减计算，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法法则计算； （2）根据同底数幂的乘法法则计算； （3）根据同底数幂的乘法法则计算； （4）根据同底数幂的乘法法则计算，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 10．（2025七年级下·江苏扬州·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（m、n是正整数）； (6)（n是正整数）． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查同底数幂的乘法，同底数幂相乘，底数不变，指数相加． （1）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （2）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （3）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （4）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （5）根据同底数幂的乘法法则计算即可； （6）先计算同底数幂的乘法，再合并同类项． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式 ; （6）解：原式 ． 考点二 幂的乘方与积的乘方（共10小题） 11．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的四则运算，解决本题的关键是熟练掌握同底数幂的乘除法，幂的乘方及积的乘方运算法则， （1）先计算同底数幂的乘法及幂的乘方，再合并同类项即可； （2）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可； （3）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘除法即可； （4）利用幂的乘方运算法则计算，再利用积的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 12．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方运算法则． （1）利用幂的乘方和积的乘方计算； （2）利用幂的乘方和积的乘方计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：． ． 13．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知，求值： (1)； (2)． 【答案】(1)7 (2)72 【分析】本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘方的逆运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据幂的乘方的逆运算，代入计算即可； （2）根据，积的乘方，同底数幂的乘方，积的乘方的逆运算法则，代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 已知， ∴原式； （2）解：， 已知， ∴原式． 14．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段练习）已知：． (1)求的值 (2)已知：，求x的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查幂的运算，熟记运算法则是关键． （1）根据积的乘方求解即可； （2）根据同底数幂的乘方，幂的乘方以及积的乘方公式求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ （2）解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： 15．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）已知，求的值． 【答案】64 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，利用了同底数幂的乘法，根据同底数幂的乘法，可得同类项，根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得关于a、b的方程，解方程，可得答案． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为：64． 16．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）我们知道：对于正整数，若，则；若，则．因此在比较幂的大小时，我们可以把它们化成底数相同的数，比较次数的大小，或者化成次数相同的数，比较底数的大小．请运用此方法解决下列问题： (1)比较大小：___________；（填“”“”或“”） (2)已知，试比较的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方以及幂的乘方的逆用，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则． （1）根据幂的乘方运算法则解答即可； （2）根据幂的乘方的逆用解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， 又， ， ． 17．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键， （1）根据幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可； （2）根据幂的乘方与积的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则计算即可 【详解】（1）解： （2）解： 18．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了整式的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先利用积的乘方计算，再利用同底数幂的乘法计算即可； （2）先利用积的乘方计算，再利用同底数幂的乘法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)是正整数）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方运算法则，是解题的关键． （1）根据幂的乘方运算法则进行计算即可； （2）根据幂的乘方运算法则进行计算即可； （3）根据幂的乘方运算法则进行计算即可； （4）根据幂的乘方运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 20．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了积的乘方，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据积的乘方法则：积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘，据此作答即可． （2）根据积的乘方法则：积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘，据此作答即可． （3）根据积的乘方法则：积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘，据此作答即可． （4）根据积的乘方法则：积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘，据此作答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 考点三 同底数幂的除法（共10小题） 21．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算等知识，熟记相关运算法则是解决问题的关键． （1）由同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算法则求解即可得到答案； （2）由同底数幂的除法运算、同底数幂的乘法运算法则求解即可得到答案； （3）由同底数幂的除法运算法则求解即可得到答案； （4）先由同底数幂的除法运算化简，再由乘方运算法则求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 22．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）已知，，求： (1)的值； (2)的值； (3)的值． 【答案】(1) (2)8 (3)24 【分析】本题主要考查了同底数幂相乘（相除）的逆用，幂的乘方的逆用，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 对于（1），逆用同底数幂相除法则计算即可； 对于（2），根据幂的乘方法则代入计算； 对于（3），逆用同底数幂相乘法则计算即可. 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴. 23．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）在数学中．我们经常会运用逆向思考的方法来解决一些问题． (1)已知，若，，请你也利用逆向思考的方法求的值； (2)下面是小贤用逆向思考的方法完成的一道作业题．请你参考小贤的方法解答问题： 小贤的作业 计算：． 解：． 计算：． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查了积的乘方逆用，同底数幂的除法逆用，掌握幂的运算法则是解答本题的关键． （1）逆向运算同底数幂除法运算法则计算即可； （2）逆用积的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ， ． （2）解： ． 24．（2025七年级下·江苏扬州·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查的是幂的混合运算；掌握运算顺序是关键； （1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法即可； （2）先计算幂的乘方，积的乘方，再计算同底数幂的除法与乘法即可； （3）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法与除法即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3） ． 25．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）（1），则的值为___________； （2）已知，求的值． 【答案】（1）3；（2）1 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘除、一元一次方程的应用，灵活运用相关幂的运算是解答的关键． （1）根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法的运算法则求解即可； （2）根据幂的乘方、同底数幂的除法的运算法则的逆运算求解即可； 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴， 解得， 故答案为：3； （2）∵， ∴ ． 26．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的除法运算、幂的乘方运算等知识，熟记相关运算法则是解决问题的关键． （1）先计算幂的乘方运算，再由由同底数幂的除法运算法则求解即可得到答案； （2）先由偶次方的性质恒等变形，再由同底数幂的除法运算求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 27．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查同底数幂的除法运算、积的乘方运算等知识，熟记相关运算法则是解决问题的关键． （1）由同底数幂的除法运算法则求解即可得到答案； （2）先由同底数幂的除法运算化简，再由乘方运算求解即可得到答案； （3）先由同底数幂的除法运算化简，再由积的乘方运算求解即可得到答案； （4）先由偶次方的性质恒等变形，再由同底数幂的除法运算求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 28．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的除法运算、乘方运算等知识，熟记相关运算法则是解决问题的关键． （1）由同底数幂的除法运算法则求解即可得到答案； （2）由奇次方的性质及同底数幂的除法运算求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 29．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查同底数幂的除法运算，涉及乘方运算等知识，熟记相关运算法则是解决问题的关键． （1）由同底数幂的除法运算求解即可得到答案； （2）先计算乘方运算，再由同底数幂的除法运算求解即可得到答案； （3）先由同底数幂的除法运算求解，再由乘方运算求解即可得到答案； （4）先确定符号，再由同底数幂的除法运算求解，最后由乘方运算求解即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 30．（24-25七年级下·江苏镇江·阶段练习）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)若，，用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂乘法的逆用、同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键． （1）将代入，计算幂的乘方即可得； （2）利用同底数幂乘法的逆用可得，代入计算即可得； （3）利用幂的乘方的逆用可得，由此即可得． 【详解】（1）解：， ， 解得； （2）解：， ， ， 解得； （3）解：， ， ， ， ． 考点四 幂的运算新定义运算（共10小题） 31．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）定义新运算：， (1)求的值． (2)若，求m的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据新定义的运算代入求解即可； （2）根据新定义得到，再根据同底数幂的乘法得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， 解得：． 32．（2025七年级下·江苏苏州·专题练习）规定两数a，b之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”． 例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下： 设，，则，， 故， 则 ， 即． (1)根据上述规定，填空： ； ； ． (2)计算 ，并说明理由． (3)利用“雅对”定义证明：，对于任意自然数n都成立． 【答案】(1)2，0，3 (2)，见解析 (3)见解析 【分析】此题考查了实数的运算，弄清题中的新运算是解本题的关键： （1）根据题干规定计算即可得到结论； （2）设，，根据同底数幂的乘法法则即可求解； （3）设，于是得到，即根据“雅对”定义即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故答案为：2，0，3； （2）解：设，， 则，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：，于是得到，即， ∴，即， ∴． 33．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新计算，若，记做，例如：因为，所以 (1)根据上述规定，填空： ①若，则_______； ②若，则_______； (2)若，，，求c的值． 【答案】(1)9； (2) 【分析】本题考查了有理数的乘方，幂的乘方的逆运算．根据题意得，，是解题的关键． （1）根据有理数的乘方和新定义即可得出答案． （2）由题意得，，，从而即可求解． 【详解】（1）解：①∵， ∴， 故答案为：9； ②∵，即， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴，，， 则． 34．（2024七年级下·江苏南京·专题练习）请阅读材料，并解决问题，如果，那么b为n的“劳格数”，记为．由定义可知：与表示b、n两个量之间的同一关系． (1)根据“劳格数”的定义，填空：______，_______； “劳格数”有如下运算性质： 若m、n为正数，则，； (2)根据运算性质，填空：______．（a为正数） (3)若，分别计算，． 【答案】(1) 1 (2)3； (3)， 【分析】本题考查新定义，有理数的运算，理解题意，将新定义转化为同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方运算是解题的关键： （1）根据新定义将，转换成幂的运算求解即可得到答案； （2）根据性质将用表示出来，代入求解即可得到答案； （3）根据，代入求解即可得到答案 【详解】（1）解：∵如果，那么b为n的“劳格数”，记为， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ， 故答案为：1，； （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：3； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴． 35．（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如果．那么称为的劳格数，记为，由定义可知，和所表示的、两个量之间具有同一关系． (1)根据定义，填空：______． (2)劳格数有如下性质：，，根据运算性质。回答问题： ①______．（为正数） ②若．求、的值。 【答案】(1)1 (2)①2；②； 【分析】（1）根据新定义可知，和所表示的b、n两个量之间具有同一关系，再计算即可． （2）①根据，，据此求出算式的值是多少即可． ②首先根据，，求出的值是多少；根据计算即可． 【详解】（1）解：由新定义可得，， ∴； （2）解：① ； ②∵， ∴； 由题意得， ． 【点睛】此题主要考查了幂的定义，同底数幂的乘法和除法．解答此题的关键还要明确劳格数的含义和应用，要熟练掌握． 36．（22-23七年级下·江苏苏州·期中）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式，，，成立．证明如下： 设，，则，，故，则，即，，，． (1)根据上述规定，填空： ________；(________； (2)求证： 【答案】(1)4， (2)见解析 【分析】本题考查的是幂的乘方和积的乘方以及有理数的混合运算，掌握幂的乘方和积的乘方法则是解题的关键． （1）根据规定的两数之间的运算法则解答； （2）根据积的乘方法则，结合定义计算． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：4；； （2）解：设，，， 则，，， ， ， ， 即． 37．（24-25七年级下·江苏·期末）阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题是新定义试题，主要考查幂的运算性质、新定义对数与指数之间的关系； （1）根据对数式的定义转化即可； （2）根据对数式的定义进行计算，即可求解； （3）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，类比所给材料的证明过程可得结论； （4）根据公式：和的逆用，计算可得结论． 【详解】（1）解：将指数式转化为对数式为， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ （3）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得， 又∵， ∴； （4） 38．（2024七年级下·江苏·专题练习）在形如的式子中， 我们已经研究过两种情况：①已知和，求，这是乘方运算：②已知和，求，这是开方运算 ． 现在我们研究第三种情况： 已知和，求，我们把这种运算叫做对数运算 ． 定义： 如果，，，则叫做以为底的对数，记作：，例如： 求，因为，所以；又比如 ， ， (1)根据定义计算： ① ；② ；③如果，那么 ； (2)设，，则，，，、均为正数） ，， ， ，即这是对数运算的重要性质之一， 进一步， 我们还可以得出： ； （其 中、、、、均为正数，， (3)请你猜想： （，，、均为正数） 【答案】(1)①4 ；②0 ；③2 (2) (3) 【分析】此题考查了同底数幂的乘法及除法逆运算， 弄清题中的新定义是解本题的关键 ． （1） 各项根据题中的新定义计算即可得到结果； （2） 利用对数的运算法则变形即可得到结果； （3） 利用已知的新定义化简即可得到结果 ． 【详解】（1）解： ① ； ② ； ③， ； 故答案为：4，0，2； （2）解：； 故答案为：； （3）解：设，，则，，（且，、均为正数） ， ， ，则， ， 故答案为：． 39．（23-24七年级下·江苏南京·期末）教材重读：小明在学完第12章《证明》后，对数学推理证明有了进一步的认识，在回顾第8章《幂的运算》过程中，小明又仔细阅读七下教材P57如下的一段话： 规定了零指数幂、负整数指数幂的意义后，同底数幂的除法运算性质扩展为： （，m、n是整数）． 小明注意到当m、n是正整数，时，教材给出根据幂的定义证明（，m、n是正整数，）成立，但对于幂运算性质适用一切整数指数幂，并未给出相应的解释． 为此，小明进行了如下的探究： (1)根据幂的定义证明同底数幂的除法法则：（，m、n是正整数，）． (2)当，时，根据负整数指数幂的定义， 得____________， ∵， ∴． (3)当m、n是正整数时，根据负整数指数幂的定义，证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】本题考查的是幂的含义，同底数幂的除法运算，负整数指数幂的含义； （1）直接利用幂的含义证明即可； （2）根据负整数指数幂的含义可得结论； （3）根据负整数指数幂把化为，再结合同底数幂的除法运算可得结论． 【详解】（1）解：∵，m、n是正整数， ∴ ； （2）解：当，时，根据负整数指数幂的定义， 得， ∵， ∴． （3）解：∵m、n是正整数时， ． 40．（23-24七年级下·北京海淀·期中）如果，那么称为的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：_______； (2)劳格数有如下运算性质： 若为正数，则，． 根据运算性质， 填空： ______（为正数）． 若，则______， ______；（答案精确到小数点后一位） (3)已知，，，则之间的等量关系式为______． 【答案】(1) (2)3，1.3，0.15 (3) 【分析】（1）根据劳格数的定义进行计算即可得到答案； （2）根据可得，代入进行计算即可得到的值，利用，求出，代入计算即可，根据得到，求出，代入计算即可得到答案； （3）分别表示出，，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：，为正数， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：3，1.3，0.15； （3）解：，，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义下有理数的运算、幂的乘方，理解题意，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 考点五 单项式乘法（共10小题） 41．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方，同底数幂的乘方，以及单项式乘以单项式，掌握以上运算法则是解题的关键； （1）首先计算幂的乘方，然后进行同底数幂相乘 （2）根据单项式乘以单项式进行计算，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 42．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）先算积的乘方，再按照单项式乘单项式的计算方法计算； （2）首先计算乘方，再计算单项式的乘法，最后合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 43．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，同底数幂相乘，幂的乘方，熟练掌握幂的运算是解题的关键； （1）利用同底数幂乘法以及幂的乘方，即可计算求值； （2）先根据积的乘方进行计算，然后根据单项式乘以单项式，进而合并同类项即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 44．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，解题的关键是熟练掌握单项式乘单项式运算法则． （1）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （3）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （4）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 45．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了积的乘方和单项式乘单项式运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先根据积的乘方运算法则进行计算，然后根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （2）先根据积的乘方运算法则进行计算，然后根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （3）先根据积的乘方运算法则进行计算，然后根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （4）先根据积的乘方运算法则进行计算，然后根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 46．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可； （2）根据单项式乘单项式运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 47．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，解题的关键是熟练掌握单项式乘法运算法则，准确计算． （1）将看作一个整体，利用单项式乘单项式运算法则，进行计算即可； （2）将和看作单项式，利用单项式乘单项式运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 48．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）计算： (1)（是正整数）； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了积的乘方，合并同类项，幂的乘方，单项式乘单项式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算积的乘方，再合并同类项，即可作答． （2）先运算幂的乘方，积的乘方，再运算单项式乘单项式，最后合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 49．（24-25七年级下·江苏徐州·开学考试）计算 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)10 【分析】本题主要考查整式的运算和实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式根据同底数幂的乘除法法则进行计算即可； （2）原式先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得到答案； （3）原式先计算乘方运算，再计算乘法，最后计算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 50．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)（把作为整体看作一个因式的底数）． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了整式的乘法运算，单项式乘单项式，解题的关键是熟练掌握以上运算法则． （1）先计算积的乘方，再利用单项式乘以单项式运算法则求解即可； （2）利用单项式乘以单项式运算法则求解即可； （3）先去括号，再合并同类项即可； （4）利用单项式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）原式， ， ； （2）原式， ； （3）原式， ； （4）原式 ． 考点六 多项式乘法（共10小题） 51．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，积的乘方计算，合并同类项，单项式乘以单项式，熟练计算是解题的关键． （1）直接相乘即可解答； （2）先计算积的乘方，再算除法即可得到答案； （3）先计算同底数幂乘除法，再相加即可； （4）先计算积的乘方，再相乘即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解： 52．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习） 计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先计算幂的乘方，再计算单项式乘单项式即可； （2）先计算单项式乘多项式，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 53．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）先进行括号内的运算，再去括号，最后合并同类项即可； （）先进行乘方运算，再进行乘法运算，最后合并同类项即可； 本题考查了整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 54．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可； （）根据单项式乘以多项式的运算法则计算即可； 本题考查了单项式乘以多项式，掌握单项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 55．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据单项式乘多项式的法则，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加； （2）根据单项式乘多项式的法则，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 【详解】（1）解： （2）解： 56．（24-25七年级下·江苏镇江·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了单项式的乘以多项式、整式的混合运算等知识． （1）利用单项式乘以多项式的每一项即可； （2）利用多项式乘以多项式进行计算，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： （2）解： 57．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了整式的运算—分解因式、多项式乘多项式等，熟练掌握多项式乘多项式和单项式乘多项式运算的知识点是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的法则计算即可； （2）先分别进行多项式乘多项式和单项式乘多项式运算，再合并同类项即可得解． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：， ， ， ， ． 58．（2025七年级下·江苏徐州·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了多项式乘以多项式，直接利用多项式乘法化简进而合并同类项得出即可．正确掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： ， ． 59．（24-25七年级下·江苏南通·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了多项式乘法，掌握多项式乘多项式法则、乘法公式是解题关键． （1）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （2）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （3）利用多项式乘多项式法则展开计算即可； （4）利用多项式乘多项式法则展开计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 60．（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的混合运算， （1）直接利用多项式乘多项式的运算法则将原式展开，然后进行合并即可； （2）直接利用多项式乘多项式的运算法则将原式展开，然后进行合并即可； （3）直接利用多项式乘多项式的运算法则将原式展开，然后进行合并即可； （4）先利用多项式乘多项式的运算法则将原式展开，然后去括号，最后进行合并即可； 解题的关键是掌握多项式乘多项式的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 考点七 多项式乘法的化简求值（共10小题） 61．（24-25·江苏苏州·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查整式的混合运算，原式根据多项式乘以多项式和单项式乘以多项式运算法则将括号展开，再合并，得最简结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 62．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，多项式乘以多项式，整式的加减计算，正确运算法则，正确计算是解题的关键． 先运用多项式乘以多项式和单项式乘以多项式法则进行计算，再进行加减计算，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当， 原式 ． 63．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）先化简，再求值： (1)已知，求的值； (2)，其中． 【答案】(1)，5 (2)， 【分析】本题考查的是整式的乘法运算，化简求值， （1）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，最后把代入计算即可． （2）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，最后把代入计算即可． 【详解】（1）解： ． 当时，原式． （2）解： ． 当时，原式． 64．（24-25·江苏·江苏南通）已知，求代数式的值． 【答案】5 【分析】本题主要考查整式的混合运算，代数式求值．利用整式混合运算法则把式子进行整理，再将变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的值为5． 65．（23-24七年级下·江苏苏州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，12 【分析】本题考查了多项式的乘法，求代数式的值，先根据多项式与多项式的乘法法则化简，再把代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 66．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）先化简，再求值：，其中、． 【答案】； 【分析】本题考查整式化简求值；先根据多项式乘以多项式法则及完全平方公式、平方差公式展开，再合并同类项，得出最简结果，然后代入求值即可． 【详解】解： ； 当、时，原式 ． 67．（24-25七年级下·福建厦门·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题主要考查了整式的混合运算．利用多项式乘多项式以及单项式乘多项式展开后，再合并同类项，代入即可求解． 【详解】解： ， 当时， 原式． 68．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知，，求代数式的值． 【答案】，46 【分析】本题考查整式的混合运算——化简求值，理解整式混合运算的运算顺序和计算法则，是解题关键． 先利用多项式乘以多项式展开，再进行整式的加减计算，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当，时， ， ∴代数式的值为46． 69．（24-25七年级下·辽宁·期末）先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的．我们称为“降次代换法” 例如：已知，求代数式的值． 解：， 原式 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为 ． (2)若，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式乘多项式—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先由得出，再代入进行计算，即可作答． （2）先由得出，再代入进行化简计算，即可作答． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ． 70．（24-25七年级下·重庆·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再根据，求出，，最后将，的值代入化简后的式子即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴，， ∴原式 ． 考点八 已知多项式乘积不含某项求字母的值（共10小题） 71．（24-25七年级下·陕西宝鸡·阶段练习）若多项式与的积不含项和项，求和的值． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握多项式乘多项式法则是解决本题的关键． 先利用多项式乘多项式法则计算，再根据结果中不含项和x项列出方程，求解即可． 【详解】解： ， ∵多项式与的积不含项和项， ，， 解得，． 72．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知的展开式中不含项和常数项，求： (1)m，n的值； (2)的值． 【答案】(1)， (2)1 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则． （1）根据整式的运算法则进行化简后即可求出答案； （2）先将原式化简，然后将m与n代入原式即可求出答案． 【详解】（1）解： ， ∵的展开式中不含项和常数项， ∴， ∴ （2）解：∵，， ∴ ． 73．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）已知的积中不含有x项和项，求代数式的值． 【答案】 【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用多项式乘以多项式法则计算，根据结果不含x和项确定出m与n的值，原式化简后代入计算即可求出值． 【详解】解：． 因为的积中不含有x项和项，所以， 解得， 所以， 所以原式． 74．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）若的结果中不含和项，求的值： 【答案】 【分析】本题考查了求整式的值，多项式乘以多项式，多项式中不含某项的条件；先按多项式乘以多项式法则运算得，再由多项式中不含某项的条件即可求解，理解多项式中不含某一项的条件就是使得这一项的系数为零是解题的关键． 【详解】解：原式 结果中不含和项， ， 解得：， ． 75．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知多项式与的乘积的展开式中不含项，且常数项为，求a，b的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出两个多项式的乘积，再根据乘积展开式中不含项，且常数项为列出关于a、b的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： ， ∵多项式与的乘积的展开式中不含项，且常数项为， ∴， ∴． 76．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）在学习多项式乘多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为，常数项为，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．通过观察，我们发现一次项系数就是，即一次项为． 参考材料中用到的方法，解决下列问题： (1)所得多项式的一次项系数是______； (2)计算所得多项式的一次项系数； (3)如果计算所得多项式不含一次项，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查多项式乘以多项式运算，涉及解一元一次方程，读懂题意，理解材料中求多项式乘以多项式后一次项系数的方法是解决问题的关键． （1）读懂题意，按照题中解题方法从中选、从选相乘；再从选、从选相乘，两者求和即可得到一次项，即可得到答案； （2）读懂题意，按照题中解题方法从选、从选、从选相乘；从选、从选、从选相乘；从选、从选、从选相乘；三者求和即可得到一次项，即可得到答案； （3）读懂题意，类比（2）题中解题方法求解得到一次项系数为，进而列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由材料中的解法，可知所得多项式的一次项系数是， 故答案为：； （2）解：由材料中的解法，可知所得多项式的一次项系数为； （3）解：由材料中的解法，可知所得多项式的一次项系数为， 多项式不含一次项， ，解得． 77．（22-23七年级下·甘肃兰州·期中）已知的结果中不含项， (1)求的值； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了多项式乘多项式不含某项问题、多项式乘多项式化简求值，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键． （1）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，然后根据题意得出关于的方程，解之即可求解； （2）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，再代入值计算即可； 【详解】（1）解：原式， ， ， 的结果中不含项， ， 解得，； （2）解：， ， ， 当时，原式． 78．（24-25七年级下·河南新乡·阶段练习）若的展开式中不含的项，求m，n的值 【答案】 【分析】本题考查了整式乘法中多项式乘多项式，正确计算是关键；按照多项式乘多项式法则展开，合并同类项，则的项的系数为0，即可求得m与n的值． 【详解】解：原式 ， ∵的展开式中不含的项 ∴； ∴． 79．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）已知的展开式中不含项，且常数项是． (1)求，的值． (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘以多项式的法则展开合并同类项后，不含项，且常数项是，据此进行解答即可； （2）按照多项式乘以多项式的法则展开，合并同类项得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 不含项，常数项是， ，， ，； （2）原式 ， 当，时， 原式 ． 80．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）已知的展开式中不含和项． (1)求的值； (2)先化简，再求值：． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）利用多项式乘多项式法则计算，根据结果不含和项，确定出与的值即可； （2）利用多项式乘多项式法则计算，把m与n的值代入计算即可求出值． 【详解】（1） ， ， 根据展开式中不含和项可得， 解得； （2）原式 ． 因为， 所以原式． 考点九 乘法公式（共10小题） 81．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运算平方差公式，再运算完全平方公式，即可作答． （2）先整理原式，再运算完全平方公式，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 82．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查整式的四则运算，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答本题的关键． （1）运用完全平方公式进行计算即可； （2）运用平方差公式进行计算即可； （3）原式运用多项式乘以多项式和单项式乘以多项式运算法则去括号后，再合并即可得到答案； （4）原式运用平方差公式和单项式乘以多项式运算法则去括号后，再合并即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 83．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）用乘法公式计算： (1) (2)． (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查公式法计算问题，掌握多项式乘法公式，会巧妙利用乘法公式计算解决问题是关键． （1）用平方差公式进行计算，去括号合并同类项即可； （2）用平方差公式与两数差完全平方公式展开，去括号合并同类项即可； （3）用平方差公式进行计算，去括号合并同类项即可； （4）用完全平方公式展开，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 84．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)899 (2)10404 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，熟记乘法公式是解题关键． （1）将改写成，利用平方差公式计算即可得； （2）将改写成，利用完全平方公式计算即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 85．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）利用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据完全平方公式、平方差公式进行展开，再合并同类项，即可作答． （2）先根据完全平方公式、平方差公式进行展开，单项式乘多项式，再合并同类项，即可作答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 86．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）运用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查乘法公式，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式． （1）首先将原式变形为，然后利用平方差公式化简即可； （2）将原式变形为，然后两次应用完全平方公式展开化简即可． 【详解】（1） 解：原式 ． （2） 解：原式 ； 87．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）利用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答； （3）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （4）利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 88．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）运用乘法公式计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了整式的混合运算和乘法公式，熟练掌握乘法公式是解题的关键． （1）利用平方差公式进行计算即可； （2）利用完全平方公式计算即可； （3）利用平方差公式和完全平方公式展开后，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 89．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）运用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查乘法公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和平方差公式． （1）先运用平方差公式运算，再利用平方差公式计算即可． （2）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将其化成，看成与1差的平方再应用公式运算； （3）转化成，将看成一个整体，再利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 90．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 本题主要考查整式的运算，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解决本题的关键． （1）根据平方差公式解决此题即可． （2）根据完全平方公式以及平方差公式解决此题即可． （3）根据完全平方公式解决此题即可． （4）先根据积的乘方的逆运算进行变形，再运用平方差公式，最后运用完全平方公式即可． 【详解】（1） 解： （2） 解： ； （3） 解： ； （4） 解： ． 考点十 乘法公式的变形求值（共10小题） 91．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）已知，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)6 (2)8 【分析】本题主要考查考查完全平方公式，正确进行完全平方公式的变形是解答本题的关键． （1）把变形为，再整体代入计算即可； （2）把变形为，再整体代入计算即可． 【详解】（1）， ； （2）， ． 92．（24-25七年级下·浙江温州·阶段练习）已知，，请你求出下列代数式的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，多项式乘多项式，代数式求值，掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用完全平方公式求解即可； （2）结合（1）所得结果，利用完全平方公式求解即可； （3）根据多项式乘多项式展开计算求值即可． 【详解】（1）解：， ， ，， （2）解：由（1）可知，， 则； （3）解：． 93．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，，求下面代数式的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式并灵活变形是解题的关键， （1）将、的值代入到原式的变形中，计算可得； （2）将、的值代入到原式的变形中，计算可得. 【详解】（1）解：当时， ； （2）解：当，时， ． 94．（2024七年级下·江苏南京·专题练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的逆用和平方的非负性，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据完全平方公式的逆用和平方的非负性解答即可求解． 【详解】解：， ， ， ，， ，． 95．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）已知，求下列各式的值； (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，然后代入数值计算，即可作答． （2）由（1）得，再结合，然后代入数值计算，即可作答． （3）由（2）得，得，则或，分别代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 则 即． （2）解：由（1）得， ∵， 则， ∴； （3）解：由（2）得， ∴， ． 或 ． 96．（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）已知，求下列各式的值． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式的变形求值，正确求出的值是解题的关键． （1）把已给条件式两边同时除以x即可得到答案； （2）根据（1）所求结合完全平方公式得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：当时，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 97．（24-25七年级下·江西九江·阶段练习）（1）已知，，求的值； （2）已知，求的值； 【答案】（1）28；（2）14 【分析】此题考查依据完全平方公式变形的计算，正确掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形整体代入计算即可． （2）根据完全平方公式变形整体代入计算即可 【详解】解：（1） ∵， ∴； （2）， ， 即 ． 98．（24-25七年级下·江苏南京·阶段练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)7 (2)6 (3)5 【分析】本题考查完全平方公式： （1）利用完全平方公式变形计算即可； （2）利用完全平方公式变形计算即可； （3）利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）由（1）知：， 又∵， ∴； （3）∵，， ∴． 99．（24-25七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知 ，，求下列各式的值． (1)； (2) 【答案】(1)33 (2)139 【分析】本题考查了完全平方公式的运算，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合，再把，，分别代入计算，即可作答． （2）结合（1）的，以及，则，再代入原式整理后的，然后计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴ ． 100．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)5 (2)7 (3)47 【分析】本题主要考查通过对完全平方公式的变形求值．熟练掌握完全平方公式并能灵活运用是解答本题的关键． （1）利用完全平方公式的变形求解即可； （2）利用完全平方公式的变形求解即可； （3）利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）， ， ， ， ； （2）， ， ， ， ； （3）， ， ， ， ． 考点十一 整式乘法中的规律计算（共10小题） 1．（24-25七年级下·广东湛江·期末）观察并验证下列等式： ， ， ， (1)续写等式：________；（写出最后结果） (2)我们已经知道，根据上述等式中所体现的规律，猜想结论：________；（结果用因式乘积表示） (3)利用（2）中得到的结论计算： ； 【答案】(1)225 (2) (3) 【分析】本题主要考查了自然数立方和公式推导及应用，掌握自然数列和公式，自然数平方和公式，自然数立方和推导过程，数字的变化类是解题关键． （1）直接根据题意给出的规律即可求解； （2）直接根据题意给出的规律即可求解； （3）先按积的乘方分出27，提公因式27，再按给出的规律即可求解 【详解】（1）解：原式， 故答案为：225； （2）解：原式， 故答案为：； （3）解：原式 ． 2．（2025七年级下·江苏南京·专题练习）杨辉三角形是形如（这里，2，3，4……）的展开式的系数在三角形中的一种几何排列：记载于1261年他所著的（详解九章算术）中．1854年：法国数学家帕斯卡也发现了这一规律，不过比杨辉迟了近四百年，杨辉三角形是中国数学史上的一个伟大成就．如图是杨辉三角形与展开式的部分对照，请回答下列问题 （1）的展开式中系数为10的项是 ． （2）的展开式中的系数是 ． 【答案】 2023 【分析】本题主要考查了整式中的规律计算，准确找出相应的规律是解题关键． （1）根据规律将的展开即可得到结果； （2）每一行，倒数第二个数的数字系数为，字母为，每一项的正负号取决于字母的次数，据此解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴的展开式中系数为10的项是和， 故答案为：，； （2）∵展开后每一行倒数第二个数的数字系数为，字母为，每一项的正负号取决于字母的次数， ∴的展开式中的系数是2023， 故答案为：2023． 3．（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）观察下列各式的规律，解答下列问题． 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… (1)根据上述规律，请写出第5个等式：_______． (2)猜想：_______． (3)利用（2）中的结论，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键： （1）根据已知等式写成第个等式即可； （2）观察可知第n个式子左边的第一个多项式为，第二个多项式中是按照字母a的指数降序排列的，且每一项只含有a、b两个字母，每一项的系数都为1，字母的指数之和为n，等式右边是，据此可得答案； （3）令式子中，得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，第五个等式为； （2）解：第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． ……， 以此类推可知，； （3）解：由（2）可知， ∴． 4．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）观察下列式子： ①；②；③；④；… (1)猜想：第⑤个式子是______________________________． (2)探究规律：用含n的式子表示你发现的一般规律，并证明你的结论； (3)应用你发现的规律计算：． 【答案】(1) (2) (3)1013 【分析】本题主要考查用代数式表示算式的变化规律以及整式的乘法、有理数的混合运算，找出等式的规律．是解题的关键． （1）根据题目中的式子即可得到答案； （2）根据题题干中的式子总结出规律，再通过计算证明等式的左边等于右边即可； （3）根据（2）中的规律变形，再进行约分即可得到答案． 【详解】（1）由题意可得，第⑤个式子是， 故答案为：； （2）由题意可得规律为， 证明：∵， ， ∴； （3） ． 5．（24-25九年级下·安徽合肥·阶段练习）【项目任务】老师与学生一起探索两个十位上的数字和为10，个位上的数相同的两位数字积的规律． 【初步探究】； ； ； ． 【类比尝试】结合上面的探究，学生独立完成下面任务： 填空：____________； 【深入探究】 具有上述一定特点的两个两位数的乘积体现的一般规律：设其中的一个两位数的十位上的数字为m，个位上的数字为n，这个两位数表示为，则另一个两位数的十位上的数字为______，个位上的数为n，这个两位数表示为______，这两个两位数相乘的一般性结论为____________（用含m，n的代数式表示），并证明． 【答案】[类比尝试] ；[深入探究] ；，证明见解析 【分析】本题考查了多项式乘法中的规律探索，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键； [类比尝试]根据规律写出等式即可求解； [深入探究]根据题意列出代数式，进而根据多项式乘以多项式进行计算即可得证． 【详解】[类比尝试]， 故答案为：． [深入探究] 具有上述一定特点的两个两位数的乘积体现的一般规律：设其中的一个两位数的十位上的数字为m，个位上的数字为n，这个两位数表示为，则另一个两位数的十位上的数字为，个位上的数为n，这个两位数表示为，这两个两位数相乘的一般性结论为（用含m，n的代数式表示）， 故答案为：；，． 证明:左边 右边 6．（24-25七年级下·河南郑州·阶段练习）阅读材料：北师大版七年级下册教材24页为大家介绍了杨辉三角． 如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写． (1)判断的展开式共有 　 　项；写出的第三项的系数是 　 　； (2)结合杨辉三角解决以下问题： ①计算：； ②猜想：的展开式中含项的系数是 　 　． (3)运用：若今天是星期二，那么再过天是星期 　 　． 【答案】(1)六，15 (2)①；② (3)星期三 【分析】本题考查了杨辉三角，整式的乘法，有理数的乘方，通过观察得到系数的规律是解题的关键． （1）通过观察，可知展开式有五项，分别写出和展开式的系数，从而得到展开式有七项，系数分别是1，6，15，20，15，6，1，从而得到答案； （2）①通过观察可知，，从而得出答案；②写出的展开项，从而算得的系数； （3），其展开式除最后一项外，均含有因数，都能被整除，求出其展开式的最后一项为，往后数一天即可． 【详解】（1）解：根据题意，可知展开式有五项，系数分别是1，4，6，4，1 展开式有六项，系数分别是1，5，10，10，5，1 展开式有七项，系数分别是1，6，15，20，15，6，1 故答案为：六，15； （2）解：① 故答案为：； ②，理由如下： 展开后共项， 第一项是： 第二项是： 第三项是： 第四项是： 故答案为：； （3）解：，其展开式除最后一项外，均含有因数，都能被整除， 其展开式的最后一项为 从星期二往后数天是星期三， 答案为：是星期三． 7．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）我国南宋杰出的数学家杨辉在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律．如；． …… …… …… …… … … (1)请你写出和的展开式； (2)此规律还可以解决实际问题：若今天是星期二，再过7天还是星期二，则再过天是星期________． (3)设．小明发现通过赋值法可求解系数间的关系，例如令则，聪明的你能不能求出的值，若能，请写出过程； (4)你能在（3）的基础上求出的值吗？若能，请写出过程． 【答案】(1)； (2)三 (3) (4) 【分析】本题考查了数字类变化规律，读懂题意并根据所给的式子找到规律是解题的关键． （1）根据规律即可求解； （2）通过变形得到，根据规律即可得解； （3）由题意可得，即可解答； （4）令则，与（3）中所给的式子相加可得，即可解答． 【详解】（1）解：； ； （2）解：， 故除以余1， 则今天是星期二，再过7天还是星期二，则再过天是星期三， 故答案为：三； （3）解：令则， 令则， ； （4）解：令则， ， 8．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）【发现问题】 ， ， …… 小明在学习第十四章数学活动时，经历了以上计算过程，他发现其中有一定的运算规律． 【提出问题】 上面的运算规律是否可以推广到类似的三位数相乘呢？ 如果个位数字不是5，但仍满足两个数的个位数字之和为10，上面的运算规律是否成立？ 【分析问题】 请你通过计算与思考，完成下面的探究并填空： （1）①_____； ②_______________； （2）____________________； …… 【解决问题】 （3）两个两位数相乘，它们十位上的数相同都为，个位上的数的和为，设其中一个数的个位上的数字为，请你用含有，的等式表示两数的积的规律，并证明． 【答案】①；②，，；（2），，，；（3），见解析 【分析】本题考查了数字的变化，根据数字的变化找出规律并计算求值，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键. （1）①直接计算即可； ②根据规律直接计算求值即可； （2）根据规律直接计算求值即可； （3）根据规律写出式子，证明即可. 【详解】解：（1）①， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 证明如下： 左边， 右边， 左边右边， . 9．（24-25七年级下·山东济南·阶段练习）“杨辉三角”揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 第一行          1 第二行        1   1                                    各项系数和为2 第三行       1  2  1                            各项系数和为4 第四行     1  3   3  1                   各项系数和为8 第五行   1   4  6  4   1          各项系数和为16 根据上述规律，完成下列各题： (1)将展开后，各项的系数和为______． (2)将展开后，各项的系数和为______． (3)______． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： 第一行                 第二行                  第三行                    第四行                   第五行                                  …………………… (4)若表示第m行，从左到右数第n个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是______，表示的数是______． 【答案】(1)32 (2) (3) (4)：， 【分析】此题考查完全平方式的应用和数字类的规律题，能根据杨辉三角和“莱布尼茨三角形”得出规律是解此题的关键． （1）根据规律可知：将展开后，各项的系数和为； （2）根据规律可得结论； （3）把展开，即可得出答案； （4）著名的“莱布尼茨三角形”，规律是：①下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，②每一行的第一个数都是 ，经过计算可得结论． 【详解】（1）解： 展开后，各项的系数和为， 故答案为：32； （2）根据“杨辉三角”可知， 第2行，展开后，各项的系数和为， 第3行，展开后，各项的系数和为， 第4行，展开后，各项的系数和为， 第5行，展开后，各项的系数和为， 第6行，展开后，各项的系数和为， …… 展开后，各项的系数和为， 故答案为：； （3）解：根据规律可得，展开后，各项的系数依次为1、6、15、20、15、6、1， 所以 故答案为：； （4）解：由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是， ∴表示第六行第三个数， ∵第六行第二个数是， ∴第六行第三个数是， ∴表示的数是； 由规律可得， ∵第七行第一个数为，第六行第一个数为， ∴第七行第二个数为， ∵第八行第一个数为， ∴第八行第二个数为：，第八行第三个数为， ∴表示的数是与 表示的数一样，为； 故答案：，． 10．（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，南宋时期有一位杰出的数学家杨辉，如图所示是他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”，它的发现比欧洲早五百年左右． 此图揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，请根据上述规律，解决以下问题： (1)已知，则_____； (2)多项式展开式共有_____项，各项系数和为_____； (3)若，求的值. (4)如图，在“杨辉三角”中，选取部分数1，3，6，……，记，，，……．请完成下列问题： ①根据规律，的值是_____； ②计算：； ③请直接写出的值． 【答案】(1) (2)8，128 (3) (4)①；②；③ 【分析】本题考查数字变化类，多项式的乘法； （1）根据系数的变化规律进行解答即可； （2）根据“杨辉三角”中第三行中的数据，将展开后，各项的系数和所呈现的规律进行计算即可； （3）根据规律得到当时，，即可求出答案； （4）①根据规律得出，进而计算即可求解； ②根据题意得到，运用此公式进行展开计算即可求解； ③根据进行计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ 故答案为： （2）根据“杨辉三角”可知， 第2行，展开后，各项的系数和为， 第3行，展开后，各项的系数和为， 第4行，展开后，各项的系数和为， 第5行，展开后，各项的系数和为， 第6行，展开后，各项的系数和为， 第7行，展开后，各项的系数依次为、、、、、、，各项的系数和为 第8行， 展开后，各项的系数依次为、、、、、、、 各项的系数和为 展开后，各项的系数和为， ∴多项式展开式共有项，各项系数和为128； 故答案为：8，128． （3）∵ ∴当时， 即 ∴ （4）①由题意得：， ， ， …… ∴ ∴ 故答案为： ②由①得到， ∴ ∴ ③ 76 / 92 学科网（北京）股份有限公司 $$