专题03 整式乘除中的压轴综合（六大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期中真题分类汇编（北师大版）

专题03整式乘除中的压轴综合 题型概览 题型01不含某一项的求值问题 题型02利用整体代换进行求值 题型03规律性问题 题型04利用乘法公式进行简便运算 题型05利用完全平方求多项式的最值 题型06完全平方公式、平方差公式与几何图形 ( 题型0 1 )不含某一项的求值问题 1．（23-24七下·辽宁沈阳于洪区·期中）若将展开的结果中不含有项，则，满足的关系式是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七下·甘肃兰州·期中）如果的展开式中不含x的一次项，则常数m，n满足（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七下·湖北孝感云梦县·期中）若关于的代数式与的乘积结果化简后，既不含项，也不含项，则m、n的值分别为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24七下·广东广州花都区·期中）已知的乘积中不含与的项，则m，n的值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七下·山西运城夏县·期中）若的乘积中，不含x的三次项和二次项，则的值为 ． 6．（23-24七下·福建南平政和县·期中）在的运算结果中，项的系数是，那么的值是 ． ( 题型0 2 )利用整体代换进行求值 7．（23-24七下·河南周口扶沟县·期中）已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七下·河南商丘宁陵县·期中）已知，则的值为（   ） A． B．5 C． D．7 9．（23-24七下·河南濮阳范县·期中）已知：，则的值是 10．（23-24七下·广东广州花都区·期中）已知，求的值． 11．（23-24七下·湖北武汉武昌区·期中）先化简，再求代数式的值，其中． 12．（23-24七下·江苏连云港东海县·期中）已知，求代数式的值． ( 题型0 3 )规律性问题 13．（23-24七下·山东菏泽成武县·期中）根据，，，的规律，则的个位数字是（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 14．（23-24七下·浙江衢州开化县·期中）有个依次排列的整式：第项是，用第项乘以，所得之积记为，将第项加上得到第项，再将第项乘以得到，将第项加上得到第项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到个结论： ①第项为 ② ③若第项的值为，则 以上结论正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 15．（23-24七下·上海奉贤区·期中）小轩在学习《整式的运算》这一章节时，发现了这样的运算规律： ； ； ； …… 请你尝试利用上述规律解决以下问题（用含幂的形式表示）： （1）利用等式 ，从而求得的计算结果； （2）的计算结果是 16．（23-24七下·山东日照·期中）在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为－3x． 请参考上面的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为______； (2)如果计算所得多项式不含一次项，则常数a的值是______； (3)如果，则的值是______． 17．（23-24七下·云南昭通绥江县·期中）观察以下等式： …… (1)按以上等式的规律，填空： ①________． ②________． (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． (3)利用（1）中的公式化简：． 18．（23-24七下·江苏苏州苏州工业园区·期中）观察下列算式，探究并说明其中的规律：，，，， (1)请你写出一个具有类似结构的算式 ； (2)设满足上述规律的两个因数分别为，（，，，且n，a，b都是正整数）． ①正整数a，b满足的条件为 ； ②用所学的整式乘法说明上述规律中方法的正确性； (3)请你用文字语言表达规律： ． ( 题型0 4 )利用乘法公式进行简便运算 19．（23-24七下·内蒙古包头固阳县·期中）用简便方法计算下列各式： (1)； (2)； (3)……． 20．（23-24七下·江苏扬州·期中）的个位数是 ． 21．（23-24七下·山东东营广饶县·期中）小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗，请将答案填在横线上 ． 22．（23-24七下·福建三明宁化县·期中）我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好多地方都存在，观察下列等式： ， ， ， … (1)根据上述各式反映出的规律填空：_______． (2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，请用一个含a的代数式表示其结果_______ (3)这种简便计算也可以推广应用： ①个位数字是5的三位数的平方，请写出的简便计算过程及结果， ②十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，请写出的简便计算过程和结果． ( 题型0 5 )利用完全平方求多项式的最值 23．（23-24七下·贵州六盘水·期中）如图，爱思考的小颖看到课本《因式分解》一章中这样写道： 形如的式子称为完全平方式 小颖思考，如果一个多项式不是完全平方式，我们对其作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，那么是否可以由此解决一些新的问题．若借助小颖的思考，可以求得多项式的最大值，则该最大值为（   ） A． B． C．5 D．13 24．（23-24七下·河南商丘民权县·期中）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵ ∴ ∴的最小值是4 (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； 25．（23-24七下·甘肃兰州·期中）问题提出 在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 初步思考 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0． 所以当时，的值最大，最大值是4． 所以的最大值是4． 尝试应用 (1)求代数式的最大值，并写出相应的x的值． 拓展提高 (2)将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，那么这两个正方形面积之和有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 26．（23-24七下·云南文山·期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， 当时，的值最小，最小值是0， ． 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)知识再现：当__________时，代数式有最小值是 ； (2)知识运用：若，判断y有最大值还是有最小值，并求x为何值时，y的最值． (3)知识拓展：若，求的最小值． 27．（23-24七下·广东清远英德·期中）阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆用，即． 例如：．请根据阅读材料解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ ( 题型0 6 )完全平方公式、平方差公式与几何图形 28．（23-24七下·江苏宿迁泗阳县·期中）问题呈现 （1）分别计算图1、2中阴影部分的面积． 知识应用 （2）某公园是长为米，宽为米的长方形，规划部门计划在其内部修建一座边长为米的正方形雕像，左右两边修两条宽为a米的长方形道路，剩余的阴影部分种植草坪进行绿化，尺寸如图3所示． ①求绿化的面积； ②若，种植草坪的价格为30元/平方米，问绿化应投入的资金是多少元？ 29．（23-24七下·山西晋城陵川县·期中）“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：北师大版七年级下册教材在学习“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图2可得等式：______；由图3可得等式：______； (2)利用图3得到的结论，解决问题：若，求的值； (3)如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接）． ①请画出拼出后的长方形； ②______． 30．（23-24七下·福建福州闽清县·期中）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】计算：． 31．（23-24七下·河南新乡辉县·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）， (1)上述操作能验证的等式是___________；（请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下题： 已知，，求的值． 1．（23-24七下·河南商丘宁陵县·期中）已知 ，，求下列各式的值． (1)； (2) 2．（23-24七下·重庆开州区·期中）已知的展开式中不含项，且常数项是． (1)求，的值． (2)求的值． 3．（23-24七下·内蒙古鄂伦春自治·期中）简便计算：； 4．（23-24七下·河北沧州沧县·期中）观察：下列等式，，…据此规律，当时，代数式的值为 ． 5．（23-24七下·山东青岛·期中）先化简，再求值：，其中． 6．（23-24七下·四川达州·期中）关于的整式与，令，，下列说法正确的有（    ）个． ①若是关于的二次整式，则的值共有3种不同的可能； ②若，，为整式，则中除常数项外其余各项系数和为； ③若，，，，，，则的最小值为； ④若，，，，令，，且，，则共有项． A．1 B．2 C．3 D．4 7．（23-24七下·山东东营利津县·期中）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值；总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值-1． 根据上述材料，解答下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：___________； (2)将变形为的形式___________，则的最小值为___________； (3)已知，求代数式的最大值； 8．（23-24七下·重庆北碚区·期中）完全平方公式：经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若 ， ， 求的值． 解；因为， ， 所以， ， 所以， 所以， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求． (2)如图，C是线段上的一点，分别以为边作正方形，设， 两正方形的面积之和， 求三角形的面积． (3) 9．（23-24七下·贵州六盘水·期中）如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）． (1)将图1阴影部分的面积记为，图2的面积记为，若用含a、b的代数式表示和，则 ， ； (2)请你判断与之间的大小关系： （填“”、“”或“”）； (3)利用（2）中的结论，求的值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03整式乘除中的压轴综合 题型概览 题型01不含某一项的求值问题 题型02利用整体代换进行求值 题型03规律性问题 题型04利用乘法公式进行简便运算 题型05利用完全平方求多项式的最值 题型06完全平方公式、平方差公式与几何图形 ( 题型0 1 )不含某一项的求值问题 1．（23-24七下·辽宁沈阳于洪区·期中）若将展开的结果中不含有项，则，满足的关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：原式 展开的结果中不含有项 ． 故选：C． 2．（23-24七下·甘肃兰州·期中）如果的展开式中不含x的一次项，则常数m，n满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ， 展开式中不含x的一次项， ， 故选：C． 3．（23-24七下·湖北孝感云梦县·期中）若关于的代数式与的乘积结果化简后，既不含项，也不含项，则m、n的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 ∵结果化简后令项、x项， ∴， ∴． 故选A． 4．（23-24七下·广东广州花都区·期中）已知的乘积中不含与的项，则m，n的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， 且的乘积中不含与的项， ∴， ∴，， 故选：A． 5．（23-24七下·山西运城夏县·期中）若的乘积中，不含x的三次项和二次项，则的值为 ． 【答案】2 【详解】解： ； ∵不含x的三次项和二次项， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：2． 6．（23-24七下·福建南平政和县·期中）在的运算结果中，项的系数是，那么的值是 ． 【答案】10 【详解】解：， ， 运算结果中的系数是， ， 解得， 故答案为：10． ( 题型0 2 )利用整体代换进行求值 7．（23-24七下·河南周口扶沟县·期中）已知，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ，， 故选：C 8．（23-24七下·河南商丘宁陵县·期中）已知，则的值为（   ） A． B．5 C． D．7 【答案】B 【详解】解：， ， ， ， 故选：B． 9．（23-24七下·河南濮阳范县·期中）已知：，则的值是 【答案】28 【详解】解：根据得，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：28． 10．（23-24七下·广东广州花都区·期中）已知，求的值． 【答案】0 【详解】解： ， ∴原式 ． 11．（23-24七下·湖北武汉武昌区·期中）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】． 【详解】解：原式= = = 当 ， 原式 12．（23-24七下·江苏连云港东海县·期中）已知，求代数式的值． 【答案】； 【详解】解： ∵ ∴ ∴原式 ( 题型0 3 )规律性问题 13．（23-24七下·山东菏泽成武县·期中）根据，，，的规律，则的个位数字是（    ） A．7 B．5 C．3 D．1 【答案】D 【详解】解：根据题意得：， 把代入得：， ∴， ∵， ∴的末位数字是按1，3，7，5为一个循环的， ∵， ∴的末位数字为1． 故选D． 14．（23-24七下·浙江衢州开化县·期中）有个依次排列的整式：第项是，用第项乘以，所得之积记为，将第项加上得到第项，再将第项乘以得到，将第项加上得到第项，以此类推；某数学兴趣小组对此展开研究，得到个结论： ①第项为 ② ③若第项的值为，则 以上结论正确的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】根据题意， 第1项为， ， 第2项为， ， 第3项为， ， ∴第4项为，故①正确； ∴，故②不正确； 若第2023项的值为0，则， ∴， 即， ∴，故③正确； 故选：C． 15．（23-24七下·上海奉贤区·期中）小轩在学习《整式的运算》这一章节时，发现了这样的运算规律： ； ； ； …… 请你尝试利用上述规律解决以下问题（用含幂的形式表示）： （1）利用等式 ，从而求得的计算结果； （2）的计算结果是 【答案】 【详解】解：（1）由题意，可得：， ∴； ∴ ； 故答案为：； （2） ． 故答案为： 16．（23-24七下·山东日照·期中）在学习多项式乘以多项式时，我们知道的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为－3x． 请参考上面的方法，解决下列问题： (1)计算所得多项式的一次项系数为______； (2)如果计算所得多项式不含一次项，则常数a的值是______； (3)如果，则的值是______． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：所得多项式的一次项系数为： ； （2）根据题意，一次项系数， 即， 解得； （3）的一次项系数为： ， ， 17．（23-24七下·云南昭通绥江县·期中）观察以下等式： …… (1)按以上等式的规律，填空： ①________． ②________． (2)利用多项式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立． (3)利用（1）中的公式化简：． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：① ②， 故答案为：；； （2）解： ； （3）解： ． 18．（23-24七下·江苏苏州苏州工业园区·期中）观察下列算式，探究并说明其中的规律：，，，， (1)请你写出一个具有类似结构的算式 ； (2)设满足上述规律的两个因数分别为，（，，，且n，a，b都是正整数）． ①正整数a，b满足的条件为 ； ②用所学的整式乘法说明上述规律中方法的正确性； (3)请你用文字语言表达规律： ． 【答案】(1) (2)①；②见解析 (3)十位数字相同，个位数字的和等于10的两个两位数相乘，结果等于十位数字乘以比它大1的数字的积的100倍，再加上个位数字之积的和 【详解】（1）观察已知算式∶十位数字相同，个位数字的和等于10的两个两位数相乘，结果等于十位数字乘以比它大1的数字的积的100倍，再加上个位数字之积的和， ， 故答案为∶ ． （2）①按照（1）中的规律可知 故答案为∶ ． ② ； （3）十位数字相同，个位数字的和等于10的两个两位数相乘，结果等于十位数字乘以比它大1的数字的积的100倍，再加上个位数字之积的和． ( 题型0 4 )利用乘法公式进行简便运算 19．（23-24七下·内蒙古包头固阳县·期中）用简便方法计算下列各式： (1)； (2)； (3)……． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） 解：原式 ； （2） 解：原式 ； （3） 解：原式… ． 20．（23-24七下·江苏扬州·期中）的个位数是 ． 【答案】6 【详解】解：原式 … ∵，，，，，末尾是2，4，8，6四个一组循环， ， ∴的个位数是6， 即的个位数是6， 故答案为：6． 21．（23-24七下·山东东营广饶县·期中）小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗，请将答案填在横线上 ． 【答案】/ 【详解】解： ． 故答案为：． 22．（23-24七下·福建三明宁化县·期中）我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好多地方都存在，观察下列等式： ， ， ， … (1)根据上述各式反映出的规律填空：_______． (2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，请用一个含a的代数式表示其结果_______ (3)这种简便计算也可以推广应用： ①个位数字是5的三位数的平方，请写出的简便计算过程及结果， ②十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，请写出的简便计算过程和结果． 【答案】(1) (2) (3)①38025；② 【详解】（1）解：， ， ， ……， 以此类推，可知（表示一个两位数）， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可知， 故答案为：； （3）解：①由（2）可知，当把195中的1和9看做一个整体时，则有； ② ． ( 题型0 5 )利用完全平方求多项式的最值 23．（23-24七下·贵州六盘水·期中）如图，爱思考的小颖看到课本《因式分解》一章中这样写道： 形如的式子称为完全平方式 小颖思考，如果一个多项式不是完全平方式，我们对其作如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，那么是否可以由此解决一些新的问题．若借助小颖的思考，可以求得多项式的最大值，则该最大值为（   ） A． B． C．5 D．13 【答案】D 【详解】解： ， ∵ ∴，即的最大值为 故选：D． 24．（23-24七下·河南商丘民权县·期中）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：求代数式的最小值． 解： ∵ ∴ ∴的最小值是4 (1)求代数式的最小值； (2)求代数式的最大值； 【答案】(1)3 (2)5 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴的最小值是3． （2）解：， ∵， ∴， ∴的最大值是5． 25．（23-24七下·甘肃兰州·期中）问题提出 在学完乘法公式后，王老师向同学们提出了这样一个问题：你能求代数式的最大值吗？ 初步思考 同学们经过交流、讨论，总结出如下方法： 解： 因为， 所以． 所以当时，的值最大，最大值是0． 所以当时，的值最大，最大值是4． 所以的最大值是4． 尝试应用 (1)求代数式的最大值，并写出相应的x的值． 拓展提高 (2)将一根长的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，那么这两个正方形面积之和有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)的最大值为59，此时x的值是7； (2)有，最小值为18cm2． 【详解】（1）解： 因为， 所以， ∴当时，的值最大，最大值为59， 解方程得， 所以的最大值为59，此时x的值是7； （2）解：设其中一段铁丝的长度为x(cm)，则另一段铁丝的长度为， 所以这两段铁丝做成的正方形边长分别为和， 所以这两个正方形的面积之和为： ， ∵时，最小，最小值是18． 26．（23-24七下·云南文山·期中）上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， 当时，的值最小，最小值是0， ． 当时，的值最小，最小值是1， 的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题 (1)知识再现：当__________时，代数式有最小值是 ； (2)知识运用：若，判断y有最大值还是有最小值，并求x为何值时，y的最值． (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)3，3 (2)有最大值，当时，有最大值 (3) 【详解】（1）解：， 当时，代数式有最小值3； 故答案为：3，3； （2）解：， 当时，有最大值． 即有最大值，此时； （3）解：， 当时，的最小值为． 27．（23-24七下·广东清远英德·期中）阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆用，即． 例如：．请根据阅读材料解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 【答案】(1) (2)，， 【详解】（1）解：， ， ， ∴，， 解得，， ∴； （2）解： ， ∵， ∴代数式取得最小值时， 有，解得， ∴当，时，代数式取得最小值，最小值为． ( 题型0 6 )完全平方公式、平方差公式与几何图形 28．（23-24七下·江苏宿迁泗阳县·期中）问题呈现 （1）分别计算图1、2中阴影部分的面积． 知识应用 （2）某公园是长为米，宽为米的长方形，规划部门计划在其内部修建一座边长为米的正方形雕像，左右两边修两条宽为a米的长方形道路，剩余的阴影部分种植草坪进行绿化，尺寸如图3所示． ①求绿化的面积； ②若，种植草坪的价格为30元/平方米，问绿化应投入的资金是多少元？ 【答案】（1）图1：；图2：；（2）①绿化的面积为平方米；②180000元 【详解】（1）解：如图1， 阴影部分的面积为 ； 如图2， 阴影部分的面积为 ； （2）①由题意可得： 平方米； 答：绿化的面积为平方米； ②若，种植草坪的价格为30元/平方米， ∴绿化应投入的资金是： 元． 29．（23-24七下·山西晋城陵川县·期中）“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：北师大版七年级下册教材在学习“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题． 【方法应用】根据以上材料提供的方法，完成下列问题： (1)由图2可得等式：______；由图3可得等式：______； (2)利用图3得到的结论，解决问题：若，求的值； (3)如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为长方形（无空隙、无重叠地拼接）． ①请画出拼出后的长方形； ②______． 【答案】(1)； (2)155 (3)①见解析；②9 【详解】（1）解：由图2可得等式：； 由图3可得等式：； 故答案为：；； （2）解：由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①∵， ∴可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形的面积， 如图， ； ②∵x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为长方形， ∴， ∴． 故答案为：9． 30．（23-24七下·福建福州闽清县·期中）综合探究某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有_____(填序号)； (2)【应用】利用“平方差公式”计算：； (3)【拓展】计算：． 【答案】(1)①②③ (2) (3) 【详解】（1）解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图②可以验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图④不能验证平方差公式； 综上所述，能验证平方差公式的有①②③， 故答案为：①②③； （2）解： ； （3）解： ． 31．（23-24七下·河南新乡辉县·期中）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）， (1)上述操作能验证的等式是___________；（请选择正确的一个） A． B． C． (2)应用你从（1）选出的等式，完成下题： 已知，，求的值． 【答案】(1)B (2)3 【详解】（1）解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， ． 故选：B． （2）解：根据（1），令，， 则， 当，时，， ． 1．（23-24七下·河南商丘宁陵县·期中）已知 ，，求下列各式的值． (1)； (2) 【答案】(1)33 (2)139 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴ ． 2．（23-24七下·重庆开州区·期中）已知的展开式中不含项，且常数项是． (1)求，的值． (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解： ， 不含项，常数项是， ，， ，； （2）原式 ， 当，时， 原式 ． 3．（23-24七下·内蒙古鄂伦春自治·期中）简便计算：； 【答案】 【详解】解： ． 4．（23-24七下·河北沧州沧县·期中）观察：下列等式，，…据此规律，当时，代数式的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，… ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，， 故答案为：． 5．（23-24七下·山东青岛·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，36 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 6．（23-24七下·四川达州·期中）关于的整式与，令，，下列说法正确的有（    ）个． ①若是关于的二次整式，则的值共有3种不同的可能； ②若，，为整式，则中除常数项外其余各项系数和为； ③若，，，，，，则的最小值为； ④若，，，，令，，且，，则共有项． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：∵是关于的二次整式， ∴至少有一个为2， 当时，；此时的值为； 当时，；此时的值为； 综上，的值共有3种不同的可能；①正确，故符合要求； ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴中除常数项外其余各项系数和为，②正确，故符合要求； ∵，，，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴，③正确，故符合要求； ∵，，，， ∴，， ∴，， ∴，共3项； ∴，， ∴，共项； ∴，， ∴，共项； …… ∴可推导，，共项； ，共项； ，共项； ，共项； ∴，共项．④正确，故符合要求； 故选：D． 7．（23-24七下·山东东营利津县·期中）把代数式通过配方等手段得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有广泛的应用．如利用配方法，求的最小值． 解：，因为不论取何值；总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值-1． 根据上述材料，解答下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：___________； (2)将变形为的形式___________，则的最小值为___________； (3)已知，求代数式的最大值； 【答案】(1)16 (2)，1 (3)有最大值． 【详解】（1） 解：∵， 故答案为：16； （2）解：∵ ， 其中，， ， 的最小值是1； 故答案为：，1； （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最大值． 8．（23-24七下·重庆北碚区·期中）完全平方公式：经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若 ， ， 求的值． 解；因为， ， 所以， ， 所以， 所以， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，求． (2)如图，C是线段上的一点，分别以为边作正方形，设， 两正方形的面积之和， 求三角形的面积． (3) 【答案】(1) (2)3 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：设，， ∵， ∴， ∴ 又， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（23-24七下·贵州六盘水·期中）如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）． (1)将图1阴影部分的面积记为，图2的面积记为，若用含a、b的代数式表示和，则 ， ； (2)请你判断与之间的大小关系： （填“”、“”或“”）； (3)利用（2）中的结论，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)8092 【详解】（1）解：根据题意，，， 故答案为：，； （2）解：根据图形，图2的大长方形是边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将阴影部分剪拼成的， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）得， ∴ ． 2 / 13 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